第2课时 空间几何体与球的切接问题
【课前预习】
知识点
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)任何长方体都有外接球,当长方体的长、宽、高都相等,即为正方体时,也有内切球.
(3)圆锥的内切球与其侧面相切于一个圆.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D [解析] 如图,设O1是BC的中点,连接O1A,O1P,因为∠BAC=90°,所以O1是△ABC的外心,O1A=O1B=O1C.因为PA=PB=PC=BC=2,O1是BC的中点,所以PO1⊥BC,PO1=,O1A=1,则P+O1A2=PA2,则PO1⊥O1A.又O1A∩BC=O1,O1A,BC 平面ABC,所以PO1⊥平面ABC,又PO1 平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.由于△PBC是等边三角形,设O是△PBC的外心,则O在PO1上,连接OB,OC,OA,则OP=OB=OC=OA,则O是三棱锥P-ABC外接球的球心.设外接球的半径为r,根据等边三角形的性质可知r=OP=O1P=,所以外接球的表面积为4πr2=4π=π.故选D.
(2)解:过半球球心作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=.
连接OC',在Rt△C'CO中,CC'2+OC2=OC'2,
即a2+=R2,得R=a.
所以V半球=×πR3=π=πa3,V正方体=a3,
因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)因为平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,所以可将四面体ABCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示,则四面体ABCD的外接球即为直三棱柱的外接球.因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的距离为×=,所以直三棱柱的外接球的半径r==,则球O的表面积S=4πr2=4π×=,故选A.
(2)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为3,4,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1+O=O2+(1-OO1)2,即32+O=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1+(OO2+1)2=O2+O,可得OO2=3,R=5,∴该球的表面积S=4πR2=100π.
探究点二
例2 [解析] 设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r,所以==.
变式 [解析] 如图所示,设圆锥底面圆的圆心为O,一条直径为AB,圆锥的顶点为P,连接PO,则圆锥PO的一个轴截面为等腰三角形PAB.设该圆锥内能放置的半径最大的球的球心为O1,易知球O1的一个轴截面是△PAB的内切圆,设球O1与PA切于点C,连接O1C.由题意知AO=3,PA=5,则PO=4,设球O1的半径为R,由Rt△PO1C∽Rt△PAO得=,即=,解得R=,所以球O1的体积为π×=.第2课时 空间几何体与球的切接问题
1.A [解析] ∵球的半径为1,且正方体的各个顶点都在球面上,∴球的直径等于正方体的体对角线长,∴正方体的体对角线长为2.设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2=,∴正方体的表面积为6a2=6×=8.
2.A [解析] 如图,将三棱锥P-ABC放于一个长方体内,则三棱锥的外接球就是长方体的外接球,∴PB为三棱锥P-ABC外接球的直径.∵PB==10,∴外接球的表面积为4π×=100π.故选A.
3.C [解析] 由题意可得该圆柱的底面半径为1,高为2,易得该圆柱的内切球的半径为1,则该圆柱的内切球的体积为π×13=π.故选C.
4.B [解析] 正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心为O,由对称性可知O为正方体的中心,所以O到平面ABCD的距离为1,即四棱锥O-ABCD的高为1,又四棱锥的底面积为2×2=4,所以四棱锥O-ABCD的体积为×4×1=.故选B.
5.C [解析] 由正弦定理得,△ABC的外接圆直径为2r==6,得r=3.设球心到平面ABC的距离为d,则d=PA=3,∴三棱锥P-ABC的外接球半径R===3.故选C.
6.C [解析] 设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r1和r2,则圆台侧面积S=π(r1+r2)l=π(1+2)l=3πl,上、下底面的面积分别为π和4π.由圆台的表面积为(5+3)π,得l=,所以圆台的高h===1.设球O的半径为R,如图,圆台的轴截面ABCD为等腰梯形,且AB=4,CD=2,高为1.由+h2=2<,可知球心O在圆台外部.过O作ON⊥CD于点N,交AB于点M,连接OB,OC,设OM=x,则有得所以球O的体积为.故选C.
7.C [解析] 设棱台上、下底面的中心分别为N,M,连接D1B1,DB,MN,则D1B1=2,DB=4,所以棱台的高MN===1.设球O的半径为R,根据正四棱台的结构特征可知,球O与上底面A1B1C1D1相切于N,与棱AB,BC,CD,DA均相切于各棱的中点,设BC的中点为E,连接OE,ME,因为MN=18.A [解析] 如图,设一个切点为E,连接O1E,O1O,则O1E⊥EP,设OE=r,则PE=2r,OP=r,所以V2=πr2·r=.由△PEO∽△PO1E可得=,即PE2=OP·O1P,所以4r2=r×O1P,所以O1P==,所以OO1=O1P-OP=-r=r.在直角三角形O1OE中,EO1===r,即球的半径R=,所以V1=π×=πr3,所以==.故选A.
