第二章 ｜ 匀变速直线运动的研究
第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
核心素养点击
物理观念 (1)了解匀变速直线运动的特点及其分类 (2)知道公式v＝v0＋at的含义
科学思维 (1)根据实验得到的v-t图像是一条倾斜直线，建构匀变速直线运动的模型 (2)能根据v-t图像得出匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v0＋at
科学态度 与责任 能应用匀变速直线运动的速度与时间的关系式或图像，分析和解决生产、生活中有关的实际问题
一、匀变速直线运动
1．填一填
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
(2)v-t图像：匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
(3)分类。
①匀加速直线运动：速度随时间均匀增加。
②匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。
2．判一判
(1)匀速直线运动的速度是恒定的，不随时间而改变。 (√)
(2)匀变速直线运动的速度随时间均匀增大。 (×)
(3)匀变速直线运动的加速度随时间均匀增大。 (×)
(4)速度随时间不断增加的直线运动，一定是匀加速直线运动。 (×)
3．选一选
(多选)四个物体运动的v-t图像如图所示。其中表示匀变速直线运动的是 ( )
答案：BCD
二、速度与时间的关系
1．填一填
(1)速度公式：v＝v0＋at。
(2)意义：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at。
2．判一判
(1)公式v＝v0＋at适用于任何运动。 (×)
(2)由公式v＝v0＋at知v的方向一定和v0方向一致。 (×)
(3)由公式v＝v0＋at知v的大小一定大于v0的大小。 (×)
(4)在v-t图像中，图线的斜率表示加速度。 (√)
3．想一想
在匀变速直线运动中，v＝v0＋at只能用来求解末速度吗？
提示：不是，公式中涉及四个物理量v、v0、a、t，只要已知其中任意三个物理量就可求解第四个物理量。
主题探究 一 速度公式v＝v0＋at的理解及应用
[问题驱动]
1．根据加速度的定义式怎样求得末速度？
提示：由a＝＝，得出v＝v0＋at。
2.根据如图所示的v-t图像，从数学角度分析，你能写出相应的v-t函数表达式吗？图像在纵轴上的截距表示什么意义？图像的斜率表示什么意义？
提示：由y＝b＋kx得v＝v0＋at，图像在纵轴上的截距表示初速度的大小，图像的斜率表示加速度。
【重难释解】
1．适用条件
公式v＝v0＋at只适用于匀变速直线运动。
特例：当v0＝0时，v＝at，表示物体做由静止开始的匀加速直线运动。
2．公式的矢量性
公式中v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，首先应选取正方向。如果以v0的方向为正方向，则：
(1)匀加速直线运动，a＞0；
(2)匀减速直线运动，a＜0；
特例：v0＝0，则以a的方向为正方向。
典例1 我国的家庭汽车保有量居世界第一，汽车一般有五个前进挡位，如图所示，对应不同的速度范围，设在每一挡汽车均做匀变速直线运动，换挡时间不计。设某次行车时，一挡起步，起步后马上挂入二挡，加速度为2 m/s2，3 s后挂入三挡，再经过4 s速度达到13 m/s，随即挂入四挡，加速度为1.5 m/s2，速度达到16 m/s时挂上五挡，加速度为1 m/s2。求：
(1)汽车在三挡时的加速度大小；
(2)汽车在四挡时行驶的时间；
(3)汽车挂上五挡后再过5 s的速度大小。
[解析] 汽车运动过程如图所示。
(1)根据匀变速直线运动的速度与时间的关系v＝v0＋at知，刚挂入三挡时，汽车的速度
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s，
可知汽车在三挡时的加速度大小
a2＝＝ m/s2＝1.75 m/s2。
(2)根据v3＝v2＋a3t3知，汽车在四挡时的行驶时间
t3＝＝ s＝2 s。
(3)汽车挂上五挡后再过5 s的速度
v4＝v3＋a4t4＝16 m/s＋1×5 m/s＝21 m/s。
[答案] (1)1.75 m/s2 (2)2 s (3)21 m/s
应用速度公式v＝v0＋at解题的思路
(1)选取研究对象和过程。
(2)画出运动草图，标上已知量。
(3)规定正方向，判断各量的正、负，利用v＝v0＋at由已知条件求解，最后指明所求量的方向。
【素养训练】
1．(多选)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动一段时间后打开降落伞，打开伞后运动员以5 m/s2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任一秒内( )
