第2课时 平面与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
1.两条相交直线 平行
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)错误,这两个平面可能平行,也可能相交.
(2)正确,由平面与平面平行的判定定理可知其正确.
(3)错误,这两个平面可能平行,也可能相交.
2.解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,因为AB∥CD,BC∥AD,所以不能同时选择的直线有AB和CD,BC和AD.
【课中探究】
探究点一
探索 解:当平面与平面的交点个数为0时,才能保证平面与平面平行.
例1 证明:连接BC1.因为E,F,G,H分别是棱BC,CC1,B1C1,BB1的中点,所以GH∥BC1,EF∥BC1,所以GH∥EF,又EF 平面AEF,GH 平面AEF,所以GH∥平面AEF.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,E分别为棱B1C1,BC的中点,所以A1G∥AE,
又AE 平面AEF,A1G 平面AEF,
所以A1G∥平面AEF.又A1G∩GH=G,且A1G 平面A1GH,GH 平面A1GH,所以平面A1GH∥平面AEF.
变式 证明:因为D,E,F分别是棱A1C1,BC,AC的中点,且该几何体为直三棱柱,所以AB∥FE,且DC1∥AF,DC1=AF,所以四边形AFC1D为平行四边形,所以AD∥FC1,又AD 平面FEC1,AB 平面FEC1,FC1 平面FEC1,FE 平面FEC1,所以AD∥平面FEC1,AB∥平面FEC1.
又AB∩AD=A,所以平面ABD∥平面FEC1.
拓展 解:(1)证明:连接BD,B1D1,EM,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD∥B1D1.因为E是B1C1的中点,M是C1D1的中点,所以ME∥B1D1,
所以BD∥ME,所以E,M,B,D四点共面.
(2)取C1C上靠近C1的四等分点P,连接EP,PM,如图所示,则平面EMP满足题意,证明如下.
取C1C的中点G,连接FG,D1G,连接A1C1,交EM于点N,连接NP,
显然N为A1C1上靠近点C1的四等分点,又P为C1C上靠近C1的四等分点,
所以==,所以A1C∥NP,因为PN 平面A1FC,A1C 平面A1FC,所以PN∥平面A1FC.依题意可得FG∥A1D1且FG=A1D1,所以四边形A1FGD1为平行四边形,所以A1F∥GD1.
因为P为C1G的中点,M为C1D1的中点,所以PM∥GD1.
所以PM∥A1F,因为PM 平面A1FC,A1F 平面A1FC,所以PM∥平面A1FC.又PN∩PM=P,PN 平面EMP,PM 平面EMP,所以平面EMP∥平面A1FC.
探究点二
例2 证明:(1)如图,连接AC,CD1.
因为四边形ABCD是正方形,且Q是BD的中点,所以Q是AC的中点,又P是AD1的中点,
所以PQ∥CD1.
又PQ 平面DCC1D1,CD1 平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,又F,E分别是C1D1,BC的中点,四边形BCC1B1为正方形,所以FE1∥B1D1,EE1∥BB1,
又FE1,EE1 平面BB1D1D,B1D1,BB1 平面BB1D1D,所以FE1∥平面BB1D1D,EE1∥平面BB1D1D.
因为FE1∩EE1=E1,FE1,EE1 平面EE1F,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF 平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.
变式 证明:(1)连接B1D1,因为E,F分别是B1C1,C1D1的中点,所以EF∥B1D1.因为DD1∥BB1,DD1=BB1,所以四边形D1B1BD是平行四边形,所以D1B1∥BD.所以EF∥BD,则EF,BD确定一个平面,故E,F,D,B四点共面.
(2)因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥D1B1∥EF.又MN 平面EFDB,EF 平面EFDB,所以MN∥平面EFDB.连接NE,则NE∥A1B1,NE=A1B1,因为A1B1∥AB,A1B1=AB,所以NE∥AB,NE=AB,所以四边形NEBA是平行四边形,则AN∥BE.又AN 平面EFDB,BE 平面EFDB,所以AN∥平面EFDB.因为AN,MN 平面AMN,且AN∩MN=N,所以平面AMN∥平面EFDB.第2课时 平面与平面平行的判定
1.D [解析] 若直线m与直线n为相交直线,则根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β.若m∥n,如图所示,则α∥β或α与β相交.故选D.
2.B [解析] 易知过点P且平行于平面α的平面只有一个.故选B.