9.ABD [解析] 设球O的半径为R,因为球O的表面积是16π,所以S=4πR2=16π,解得R=2,故A正确.四棱锥P-ABCD的底面为矩形且矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,设矩形的长、宽分别为x,y,则x2+y2=(2R)2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,即当底面ABCD为正方形时,四棱锥的底面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8,故B正确.点P在球面上,连接PO,当PO⊥底面ABCD时,PO=R,此时四棱锥的高最大,最大为2,所以四棱锥P-ABCD体积的最大值为×8×2=,故C错误,D正确.故选ABD.
10. [解析] 当球的半径最大时,球的体积最大.在△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,所以△ABC的内切圆的半径r==2,又AA1=3,2r=4>3,所以球的最大直径为3,即最大半径为,所以V的最大值为π×=.
11.π [解析] 由题意知,+=,所以正三角形ABC的顶点在球O的大圆上.设球的半径为R,则正三角形ABC的高为,△ABC的边长为R,又三棱锥V-ABC的高为R,所以正三棱锥V-ABC的体积为××(R)2×R=,解得R3=4,所以该三棱锥外接球的体积为πR3=π.
12. [解析] 设正六棱锥H-ABCDEF,其底面中心为G,外接球半径为R,底面正六边形的边长为a,正六棱锥的高为h.由题意得4πR2=16π,∴R=2,连接HG,FG,则HG=h,FG=a.易知外接球的球心O在HG所在直线上,当外接球的球心O在棱锥内部时,h>2,如图①,在Rt△HGF中,FH2=HG2+FG2,即12=h2+a2,连接OF,在Rt△OGF中,R2=OG2+FG2,即4=(h-2)2+a2,由可得所以正六棱锥H-ABCDEF的体积V=×6××3=.当外接球的球心O在棱锥外部时,h<2,如图②,连接OF,在Rt△HGF中,FH2=HG2+FG2,即12=h2+a2,在Rt△OGF中,R2=OG2+FG2,即4=(2-h)2+a2,由可得这与h<2矛盾,不合题意,舍去.综上,该正六棱锥的体积V=.
13.解:如图,E-ABCD为正四棱锥,设球心为O,球的半径为r,连接AC,BD,交于点F,连接EF,
则EF为正四棱锥的高,
易知外接球的球心O在线段EF上,连接OA,则在Rt△AOF中,
(4-r)2+()2=r2,
解得r=,
故该球的表面积为4πr2=4π×=π.
14.解:(1)作出轴截面,如图所示,等腰三角形SAB内接于圆O,圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R,
则有πR3=972π,∴R=9,连接SO1并延长,交AB于D,交圆O于E,∴O在SE上且SE=2R=18.
∵SD=16,∴ED=2.
连接AE,又SE是圆O的直径,∴SA⊥AE,
∴SA2=SD×SE=16×18=288,∴SA=12.
∵AB⊥SD,D为AB中点,
∴AD2=SD·DE=16×2=32,∴AD=4.
∴S圆锥侧=π×AD×SA=π×4×12=96π.
(2)设圆锥内切球的半径为r,
即圆O1的半径为r,
∵△SAB的周长为2×(12+4)=32,
∴r×32=×8×16,解得r=4.
故圆锥内切球的体积V=πr3=π.
15.π [解析] 由题意知,三棱锥P-ABC的表面展开后形成的平面图形为一个等边三角形,设此等边三角形的边长为a,则4=,得a=6,所以三棱锥P-ABC的棱长为3,可得三棱锥P-ABC的高h=2.设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r,则4×r·S△ABC=·h·S△ABC,得r=,所以内切球的体积V=πr3=π.
16.解:(1)4个中球的关系如图①所示,
设A,B,C,D分别为4个中球的球心,则显然几何体DABC是正四面体,其棱长为2,
设O是正四面体DABC的外接球的球心,将该正四面体放入正方体中(如图②),设正方体的棱长为a,且正方体的外接球的半径为R,
则a=2,即a=,
所以2R==,即R=,
因此正四面体DABC的外接球的半径为.
若一个空心大球能把这4个中球装在里面,则大球的半径至少为1+.
