§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的性质
【课前预习】
知识点一
任何一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:由直线与平面垂直的定义知,旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角不变,始终为90°.
知识点二
1.垂直 平行 2.平行 平面的距离
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据线面垂直的性质定理知,这两条直线互相平行,与这两条直线是异面直线矛盾,故另一条直线不垂直于这个平面.
知识点三
1.相交 垂直 交点A 垂线 2.投影 直角 0° [0°,90°]
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)平面的一条斜线与平面的夹角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线与平面的夹角的取值范围才是[0°,90°].
(2)平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角.
2.证明:如图,斜线AO在平面α上的投影为AB,θ(0°<θ<90°)为斜线与平面α的夹角,θ1(0°<θ1≤90°)为斜线与平面α内除AB外的任意一条直线AC的夹角.作OB⊥α,OC⊥AC,垂足分别为B,C,则sin θ=,sin θ1=.因为OB【课中探究】
探究点一
例1 ③④ [解析] 当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,故①不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,故②不正确,③正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,故④正确.故填③④.
探究点二
例2 证明:如图,连接AG并延长交BC于点D,连接A'G'并延长交B'C'于点D',连接DD',由AA'⊥α,BB'⊥α,CC'⊥α,得AA'∥BB'∥CC'.
∵D,D'分别为BC和B'C'的中点,
∴DD'∥CC'∥BB',∴DD'∥AA'.
∵G,G'分别是△ABC和△A'B'C'的重心,
∴=,∴GG'∥AA'.
探究点三
探索 解:先求锐角的三角函数值再求角的大小.
例3 解:(1)∵AB⊥平面AA1D1D,∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D的夹角,
在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,
∴∠AA1B=45°,∴A1B与平面AA1D1D的夹角是45°.
(2)设A1C1交B1D1于点O,连接BO,如图.
∵A1O⊥平面BB1D1D,
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D的夹角,设正方体的棱长为1,
则A1B=,A1O=.又∠A1OB=90°,∴sin∠A1BO==,又0°≤∠A1BO≤90°,
∴∠A1BO=30°,∴A1B与平面BB1D1D的夹角是30°.
变式 [解析] 如图,连接BF,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得EB⊥平面BCC1B1,所以
∠EFB即为EF与平面BB1C1C的夹角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则EB=1,BF=,在直角三角形EFB中,tan∠EFB==.§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的性质
1.B [解析] 圆柱的母线与圆柱的底面垂直,所以由直线与平面垂直的性质定理易得垂线与圆柱的母线所在直线平行.
2.D [解析] 由题意知,a β或a∥β.故选D.
3.B [解析] 因为B1B⊥平面A1B1C1D1,l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.故选B.
4.D [解析] 因为DE⊥平面ABCD,DC 平面ABCD,所以DE⊥DC.因为DE=2,CD=3,所以CE===.故选D.
5.A [解析] 如图,设线段AB的中点为M,分别过A,M,B向平面α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1,所以四边形AA1B1B为直角梯形,因为AA1=3,BB1=5,MM1是梯形AA1B1B的中位线,所以MM1=4.故选A.
6.A [解析] 如图,因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD,连接OD,则C在OD上,△OAC∽△OBD,所以=.因为OA=AB,所以=,又AC=1,所以BD=2.故选A.
7.A [解析] 不妨设A 平面α,B∈平面α,A在平面α内的投影为O,连接BO,AO,则由题意知AO⊥平面α,AB=2BO,∠ABO为直线AB与α的夹角.因为BO 平面α,所以AO⊥BO,所以cos∠ABO==,所以∠ABO=60°.故选A.
8.AD [解析] 选项A是基本事实4,故A正确;垂直于同一条直线的两条直线可以相交,可以异面,可以平行,故B错误;平行于同一个平面的两条直线可以平行,可以异面,可以相交,故C错误;由线面垂直的性质定理知D正确.故选AD.
9.BCD [解析] 如图所示,由图知l可能与平面α平行,也可能与平面α相交,还可能在平面α内,故选BCD.
10.平行 [解析] 由线面垂直的性质定理可得l∥m.
11.①②③ [解析] ①为直线与平面垂直的性质定理;②为面面平行的性质定理;③为基本事实4;易知④不能使得a∥b成立.故填①②③.
12.12 [解析] ∵PA=AB=BC=6,∠ABC=120°,∴AC=6.∵PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴PA⊥AC,∴PC===12.
