5.2 平面与平面垂直
【课前预习】
知识点一
1.半平面 2.两个半平面 棱 面 α-AB-β α-l-β
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,两个平面相交能形成四个二面角.
知识点二
1.垂直于 平面角 直角 2.直二面角
诊断分析
解:这两条垂线的夹角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平面角的大小相等或互补.
知识点三
交线 垂直 a α a⊥l 线面
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)满足条件的两条直线不一定垂直,如图①,平面α⊥平面β,a α,b β,但a,b不垂直.
(2)如图②,平面β内存在无数条垂直于这两个平面交线的直线,这些直线都与直线b垂直.
(3)因为直线b不一定在平面α内,所以直线b不一定垂直于平面β.
知识点四
垂线
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:根据平面与平面垂直的定义与判定定理,易知过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直;过平面α的一条斜线可作一个平面与平面α垂直;过平面α的一条平行线可作一个平面与平面α垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)如图,连接AC,与BD交于点O,连接A1O.∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1O,又A1O 平面AA1O,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则AA1=a,AO=a.在Rt△A1OA中,
tan∠A1OA==,即二面角A1-BD-A的正切值为,故选C.
(2)设过PE,PF的平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O,连接OE,OF.当点P在二面角α-l-β内时,如图①,因为PE⊥α,PF⊥β,所以PE⊥l,PF⊥l,又PE∩PF=P,所以l⊥γ,所以l⊥OE,l⊥OF,则∠EOF为二面角α-l-β的平面角,且它与∠EPF互补.同理,当点P在二面角α-l-β外时,如图②,此时∠EOF为二面角α-l-β的平面角,且它与∠EPF相等.因为∠EPF=60°,所以二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°,故选C.
变式 解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,CB 平面ABCD,所以PD⊥CB.由已知得AB⊥AD,则BD=,又易知BC==,且CD=2,
所以BD2+BC2=CD2,即CB⊥BD.
又PD∩BD=D,PD 平面PBD,BD 平面PBD,
所以CB⊥平面PBD.
(2)因为CB⊥平面PBD,PB 平面PBD,所以CB⊥PB,
又PD⊥平面ABCD,所以∠PBD为二面角P-BC-D的平面角.
因为PD⊥平面ABCD,所以∠PCD为PC与底面ABCD的夹角,由tan θ=tan∠PCD==,得PD=.
因为PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PD⊥BD,在Rt△PDB中,tan∠PBD===,则∠PBD=60°,所以二面角P-BC-D的大小为60°.
探究点二
例2 证明:取A1C的中点E,连接AE.因为AA1=AC,所以AE⊥A1C.又平面A1BC⊥平面A1ACC1,平面A1BC∩平面A1ACC1=A1C,AE 平面A1ACC1,所以AE⊥平面A1BC.
因为BC 平面A1BC,所以AE⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA1⊥BC.因为AA1∩AE=A,AA1 平面A1ACC1,AE 平面A1ACC1,所以BC⊥平面A1ACC1.
变式 证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,
∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB.
∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',又BC' 平面BEC',∴AE⊥BC'.
探究点三
例3 证明:因为△ABC为等边三角形,O为△ABC外接圆圆心,所以O是△ABC的中心,且AO⊥BC.
易知PO⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PO⊥BC,
又PO∩AO=O,PO 平面POA,AO 平面POA,
所以BC⊥平面POA,又BC 平面PBC,
所以平面POA⊥平面PBC.
变式 证明:(1)如图所示,取EC的中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,
∴DB⊥平面ABC.
∵AB 平面ABC,BC 平面ABC,
∴DB⊥AB,EC⊥BC.
∵BD∥CE,BD=CE=FC,∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.又AB=BC=DF,BD=FE,
∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=AD.
(2)如图所示,取AC的中点N,连接MN,NB,
∵M 是EA 的中点,∴MN∥EC,且MN=EC.
由BD∥EC,BD=EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN.
∵DE=AD,M是EA的中点,∴DM⊥EA.