(2)由题可知该小球和(1)中的最小半径的大球是同心球,球心为O,
则小球的半径是最小的大球的半径减去一个中球的直径,即-1.第2课时 空间几何体与球的切接问题
【学习目标】
会解决多面体和旋转体的外接球、内切球问题.
◆ 知识点 与球有关的切、接问题
(1)正方体的内切球:若球与正方体的六个面都相切,则称球为正方体的内切球.设正方体的棱长为a,则球的半径r=,过球心作正方体的与侧面平行的轴截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱都相切:球与正方体的各条棱相切于各棱的中点.设正方体的棱长为a,则球的半径r=a,过球心作正方体的对角面如图②.
(3)长方体的外接球:若长方体的八个顶点都在球面上,则称球为长方体的外接球.根据球的定义可知,长方体的体对角线长等于球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,则球的半径r=,如图③.
(4)正方体的外接球:正方体的棱长a与外接球的半径R的关系为2R=a.
(5)正四面体的外接球:正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R=a.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何长方体都只有外接球,没有内切球. ( )
(2)直三棱柱外接球球心为上、下底面三角形外心的连线的中点. ( )
(3)圆锥的内切球与其侧面相切于一条直线. ( )
◆ 探究点一 外接球问题
例1 (1)在三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 ( )
A.π B.π C.π D.π
(2)在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
变式 (1)[2024·广西南宁高一期中] 已知四面体ABCD的各顶点均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,则球O的表面积为 ( )
A. B.14π
C.28π D.32π
(2)已知正三棱台的高为1,上、下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( )
A.100π B.128π
C.144π D.192π
[素养小结]
解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一个面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直于此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置.
◆ 探究点二 内切球问题
例2 如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .
变式 [2024·四川南充高一期中] 已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,则该圆锥内能放置的半径最大的球的体积为 .
[素养小结]
求解多面体的内切球问题,关键是求出半径,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求出内切球的半径.第2课时 空间几何体与球的切接问题
一、选择题
1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为 ( )
A.8 B.8
C.8 D.4
2.在三棱锥P-ABC,若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=5,BC=,PA=8,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是 ( )
A.100π B.50π
C.144π D.72π
3.[2024·山东聊城高一期中] 已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的内切球的体积为 ( )
A.32π B.4π C.π D.π
4.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心为O,则四棱锥O-ABCD的体积为 ( )
A. B.
C.2 D.
5.[2023·长郡中学高一期中] 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=6,BC=3,∠CAB=,则三棱锥P-ABC的外接球半径为 ( )
A.3 B.2
C.3 D.6
6.[2024·江苏泰州高一期中] 已知一个圆台内接于球O(圆台的上、下底面的圆周均在球面上).若该圆台的上、下底面半径分别为1和2,且其表面积为(5+3)π,则球O的体积为 ( )
A. B.5π C. D.
7.[2024·南昌高一期中] 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1=,若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切,则球O的表面积为 ( )
A.9π B.16π
C.25π D.36π
8.如图,球O1与圆锥相切,切点都在圆锥PO的底面圆周上,圆锥PO的母线长是底面半径的2倍,设球O1的体积为V1,圆锥PO的体积为V2,则V1∶V2= ( )
A.32∶9 B.27∶8
C.26∶7 D.9∶4
9.(多选题)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,且球的表面积为16π,点P在球面上,则下列说法正确的有 ( )
A.球O的半径是2
B.当矩形ABCD是正方形时,四棱锥P-ABCD的底面积最大
C.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
D.四棱锥P-ABCD的体积的最大值是
二、填空题
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是 .
11.已知体积为的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O,满足++=0,则该三棱锥外接球的体积为 .
12.[2024·成都高一期中] 已知正六棱锥的侧棱长为2,其各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为16π,则该正六棱锥的体积为 .
三、解答题
13.已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的表面积.
14.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球,在圆锥内又有一个内切球.求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥内切球的体积.
15.已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形的外接圆半径为2,则三棱锥P-ABC的内切球的体积为 .
16.[2024·河南南阳高一期中] 4个半径为1的中球上层1个、下层3个两两相切叠放在一起.
(1)有1个空心大球能把这4个中球装在里面,则大球的半径至少是多少
(2)在它们围成的空隙内有1个小球与这4个中球都外切,求小球的半径.(共24张PPT)
§6 简单几何体的再认识
6.3 球的表面积和体积
第2课时 空间几何体与球的切接问题
探究点一 外接球问题
探究点二 内切球问题
【学习目标】
会解决多面体和旋转体的外接球、内切球问题.