A．这一秒末的速度比前一秒初的速度小5 m/s
B．这一秒末的速度是前一秒末的速度的
C．这一秒末的速度比前一秒末的速度小5 m/s
D．这一秒末的速度比前一秒初的速度小10 m/s
答案：CD
2．(多选)一辆电车做直线运动，速度v随时间t变化的函数关系为v＝bt，其中b＝0.3 m/s2，下列说法正确的是 ( )
A．电车做匀速直线运动
B．电车的速度变化率大小是0.3 m/s2
C．电车做匀变速直线运动
D．电车的初速度为0.3 m/s
答案：BC
主题探究 （二）v-t图像的理解及应用
【重难释解】
1．直线运动的v-t图像
(1)匀速直线运动的v-t图像。
匀速直线运动的v-t图像是一条平行于时间轴的直线。如图所示，从图像中可以直接读出v甲＝5 m/s、v乙＝－10 m/s，负号表示速度沿着负方向。
(2)匀变速直线运动的v-t图像。
匀变速直线运动的v-t图像是一条倾斜的直线。
如图所示：直线a为匀加速直线运动的图像；直线b为匀减速直线运动的图像；直线c表示0～t1时间内做匀减速直线运动，t1时刻后反向做匀加速直线运动，由于加速度不变，整个运动过程是匀变速直线运动。
2．由v-t图像能获取的信息
图线上某点 的纵坐标 正、负 表示瞬时速度的方向
绝对值 表示瞬时速度的大小
图线的斜率 正、负 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标 轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点 表示加速度改变
两图线的交点 表示对应时刻速度相等
典例2 (多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，甲、乙运动的v-t图像如图所示，下列判断正确的是 ( )
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．甲、乙两次速度相同的时刻分别在 1 s 末和4 s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙速度方向相反
[解析] 由题图知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s 内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，A错误，C正确；t1＝1 s和t2＝4 s时甲、乙速度相同，B正确；0～6 s 内甲、乙的速度方向都沿正方向，D错误。
[答案] BC
(1)v-t图像只能描述直线运动，无法描述曲线运动。
(2)v-t图像描述的是物体的速度随时间的变化规律，不表示物体的运动轨迹。
(3)加速与减速只决定于a与v方向是否相同，与v的方向无关。
【素养训练】
1.一个做匀变速直线运动的质点的v-t图像如图所示，由图线可知其速 度—时间关系式为 ( )
A．v＝4＋2t B．v＝－4＋2t
C．v＝－4－2t D．v＝4－2t
答案：B
2．(多选)如图所示是一汽车在行驶过程中通过交叉路口的速度—时间图像，由图线可知
( )
A．汽车在路口等候的时间为14 s
B．汽车减速阶段的加速度大小为2.5 m/s2
C．汽车14 s以后做曲线运动
D．汽车在启动过程加速度逐渐减小
答案：BD
一、培养创新意识和创新思维
[选自鲁科版教材“物理聊吧”]
(1)图甲给出了A、B、C三辆车的v t图像，在不计算的情况下，你能推断出这三辆车加速度的大小排序吗？分别估算这三辆车的加速度，看看结果与你的判断是否一致，并与同学交换看法。
提示：由斜率大小表示加速度大小可知，aA＞aB＞aC。由题图可估算得：aA＝3 m/s2，aB＝1 m/s2，aC＝ m/s2，也可得：aA＞aB＞aC。
(2)图乙(a)和(b)分别表示的是什么运动？初速度是否为0？是加速还是减速？请说说你判断的理由。
提示：图(a)表示匀加速直线运动，图(b)表示匀减速直线运动，初速度均不为0。
二、注重学以致用和思维建模
1．汽车等交通工具的“刹车问题”
汽车刹车、列车进站、飞机着陆等过程都可看成匀减速直线运动直至速度减为零，统称为“刹车”类问题。要注意“刹车”时只在“刹停时间”内做匀减速运动，而速度减为零后保持静止。刹停时间取决于初速度和加速度的大小。
2．处理刹车类问题的基本思路
[选自鲁科版教材例题]
一辆汽车以54 km/h的速度在平直公路上行驶，司机看见前方路口红灯亮时立即刹车。若汽车刹车时的加速度大小为3 m/s2，则刹车后4 s末的速度是多少？
[解题指导] 刹车后，汽车的运动可视为匀减速直线运动，加速度方向与速度方向相反(如图)。可将已知量代入速度公式求解。
[解析] 选定初速度方向为正方向，由题意可知，
v0＝54 km/h＝15 m/s，t＝4 s，