又EA∩MN=M,EA 平面ECA,MN 平面ECA,∴DM⊥平面ECA,
又DM 平面BDM,∴平面ECA⊥平面BDM.
拓展 证明:设AB的中点为M,连接DM,
由题可知BM∥CD且BM=CD=BC,∠ABC=90°,所以四边形BCDM是正方形,所以DM=AM=MB=1.在△ADB中,DM=AB,所以∠ADB=90°,所以DB⊥AD.
因为平面APD⊥平面ABCD,平面APD∩平面ABCD=AD,DB 平面ABCD,
所以BD⊥平面APD,又PA 平面APD,所以BD⊥PA.
因为PA⊥PD,PD∩BD=D,PD 平面PBD,BD 平面PBD,所以PA⊥平面PBD.
又PA 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBD.
探究点四
例4 证明:在矩形ABCD中,AD⊥CD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD 平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,
又AF 平面PAD,所以CD⊥AF.
因为PA=AD,F是PD的中点,所以AF⊥PD.
又PD 平面PCD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,
所以AF⊥平面PCD.
变式 证明:(1)在菱形ABCD中,连接BD,
∵∠DAB=60°,∴△ABD为正三角形,
∵G是AD的中点,∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,∴BG⊥平面PAD.
(2)连接PG,∵△PAD是正三角形,G是AD的中点,
∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD.
又∵PG∩BG=G,∴AD⊥平面PBG.
∵PB 平面PBG,∴AD⊥PB.
拓展 证明:(1)在矩形ABCD中,AB=2AD,M为CD的中点,∴在四棱锥D-ABCM中,AD=DM,
又O是AM的中点,∴DO⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,DO 平面ADM,∴DO⊥平面ABCM,
又DO 平面BDO,∴平面BDO⊥平面ABCM.
(2)在矩形ABCD中,AB=2AD,M为CD的中点,
∴在四棱锥D-ABCM中,AM=BM=AD=AB,则AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.
由(1)知,DO⊥平面ABCM,
又BM 平面ABCM,∴DO⊥BM.
∵DO∩AM=O,DO 平面ADM,AM 平面ADM,
∴BM⊥平面ADM.
又AD 平面ADM,∴AD⊥BM.5.2 平面与平面垂直
1.C [解析] 因为α∩β=l,所以l α,l β.若l⊥γ,则α⊥γ,β⊥γ,故充分性成立;若α⊥γ,β⊥γ,设α∩γ=m,β∩γ=n,则存在直线a γ,使得a⊥m,所以a⊥α,由于l α,故a⊥l,同理存在直线b γ,使得b⊥n,所以b⊥β,由于l β,故b⊥l,由于α与β相交,所以a,b不平行,所以a,b是平面γ内两条相交直线,所以l⊥γ,故必要性成立.所以“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的充要条件.故选C.
2.D [解析] 由正方体的结构特征可知,平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1,又平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=A1B1,且EF 平面AA1B1B,EF⊥A1B1,所以EF⊥平面A1B1C1D1.故选D.
3.A [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB1 平面AA1B1B,但AB1与平面ABCD不垂直,故A中说法错误.故选A.
4.C [解析] 由题意知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1.又∵DC1 平面ACC1A1,∴BC⊥DC1.由题意知∠A1DC1=∠ADC=45°,∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又∵DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC.∵DC1 平面BDC1,∴平面BDC⊥平面BDC1,∴二面角C1-BD-C的大小为90°.
5.B [解析] 如图所示,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF.由题意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,可得AC=a,∴△ACD为正三角形.∵E是CD的中点,∴AE⊥CD,即∠AED=90°.故选B.