3.D [解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1与平面A1B1C1D1都与直线CD平行,而平面ABB1A1与平面A1B1C1D1相交,故A错误;易知相交平面ABB1A1与平面A1B1C1D1分别经过直线AB,C1D1,且AB∥C1D1,故B错误;直线AB 平面ABCD,直线A1D1 平面A1B1C1D1,且平面ABCD∥平面A1B1C1D1,而直线AB与直线A1D1是异面直线,故C错误;设直线a,b是两条异面直线,α,β是两个不同的平面,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,过直线b上的点A作直线a'∥a,则直线a',b确定平面γ,由b∥α,b∥β,得点A α,A β,又a∥α,a∥β,所以是a'∥α,a'∥β,可得α∥γ,β∥γ,所以α∥β,故D正确.故选D.
4.B [解析] 若α∥β,则由面面平行的性质定理知m∥n,必要性成立;若m∥n,则α∥β或α,β相交,充分性不成立.故选B.
5.A [解析] 对于选项A,过b作平面γ,使得平面γ与平面α相交,记交线为c,如图,因为a,b是异面直线,所以a,c相交,又b∥α,所以b∥c.由c β,b β得c∥β,又a∥β,a,c是α内的两条相交直线,所以α∥β,A正确.对于选项B,若a∥b,则α与β可能相交,B错误.对于选项C,β中只有一条直线a与α平行,则平面α与平面β可能平行也可能相交,C错误.对于选项D,若a α,a∥b,则b∥α或b α,D错误.故选A.
6.A [解析] 由题意可知,经过P,Q,R三点的平面为如图所示的正六边形所在平面,记为β,可知N在平面β上,故B,C错误;易知MC1与QN是相交直线,故D错误;因为RH∥A1C1,RH β,A1C1 β,所以A1C1∥β,同理A1B∥β,又A1C1∩A1B=A1,A1C1 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,所以平面A1BC1∥β,故A正确.故选A.
7.A [解析] 把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图甲所示.对于①,易知平面BCMF∥平面ADNE,BM 平面BCMF,所以BM∥平面ADNE,①正确.对于②,易知平面DCMN∥平面ABFE,CN 平面DCMN,所以CN∥平面ABFE,②正确.对于③,如图乙所示,易知DN=BF,DN∥BF,则四边形BDNF为平行四边形,则BD∥FN,因为BD 平面AFN,FN 平面AFN,所以BD∥平面AFN.同理可得BM∥平面AFN.因为BD∩BM=B,BD 平面BDM,BM 平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,③正确.对于④,如图丙所示,由③知BD∥FN,因为BD 平面NCF,FN 平面NCF,所以BD∥平面NCF.因为BC∥EN,BC=EN,所以四边形BCNE为平行四边形,所以BE∥CN,因为BE 平面NCF,CN 平面NCF,所以BE∥平面NCF,又因为BD∩BE=B,且BD 平面BDE,BE 平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,所以④正确.综上,说法正确的序号是①②③④.故选A.
8.AD [解析] 对于A,当β内的所有直线都与α平行时,一定有两条相交直线与α平行,则α∥β,所以A正确;对于B,α与β相交时,β内与交线平行的直线都与平面α平行,所以B不正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,如果α∥γ,β∥γ,则α∥β,所以D正确.故选AD.
9.AC [解析] 对于A,因为A'N 平面A'C'CA,C'∈平面A'C'CA,P 平面A'C'CA,且C' A'N,所以A'N,PC'是异面直线,故A中说法错误.对于B,因为AC 平面A'C'CA,A'∈平面A'C'CA,P 平面A'C'CA,且A' AC,所以A'P与AC为异面直线,故B中说法正确.对于C,连接MP,因为棱AB,BC的中点分别为点M,P,所以AC∥MP,因为AC∥A'C',所以MP∥A'C',则AB∩平面A'C'PM=M,故C中说法错误.对于D,因为AB,AC的中点分别为点M,N,所以MN∥BC,因为MN 平面BCC'B',BC 平面BCC'B',所以MN∥平面BCC'B'.因为AC∥A'C',A'C'=AC=NC,所以四边形A'C'CN为平行四边形,可得A'N∥C'C,因为A'N 平面BCC'B',C'C 平面BCC'B',所以A'N∥平面BCC'B'.因为MN∩A'N=N,MN 平面A'MN,A'N 平面A'MN,所以平面A'MN∥平面BCC'B',故D中说法正确.故选AC.
