6.2 柱、锥、台的体积
【课前预习】
知识点
Sh πr2h Sh
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√
[解析] (1)记一个圆柱的底面半径为2,高为9,体积为V1,表面积为S1,另一个圆柱的底面半径为3,高为4,体积为V2,表面积为S2,则V1=π×22×9=36π,V2=π×32×4=36π,所以V1=V2,但S1=2π×22+2π×2×9=44π,S2=2π×32+2π×3×4=42π,即S1≠S2.
(4)由圆柱的体积公式知,圆柱的体积由底面半径与高确定,因此底面积越大,它的体积不一定越大.
(5)由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积变为原来体积的2倍.
2.解:当棱台的上底面按同一比例缩小,且使上底面缩为一点时,棱台的体积公式变为棱锥的体积公式;
当棱台的上底面按同一比例增大,且使上底面与下底面全等时,棱台的体积公式变为棱柱的体积公式.由此可知棱柱、棱锥的体积公式是棱台的体积公式的特殊情况.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)10π+3 [解析] (1)设圆锥的底面半径为R,则高为2R,母线长l==R.圆锥的侧面积S=πRl=πR2=π,所以R=1,所以圆锥的体积为πR2·2R=π,故选B.
(2)因为弦AB所对的圆心角为,所以剩余部分的底面积为××22+×22×sin=+,所以剩余部分的体积为×3=10π+3.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2,所以底面面积为22=4,正四棱锥的高为=,由棱锥的体积公式可得该正四棱锥的体积V=×4×=.故选C.
(2)设截面圆的半径为r,如图,由=可得=,解得r=2,所以截面圆的面积S1=4π,原圆锥的底面圆的面积S2=9π,所以圆台的体积V=(S1+S2+)=×(4π+9π+)=π.故选B.
拓展 解:(1)设OA与圆P相切于点E,连接EP,设圆台上、下底面的半径分别为r',r,则2πr=×72,解得r=12.
在Rt△OEP中,由∠EOP=,PE=r,可得OP=2r,
∴OD=3r=36,∴AD=OA-OD=36.
(2)∵2πr'=×36,∴r'=6,则圆台的高h===6,∴V=π(r'2+r'r+r2)h=π×(62+6×12+122)×6=504π.
探究点二
例2 解:由PO1=2 m,知O1O=4PO1=8 m.
因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥体=×62×2=24(m3).
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱体=62×8=288(m3),所以仓库的体积V=V锥体+V柱体=24+288=312(m3).
变式 A [解析] 由题图可知,组合体的体积V=π×4×+3×3×3-π×3×=cm3,故选A.
拓展 [解析] 如图,过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,易得EG=HF=.∵△ADE,△BCF均为正三角形,∴AE=DE=BF=CF=1,∴AG=GD=BH=HC=,∴△AGD和△BHC为等腰三角形,且底边上的高为,∴S△AGD=S△BHC=××1=.∴该多面体的体积V=V三棱锥E-ADG+V三棱锥F-BHC+V三棱柱AGD-BHC=××+××+×1=.6.2 柱、锥、台的体积
1.B [解析] 因为等底等高的圆锥与圆柱的体积之比是1∶3,所以当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍,即圆柱与圆锥的底面积之比是1∶3.故选B.
2.C [解析] 依题意,该正四棱台的体积V=×(22++42)×=.故选C.
3.B [解析] 设圆柱的母线长为l,底面半径为r,则由题意得可得∴V圆柱=πr2l=2π.
4.B [解析] ∵正方体的棱长为10 cm,∴两个正方体的体积和V=2×10×10×10=2000(cm3),设熔化后铸成的正四棱柱形铜块的高为a cm,则5×5×a=2000,解得a=80,故选B.
5.A [解析] 设圆锥的高为h,母线长为l,底面半径为r,则圆锥的体积V=πr2h=π.由侧面展开图是半圆得πl=2πr,又r2+h2=l2,所以联立以上三式可得l=4.故选A.
6.D [解析] 设圆台上底面半径为r,下底面半径为R,母线长为l,高为h,依题意得2πr=6×,2πR=12×,解得r=2,R=4,而圆台的母线长l=AD=BA-BD=6,因此圆台的高h==4,所以圆台的体积V=(πr2+πR2+πrR)h=×(4π+16π+8π)×4=π.故选D.
7.A [解析] 由题意知,底部扇形的弧长l=8尺,圆心角α=,圆锥的高h=5尺,∴底面扇形的半径r==尺,∴米堆的体积V=×πr2h=××5=(立方尺),∴堆放的米约有÷1.62≈21(斛).