6.D [解析] 连接B1D1,交A1C1于点E,连接BD,BE,则点O在BD上,易知四边形D1OBE为平行四边形,所以D1O∥BE.因为D1O 平面A1BC1,BE 平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故A中说法正确;连接B1D,因为O为BD的中点,M为棱BB1的中点,所以MO∥B1D,易证B1D⊥平面A1BC1,所以MO⊥平面A1BC1,故B中说法正确;因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B即为异面直线BC1与AC的夹角或其补角,因为△A1C1B为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,故C中说法正确;因为BO⊥AC,且易知MO⊥AC,平面MAC∩平面ABC=AC,所以∠MOB即为二面角M-AC-B的平面角,显然MO不垂直于BO,所以∠MOB≠90°,即平面MAC与平面ABC不垂直,故D中说法错误.故选D.
7.B [解析] 因为AB∥C1D1,所以A,B,C1,D1四点共面,连接AD1,如图,因为AO∩平面ABC1D1=A,BC1 平面ABC1D1,且A BC1,所以AO,BC1异面,故A错误;连接A1C1,则点O在A1C1上,连接AC,因为AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC,又AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,又AO 平面ACC1A1,所以BD⊥AO,故B正确;因为AB∥CD,AB 平面COD,CD 平面COD,所以AB∥平面COD,又AB 平面AOB,平面AOB∩平面COD=l,所以AB∥l,所以CD∥l,记AB,CD的中点分别为E,F,连接OE,OF,由正方体的性质可知,OA=OB,所以OE⊥AB,所以OE⊥l,同理得OF⊥l,所以∠EOF是面AOB与面COD所成二面角的平面角,连接EF,易知OE=OF>EF,所以△EOF为等腰锐角三角形,所以∠EOF为锐角,即平面AOB与平面COD不垂直,故C错误;因为AB∥l,AB∩平面BC1D=B,所以l与平面BC1D相交,故D错误.故选B.
8.BC [解析] 对于A,如图①所示,当a α,b α,α∩β=l时,存在a,b使a∥l,b∥l,即a∥β,b∥β,A错误;对于B,由于a∥α,所以存在过直线a的平面与平面α相交,令交线为c,则a∥c,而a∥b,b α,所以b∥c,又c α,因此b∥α,B正确;对于C,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a,不妨设α∩γ=m,β∩γ=n,假设a与γ不垂直,过直线a上一点A作AB⊥n于点B,作AC⊥m于点C,由α⊥γ,β⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=n知,AB⊥γ,AC⊥γ,这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾,即假设不成立,因此a⊥γ,C正确;对于D,如图②所示,当α∩β=a,b β,α,β不垂直时,存在b使a⊥b,D错误.故选BC.
9.ABD [解析] ∵∠VAB=∠VAC=90°,∴VA⊥AB,VA⊥AC,又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,∵VA 平面VAC,∴平面VAC⊥平面ABC,故A正确;由VA⊥平面ABC,VA 平面VAB,得平面VAB⊥平面ABC,故B正确;由VA⊥平面ABC,BC 平面ABC,得VA⊥BC,又∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∵VA∩AB=A,∴BC⊥平面VAB,又BC 平面VBC,∴平面VAB⊥平面VBC,故D正确;易知C不正确.故选ABD.
10.60° [解析] 如图,过点B作BM⊥l于M,连接AM,则易得l⊥平面ABM,从而AM⊥l,所以
∠AMB即为二面角α-l-β的平面角.在Rt△AMB中,AB=,AM=2,所以sin∠AMB==,所以∠AMB=60°,即二面角α-l-β的平面角的大小为60°.
11.DM⊥PC(答案不唯一) [解析] 连接AC,∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴PA⊥BD.∵底面各边长都相等,∴AC⊥BD,又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,又PC 平面PAC,∴BD⊥PC.又BD∩DM=D,∴当DM⊥PC时,可得PC⊥平面MBD,又PC 平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
12. [解析] 如图,连接AC,交BD于点F,连接EF.∵AB=BC,∴底面ABCD是正方形,则AC⊥BD,即CF⊥BD.∵CE⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴CE⊥BD,又CE∩CF=C,∴BD⊥平面CFE,∴∠CFE为二面角E-BD-C的平面角.不妨设AB=BC=1,则AA1=,CE=,CF=AC=,∴在Rt△CFE中,tan∠CFE===1,∴∠CFE=.
