第2课时 直线与平面垂直的判定
【课前预习】
知识点
两条相交直线 a∩b
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)它们可以有公共点,也可以没有公共点.
(2)在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.
(3)因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在的平面垂直.
(4)直线l与平面α内的无数条直线垂直,当这无数条直线为一组平行直线时,不能推出l⊥α.
(5)若一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则必存在两条相交直线与这条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直,正确.
2.解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在的平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在的平面不一定垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,因为BC 平面ABC,所以BB1⊥BC.
因为AB⊥BC,AB 平面A1ABB1,BB1 平面A1ABB1,BB1∩AB=B,所以BC⊥平面A1ABB1.
又D,E分别是A1B和A1C的中点,
所以DE∥BC,所以DE⊥平面A1ABB1.
变式 证明:由题意知,AA1⊥平面ABC,又AC 平面ABC,所以AA1⊥AC.
因为∠BAC=90°,所以AC⊥AB,又AB∩AA1=A,AB 平面A1ABB1,AA1 平面A1ABB1,所以AC⊥平面A1ABB1,又A1D 平面A1ABB1,所以AC⊥A1D.
因为D为棱BB1的中点,AA1=2a,AB=a,且四边形A1ABB1为矩形,所以在△A1DA中,A1D=a,AD=a,则A1D2+AD2=A1A2,
所以∠A1DA=90°,即A1D⊥AD.
又AC∩AD=A,AC 平面ADC,AD 平面ADC,
故A1D⊥平面ADC.
拓展 证明:∵BA=BC,且M是棱AC的中点,∴BM⊥AC.
∵CF⊥平面ABC,BM 平面ABC,∴CF⊥BM.
又CF∩AC=C,CF 平面ACFD,AC 平面ACFD,∴BM⊥平面ACFD.∵DC 平面ACFD,∴CD⊥BM①.
∵CF⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴AC⊥CF,又DF∥AC,∴∠CFD=∠MCP=,
又=,∴△CFD∽△MCP,则∠PMC=∠DCF.
∵∠ACD+∠FCD=,∴∠PMC+∠ACD=,∴CD⊥PM②.∵BM∩PM=M,BM 平面PBM,PM 平面PBM,∴由①②知CD⊥平面PBM.
探究点二
例2 证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.
因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
AD 平面ABC,所以AD⊥BB1.
又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BB1C1C.
由点E在棱BB1上运动,得C1E 平面BB1C1C,
所以AD⊥C1E.
变式 证明:如图所示,过点A作b'∥b,则a,b'可确定一个平面,记该平面为γ.
∵AB是异面直线a,b的公垂线,
∴AB⊥a,AB⊥b,∴AB⊥b'.
又a∩b'=A,∴AB⊥γ.
∵a⊥α,b⊥β,l α,l β,∴l⊥a,l⊥b,∴l⊥b',
又a∩b'=A,∴l⊥γ,∴AB∥l.第2课时 直线与平面垂直的判定
1.B [解析] 若m⊥l,因为l α,α∥β,所以m β或m∥β或m与β相交,充分性不成立;若m⊥β,因为α∥β,所以m⊥α,又l α,所以m⊥l,必要性成立.所以“m⊥l”是“m⊥β”的必要不充分条件.故选B.
2.D [解析] ∵PO⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴PO⊥AC.又AC⊥BO,且BO∩PO=O,BO 平面PBD,PO 平面PBD,∴AC⊥平面PBD,∴直线PB,PD,PO,BD均与AC垂直,故选D.
3.D [解析] 在平面DD1C1C,平面A1DB,平面A1B1C1D1中不能找到两条相交直线与AD1垂直,故A,B,C不满足题意;在平面A1DB1中,AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,∴AD1⊥平面A1DB1,故D满足题意.故选D.
4.D [解析] 若m⊥n,m∥α,α∥β,则n∥β或n与β相交或n β,故①错误;若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β或n β,故②错误;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又n∥β,则m⊥n,故③正确;若m⊥α,α∥β,则m⊥β,又m∥n,则n⊥β,故④正确.故选D.
5.B [解析] 连接AE,因为AB=AD,E为CD的中点,所以==,所以△ABD∽△DAE,所以∠DAE=∠ABD,所以∠EAB+∠ABD=90°,即AE⊥BD.因为A1A⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以A1A⊥BD.又A1A 平面A1AE,AE 平面A1AE,A1A∩AE=A,所以BD⊥平面A1AE.因为A1E 平面A1AE,所以A1E⊥DB.故选B.
