§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
【课前预习】
知识点一
1.一条侧棱 母线 2.2πrl πrl π(r1+r2)l
诊断分析
(1)× (2)× (3)× [解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积.
(2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
(3)圆柱、圆台的表面积为侧面展开图的面积加上上底面与下底面的面积,圆锥的表面积为侧面展开图的面积加上底面圆的面积.
知识点二
ch ch' (c1+c2)h'
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
(3)设原来正方体的棱长为x cm,则6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以扩大后的正方体的棱长为2 cm.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)A [解析] (1)设圆锥底面半径为r,则圆锥的高h=2r,∴其母线长l=r,∴S侧=πrl=πr2,又S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶.
(2)设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7.
变式 C [解析] 设圆柱底面的半径为r,则圆柱的高h=2r,故圆柱的侧面积为2πr·h=4πr2,表面积为4πr2+2πr2=6πr2,所以该圆柱的侧面积与表面积的比值为=,故选C.
探究点二
例2 解:如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=5,取A1C=15,B1D=9,连接AC,BD,设AC=a,BD=b,AC和BD交于点O.
∵A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56,
即AC=10,BD=2.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=+===64,∴AB=8,∴直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.
又直四棱柱的底面积S底=AC·BD=20,
∴直四棱柱的表面积S表=160+2×20=160+40.
变式 2∶1 [解析] 设该正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a,则h'=h,a=2=h.可得该正四棱锥的侧面积S1=×4a×h'=h2,底面积S2=a2=h2,所以该正四棱锥的侧面积与底面积之比为2∶1.
拓展 108+180 [解析] 方法一:如图,设E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是四棱台下、上底面的中心,连接O1O,O1E1,E1E,OE,则O1O为正四棱台的高,即O1O=12,OE=AB=6,O1E1=A1B1=3.过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-O1E1=6-3=3.在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以E1E=3,所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180.
方法二:如图,将正四棱台的侧棱延长,设交于一点P.取B1C1,BC的中点分别为E1,E,连接EE1并延长,则点P在EE1的延长线上.设O1,O分别是四棱台上、下底面的中心.连接OE,O1E1,连接OO1并延长,则点P在OO1的延长线上.因为O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,所以===,则=,所以PO1=O1O=12.在Rt△PO1E1中,P=P+O1=122+32=153,即PE1=3,在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=612,即PE=6,所以E1E=PE-PE1=6-3=3.故S侧=4××(BC+B1C1)×E1E=2×(12+6)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180.
探究点三
例3 解:所得旋转体如图所示,它由两个同底的圆锥组成,
设底面圆的圆心为O,连接OC.
当∠BAC=30°时,∵AB=2,∴CB=1,CA=,∴CO=,旋转体的表面积S1=π×CO×(AC+BC)=π××(1+)=(3+);
当∠BAC=45°时,∵AB=2,∴AC=BC=,∴CO=1,旋转体的表面积S2=π×CO×(AC+BC)=π×1×(+)=2π.故S2>S1.
变式 解:由题意,知原圆柱的表面积S1=2π·2a·a+2π·(2a)2=4(+2)πa2,挖去一个小圆柱后所得几何体的表面积S2=S1-2πa2+2πa·a=6(+1)πa2,所以==.§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.D [解析] 设底面半径为r,母线长为l,则2πr=πl,解得l=2r,又圆锥侧面积S=πrl=2πr2=2π,得r=1,故选D.
2.A [解析] 设圆柱的底面半径为r,母线长为l.因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形,所以2πr=l=4π,解得r=2,l=4π,所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=8π+16π2.故选A.
3.B [解析] 方法一:由题知原大圆锥的底面半径是截去的小圆锥底面半径的2倍,则原大圆锥的高是截去的小圆锥的高的2倍,即为2,故圆台的母线长为2-=,故圆台的侧面积S=π××(2+1)=3π.故选B.
方法二:由于原大圆锥和截去的小圆锥的底面周长之比为2∶1,故原大圆锥与截去的小圆锥的侧面积之比为4∶1,则圆台侧面积为截去的小圆锥侧面积的3倍,即3×π×1×=3π.故选B.