13.解:连接BD,因为PD⊥平面ABCD,所以∠PBD是直线PB与平面ABCD的夹角,
且∠PBD=45°,
所以BD=PD=2.
又AB=AD=2,所以∠BAD=60°,所以菱形ABCD的面积S=2××AB×AD×sin 60°=2.
14.证明:如图,取AB的中点G,连接FG,CG.
因为F是BE的中点,
所以FG∥AE,FG=AE=a.
因为CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.
又CD=a,所以FG∥CD,且FG=CD,
所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.
因为CG 平面ABC,DF 平面ABC,
所以DF∥平面ABC.
15.BCD [解析] 因为AA1∥BB1,AA1 平面BB1C1C,BB1 平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1C1C,又BC1 平面BB1C1C,所以直线AA1与BC1不相交,故A错误;因为AA1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA1⊥BC,故B正确;因为A1B1∥AB,所以∠BAC即为异面直线AC与A1B1的夹角,由题意知∠BAC=60°,故C正确;因为CC1⊥平面ABC,所以∠C1BC为直线BC1与平面ABC的夹角,由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,易得sin∠C1BC===,故D正确.故选BCD.
16.解:如图所示,连接AC,BC1.因为AB⊥平面BB1C1C,BC1 平面BB1C1C,
所以AB⊥BC1,
所以∠AC1B是AC1与平面BB1C1C的夹角,
即∠AC1B=30°,
所以AC1=2AB=2,
所以AA1=CC1===.§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的性质
【学习目标】
1.借助于长方体模型,通过直观感知,了解直线与平面垂直的关系.
2.理解直线与平面垂直的定义以及直线与平面夹角的概念.
3.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理.
4.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 直线与平面垂直
直线与平面垂直的定义
定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直
记法
有关 概念 直线l称为平面α的 ,平面α称为直线l的 ,它们唯一的公共点P称为
图示
性质 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直,过一点有且只有一个平面与一条直线垂直
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线都不垂直. ( )
(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直. ( )
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,影子的位置在移动.在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化,为多少
◆ 知识点二 直线和平面垂直的性质定理
1.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
于同一个平面的两条直线 a∥b 线面垂直 线线平行
2.直线到平面的距离
如果一条直线与平面 ,那么这条直线上任意一点到 就是这条直线到这个平面的距离.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直. ( )
(2)过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. ( )
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. ( )
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗
◆ 知识点三 直线与平面的夹角
1.有关概念
斜线 一条直线l与平面α ,但不与这个平面 ,这条直线称为这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的 称为斜足
投影 过斜线上斜足以外的一点P向平面作 ,过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影
2.直线与平面的夹角
定义:平面的一条斜线与它在平面上的 所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角.
规定:一条直线垂直于平面,就说它们的夹角是 ;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是 .
范围:直线与平面的夹角θ的取值范围是 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面的一条斜线与平面的夹角的取值范围是[0°,90°]. ( )
(2)平面的一条斜线与平面内一条直线的夹角叫作这条直线与这个平面的夹角. ( )
2.证明:平面的斜线与平面的夹角是这条斜线与这个平面内任意一条直线的夹角中最小的角.
◆ 探究点一 直线与平面垂直的定义
例1 下列说法正确的是 (填序号).
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线;
③若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直;
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
[素养小结]
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线垂直于平面内的无数条直线”不是一回事.
◆ 探究点二 线面垂直的性质定理的应用
例2 如图所示,设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧,△A'B'C'在平面α内,且AA'⊥α于点A',BB'⊥α于点B',CC'⊥α于点C',G,G'分别是△ABC和△A'B'C'的重心,求证:GG'∥AA'.
[素养小结]
证明两直线平行的方法:
(1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行.
(2)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
(4)面面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
(5)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆ 探究点三 直线与平面的夹角
[探索] 在直角三角形中,知道了三边的边长如何求锐角的大小
例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1⊥平面BB1D1D.
(1)求A1B与平面AA1D1D的夹角;
(2)求A1B与平面BB1D1D的夹角.
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为正方形BCC1B1的中心,则直线EF与侧面BB1C1C夹角的正切值是 .
[素养小结]
求斜线与平面的夹角的一般步骤:(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的投影,斜线与其投影所成的锐角即为所求的角;(3)把该角放在某个三角形中求解.§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
2.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β的关系是 ( )
A.a⊥β B.a∥β
C.a β D.a β或a∥β
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l⊥平面A1B1C1D1,其中直线l与直线BB1不重合,则 ( )
A.B1B⊥l
B.B1B∥l
C.B1B与l异面但不垂直
D.B1B与l相交但不垂直
4.如图,DE⊥平面ABCD,且DE=2,CD=3,则CE= ( )
A.2
B.3
C.