6.D [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,设B1D1∩A1C1=O,连接AO,如图.由AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,得AA1⊥B1D1,又A1C1⊥B1D1,A1C1∩AA1=A1,A1C1,AA1 平面ACC1A1,所以B1D1⊥平面ACC1A1,又AO 平面ACC1A1,所以∠B1AO即为直线AB1与平面ACC1A1的夹角,且AO⊥B1D1.在Rt△AOB1中,∠AOB1=,OB1=AB=AB1,
因此sin∠B1AO==,则∠B1AO=,所以直线AB1与平面ACC1A1的夹角为.故选D.
7.C [解析] 由展开图还原成正方体,如图所示.由图可知AG与CD异面,BE与DG异面,故A,D错误.在正方体中,BC∥GH且BC=GH,则四边形BCHG为平行四边形,则CH∥BG,故B错误.∵四边形CDHE为正方形,∴DE⊥CH,∵BC⊥平面CDHE,DE 平面CDHE,∴DE⊥BC,∵CH∩BC=C,∴DE⊥平面BCH,∵BH 平面BCH,∴DE⊥BH,故C正确.故选C.
8.BC [解析] 由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线,故B正确;当这条直线垂直于该平面内的任意两条直线时,这条直线一定垂直于该平面内的两条相交直线,故C正确;易知A,D不正确.故选BC.
9.ABC [解析] 连接AH,BH,CH.由题意知PH⊥平面ABC,且BC 平面ABC,所以PH⊥BC,又因为PA⊥BC,且PA∩PH=P,所以BC⊥平面PAH,又AH 平面PAH,因此BC⊥AH.同理AC⊥BH.所以H是△ABC的垂心,故A正确.由题意知PH⊥平面ABC,且BC 平面ABC,所以PH⊥BC.因为PA⊥PC,PA⊥PB,且PC∩PB=P,所以PA⊥平面PBC,又因为BC 平面PBC,所以PA⊥BC.又PA∩PH=P,所以BC⊥平面PAH,又AH 平面PAH,因此BC⊥AH.同理AC⊥BH.所以H是△ABC的垂心,故B正确.因为PH⊥平面ABC,且AH 平面ABC,BH 平面ABC,CH 平面ABC,所以PH⊥AH,PH⊥BH,PH⊥CH,又因为PA=PB=PC,所以Rt△PAH≌Rt△PBH≌Rt△PCH,因此AH=BH=CH,所以H是△ABC的外心,故C正确.由题意知PH⊥平面ABC,且AC 平面ABC,所以PH⊥AC,又H是AC的中点,所以PA=PC,当BH=AC时,有PA=PB=PC,当BH≠AC时,PA=PC≠PB,故D不正确.故选ABC.
10.垂直 [解析] ∵PA=PC,O是AC的中点,∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD=O,AC 平面ABCD,BD 平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.
11. [解析] 如图所示,连接BD,与AC交于点O,连接D1O,过点D作DE⊥D1O,垂足为E.易知BB1与平面ACD1的夹角等于DD1与平面ACD1的夹角.由题意知AC⊥DB,AC⊥DD1,又DB∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1O,因为DE 平面DD1O,所以AC⊥DE,又DE⊥D1O,AC∩D1O=O,所以DE⊥平面ACD1,所以DD1与平面ACD1的夹角为∠DD1O.设正方体的棱长为1,则在Rt△DD1O中,sin∠DD1O===.
12.①③④ [解析] 如图,连接MN,AC,A1C1,因为M,N分别是棱AB和BC的中点,所以MN∥AC.由AA1∥CC1,且AA1=CC1,得四边形AA1C1C是平行四边形,则AC∥A1C1,所以MN∥A1C1,因此A1,C1,M,N四点共面,①正确.假设B1N与AB四点共面,则B1,N,A,B共面,所以点N在平面ABB1A1内,这与已知条件矛盾,所以假设不成立,②错误.由AD⊥AA1,AD⊥AB,AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,得AD⊥平面ABB1A1,③正确.连接A1B,由∠A1AB=60°,AB=AA1,得△ABA1是等边三角形,则A1M⊥AB,由AD⊥平面ABB1A1,A1M 平面ABB1A1,得A1M⊥AD,又AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,所以A1M⊥平面ABCD,④正确.故填①③④.
13.证明:(1)∵点D,E分别是棱AB,PB的中点,
∴DE∥PA,又∵DE 平面PAC,PA 平面PAC,
∴DE∥平面PAC.