10.相交或平行
11.② [解析] 如图,可在正三棱柱中构造△ABC与△A'B'C'全等,使△ABC在平面α内,△A'B'C'在平面β内,此时也满足AA'∥BB'∥CC',但不能得出α∥β,故①错误;将异面直线a,b平移到α内,则两条直线相交,易知这两条相交直线都与β平行,则由面面平行的判定定理知α与β平行,故②正确;若直线l与α,β都平行,则α与β也可能相交,故③错误.故填②.
12. [解析] 取BB1的中点P,连接CP,PD1,CD1,如图所示,易知CD1∥A1B,CD1 平面A1BE,A1B 平面A1BE,所以CD1∥平面A1BE.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为点P,E分别为BB1,DD1的中点,所以CP∥A1E,因为CP 平面A1BE,A1E 平面A1BE,所以CP∥平面A1BE.又因为CP,CD1 平面CPD1,CP∩CD1=C,所以平面CPD1∥平面A1BE.因此平面α即为平面CPD1,则平面α与正方形B1BCC1的交线为CP.易知CP==.
13.证明:(1)取PB的中点N,连接NE,FN,
因为四边形ABCD是正方形,且E,F分别是PC,AD的中点,所以NE∥BC,且NE=BC,FD=AD=BC,FD∥BC.
所以NE∥DF且NE=DF,所以四边形NEDF为平行四边形,所以DE∥FN.又因为DE 平面PFB,FN 平面PFB,所以DE∥平面PFB.
(2)因为M,F分别为BC,AD的中点,四边形ABCD为正方形,所以BM∥DF且BM=DF,
所以四边形BFDM为平行四边形,所以DM∥BF,
又因为DM 平面PFB,BF 平面PFB,
所以DM∥平面PFB,
由(1)可得DE∥平面PFB,又DE∩DM=D且DE 平面EMD,DM 平面EMD,所以平面EMD∥平面PFB.
14.解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下:
取PE的中点M,连接FM,BM,BD,记AC与BD交于点O,连接EO.
∵F,M分别为PC,PE的中点,∴FM∥CE,∵FM 平面AEC,CE 平面AEC,∴FM∥平面AEC.
∵PE=2ED,且M是PE的中点,∴E是MD的中点.
由四边形ABCD是正方形知,O为BD的中点,∴BM∥OE,
∵BM 平面AEC,OE 平面AEC,∴BM∥平面AEC.
又∵FM∩BM=M,FM 平面BFM,BM 平面BFM,
∴平面BFM∥平面AEC.
∵BF 平面BFM,∴BF∥平面AEC.
15.A [解析] 在线段C1F上任取一点H,过点H作与平面ABCD平行的平面,记为α.易知平面α与线段D1E和C1F均有交点,当M,N分别为平面α与D1E和C1F的交点时,MN∥平面ABCD,易知满足条件的直线MN有无数条.故选A.
16.解:(1)证明:取PD的中点F,连接AF,FN.
在△PCD中,可得FN∥DC,FN=DC.在平行四边形ABCD中,可得AM∥CD,AM=CD.
所以AM∥FN,且AM=FN,所以四边形AFNM为平行四边形,所以AF∥NM.
又AF 平面PAD,MN 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
(2)存在,点H为PB的中点.证明如下.
因为H,N分别为PB,PC的中点,所以HN∥BC,
又HN 平面ABCD,BC 平面ABCD,
所以HN∥平面ABCD.
同理KH∥平面ABCD.
因为KH 平面KNH,HN 平面KNH,KH∩HN=H,所以平面KNH∥平面ABCD.