13.证明:如图,连接BD,设BD交AC于点G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.
由∠ABC=120°,可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.
在Rt△FDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.
从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,所以EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC,
所以平面AEC⊥平面AFC.
14.证明:如图所示,
取AC的中点D,连接SD,BD.
因为SA=SC,D为AC中点,
所以SD⊥AC.
又平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,SD 平面SAC,所以SD⊥平面ABC,
又BD 平面ABC,所以SD⊥BD.
因为SB=2,BD=4×=2,所以SD==2,SC=SA==2,
由于=,所以SE=,EB=,
因为SC2-SE2=BC2-EB2=,所以CE⊥SB.
因为SD⊥AC,BD⊥AC,SD∩BD=D,
所以AC⊥平面SBD,又SB 平面SBD,所以AC⊥SB.因为AC∩CE=C,所以SB⊥平面ACE.
15.60° [解析] 如图,在平面ABC内过点C作CD⊥AB,交AB于点D,连接C'D,由题知C'D⊥AB,且易知∠CC'D=30°.要使所遮阴影面ABC'的面积最大,则∠C'DC为锐角,且∠C'DC就是遮阳篷ABC与所遮阴影面ABC'所成二面角的平面角.因为C'D⊥AB,所以当所遮阴影面ABC'面积最大时,线段C'D的长最大,设∠DCC'=θ,θ∈(60°,150°),因为∠CC'D=30°,且易知CD=4,所以由正弦定理得=,得C'D=8sin θ≤8,当且仅当θ=90°时取等号,此时所遮阴影面ABC'的面积最大,且∠C'DC=180°-90°-30°=60°.
16.解:(1)证明:在五面体ABCDEF中,因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD,又CD 平面ABFE,AB 平面ABFE,所以CD∥平面ABFE.
(2)证明:因为AE=DE=,AD=2,
所以AE2+DE2=AD2,所以∠AED=90°,即AE⊥DE.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,AB 平面ABCD,所以AB⊥平面ADE,
又DE 平面ADE,所以AB⊥DE.
因为AB∩AE=A,AB,AE 平面ABFE,
所以DE⊥平面ABFE.
又DE 平面CDEF,所以平面ABFE⊥平面CDEF.
(3)在线段CD上存在点N,使得FN⊥平面ABFE.
证明如下:如图,取CD的中点N,连接FN.
由(1)知,CD∥平面ABFE,
又CD 平面CDEF,平面ABFE∩平面CDEF=EF,
所以CD∥EF.又EF=1,ND=CD=1,所以EF=DN,
所以四边形EDNF是平行四边形,所以FN∥DE.
由(2)知,DE⊥平面ABFE,
所以FN⊥平面ABFE.5.2 平面与平面垂直
【学习目标】
1.了解二面角及其平面角的概念,并掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面角.
2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理.
3.能够运用平面与平面垂直的判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 二面角的概念
1.半平面
一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为 .
2.二面角
定义 从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的 ,这两个半平面称为二面角的
图形
表示法 二面角 或
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二面角是从一条直线出发的两个半平面的夹角. ( )
(2)二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角. ( )
(3)二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. ( )
2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗
知识点二 二面角的平面角
1.二面角的平面角
定义 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 棱的两条射线,这两条射线的夹角称为二面角的
(续表)
图形
符号 ∠AOB是二面角α-l-β的平面角
注:平面角是 的二面角称为直二面角.