(2)∵PC⊥平面ABC,AB 平面ABC,∴PC⊥AB.
∵AB⊥BC,PC∩BC=C,PC 平面PBC,BC 平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
又∵PB 平面PBC,∴AB⊥PB.
14.解:(1)设正四面体的棱长为a,连接AE,如图所示,因为SE⊥平面ABC,AE 平面ABC,
所以SE⊥AE,且∠SAE即为SA与平面ABC的夹角.因为E为等边三角形ABC的中心,
所以CD=a,AE=CE=CD=a,
所以SE===,
故sin∠SAE==.
(2)证明:因为SE⊥平面ABC,AB 平面ABC,
所以SE⊥AB.
因为△ABC为等边三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB,又SE∩CD=E,SE,CD 平面SDC,
所以AB⊥平面SDC,又SC 平面SDC,故AB⊥SC.
15.AC⊥BD(答案不唯一) [解析] 在平面四边形ABCD中,连接AC,设AC与BD交于点E,假设AC⊥BD,则AE⊥BD,CE⊥BD.在三棱锥A-BCD中,AE与BD,CE与BD依然垂直,又AE∩CE=E,所以BD⊥平面AEC,因为AC 平面AEC,所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.若平面四边形ABCD为菱形或正方形,则它们的对角线互相垂直,也满足题意.
16.证明:如图,连接AB1,AC,因为M是棱CC1的中点,且易知AC⊥CM,
所以AM==
==,
B1M===,
又B1A===,所以B1A2=B1M2+AM2,
所以AM⊥B1M.
同理可得AM⊥D1M.
又B1M∩D1M=M,B1M,D1M 平面B1MD1,
所以AM⊥平面B1MD1.第2课时 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1.设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,若l α,α∥β,则“m⊥l”是“m⊥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,BO的延长线交AC于点D,
则图中与AC垂直的直线有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 ( )
A.平面DD1C1C B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1
4.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列说法:
①若m⊥n,m∥α,α∥β,则n⊥β;
②若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n⊥β;
③若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n;
④若m⊥α,m∥n,α∥β,则n⊥β.
其中说法正确的是 ( )
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD,E为CD的中点,则 ( )
A.A1E⊥DD1 B.A1E⊥DB
C.A1E⊥D1C1 D.A1E⊥DB1
6.[2024·江苏宿迁高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AB1与平面ACC1A1的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
7.如图是一个正方体的表面展开图,则在该正方体中,以下位置关系正确的是 ( )
A.AG∥CD
B.CH⊥BG
C.DE⊥BH
D.BE∥DG
8.(多选题)在下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是 ( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条相交直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
9.(多选题)在三棱锥P-ABC中,从顶点P向底面作垂线,垂足是H,则下列说法中正确的是 ( )
A.若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心
B.若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心
C.若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心
D.若H是AC的中点,则PA=PB=PC
二、填空题
10.平行四边形ABCD的对角线的交点为O,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是 .
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1的夹角的正弦值为 .
12.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1,AD⊥AA1,AD⊥AB,∠A1AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列说法中正确的是 (填序号).
①A1,C1,M,N四点共面;②B1N与AB共面;
③AD⊥平面ABB1A1;④A1M⊥平面ABCD.
三、解答题
13.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,AB⊥BC,D,E分别是AB,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面PAC;
(2)求证:AB⊥PB.
14.[2024·黑龙江哈尔滨高一期中] 如图,在正四面体S-ABC中,D为AB的中点,E在CD上,SE⊥平面ABC.
(1)求SA与平面ABC夹角的正弦值;
(2)求证:AB⊥SC.
15.如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形,连接AC,当平面四边形ABCD满足 时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能情况)
16.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,高为2,点M是棱CC1的中点,求证:AM⊥平面B1MD1.(共27张PPT)
§5 垂直关系
5.1 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的判定
探究点一 线面垂直的判定定理的应用
探究点二 直线与平面垂直的判定与性质
的综合应用
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的判定
定理,并能够证明.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，
那么该直线与此平面垂直
符号语言
图形语言 ________________________________________________
两条相交直线
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线 必
须有公共点.( )
×
[解析] 它们可以有公共点，也可以没有公共点.
（2）如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此
平面垂直.( )
×
[解析] 在线面垂直的判定定理中，要求平面内的两条直线必须相交.
（3）若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则此直线与该三角形
所在的平面垂直.( )
√
[解析] 因为三角形的任意两条边都相交，所以根据直线与平面垂直
的判定定理知，此直线与该三角形所在的平面垂直.