4.D [解析] 作出正四棱锥P-ABCD,连接AC,BD,交于点O,连接PO,如图,则PO是正四棱锥P-ABCD的高,设底面边长为a,则正四棱锥P-ABCD的底面积S1=a2.因为正四棱锥的侧棱与底面的夹角为45°,所以∠PAO=45°,又AO=a,所以PA=×a=a,所以△PAB是正三角形,则△PAB的面积S2=a2,所以==,故选D.
5.A [解析] 由题意知圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面圆的面积为64π平方米,设底面圆的半径为r米,则64π=πr2,∴r=8,则圆锥的母线长为=2(米),故该蒙古包(含底面)的表面积为π×8×2+2π×8×3+π×82=112π+16π(平方米),故选A.
6.A [解析] 设正三棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,则其底面积S1=a2,侧面积S2=3×a×,因为表面积是底面积的5倍,所以侧面积是底面积的4倍,即4S1=S2,化简可得=a,即=,所以==.故选A.
7.A [解析] 在平面直角坐标系xOy中,画出梯形OABC,如图所示.在直观图中,O'A'=2C'B'=4,O'C'=A'B',得O'C'==,则在原图中,OA=2CB=4,OC=2,四边形OABC是直角梯形,则梯形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个圆台,该圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,高为2,故该圆台的母线长为=2,侧面积为(2+4)×2π=12π.故选A.
8.D [解析] 设圆锥的底面半径为R,顶点为A,圆柱的底面半径为r,表面积为S,上底面圆心为E,下底面圆心为O,EB为圆柱的上底面半径,OC为圆锥的底面半径,且EB∥OC,如图,则R=OC=2,AC=4,AO==2.易知△AEB∽△AOC,∴=,即=,∴r=1,圆柱的底面积S底=πr2=π,圆柱的侧面积S侧=2πr·=2π,∴圆柱的表面积S=2S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.
9.BD [解析] 设圆锥的母线长为l,则以S为圆心,SA为半径的圆的面积为πl2,圆锥的侧面积为πrl=3πl,因为圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了3周,所以圆锥的侧面展开图是圆心角为°=120°的扇形,故C错误;由πl2=3×3πl,解得l=9,所以圆锥的母线长为9,故A错误;圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π,故B正确;如图为圆锥侧面沿SA剪开后得到的侧面展开图,连接AA',则△ASA'为等腰三角形,∠ASA'=120°,SA=9,所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'=2×9×sin 60°=9,故D正确.故选BD.
10.143π [解析] 设圆台上底面与下底面的半径分别为r,R,由勾股定理可得R-r==5.又r∶R=3∶8,∴r=3,R=8.故S侧=π×(3+8)×13=143π.
11.12 [解析] ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,∴等腰梯形的高为=,∴一个等腰梯形的面积为×(2+4)×=3,故该正四棱台的侧面积为12.
12.60π+30 [解析] AB=6,BC=10,∠ABC=120°,过C作AB的垂线,与AB的延长线相交于点D,则∠DBC=60°,CD=5,BD=5,可得AC==14.将△ABC以AB所在直线为轴旋转180°得到一个几何体,该几何体的表面积为两个圆锥的侧面积的一半加上两个三角形的面积,则表面积为×π×5×14+×π×5×10+2××6×5=60π+30.
13.解:由题可知,以BC边所在的直线为轴,将直角梯形ABCD旋转一周,得到一个上底面半径r1=CD=,下底面半径r2=AB=1,母线长l=AD=3的圆台,其表面积S=π+π+π(r1+r2)l=π(++r1l+r2l)=π.
14.解:由题可知,所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥.
在直角梯形ABCD中,AD=a,BC=2a,
AB=(2a-a)tan 60°=a,DC==2a.
连接DD',则DD'=DC=2a,故旋转体的表面积S表=S圆环+S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧=+2π·2a·a+π·(2a)2+π·a·2a=(9+4)πa2.
15.[4,8] [解析] 作出平面ABCD截正方体所得截面,如图所示,正方形PQMN的边长为2,设AP=a(0≤a≤2),AB=x,则PB=2-a,∴x2=a2+(2-a)2=2(a-1)2+2∈[2,4],∴AB=x∈[,2].根据题意可知,E,F为所在面的中心,则EF=2,取正方形ABCD的中心为O,则E,O,F三点共线,取AB的中点G,连接OG,GE,易知GE⊥AB,EO⊥OG,在Rt△EOG中,OG=,GE=,∴该八面体的表面积S=8S△ABE=4x=2∈[4,8].