a＝－3 m/s2。
根据匀变速直线运动的速度公式得
vt＝v0＋at＝15 m/s＋(－3 m/s2)×4 s＝3 m/s，
所以，汽车刹车后4 s末的速度是3 m/s。
[答案] 3 m/s
[迁移·发散]
求解物理问题时，不能盲目将数据代入公式，应关注问题的物理情境。上典例中，若求汽车刹车后6 s末的速度，结果又如何？请算一算，并说明理由。
提示：由vt＝v0＋at可求得汽车刹车后6 s末的速度vt＝15 m/s＋(－3 m/s2)×6 s＝－3 m/s。
汽车刹车过程的最小速度为零，不可能为负值，计算结果为负值，说明汽车在刹车后6 s末前已停止运动。
由0＝15 m/s＋(－3 m/s2)×t′可求得t′＝5 s，
即汽车刹车后5 s末即停止运动，刹车后6 s末汽车的速度为零。
求解刹车类问题的常见错误
当给定的时间大于“刹车时间”时，误认为汽车在给定的时间内一直做匀减速直线运动，简单套用匀变速直线运动速度与时间公式v＝v0＋at，导致速度出现负值。
【素养训练】
高铁G1378从娄底南站由静止开始加速出站，加速度为0.6 m/s2,1.5 min后G1378速度为多大？G1378匀速运动时速度为388.8 km/h，到达长沙南站时，如果以1.0 m/s2的加速度减速进站，求减速后110 s时速度为多大？
解析：取G1378开始时运动方向为正方向。G1378初速度v0＝0，则G1378出站1.5 min后的速度v1＝v0＋a1t1＝(0＋0.6×1.5×60)m/s＝54 m/s；当G1378减速进站时a2＝－1.0 m/s2；初速度v20＝388.8 km/h＝108 m/s，从刹车到速度为0的时间t2＝＝108 s；所以减速后110 s时G1378已经停止运动，速度为0。
答案：54 m/s 0第二章 ｜ 匀变速直线运动的研究
第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系
课时跟踪检测
组—重基础·体现综合
1．下列有关匀变速直线运动的认识，其中正确的是( )
A．物体在一条直线上运动，若在相等的时间内通过的位移相等，则物体的运动就是匀变速直线运动
B．加速度大小不变的运动就是匀变速直线运动
C．匀变速直线运动是速度变化量为零的运动
D．匀变速直线运动的加速度是一个恒量
2.“歼 20”飞机在第15届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示。在某次短距离起飞过程中，战机只用了10 s就从静止加速到起飞速度288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动，则它的加速度大小为( )
A．28.8 m/s2 B．10 m/s2
C．8 m/s2 D．2 m/s2
3．(多选)一物体的速度随时间变化的关系为v＝(5－2t)m/s，则下列说法正确的是( )
A．物体的初速度为5 m/s
B．物体做匀加速直线运动
C．物体每秒的速度变化量为－2 m/s
D．经过3 s物体的速度为零
4.如图所示是某物体运动的v t图像，下列说法正确的是( )
A．该物体的加速度一直不变
B．3 s末物体加速度开始改变
C．0～8 s内物体一直做匀减速运动
D．t＝0时和t＝6 s时物体的速率不相等
5．2025年3月17日，我国在酒泉卫星发射中心用谷神星一号遥十运载火箭将八颗卫星成功发射升空并送入预定轨道。若某段时间内火箭速度的变化规律为v＝(20t＋4)m/s，由此可知这段时间内( )
A．火箭的初速度为2 m/s
B．火箭的加速度为4 m/s2
C．在3 s末，火箭的瞬时速度为64 m/s
D．火箭做匀速直线运动
6．(多选)假设动车出站时能在150 s内匀加速到180 km/h，然后正常行驶。某次因意外动车以加速时的加速度大小将车速减至108 km/h。取初速度方向为正方向，则下列说法正确的是( )
A．列车加速时的加速度大小为 m/s2
B．列车减速时，若运用v＝v0＋at计算瞬时速度，其中a＝－ m/s2
C．若用v t图像描述列车的运动，减速时的图线在时间t轴的下方
D．列车由静止加速，1 min内速度可达20 m/s
7．在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，如果物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下，那么经过3 s后的速度大小和方向是( )
A．25 m/s，沿斜面向下 B．5 m/s，沿斜面向下
C．5 m/s，沿斜面向上 D．25 m/s，沿斜面向上
8.某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是( )