2.两个平面互相垂直
定义 两个平面相交,如果所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图
记作 α⊥β
【诊断分析】 在两个半平面内分别向棱作垂线,两条垂线的夹角是否为二面角的平面角 它与二面角的平面角的大小有什么关系
◆ 知识点三 平面与平面垂直的性质定理
文字 语言 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的 ,那么这条直线与另一个平面
符号 语言 α⊥β,α∩β=l, , a⊥β
图形 语言
作用 ①面面垂直 垂直; ②作平面的垂线
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个平面垂直,则分别在两个平面内的任意两条直线互相垂直. ( )
(2)若平面α⊥平面β,且直线b α,则直线b垂直于平面β内的无数条直线. ( )
(3)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,则b⊥β.( )
◆ 知识点四 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 作用
如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 α⊥β 证面面 垂直
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β. ( )
(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,则α⊥β. ( )
(3)如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β. ( )
2.过平面α的一条垂线可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条斜线,可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条平行线可作多少个平面与α垂直
◆ 探究点一 求二面角的大小
例1 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过A1,B,D三点作一个平面,则二面角A1-BD-A的正切值为 ( )
A. B. C. D.
(2)从空间一点P分别向二面角α-l-β的两个半平面α,β所在平面作垂线PE,PF,E,F分别为垂足,若∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 ( )
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
变式 如图,已知PD⊥平面ABCD,CD=2AB=2AD=2,AB∥CD,AD⊥CD,PC与底面ABCD的夹角为θ,且tan θ=.
(1)求证:CB⊥平面PBD;
(2)求二面角P-BC-D的大小.
[素养小结]
求二面角大小的一般步骤:
简称为“一作二证三求”.
◆ 探究点二 面面垂直的性质定理的应用
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ACC1,且AA1=AC=4.求证:BC⊥平面A1ACC1.
变式 如图所示,四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,以BE为折痕将△BEC折起,使C到达C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到几何体C'-ABED.求证:AE⊥BC'.
[素养小结]
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两平面的交线.
◆ 探究点三 面面垂直判定定理的应用
例3 [2024·广西柳州高一期中] 如图,P为圆锥顶点,O为圆锥的底面圆心,A,B,C均在圆锥的底面圆周上,且△ABC为等边三角形.求证:平面POA⊥平面PBC.
变式 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M 是EA 的中点.求证:
(1)DE=AD;
(2)平面ECA⊥平面BDM.
[素养小结]
判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).
拓展 [2024·江西赣州高一期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,∠ABC=∠APD=90°,PA=PD,平面APD⊥平面ABCD.证明:平面PAB⊥平面PBD.
◆ 探究点四 线线、线面、面面垂直的综合应用
例4 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点F是棱PD的中点.若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
变式 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,G为AD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB.
[素养小结]
在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂直用性质定理解题时,一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线,如果这样的直线在图中不存在,也需通过作辅助线来解决.
拓展 [2023·安徽合肥高一期中] 如图①,在矩形ABCD中,AB=2AD,M为CD的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,连接BD,CD,得到四棱锥D-ABCM,如图②,点O是AM的中点.在图②中求证:
(1)平面BDO⊥平面ABCM;
(2)AD⊥BM.5.2 平面与平面垂直
一、选择题
1.已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是 ( )
A.平行
B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.垂直
3.下列说法中错误的是 ( )
A.若平面α⊥平面β,则α内的所有直线都垂直于β
B.若平面α⊥平面β,则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C.若平面α⊥平面β,则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于平面α内的任意一条直线
D.若平面α⊥平面β,则经过α内一点与β垂直的直线在α内
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,则二面角C1-BD-C的大小为 ( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
5.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED= ( )
A.45° B.90°
C.60° D.30°
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知点O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,
则下列说法错误的是 ( )
A.D1O∥平面A1BC1
B.MO⊥平面A1BC1
C.异面直线BC1与AC的夹角等于60°
D.平面MAC⊥平面ABC
7.[2024·山东威海高一期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形A1B1C1D1的中心,设平面AOB∩平面COD=l,
则下列结论正确的是 ( )
A.AO∥BC1
B.AO⊥BD
C.平面AOB⊥平面COD
D.l∥平面BC1D
8.(多选题)已知a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若a α,b α,a∥β,b∥β,则α∥β
B.若a∥b,a∥α,b α,则b∥α
C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=a,则a⊥γ
D.若α∩β=a,a⊥b,b β,则α⊥β
9.(多选题)如图所示,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,则下列结论中正确的是 ( )
A.平面VAC⊥平面ABC
B.平面VAB⊥平面ABC
C.平面VAC⊥平面VBC
D.平面VAB⊥平面VBC
二、填空题
10.已知A是锐二面角α-l-β的面α内的一点,AB⊥β于点B,AB=,A到l的距离为2,则二面角α-l-β的平面角的大小为 .