16.解:(1)由圆锥的侧面积公式可得,圆锥的侧面积S=π××SA=108π≈108×3.14=339.12(m2),
又因为每平方米大约需要鲜花60朵,339.12×60≈20 347,所以装饰这个屋顶(不含底面)大约需要20 347朵鲜花.
(2)将圆锥SO的侧面沿母线SA剪开后展开在同一平面内,得到如图所示的扇形ASA',连接CA',则CA'为最小长度.
因为弧AA'的长等于圆锥SO的底面周长,
所以弧AA'的长为π·AB=12π,
所以扇形的圆心角∠ASA'==.
在△A'SC中,SA'=18,SC=SA=6,由余弦定理得A'C2=SA'2+SC2-2SA'·SC·cos∠A'SC,
即A'C2=182+62-2×18×6×cos=468,
所以A'C=6,故灯光带的最小长度为6 m.§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
【学习目标】
了解柱、锥、台的侧面展开图及侧面积的概念,掌握圆柱、圆锥、圆台、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式,能用公式解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
1.侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的 或 剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体 侧面 展开图 展开图度量与几 何体度量的关系 侧面积公式
圆柱 矩形的一边长为母线长,另一边长为圆柱底面周长 S圆柱侧= ,r为圆柱底面半径,l为母线的长
圆锥 扇形的半径为母线长,扇形的弧长为圆锥底面周长 S圆锥侧= ,r为圆锥底面半径,l为母线的长
圆台 扇环的较短的弧长为圆台上底面周长,较长的弧长为圆台下底面周长 S圆台侧= ,r1,r2分别为圆台上、下底面半径,l为母线的长
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积. ( )
(2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的,它的表面积不变. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积. ( )
◆ 知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体 侧面展开图 侧面展开图 的构成 侧面积公式
直棱柱 矩形 S直棱柱侧= ,c为棱柱的底面周长,h为棱柱的高
正棱锥 由全等的等腰三角形拼接而成 S正棱锥侧= ,c为棱锥的底面周长,h'为棱锥的斜高
正棱台 由全等的等腰梯形拼接而成 S正棱台侧= ,c1,c2分别为棱台的上、下底面周长,h'为棱台的斜高
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和.( )
(2)直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面面积的和. ( )
(3)如果一个正方体的每条棱长度都增加1 cm,它的表面积扩大为原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为4 cm. ( )
◆ 探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶
C.1∶ D.∶2
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则该圆台较小底面的半径为 ( )
A.7 B.6 C.5 D.3
变式 已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,则该圆柱的侧面积与表面积的比值为 ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.求圆柱和圆锥的表面积时,只需按照公式进行求解;而解决台体的问题通常要还台为锥,求表面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展开图的弧长.
◆ 探究点二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积
例2 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的两条体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
变式 若正四棱锥的斜高是高的倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为 .
拓展 已知正四棱台(上、下底面均为正方形,上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)的上底面边长为6,高和下底面边长都是12,则它的表面积为 .
◆ 探究点三 简单组合体的表面积
例3 如图,已知Rt△ABC的斜边AB=2,现以斜边AB所在直线为轴旋转一周,得到旋转体.比较当∠BAC=30°,∠BAC=45°时,两个旋转体表面积的大小.
变式 [2023·内蒙古鄂尔多斯高一期末] 如图所示,从底面半径为2a,高为a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且高为a的圆柱,求原圆柱的表面积S1与挖去一个小圆柱后的几何体的表面积S2的比值.
[素养小结]
求组合体的表面积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要先根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
一、选择题
1.侧面积为2π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面半径为 ( )
A. B.
C.2 D.1
2.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形,则这个圆柱的表面积是 ( )
A.8π+16π2 B.2π+4π2
C.4π+16π2 D.8π+4π2
3.一个底面半径为2的圆锥被与其底面平行的平面所截,截去的小圆锥的底面半径和高均为1,则所得圆台的侧面积为 ( )
A.π B.3π
C.2π D.3
4.某正四棱锥的侧棱与底面的夹角为45°,则该正四棱锥的一个侧面的面积与底面的面积的比值为 ( )