（4）若直线与平面 内的无数条直线垂直，则 .( )
×
[解析] 直线与平面 内的无数条直线垂直，当这无数条直线为一组
平行直线时，不能推出 .
（5）如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条直线
与这个平面垂直．( )
√
[解析] 若一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则必存在两条
相交直线与这条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，正确.
2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则此直线与该平行四
边形所在的平面垂直吗
解：当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时，此直线与该平行
四边形所在的平面垂直；当一条直线垂直于平行四边形的两条对边
时，因为这两条对边平行，所以此直线与该平行四边形所在的平面
不一定垂直.
探究点一 线面垂直的判定定理的应用
例1 如图,在直三棱柱中, ,
,分别是和的中点.求证: 平面
.
证明:在直三棱柱中, 平面,
因为 平面,所以 .
因为, 平面, 平面,
,
所以 平面 .
又,分别是和 的中点,
所以，所以 平面 .
变式 [2024·山东青岛高一期中] 如图，在直三棱
柱中， ， ,
，为棱的中点，求证： 平
面 .
证明:由题意知， 平面，又 平面，
所以 .
因为 ，所以 ，
又， 平面, 平面，
所以 平面，
又 平面，所以 .
因为为棱的中点，,，且四边形 为矩形，
所以在中，,,则 ，
所以 ，即 .
又， 平面, 平面 ，
故 平面 .
［素养小结］
（1）利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定所找的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
（2）证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:
①, ;
② , .
拓展 如图，在三棱台中， 平面 ，
，且，，为棱 的中
点，是棱上一点，且.求证： 平面
.
证明：，且是棱 的中点，
.
平面， 平面， .
又, 平面, 平面 ，
平面 平面， .
平面， 平面，，
又 ， ，
又，，则 .
， ，
.
, 平面 , 平面，
由①②知 平面 .
探究点二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用
例2 如图，在直三棱柱中，，是 的中点，
点在棱上运动，求证： .
证明：因为，是 的中点，
所以 .
因为在直三棱柱中，
平面 ， 平面，
所以 .
又，所以 平面 .
由点在棱上运动，得 平面 ，
所以 .
变式 如图所示，已知,是两条异面直线, , , ,
是直线,的公垂线,交直线于点,交直线于点,求证: .
证明:如图所示,过点作,则,可确定一个平面,记该平面为 .
是异面直线, 的公垂线,
,, .
又, .
, , , ,,, ,
又, , .
直线与平面垂直的判定定理解读
（1）直线与平面垂直的判定定理可简述为“若线线垂直,则线面垂直”.
（2）利用直线与平面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平面
内的两条相交直线垂直,而不是任意的两条直线（一交一内一垂直）.
证明直线与平面垂直的方法:
（1）由线线垂直证明线面垂直:
①定义法（不常用）;②判定定理（最常用）,要着力寻找平面内的两
条相交直线（有时需要作辅助线）,使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）:
, ; , .
例 如图所示,四棱柱 的底面是菱形,
平面,, ,点是侧棱
上的点,.求证: 平面 .
证明:如图所示,连接, .
由 平面,得 .
因为底面是菱形,所以 .
因为 平面, 平面 , ,
所以 平面 .
因为 平面,所以 ,
又,, 平面 ， 平面 ,
所以 平面 .第2课时 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的判定定理,并能够证明.
2.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 直线与平面垂直的判定定理
文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
符号 语言 a α,b α,l⊥a,l⊥b, =A l⊥α
图形 语言
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点. ( )
(2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直. ( )
(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在的平面垂直. ( )
(4)若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α. ( )
(5)如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则此直线与该平行四边形所在的平面垂直吗
◆ 探究点一 线面垂直的判定定理的应用
例1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D,E分别是A1B和A1C的中点.求证:DE⊥平面A1ABB1.
变式 [2024·山东青岛高一期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠BAC=90°,AB=a,AA1=2a,D为棱B1B的中点,求证:A1D⊥平面ADC.
[素养小结]
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定所找的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
(2)证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
拓展 如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面ABC,AB⊥BC,且BA=BC,AC=2DF,M为棱AC的中点,P是棱CF上一点,且=.求证:CD⊥平面PBM.
◆ 探究点二 直线与平面垂直的判定与性质的综合应用
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动,求证:AD⊥C1E.
变式 如图所示,已知a,b是两条异面直线,a⊥α,b⊥β,α∩β=l,AB是直线a,b的公垂线,交直线a于点A,交直线b于点B,求证:AB∥l.