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边长都相等,M是PC上的一个动点,则当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=BC=AA1,E为CC1的中点,则二面角E-BD-C的平面角的大小为 .
三、解答题
13.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.证明:平面AEC⊥平面AFC.
14.如图,在三棱锥S-ABC中,底面ABC是边长为4的正三角形,侧面SAC⊥底面ABC,SA=SC,SB=2,点E在棱SB上,且=.证明:SB⊥平面ACE.
15.[2024·上海静安区高一期中] 某人去公园郊游,在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形,斜边AB朝南北方向固定在地上,正西方向射出的太阳光线与地面的夹角为30°,则当遮阳篷ABC与所遮阴影面ABC'所成二面角的平面角的大小为 时,所遮阴影面ABC'的面积达到最大.
16.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ADE⊥平面ABCD,EF=1,AE=DE=.
(1)求证:CD∥平面ABFE.
(2)求证:平面ABFE⊥平面CDEF.
(3)在线段CD上是否存在点N,使得FN⊥平面ABFE 说明理由.(共58张PPT)
§5 垂直关系
5.2 平面与平面垂直
探究点一 求二面角的大小
探究点二 面面垂直的性质定理的应用
探究点三 面面垂直判定定理的应用
探究点四 线线、线面、面面垂直的综合
应用
【学习目标】
1.了解二面角及其平面角的概念,并掌握二面角的平面角的一般
作法,会求简单的二面角的平面角.
2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质
定理和平面与平面垂直的判定定理.
3.能够运用平面与平面垂直的判定定理和性质定理证明一些空间
位置关系的简单命题.
知识点一 二面角的概念
1.半平面
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分
都称为________.
半平面
2.二面角
定义 从一条直线出发的____________所组成的图形称为二
面角，这条直线称为二面角的____，这两个半平面称
为二面角的____
图形 ___________________________________________________
表示法 二面角___________或_________
两个半平面
棱
面
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二面角是从一条直线出发的两个半平面的夹角.( )
×
（2）二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角.( )
×
（3）二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.( )
√
2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗？
解：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，
两个平面相交能形成四个二面角.
知识点二 二面角的平面角
1.二面角的平面角
定 义 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作
________棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的_____
___
图 形 __________________________________
垂直于
平面角
符 号
注：平面角是______的二面角称为直二面角.
直角
续表
2.两个平面互相垂直
定义 两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这
两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与
水平平面的横边垂直.如图
_________________________________________________________________________
记作
直二面角
【诊断分析】
在两个半平面内分别向棱作垂线,两条垂线的夹角是否为二面角的平
面角 它与二面角的平面角的大小有什么关系
解：这两条垂线的夹角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平面
角的大小相等或互补.
知识点三 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两
个平面的______,那么这条直线与另一个平面______
符号语言
图形语言 ___________________________________
作用
交线
垂直
线面
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两个平面垂直，则分别在两个平面内的任意两条直线互相垂
直.( )
×
[解析] 满足条件的两条直线不一定垂直,
如图①,平面 平面 , , ,但, 不垂直.
（2）若平面 平面 ,且直线 ,则直线垂直于平面 内的
无数条直线.( )
√
[解析] 如图②,平面 内存在无数条垂直于这两个平面
交线的直线,这些直线都与直线 垂直.
（3）若平面 平面 ，，，则 .( )
×
[解析] 因为直线不一定在平面 内,所以直线不一定垂直于平面 .