A. B.
C. D.
5.[2024·吉林白城高一期中] 蒙古包(Mongolianyurts)是蒙古族牧民居住的一种房子(如图),建造和搬迁都很方便,适于牧业生产和游牧生活,蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似看作一个圆柱和圆锥的组合体,若圆锥的高为2米,圆柱的高为3米,底面圆的面积为64π平方米,则该蒙古包(含底面)的表面积为 ( )
A.(112+16)π平方米
B.(80+16)π平方米
C.(112+18)π平方米
D.(80+18)π平方米
6.[2024·重庆高一期中] 正三棱锥P-ABC的表面积是底面积的5倍,则= ( )
A. B. C. D.2
7.[2024·湖南衡阳高一期中] 用斜二测画法画水平放置的梯形OABC的直观图O'A'B'C',如图所示.已知O'A'=2C'B'=4,O'C'=A'B',则梯形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为 ( )
A.12π B.12π
C.6π D.6π
8.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,则圆柱的表面积为 ( )
A. 2π B. 2π
C. (2+)π D. (2+2)π
9.(多选题)如图是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身恰好滚动了3周,则( )
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图是圆心角为60°的扇形
D.若一蚂蚁从圆锥底面圆周上的点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行的最短距离为9
二、填空题
10.若圆台的高是12,母线长为13,上、下底面半径之比为3∶8,则该圆台的侧面积为 .
11.如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,则该正四棱台的侧面积为 .
12.[2024·重庆高一期中] 如图所示,已知AB=6,BC=10,∠ABC=120°,将这个三角形以AB所在直线为轴旋转180°得到一个几何体,则该几何体的表面积为 .
三、解答题
13.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=1,AD=3,以BC边所在的直线为轴,将直角梯形ABCD旋转一周得到一个几何体,求该几何体的表面积.
14.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过点C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求旋转体的表面积.
15.[2023·辽宁东北育才学校高一月考] 如图,两个相同的正四棱锥的底面重合组成一个八面体,该八面体可放入一个棱长为2的正方体内.已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行,八面体的各顶点均在正方体的表面上,则该八面体表面积的取值范围为 .
16.在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli,于1996年列入世界文化遗产(如图①).现测量一个屋顶,示意图如图②,圆锥SO的底面直径AB的长为12 m,母线SA的长为18 m,C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).
① ②
(1)现用鲜花铺设屋顶,如果每平方米大约需要鲜花60朵,那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花(此处π≈3.14,结果精确到个位)
(2)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,求灯光带的最小长度.(共34张PPT)
§6 简单几何体的再认识
6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积
探究点三 简单组合体的表面积
【学习目标】
了解柱、锥、台的侧面展开图及侧面积的概念,掌握圆柱、圆锥、
圆台、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式,能用公式解决简单的
实际问题.
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
1.侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的__________或______剪开后展开在
一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积.
一条侧棱
母线
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何 体 侧面展开图 展开图度量与几何 体度量的关系 侧面积公式
圆柱 ___________________________________ 矩形的一边长为母 线长，另一边长为 圆柱底面周长
圆锥 ______________________________ 扇形的半径为母线 长，扇形的弧长为 圆锥底面周长
几何 体 侧面展开图 展开图度量与几何 体度量的关系 侧面积公式
圆台 __________________________________ 扇环的较短的弧长 为圆台上底面周 长，较长的弧长为 圆台下底面周长
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积.( )
×
[解析] 圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积.
（2）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的 ,它的
表面积不变.( )
×
[解析] 当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的 时,
它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了
变化.
（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( )
×
[解析] 圆柱、圆台的表面积为侧面展开图的面积加上上底面与下底
面的面积，圆锥的表面积为侧面展开图的面积加上底面圆的面积.
知识点二 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何 体 侧面展开图 侧面展开 图的构成 侧面积公式
直棱 柱 __________________________________________ 矩形
正棱 锥 ___________________________ 由全等的 等腰三角 形拼接而 成
几何 体 侧面展开图 侧面展开 图的构成 侧面积公式
正棱 台 __________________________ 由全等的 等腰梯形 拼接而成
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和.( )
×
[解析] 五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
（2）直棱柱的表面积等于侧面积与上、下底面面积的和.( )
√
（3）如果一个正方体的每条棱长度都增加 ,它的表面积扩大为
原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为 .( )
×
[解析] 设原来正方体的棱长为,则 ,可得
,所以扩大后的正方体的棱长为 .