(3)证明:因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l,BC 平面PBC,所以BC∥l.第2课时 平面与平面平行的判定
一、选择题
1.若平面α内的两条直线m,n都平行于平面β,则α与β的关系是 ( )
A.平行 A.相交
C.重合 D.不确定
2.点P是平面α外一点,过点P且平行于平面α的平面有 ( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
3.[2024·上海奉贤区高一期中] 下列说法正确的是 ( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行
C.分别在两个平行平面上的两条直线平行
D.与两条异面直线都平行的两个平面平行
4.[2024·黑龙江大庆高一期末] 已知α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且α∩γ=m,β∩γ=n,则“m∥n”是“α∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题中正确的是 ( )
A.若a,b是异面直线,a α,a∥β,b β,b∥α,则α∥β
B.若a α,b α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a β,a∥α,则α∥β
D.若a α,a∥b,则b∥α
6.在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q所在平面平行的是 ( )
A B C D
7.[2024·宁夏石嘴山高一期中] 如图所示是一个正方体的平面展开图,关于这个正方体,有以下四种说法:①BM∥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.其中说法正确的序号是 ( )
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
8.(多选题)设α,β为两个平面,则“α∥β”的充分条件可以是 ( )
A.β内的所有直线都与α平行
B.β内有三条直线与α平行
C.α和β平行于同一条直线
D.α和β都平行于同一平面γ
9.(多选题)[2024·福建福州高一期中] 在三棱台ABC-A'B'C'中,上、下底面边长之比为1∶2,棱AB,BC,AC的中点分别为点M,P,N,如图,则下列说法错误的有 ( )
A.A'N∥PC'
B.A'P与AC为异面直线
C.AB∥平面A'C'P
D.平面A'MN∥平面BCC'B'
二、填空题
10.已知2个不同的平面α,β和3条不同的直线a,b,c,若a∥b∥c,a α,b β,c β,则α与β的位置关系是 .
11.下列条件中,可以得出两个不重合的平面α与β平行的是 .(填序号)
①α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等,且AA'∥BB'∥CC';
②α,β都与异面直线a,b平行;
③直线l与α,β都平行.
12.[2024·四川南充高一期中] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是棱DD1的中点,过点D1做平面α使得平面α∥平面A1BE,则平面α与正方形B1BCC1的交线的长度为 .
三、解答题
13.[2024·天津南开高一期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F分别是PC,AD的中点.
(1)求证:DE∥平面PFB;
(2)若M为BC的中点,求证:平面EMD∥平面PFB.
14.[2023·陕西西安高一期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，点E在PD上,且PE=2ED.在棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC 若存在,指出点F的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和棱AA1的中点,点M,N分别为线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有 ( )
A.无数条 B.2条
C.1条 D.0条
16.如图所示,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N,K分别为AB,PC,PA的中点,平面PBC∩平面APD=l.
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)直线PB上是否存在点H,使平面KNH∥平面ABCD 若存在,指出点H的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
(3)求证:l∥BC.(共31张PPT)
§4 平行关系
4.2 平面与平面平行
第2课时 平面与平面平行的判定
探究点一 平面与平面平行的判定
探究点二 平行关系的综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平
行，那么这两个平面平行
符号语言 ， ，， ，
图形语言 _______________________________________________________
作用 证明两个平面______
两条相交直线
平行
1.
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
（2）这两条直线必须相交.
3.线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系如下所示.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面
平行．( )
×
[解析] 错误，这两个平面可能平行，也可能相交．
（2）若平面 内的两条不平行直线都平行于平面 ，则平面 与
平面 平行.( )
√
[解析] 正确,由平面与平面平行的判定定理可知其正确.
（3）若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面
平行．( )
×
[解析] 错误，这两个平面可能平行，也可能相交．
2.要证明矩形所在平面平行于平面 ，在四条边所在直线 ,
,,中选择两条直线，证明它们与平面 平行即可，则不能同
时选择的两条直线有哪些
解：根据平面与平面平行的判定定理知，所选的两条直线必须相交，
因为，，所以不能同时选择的直线有和，
和 .
探究点一 平面与平面平行的判定
［探索］ 当平面与平面的交点个数满足什么条件时,才能保证平面与
平面平行
________________________________________________________
解：当平面与平面的交点个数为0时,才能保证平面与平面平行.
例1 如图,直三棱柱的底面是正三角形,,,, 分别是
棱,,, 的中点.
求证:平面平面 .
证明:连接.因为,,,分别是棱,, ,
的中点,所以,,所以 ,
又 平面, 平面,所以 平面.
在直三棱柱中,
因为, 分别为棱,的中点,所以 ,
又 平面, 平面 ,
所以平面.
又,且 平面, 平面,
所以平面平面 .
变式 如图，在直三棱柱中，，，
分别是棱，，的中点，求证：平面
平面 .
证明：因为，，分别是棱，， 的中点，
且该几何体为直三棱柱，
所以 ，且, ，
所以四边形 为平行四边形，所以,
又 平面, 平面， 平面,
平面 ，
所以 平面,平面 .
又，所以平面平面 .
［素养小结］
（1）要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,
证明这两条相交直线平行于另一个平面.