D.
5.线段AB在平面α的同侧,A,B到平面α的距离分别为3和5,则线段AB的中点到平面α的距离为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD= ( )
A.2 B.1
C. D.
7.若斜线段AB是它在平面α内的投影长的2倍,则直线AB与α的夹角为 ( )
A.60° B.45°
C.30° D.120°
8.(多选题)在空间中,下列说法正确的是 ( )
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.平行于同一个平面的两条直线互相平行
D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行
9.(多选题)直线l与平面α内的无数条直线垂直,则 ( )
A.l不可能与平面α平行
B.l可能与平面α平行
C.l可能在平面α内
D.l可能与平面α相交
二、填空题
10.已知平面α和不同的直线l,m,满足l⊥α,m⊥α,则l与m的位置关系是 .
11.已知直线a和直线b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同的面所在的平面内,则使a∥b成立的条件是 .(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体的两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b垂直于正方体的同一条棱.
12.已知PA⊥平面ABC,垂足为A,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC= .
三、解答题
13.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,PD⊥底面ABCD.若PD=2,直线PB与平面ABCD的夹角为45°,求菱形ABCD的面积.
14.如图,△ABC是等边三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2a,CD=a,F是BE的中点,求证:DF∥平面ABC.
15.(多选题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱垂直于底面,底面为正三角形),各棱的长均为2,则下列结论正确的是 ( )
A.直线AA1与BC1为相交直线
B.AA1⊥BC
C.异面直线AC与A1B1的夹角为60°
D.直线BC1与平面ABC的夹角的正弦值为
16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与平面BB1C1C的夹角为30°,AB=BC=1,求AA1的长度.(共39张PPT)
§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的性质
探究点一 直线与平面垂直的定义
探究点二 线面垂直的性质定理的应用
探究点三 直线与平面的夹角
【学习目标】
1.借助于长方体模型,通过直观感知,了解直线与平面垂直的关系.
2.理解直线与平面垂直的定义以及直线与平面夹角的概念.
3.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理.
4.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点一 直线与平面垂直
直线与平面垂直的定义
定义
记法 ______
有关概念
任何一条
垂线
垂面
垂足
图示 _____________________________________________
性质 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且
只有一个平面与一条直线垂直
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果一条直线与一个平面不垂直，那么它与平面内任何一条直
线都不垂直.( )
×
（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都
垂直.( )
√
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的
变化，影子的位置在移动.在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在
的直线的夹角是否发生变化，为多少？
解：由直线与平面垂直的定义知，旗杆所在的直线与其影子所在的
直线的夹角不变，始终为 .
知识点二 直线和平面垂直的性质定理
1.性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
______于同一个 平面的两条直线 ______ _________________________________________________
垂直
平行
2.直线到平面的距离
如果一条直线与平面______，那么这条直线上任意一点到
____________就是这条直线到这个平面的距离.
平行
平面的距离
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直.( )
√
（2）过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.( )
√
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.( )
√
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂
直于这个平面吗
解：不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据线面垂直的性
质定理知,这两条直线互相平行,与这两条直线是异面直线矛盾,故另一
条直线不垂直于这个平面.
知识点三 直线与平面的夹角
1.有关概念
斜线 __________________________________________________
斜足 斜线和平面的_______称为斜足 投影 相交
垂直
交点
垂线
2.直线与平面的夹角
定义：平面的一条斜线与它在平面上的______所成的锐角，叫作这
条直线与这个平面的夹角.
规定：一条直线垂直于平面，就说它们的夹角是______；一条直线
与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是____.
范围：直线与平面的夹角 的取值范围是________.
投影
直角
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面的一条斜线与平面的夹角的取值范围是 .( )
×
[解析] 平面的一条斜线与平面的夹角的取值范围是 ，任意
一条直线与平面的夹角的取值范围才是 .
（2）平面的一条斜线与平面内一条直线的夹角叫作这条直线与这个
平面的夹角.( )
×
[解析] 平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条
直线与这个平面的夹角.
2.证明：平面的斜线与平面的夹角是这条斜线与这个平面内任意一条
直线的夹角中最小的角.
证明：如图，斜线在平面 上的投影为，
为斜线与平面 的夹角，
为斜线与平面 内除外的任意一
条直线 的夹角.