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1（1） 若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之
比为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥底面半径为，则圆锥的高，
其母线长，
，
又， .
√
（2）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长
为3，圆台的侧面积为 ，则该圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
[解析] 设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径为 .
由 ，解得 .
√
变式 已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,则该圆柱的侧面积与表面
积的比值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆柱底面的半径为,则圆柱的高 ,
故圆柱的侧面积为,表面积为 ,
所以该圆柱的侧面积与表面积的比值为 ,故选C.
√
［素养小结］
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展
开为平面图形，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.求圆柱和圆
锥的表面积时,只需按照公式进行求解;而解决台体的问题通常要还台
为锥,求表面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展
开图的弧长.
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的侧面积
例2 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的两条体对角线长为9和15，
高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
解：如图，在直四棱柱 中，
，取， ，
连接,，
设，，和 交于点 .
， ，
， ，
， ，
即, .
该直四棱柱的底面是菱形，
，
，
直四棱柱的侧面积 .
又直四棱柱的底面积 ，
直四棱柱的表面积 .
变式 若正四棱锥的斜高是高的 倍，则该正四棱锥的侧面积与底
面积之比为_____.
[解析] 设该正四棱锥的斜高为,高为 ,底面边长为,
则, .
可得该正四棱锥的侧面积 ,
底面积 ,
所以该正四棱锥的侧面积与底面积之比为 .
拓展 已知正四棱台（上、下底面均为正方形,上底面的中心在下底
面的射影是下底面的中心）的上底面边长为6,高和下底面边长都是12,
则它的表面积为______________.
[解析] 方法一：如图，设，分别是，的中点，， 分
别是四棱台下、上底面的中心，连接，，，，
则 为正四棱台的高，
即，， .
过作，垂足为，
则 ，，
.
在 中，，
所以 ，
所以 ，
所以 .
方法二：如图，将正四棱台的侧棱延长，设交于一点 .
取，的中点分别为，，连接 并延长，
则点在的延长线上.
设， 分别是四棱台上、下底面的中心.连接，，
连接并延长，则点 在的延长线上.
因为 ，，所以 ，
则，所以.
在 中，，即,
在 中， ，
即 ,
所以.
故，
所以 .
探究点三 简单组合体的表面积
例3 如图，已知的斜边,现以斜边 所在直线为轴
旋转一周,得到旋转体.比较当 , 时,两个旋转
体表面积的大小.
解：所得旋转体如图所示,它由两个同底的圆锥组成,
设底面圆的圆心为,连接 .
当 时,,, ,,
旋转体的表面积 ;
当 时,, , ,
旋转体的表面积 .
故 .
变式 [2023·内蒙古鄂尔多斯高一期末] 如图所示，
从底面半径为，高为 的圆柱中，挖去一个底
面半径为且高为的圆柱，求原圆柱的表面积
与挖去一个小圆柱后的几何体的表面积 的比值.
解：由题意，知原圆柱的表面积
，
挖去一个小圆柱后所得几何体的表面积
，
所以 .
［素养小结］
求组合体的表面积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征
及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要先根据条件分清各个
简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.
1.多面体的表面积就是多面体各个面的面积之和.
2.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式中的高为几何体的斜高（侧面的高）.
3.计算棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解.
4.求简单几何体的表面积,一要掌握这些几何体的表面积的计算公式,
二要分清要求的是哪类的几何体,或者是由哪些简单几何体组成,然后
再用公式求其表面积.
5.说明:圆台 及其侧面展开图如图所示,
圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台的上底面周长,外弧长等于
圆台的下底面周长.
由,解得 .
,
所以, .
解决求旋转体的表面积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开
图,借助平面几何知识,求得所需的几何要素,代入公式求解即可.棱锥
及棱台的表面积计算常借助高、底面边长、斜高、侧棱及其在底面
的投影等构成的直角三角形（或梯形）求解.
例 若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都相等,圆柱、圆锥的表
面积分别是, ,则它们的大小关系是( )
A. B. C. D.不确定
[解析] 设圆柱的底面半径为，
则圆柱的高为 ，圆锥的母线长为.
故 ,
,
所以 .
√