9.世界一级方程式(F1)比赛过程中，赛车在比赛中有一次进站加油的过程。在某次比赛中，处于第一名的赛车进站加油，该赛车进站时一直做减速运动，平均加速度大小为45 m/s2，出站时一直做加速运动，平均加速度大小为30 m/s2，加油时间为6 s，进站前和出站后在赛道上的速度均为90 m/s，则该赛车从进站到出站所用时间是多少？
组—重应用·体现创新
10．(多选)甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v t图像如图所示，则( )
A．甲、乙在0～1 s之间沿同一方向运动
B．乙在0～7 s之间做往复运动
C．甲在0～4 s之间做往复运动
D．甲、乙在t＝6 s时的加速度方向相同
11．(2025年1月·八省联考云南卷)司机驾驶汽车以36 km/h的速度在平直道路上匀速行驶。当司机看到标有“学校区域限速20 km/h”的警示牌时，立即开始制动，使汽车做匀减速直线运动，直至减到小于20 km/h的某速度。则该匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小可能是( )
A．9.0 s,0.5 m/s2 B．7.0 s,0.6 m/s2
C．6.0 s,0.7 m/s2 D．5.0 s,0.8 m/s2
12．卡车原来用10 m/s的速度匀速在平直公路上行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方即开始刹车，使卡车匀减速前进，当车减速到2 m/s时，交通信号灯变为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程的一半时间卡车就加速到原来的速度，从刹车开始到恢复原速度的过程用了12 s。求：
(1)减速与加速过程中的加速度；
(2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度。
参考答案
1.答案：D
2.答案：C
3.答案：AC
4.答案：A
5.答案：C
6.解析：选ABD 180 km/h＝50 m/s，根据速度时间公式得，列车加速时的加速度为：a＝＝ m/s2＝ m/s2，故A正确；规定初速度的方向为正方向，由于列车减速时的加速度大小等于加速时的加速度大小，若运用v＝v0＋at计算瞬时速度，其中a＝－ m/s2，故B正确；在速度—时间图线中，速度的正负表示运动的方向，减速时由于速度的方向未变，则减速时的图线仍然在时间t轴的上方，故C错误；根据速度时间公式得：v＝at＝×60 m/s＝20 m/s，故D正确。
7.解析：选B 物体沿斜面向上运动速度减小为零所用时间为t1，由v0＝at1，得t1＝＝2 s，此后物体沿光滑斜面向下加速，1 s后速度大小为v＝5 m/s，方向沿斜面向下，故B正确。
8.解析：选A x t图像斜率的物理意义是速度，在0～t1时间内，x t图像斜率增大，汽车的速度增大；在t1～t2时间内，x t图像斜率不变，汽车的速度不变；在t2～t3时间内，x t图像的斜率减小，汽车做减速运动，综上所述可知A中v t图像可能正确。
9.解析：赛车的进站过程做匀减速运动，初速度为v0＝90 m/s，末速度为v＝0，加速度为a1＝－45 m/s2，则进站时间为：t1＝＝ s＝2 s；赛车的出站过程做匀加速运动，初速度为v0′＝0，末速度为v′＝90 m/s，加速度为a2＝30 m/s2，则出站时间为：t2＝＝3 s；所以该赛车从进站到出站所用时间是：t＝t1＋t2＋6 s＝2 s＋3 s＋6 s＝11 s。
答案：11 s
10.解析：选BD 在0～1 s内甲沿x轴正方向运动，乙先沿x轴负方向运动，后沿x轴正方向运动，选项A错误；在0～0.5 s内乙的速度为负值，乙沿x轴负方向运动，在0.5～4 s 内乙的速度为正值，沿x轴正方向运动，在4～7 s内乙的速度为负值，乙沿x轴负方向运动，选项B正确；在0～4 s内甲的速度恒为正值，始终沿x轴正方向运动，选项C错误；在t＝6 s时，甲、乙速度图像的斜率均为负值，即甲、乙的加速度方向均沿x轴负方向，选项D正确。
11.解析：选A 汽车做匀减速直线运动过程，初速度v0＝36 km/h＝10 m/s，末速度v<20 km/h≈5.56 m/s，该过程汽车速度的变化量Δv不小于4.44 m/s，根据匀变速直线运动关系Δv＝at，可知匀减速阶段汽车的行驶时间和加速度大小的乘积不小于4.44 m/s，符合题意的只有A选项，故选A。
12.解析：(1)设初速度的方向为正方向，根据题意可知，减速时间t1＝8 s，加速时间t2＝4 s，
减速过程中的加速度a1＝ m/s2＝－1 m/s2，
加速过程中的加速度a2＝ m/s2＝2 m/s2。
(2)由速度公式v＝v0＋at可知，开始刹车后2 s末的速度为v2＝(10－1×2)m/s＝8 m/s，
汽车刹车时间为8 s，接着加速，所以10 s末的速度为
v10＝(2＋2×2)m/s＝6 m/s。
答案：(1)－1 m/s2 2 m/s2 (2)8 m/s 6 m/s