作， ，垂足分别为, ，
则，.
因为，所以，故 .
故平面的斜线与平面的夹角是这条斜线与这个平面内任意一条直线的夹
角中最小的角.
探究点一 直线与平面垂直的定义
例1 下列说法正确的是______（填序号）.
①若直线与平面 内的一条直线垂直，则 ；
②若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；
③若直线不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
[解析] 当与 内的一条直线垂直时，不能保证与平面 垂直，
故①不正确；
当与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，
故②不正确，③正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，故④正确.
故填③④.
［素养小结］
对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与“直线
垂直于平面内的无数条直线”不是一回事.
探究点二 线面垂直的性质定理的应用
例2 如图所示，设三角形 的三个顶点在平
面 的同侧，在平面 内，且
于点， 于点，
于点，，分别是和 的重心，
求证： .
证明：如图，连接并延长交于点 ，
连接并延长交于点，连接 ，
由 ， ， ，
得 .
，分别为和 的中点，
， .
，分别是和 的重心，
， .
［素养小结］
证明两直线平行的方法:
（1）平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行.
（2）基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（3）线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线
的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
（4）面面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个
平面相交,那么两条交线平行.
（5）线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
探究点三 直线与平面的夹角
［探索］ 在直角三角形中,知道了三边的边长如何求锐角的大小
______________________________________
解：先求锐角的三角函数值再求角的大小.
（1）求与平面 的夹角；
解： 平面，
就是 与平面 的夹角，
在中， ， ，
，与平面 的夹角是 .
例3 如图，在正方体中，
平面 .
（2）求与平面 的夹角.
解：设交于点，连接 ，如图.
平面 ，
就是与平面 的夹角，
设正方体的棱长为1，
则，.
又 ，，
又 ， ，
与平面的夹角是 .
变式 如图，在正方体中，为的中点， 为正
方形的中心，则直线与侧面 夹角的正切值是_ __.
[解析] 如图，连接 ，
在正方体中，可得 平面 ，
所以即为与平面 的夹角.
设正方体的棱长为2，
则 , ，
在直角三角形 中， .
［素养小结］
求斜线与平面的夹角的一般步骤:（1）寻找过斜线上一点与平面垂直
的直线;（2）垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的投影,斜线与其
投影所成的锐角即为所求的角;（3）把该角放在某个三角形中求解.
1.直线与平面垂直概念的理解
（1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线）,
而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替.
（2）若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直, 则这条直线就一定不
与这个平面垂直.
（3）直线与平面垂直的定义既可用作直线与平面垂直的判定,又可作为
直线与平面垂直的性质.
2.直线与平面垂直的性质定理的解读
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了一种证明两直线平行的方法,即
只需证明两条直线均与同一个平面垂直,反映了线线平行与线面垂直逻
辑上的相互转化,即“若线面垂直,则线线平行”.
（2）利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线,即使这些直线都垂
直于同一个平面.
3.确定点（或线）在平面内投影位置的常用方法
（1）如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在平
面内的投影在这个角的平分线所在直线上.
（2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线, 如果斜线与这个角的
两边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的投影在这个角的平分线所在
直线上.
（3）在三棱锥 中,有下列结论:
①若,则点在平面 内的投影为 的外心;
②若点到,,的距离相等,则点在平面内的投影为
的内心;
③若,,则点在平面内的投影为 的垂心.
4.最小角定理:直线与平面的夹角是该直线与平面内
任意一条直线的夹角中最小的角.证明如下：
如图所示,直线在平面 内的投影为直线,
为平面 内与不重合的任意一条直线,
过点 作,垂足为,连接 ,
下面只需说明 .
因为,, ,
,所以只需证明,即 .
因为与分别是 的直角边与斜边,所以.
综上可得 ,即直线与平面的夹角是该直线与平面内任意
一条直线的夹角中最小的角.
1.直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内
在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例 如图,在多面体中,四边形为正方形, 平面
, 平面 .
求证:平面平面 .
证明:因为 平面, 平面 ,
所以,
又 平面, 平面 ,所以平面 .
因为四边形为正方形,所以 ,
又 平面, 平面 ,
所以平面 .
因为, 平面, 平面 ,
所以平面平面 .
2.求直线与平面的夹角的步骤:（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的
直线;（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影,斜线与其投影
所成的锐角或直角即为所求的角;（3）把该角归结在某个三角形中,
求出该角.