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,
即先在一个平面内尝试寻找与另一个平面平行的两条相交直线,若找
不到再作辅助线.
拓展 如图，在正方体 中，点
，，分别是棱,, 的中点.
（1）求证：，，， 四点共面.
证明：连接，,，在正方体 中，
可得 且 ,所以四边形为平行四边形，
所以.
因为 是的中点，是的中点，所以 ，
所以,所以，，， 四点共面.
（2）是否存在过点，且与平面 平行的平面？若存在，请作
出这个平面并证明；若不存在，请说明理由.
解：取上靠近的四等分点,连接， ,
如图所示，则平面 满足题意，证明如下.
取的中点,连接，,连接，
交 于点,连接 , 显然为上靠近点的四等分点，
又为上靠近 的四等分点，
所以,所以,
因为 平面， 平面，所以平面.
依题意可得 且,所以四边形为平行四边形，
所以 .
因为为的中点，为 的中点，
所以 .
所以,
因为 平面， 平面,
所以平面.
又， 平面, 平面,
所以平面 平面 .
探究点二 平行关系的综合应用
例2 如图，在正方体中， ，
，，分别是，，， 的中点．
（1）求证：平面 ；
证明:如图，连接， .
因为四边形是正方形，且是的中点，所以是 的中点，
又是 的中点，所以 .
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求证：平面 .
解：取的中点，连接，，又, 分别
是，的中点，四边形 为正方形，
所以， ，
又， 平面，， 平面
，所以平面，平面 .
因为，， 平面 ，
所以平面平面 .
又 平面，所以平面 .
变式 如图，在正方体中， ，
，，分别是，，， 的中点.
求证：
（1），，， 四点共面；
证明:连接，因为,分别是， 的中点，
所以.因为,，
所以四边形 是平行四边形，所以.
所以，则, 确定一个平面，故，，， 四点共面.
（2）平面平面 .
解：因为，分别是， 的中点，
所以.
又 平面， 平面，
所以平面.
连接 ，则,，
因为 , ，所以, ，
所以四边 形是平行四边形，则.
又 平面， 平面，所以平面.
因为, 平面 ,且, 所以平面平面 .
［素养小结］
（1）立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,
这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的.
（2）解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
平面与平面平行的判定定理的解读
（1）平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.
（2）平面与平面平行的判定定理包含三个条件:一内一交一平行，
这三个条件缺一不可.
要证明平面与平面平行，依据判定定理找出一个平面内的两条相交
直线分别平行于另一个平面即可.常进行如下转化:线线平行 线面
平行 面面平行.
（1）求证：平面 ;
证明：连接 .
为的中点，为的中点， .
平面， 平面， 平面 .
例 [2023·河北邯郸高一期中] 如图，在三棱柱
中，，，，分别为，， ，
的中点，为 的中点.
解：，分别为，的中点， .
平面， 平面，
平面 .
,分别为,的中点，且 ，
，且，
四边形 是平行四边形， .
平面， 平面，平面 .
又， 平面平面 .
（2）求证：平面平面 .第2课时 平面与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面平行的判定定理
1.
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号语言 a α,b α,a∩b=A, a∥β,b∥β α∥β
图形语言
作用 证明两个平面
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
(2)这两条直线必须相交.
3.线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系如下所示.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行. ( )
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. ( )
(3)若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行. ( )
2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能同时选择的两条直线有哪些
◆ 探究点一 平面与平面平行的判定
[探索] 当平面与平面的交点个数满足什么条件时,才能保证平面与平面平行
例1 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,E,F,G,H分别是棱BC,CC1,B1C1,BB1的中点.
求证:平面A1GH∥平面AEF.
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱A1C1,BC,AC的中点,求证:平面ABD∥平面FEC1.
[素养小结]
(1)要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,证明这两条相交直线平行于另一个平面.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内尝试寻找与另一个平面平行的两条相交直线,若找不到再作辅助线.
拓展 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M分别是棱B1C1,BB1,C1D1的中点.
(1)求证:E,M,B,D四点共面.
(2)是否存在过点E,M且与平面A1FC平行的平面 若存在,请作出这个平面并证明;若不存在,请说明理由.
◆ 探究点二 平行关系的综合应用
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.
(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求证:EF∥平面BB1D1D.
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:
(1)E,F,D,B四点共面;
(2)平面AMN∥平面EFDB.
[素养小结]
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的.
(2)解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