8.C [解析] 在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=,A1B1=2,所以△ABC的面积为×××=,△A1B1C1的面积为×2×2×=3.如图,设O,O1分别是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分别是BC,B1C1的中点,连接OO1,DD1,AD,A1D1,则A,O,D三点共线,A1,O1,D1三点共线,AD=AB×sin=×=,A1D1=A1B1×sin=2×=3,所以OD=AD=,O1D1=A1D1=1,DD1===.易知A,A1,D1,D四点共面,在平面AA1D1D上过D作DE⊥A1D1,垂足为E,则DE∥OO1,因为DE===,所以三棱台的高为,所以三棱台的体积V=××=.故选C.
9.ABD [解析] 显然四边形ABCD是等腰梯形,AB=AD=BC=2,CD=4,等腰梯形的高即为圆台的高h,则h==.对于A,在等腰梯形ABCD中,AC==2,A正确;对于B,圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π,B正确;对于C,圆台的体积V=π(12+1×2+22)×=π,C错误;对于D,将圆台一半侧面展开,如图中扇环ABCD,取E为AD中点,连接CE,圆台对应的圆锥半侧面展开为扇形COD且OC=4,则∠COD==,在Rt△COE中,CE==5,斜边CE上的高为=>2,即CE与弧AB相离,所以沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5,D正确.故选ABD.
10.28 [解析] 方法一:因为=,截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以原正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32,截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4,所以所得棱台的体积为32-4=28.
方法二:根据题意可得,所得棱台的高为3,上底面边长为2,下底面边长为4,所以其体积为×3×(16+4+)=28.
11.12- [解析] 由题可知,正六棱柱的体积为6××22×2=12(cm3),圆柱的体积为π××2=(cm3),则此六角螺帽毛坯的体积为cm3.
12. [解析] 如图所示,将三棱台补成三棱锥O-A1B1C1,设三棱锥O-ABC的高为h cm,则=,解得h=6,所以三棱锥O-ABC的体积为×4×6=8(cm3).设三棱锥O-A0B0C0,O-A1B1C1的体积分别为V0 cm3,V1 cm3,则=,即=,所以V0=,同理=,所以V1=×8=27,所以该地的降雨量为= cm= mm.
13.解:由题意知,长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V1=1×1×0.5=(m3),四棱锥P-ABCD的体积V2=×1×1×0.5=(m3),
所以这个漏斗的容积V=+=≈0.67(m3).
14.解:(1)依题意,圆锥的侧面展开图的弧长为×3=4π,则圆锥的底面圆半径r=2,所以圆锥的底面积S=πr2=4π.
(2)设圆柱的高OO1=h,底面圆半径OD=x(0在Rt△AOB中,AO==,显然O1D1∥OB,则=,即=,所以h=,
则圆柱侧面积S'=2πxh=2πx·=-π(x2-2x)=-π(x-1)2+π,当x=1时,圆柱的侧面积最大,此时h=,该圆柱的体积V=πx2h=π.
15.A [解析] 细沙全部在上部时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为h,设圆锥的底面半径为r,则细沙形成的圆锥的底面半径为r,∴细沙的体积V=π··h=πr2h.细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为r,设高为h',则V=πr2·h'=πr2h,得h'=h,∴=.故选A.
16.解:(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC,因为AC 平面ABC,所以BB1⊥AC,
又AB⊥AC,AB,BB1 平面ABB1A1,且AB∩BB1=B,所以AC⊥平面ABB1A1,
又AC 平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面ABB1A1.
(2)因为AB=BB1=2,所以AB1=2,又由(1)知,AC⊥平面ABB1A1,AB1 平面ABB1A1,所以AC⊥AB1.
设点B到平面AB1C的距离为d,因为=,
即××1×2×2=××1×2d,解得d=,故点B到平面AB1C的距离为.6.2 柱、锥、台的体积
【学习目标】
1.掌握柱、锥、台的体积计算公式.
2.会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积.
◆ 知识点 柱体、锥体、台体的体积公式
名称 体积(V)公式 备注
柱 体 棱柱 V棱柱= h为棱柱的高,S为棱柱的底面积
圆柱 V圆柱= = Sh r为圆柱的底面半径,h为圆柱的高, S为圆柱的底面积
(续表)
名称 体积(V)公式 备注
锥 体 棱锥 V棱锥= h为棱锥的高, S为棱锥的底面积
圆锥 V圆锥=πr2h=Sh r为圆锥的底面半径, h为圆锥的高, S为圆锥的底面积
台 体 棱台、 圆台 V台体=(S上+S下+)h S上,S下分别为台体的上、下底面面积,h为台体的高
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个柱体的体积相等,则它们的表面积相等. ( )
(2)锥体体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一. ( )
(3)两个正方体的体积之比为1∶27,则这两个正方体的棱长之比为1∶3. ( )
(4)圆柱的底面积越大,它的体积就越大. ( )
(5)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积不变. ( )
(6)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π. ( )
2.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 探究点一 柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为π,则该圆锥的体积为 ( )
A.π B.π C.2π D.π
(2)已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD,剩余部分如图所示.若弦AB所对的圆心角为,则剩余部分的体积为 .