知识点 与球有关的切、接问题
（1）正方体的内切球:若球与正方体的六个面都相切,
则称球为正方体的内切球.设正方体的棱长为 ,则球
的半径 ,过球心作正方体的与侧面平行的轴截面
如图①.
（2）球与正方体的各条棱都相切:球与正方体的各条
棱相切于各棱的中点.设正方体的棱长为 ,则球的半
径 ,过球心作正方体的对角面如图②.
（3）长方体的外接球:若长方体的八个顶点都在球面
上,则称球为长方体的外接球.根据球的定义可知,长方
体的体对角线长等于球的直径,若长方体过同一顶点的
三条棱长分别为,,,则球的半径 ,
如图③.
（4）正方体的外接球:正方体的棱长与外接球的半径 的关系为
.
（5）正四面体的外接球:正四面体的棱长与外接球半径 的关系为
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何长方体都只有外接球，没有内切球.( )
×
[解析] 任何长方体都有外接球，当长方体的长、宽、高都相等，即
为正方体时，也有内切球.
（2）直三棱柱外接球球心为上、下底面三角形外心的连线的中点.
( )
√
（3）圆锥的内切球与其侧面相切于一条直线.( )
×
[解析] 圆锥的内切球与其侧面相切于一个圆.
探究点一 外接球问题
例1（1） 在三棱锥中， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为
( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，设是的中点，连接， ，
因为,所以是 的外心,.
因为， 是的中点，
所以，， ，
√
则，则 .
又，, 平面，所以 平面,
又 平面，所以平面 平面.
由于是等边三角形，设是 的外心，则在上，
连接,,,则 ，
则是三棱锥 外接球的球心.
设外接球的半径为 ，
根据等边三角形的性质可知 ，
所以外接球的表面积为 .故选D.
（2）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的
体积之比.
解：过半球球心作正方体对角面的截面，如图所示，
设半球的半径为，正方体的棱长为 ，
则， .
连接，在中， ，
即，得 .
所以 ， ，
因此 .
变式（1） [2024·广西南宁高一期中]已知四面体 的各顶点均在
球的球面上，平面 平面， ,
，则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为平面 平面 ，
, ，
所以可将四面体 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示，则四面体 的外接球即为直三棱柱的外接球.
因为底面三角形的外心到三角形 的顶点的距离为
，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球 的表面积 ，故选A.
（2）已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为和 ，
其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意，设球的球心为，半径为 ，正三棱台的上、下底面
分别为，，，， 均为正三棱台的棱，
则，都是等边三角形.
设， 的外接圆圆心分别为,，
连接，则.连接， ，
√
等边三角形和等边三角形的边长分别为, ,
，.
连接,，若点在线段 上，
则 ，
即，可得，矛盾，
故点 在线段 的延长线上.
由题意得，可得,，
该球的表面积 .
［素养小结］
解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择
多面体中的一个面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直于此
面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的
准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法
找到球心位置．
探究点二 内切球问题
例2 如图，在圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的
上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为 ，
球的体积为，则 的值是__.
[解析] 设球的半径为，则圆柱的底面半径为 ，
高为，
所以 .
变式 [2024·四川南充高一期中] 已知圆锥的底面半径为3，母线长
为5，则该圆锥内能放置的半径最大的球的体积为____.
[解析] 如图所示，设圆锥底面圆的圆心为 ，
一条直径为，圆锥的顶点为，连接 ，
则圆锥的一个轴截面为等腰三角形 .
设该圆锥内能放置的半径最大的球的球心为 ，
易知球的一个轴截面是的内切圆，
设球与切于点，连接.由题意知，，则,
设球 的半径为，由得，即 ，
解得，所以球的体积为 .
［素养小结］
求解多面体的内切球问题，关键是求出半径，一般是将多面体分割
为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积
等于各棱锥的体积之和求出内切球的半径．
类型：墙角模型（三条棱两两垂直，不用找球心的位置即可求出外
接球半径）
方法：找到三条两两垂直的棱，棱长分别为,, ，直接用公式
，即，求出外接球半径 .
例（1） 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，
则这个球的表面积是( )
A. B. C. D.
[解析] 设正四棱柱的底面边长为，由，得 ，
设球的半径为，则 ，
故球的表面积 ，故选C.
√
（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球
的表面积是____.
[解析] 设外接球的半径为，则由题可得 ，
故球的表面积 .