知识点四 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 作用
如果一个平面过另一个 平面的______，那么这 两个平面垂直 _____________________________________________ 证面面
垂直
垂线
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线，则
.( )
×
（2）如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线，则
.( )
×
（3）如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线，
则 .( )
√
2.过平面 的一条垂线可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的
一条斜线，可作多少个平面与平面 垂直？过平面 的一条平行线
可作多少个平面与 垂直？
解：根据平面与平面垂直的定义与判定定理,易知过平面 的一条垂
线可作无数个平面与平面 垂直;过平面 的一条斜线可作一个平面
与平面 垂直;过平面 的一条平行线可作一个平面与平面 垂直.
探究点一 求二面角的大小
例1（1） 在正方体中，过，， 三点作一个
平面，则二面角 的正切值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接，与交于点 ，连接
，， ，
平面，
又 平面 ，，
为二面角 的平面角.
设正方体的棱长为 ,则 ,.
在 中，，
即二面角的正切值为 ，故选C.
（2）从空间一点分别向二面角 的两个半平面 ， 所
在平面作垂线，，，分别为垂足，若 ，则二面
角 的平面角的大小是( )
A. B. C. 或 D.不确定
√
[解析] 设过，的平面 与二面角 的棱交于点 ，
连接，.
当点在二面角 内时，如图①，
因为 ， ，所以，，
又，所以 ，所以，，
则为二面角 的平面角，且它与互补.
同理，当点在二面角 外时，如图②，
此时为二面角 的平面角，且它与 相等.
因为 ，
所以二面角 的平面角的大小为 或 ，故选C.
变式 如图，已知 平面 ,
,,, 与底
面的夹角为 ，且 .
（1）求证： 平面 ；
证明：因为 平面， 平面，
所以.
由已知得 ,则,
又易知 ,且 ，
所以，即 .
又, 平面, 平面 ，
所以 平面 .
（2）求二面角 的大小.
解：因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又 平面，
所以为二面角 的平面角.
因为 平面,所以为与底面 的夹角，
由，得 .
因为 平面， 平面 ，所以，
在中， ，
则 ，所以二面角的大小为 .
［素养小结］
求二面角大小的一般步骤：
简称为“一作二证三求”.
探究点二 面面垂直的性质定理的应用
例2 如图，在直三棱柱 中，平面
侧面,且.求证：
平面 .
证明：取的中点，连接.
因为 ，所以.
又平面 平面 ，平面 平
面， 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面，所以 .
在直三棱柱中， 平面 ， 平面，
所以.
因为， 平面， 平面，
所以 平面 .
变式 如图所示，四边形是矩形，，为 的中点，
以为折痕将折起，使到达的位置，且平面 平面
，得到几何体.求证: .
证明: 四边形是矩形， ，
为的中点，
， 都是等腰直角三角形，
， ，即 .
平面平面,平面 平面,平面，
平面，
又 平面， .
［素养小结］
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时,要注意以下三点:①两
个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两平面
的交线.
探究点三 面面垂直判定定理的应用
例3 [2024·广西柳州高一期中] 如图， 为圆锥顶
点，为圆锥的底面圆心，，， 均在圆锥的底
面圆周上，且 为等边三角形.求证：平面
平面 .
证明：因为为等边三角形，为 外接圆圆心，
所以是的中心，且 .
易知 平面， 平面 ，
所以 ，
又, 平面, 平面 ，
所以 平面，
又 平面 ，所以平面 平面 .
变式 如图，为正三角形， 平面 ，
，，是 的中点.求证：
（1） ；
证明：如图所示，取的中点，连接 .
平面， ，
平面 .
平面， 平面 ，
， .
，， 四边形是矩形， .
又， ，
， .
（2）平面 平面 .
解：如图所示，取的中点，连接， ，
是的中点，，且 .
由，，且 平面 ，
可得四边形是矩形，于是 .
，是的中点， .
又， 平面, 平面 ,
平面 ，
又 平面， 平面 平面 .
［素养小结］
判定面面垂直的方法:
（1）面面垂直的定义;
（2）面面垂直的判定定理 .