变式 (1)某正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2,则该正四棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.2
(2)已知一个圆锥的高为6,底面半径为3,现在用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,得到一个高为2的圆台,则这个圆台的体积为 ( )
A.π B.π C.26π D.38π
[素养小结]
对柱体、锥体、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
拓展 如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=,OA=72,要剪下来一个扇环ABCD作为圆台形容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内剪下一个与其相切的圆,使它恰能作为圆台形容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD的长;
(2)圆台形容器的体积V.
◆ 探究点二 简单组合体的体积
例2 现需要设计一个仓库,它由上、下两部分组成,上面部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下面部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,求仓库的体积V.
变式 [2023·安徽合肥高一期中] 三星堆遗址祭祀区4号坑发现了玉琮——一种内圆外方的筒型玉器,是古人用于祭祀的礼器(如图①).假定某玉琮中间内空,形状对称,如图②所示,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为 ( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
[素养小结]
求组合体的体积的关键是先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,再分别代入公式求解.
拓展 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 . 6.2 柱、锥、台的体积
一、选择题
1.一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等,那么圆柱与圆锥的底面积之比是 ( )
A.1∶1 B.1∶3
C.3∶1 D.2∶1
2.[2024·湖南邵阳高一期中] 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4,高为,则该正四棱台的体积为 ( )
A.28 B.84
C. D.28
3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于 ( )
A.π B.2π C.4π D.8π
4.将两个棱长为10 cm的正方体形铜块熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱形铜块(不计损耗),则该四棱柱形铜块的高为 ( )
A.8 cm B.80 cm
C.40 cm D. cm
5.已知一个粮食仓储容器为圆锥形,容器的厚度不计,它的体积为π,且它的侧面展开图是半圆,则它的母线长为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.如图是一个圆台的侧面展开图,已知BA=12,BD=6且∠ABC=,则该圆台的体积为 ( )
A.112π B.π
C.π D.π
7.某著作中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积及堆放的米各为多少 ”已知一斛米的体积约为1.62立方尺,由此估算出堆放的米约有 ( )
A.21斛 B.34斛
C.55斛 D.63斛
8.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=,A1B1=2,侧棱AA1的长为2,则此正三棱台的体积为 ( )
A. B.
C. D.
9.(多选题)如图,在圆台O1O2的轴截面ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,则下面说法正确的是 ( )
A.AC=2
B.该圆台的表面积为11π
C.该圆台的体积为7π
D.沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5
二、填空题
10.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,则所得棱台的体积为 .
11.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所得到的.已知一个螺帽的底面正六边形的边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
12.如图是一个水平放置在某地的三棱台形集雨器,已知上、下底面的面积分别为4 cm2和9 cm2,高为3 cm.现在搜集到的雨水的水平面与上、下底面间的距离相等,则该地的降雨量为 mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)
三、解答题
13.如图,一个漏斗的上半部分是一个长方体,下半部分是一个四棱锥,两部分的高都是0.5 m,公共面ABCD是边长为1 m的正方形,求这个漏斗的容积.(精确到0.01 m3)
14.[2023·河北张家口高一期中] 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形,母线长为3.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
15.沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为 ( )
A. B. C. D.
16.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=1.
(1)求证:平面AB1C⊥平面ABB1A1;
(2)若BB1=2,求点B到平面AB1C的距离.(共31张PPT)
§6 简单几何体的再认识
6.2 柱、锥、台的体积
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
探究点二 简单组合体的体积
【学习目标】
．掌握柱、锥、台的体积计算公式．
．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积．
知识点 柱体、锥体、台体的体积公式
名称 备注
柱 体 棱柱
圆柱
锥 体 棱锥
名称 备注
锥 体 圆锥
台 体 棱台、 圆台
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两个柱体的体积相等，则它们的表面积相等.( )
×
[解析] 记一个圆柱的底面半径为2，高为9，体积为，表面积为 ，
另一个圆柱的底面半径为3，高为4，体积为，表面积为 ，
则 ， ，所以 ，
但 ,
，即 .
（2）锥体体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一.( )
√
（3）两个正方体的体积之比为 ,则这两个正方体的棱长之比为
.( )
√
（4）圆柱的底面积越大,它的体积就越大.( )
×
[解析] 由圆柱的体积公式知,圆柱的体积由底面半径与高确定,因此底
面积越大,它的体积不一定越大.
（5）圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的 ,它的体积
不变.( )
×
[解析] 由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩
小为原来的 ,它的体积变为原来体积的2倍.