拓展 [2024·江西赣州高一期中] 如图，在
四棱锥中，, ,
, ,
，平面 平面 .
证明：平面 平面 .
证明:设的中点为，连接 ，
由题可知且 ,，
所以四边形 是正方形，
所以.
在 中，，所以 ，所以 .
因为平面平面,平面平面, 平面 ，
所以 平面，
又 平面，所以 .
因为,, 平面,
平面，
所以 平面 .
又 平面，
所以平面 平面 .
探究点四 线线、线面、面面垂直的综合应用
例4 如图,在四棱锥中,底面 是矩形,
点是棱的中点.若,且平面 平面
,求证: 平面 .
证明:在矩形中, .
因为平面 平面,平面 平面
, 平面,
所以 平面 ,
又 平面,所以 .
因为，是的中点,所以 .
又 平面, 平面, ,
所以 平面 .
变式 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为 的菱
形，且 ，侧面为正三角形，平面 平面
，为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
证明:在菱形中，连接 ，
， 为正三角形，
是的中点， .
平面 平面，且平面 平
面， 平面，
平面 .
（2）求证： .
解：连接，
是正三角形，是 的中点，
.
由（1）知 .
又， 平面 .
平面， .
［素养小结］
在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线,
若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂
直用性质定理解题时,一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线,
如果这样的直线在图中不存在,也需通过作辅助线来解决.
拓展 [2023·安徽合肥高一期中] 如图①，在矩形 中，
，为的中点.将沿折起，使得平面
平面，连接,,得到四棱锥，如图②，点 是
的中点.在图②中求证：
（1）平面 平面 ；
证明：在矩形中，，为的中点，
在四棱锥中， ，
又是的中点， .
平面 平面，平面 平面，
平面， 平面 ，
又 平面， 平面 平面 .
（2） .
解：在矩形中，，为 的中点，
在四棱锥中， ，
则， .
由（1）知， 平面 ，
又 平面， .
， 平面， 平面 ，
平面 .
又 平面， .
1.二面角的理解
（1）二面角的大小与半平面的位置无关,一个二面角的平面角有无数
个,它们的大小是相等的.
（2）二面角的平面角必须具备三个条件:①二面角的平面角的顶点
在二面角的棱上;②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半
平面内;③二面角的平面角的两条边都与二面角的棱垂直.
（3）二面角的平面角 的取值范围为 .当两个半平面
重合时, ;当两个半平面合成一个平面时, .
2.平面与平面垂直的性质定理解读
（1）平面与平面垂直的性质定理包含三个条件:①两个平面垂直;②
有一条直线在一个平面内;③这条直线垂直于两个平面的交线.
（2）两个平面垂直,分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交
（含垂直相交）或异面.
3.平面与平面垂直的判定定理解读
（1）平面与平面垂直的判定定理可简述为“若线面垂直,则面面垂直”.
因此要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,并证明直线与
平面垂直.
（2）两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,
也是找出与一个平面垂直的平面的依据.
二面角的平面角的作法:
（1）定义法:在二面角的棱上找一个点,在两个半平
面内分别作过该点且垂直于二面角的棱的射线.如图
①所示,则为二面角 的平面角.
（2）垂线法:过二面角的一个半平面内的一点作另一
个半平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线,连接该点与二面角的棱上
的垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图②所示,
为二面角 的平面角.
（3）垂面法:过二面角的棱上一点作二面角的棱
的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生
交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
如图③所示,为二面角 的平面角.
例 [2024·广东佛山高一期中] 如图，在四面体
中，平面，M是 的中点，若
为正三角形，且 ，求二面角
的余弦值.
解：如图，取线段的中点，连接, ，
因为 为等边三角形，
所以.设 的边长为4，
则，
因为 平面，且, , 平面 ，
所以,,，
则 ，
所以，所以即为二面角 的平面角.
因为是的中点，所以，
又 ，
所以 ，
则，
即二面角 的余弦值为 .