（6）圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为
.( )
√
2.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系,你能发现三者的体积公式之间
的关系吗
解：当棱台的上底面按同一比例缩小,且使上底面缩为一点时,棱台的
体积公式变为棱锥的体积公式;
当棱台的上底面按同一比例增大,且使上底面与下底面全等时,棱台的
体积公式变为棱柱的体积公式.
由此可知棱柱、棱锥的体积公式是棱台的体积公式的特殊情况.
探究点一 柱体、锥体、台体的体积
例1（1） 若圆锥的高等于底面直径,侧面积为 ,则该圆锥的体积
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的底面半径为,则高为 ,
母线长.
圆锥的侧面积 ,
所以,所以圆锥的体积为 ,故选B.
√
（2）已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面
的平面截圆柱所得截面为矩形 ,剩余部分如图所
示.若弦所对的圆心角为 ,则剩余部分的体积为
___________.
[解析] 因为弦所对的圆心角为 ,
所以剩余部分的底面积为 ,
所以剩余部分的体积为 .
变式（1） 某正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为2，则该正四棱锥
的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为2，
所以底面面积为，正四棱锥的高为 ，
由棱锥的体积公式可得该正四棱锥的体积 .
故选C.
√
（2）已知一个圆锥的高为6，底面半径为3，现在用一个平行于圆锥
底面的平面去截圆锥，得到一个高为2的圆台，则这个圆台的体积为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设截面圆的半径为，如图，
由 可得，解得，
所以截面圆的面积 ，
原圆锥的底面圆的面积 ，
所以圆台的体积 .故选B.
√
［素养小结］
对柱体、锥体、台体的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充
分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
拓展 如图所示，有一块扇形铁皮 ，
,,要剪下来一个扇环 作
为圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形 内
剪下一个与其相切的圆，使它恰能作为圆台形容
器的下底面（大底面）.试求：
（1） 的长；
解：设与圆相切于点，连接 ，
设圆台上、下底面的半径分别为，，
则 ，解得 .
在中，由， ，
可得 ，
， .
（2）圆台形容器的体积 .
解：， ，
则圆台的高，
.
探究点二 简单组合体的体积
例2 现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组
成，上面部分的形状是正四棱锥 ，
下面部分的形状是正四棱柱
（如图所示），并要求正四棱柱的高 是正四
棱锥的高的4倍，若， ，
求仓库的体积 .
解：由，知 .
因为 ，
所以正四棱锥的体积 .
正四棱柱 的体积 ，
所以仓库的体积
变式 [2023·安徽合肥高一期中] 三星堆遗址祭祀区4号坑发现了玉琮——一
种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器（如图①）.假定某玉琮中
间内空，形状对称，如图②所示，圆筒内径长，外径长，筒高
，中部为棱长是 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的
侧面，则该玉琮的体积为( )
A.B. C. D.
√
[解析] 由题图可知，组合体的体积
，
故选A.
［素养小结］
求组合体的体积的关键是先弄清组合体中各简单几何体的结构特征
及组合形式,再分别代入公式求解.
拓展 如图，在多面体 中，已知四边
形是边长为1的正方形，且 ，
均为正三角形，， ，则
该多面体的体积为_ ___.
[解析] 如图，过，作 的垂线，垂足
分别为，，连接， ，
易得.
， 均为正三角形， ，
，
和 为等腰三角形，且底边上的高为，
.
该多面体的体积 .
空间几何体的体积公式
（1）柱体、锥体、台体体积公式中的高为几何体的高,即为点到面或
面到面的距离.
（2）对于台体的体积公式,当为台体上底面的面积， 为台
体下底面的面积)时,为柱体的体积公式,当 时,为锥体的体积公式.
（3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
.
求几何体体积的常用方法:公式法、等积法、补体法、分割法.
“割补法”是求不规则几何体体积的基本方法,通过割补使不规则几何
体成为规则几何体,利用规则几何体的体积公式求出其体积,然后再加
上或减去“割”或“补”的那一部分体积即得原几何体的体积,“割补法”
也体现了转化的数学思想在立体几何中的应用.
例1 [2024·黑龙江大庆高一期中] 如图所示，四棱
锥中，底面 为平行四边形，
,，, 平面
，点在上且,，求三棱锥 的体积.
解：因为 平面， 平面 ，
所以 .
因为，， ,
所以，即.
又，所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 .
因为，平面 平面，平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面，故是三棱锥的高.
因为， 在上且，所以 ，
又 ，所以 .
因为 平面， 平面 ，所以，
所以 ，
又，所以 ，
所以 .
例2 已知斜三棱柱的体积为2，则四棱锥 的
体积是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
，所以 .
故选D.
√
