第二章 ｜ 匀变速直线运动的研究
综合提能 一 平均速度公式的理解及应用
【知识贯通】
1．平均速度公式：＝v＝
匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。
2．推导
设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v，
由x＝v0t＋at2得，
平均速度＝＝v0＋at， ①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有
v＝v0＋a·， ②
由①②得＝v，又v＝v＋a·， ③
由②③解得v＝，
综上所述，有＝v＝。
[特别提醒] 公式＝v＝ 只适用于匀变速直线运动，＝ 适用于所有运动。
1 某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。
四个运动学公式的“巧选”问题
运动学公式中常涉及v0、v、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果：
题目的条件 优先选用的公式
无位移x，也不需要求位移 速度公式：v＝v0＋at
无末速度v，也不需要求末速度 位移公式： x＝v0t＋at2
无运动时间t，也不需要求运动时间 速度—位移公式： v2－v＝2ax
无加速度a，也不需要求加速度 平均速度公式法：x＝t
【集训提能】
2．如图为世界一级方程式锦标赛中某赛车直线加速的情景，假设赛车启动时从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v所需时间为t，则此过程赛车的运动距离为 ( )
A．vt B.
C．2vt D．不能确定
3．如图所示，一物理研究小组正在测量桥面某处到水面的高度。一同学将两个相同的铁球1、2用长为L＝4 m的细线连接。用手抓住球2使其与桥面等高，让球1悬挂在正下方，然后由静止释放，测得两球落到水面的时间差Δt＝0.2 s，g取10 m/s2，则桥面该处到水面的高度约为( )
A．18 m B．20 m
C．22 m D．24 m
综合提能 二 中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
【知识贯通】
1．中点位置的瞬时速度公式：v＝
匀变速直线运动中，任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初、末速度的“方、均、根”值。
2．推导
如图所示，前一段位移v2－v＝2a·，后一段位移v2－v2＝2a·，所以有v2＝·(v＋v2)，即有v＝ 。
[特别提醒]
(1)公式v＝ 只适用于匀变速直线运动。
(2)对于任意一段匀变速直线运动，中点位置的瞬时速度总大于中间时刻的瞬时速度，即v＞v。(无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都成立)
4 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有 ( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
【集训提能】
5．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移x时的速度是v，那么经过位移2x时的速度是 ( )
A．v B.v
C．2v D．4v
6．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是 ( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是
综合提能 三 逐差相等公式的理解及应用
【知识贯通】
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2
做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。
2．推导
如图所示，把匀变速直线运动按相等的时间分段。
设初速度为v0，则前1T、2T、3T，…的位移分别为：
x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，x3＝v0·3T＋a·T2，…
所以第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移分别为：xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
则有：xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2…
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
[特别提醒] 此推论只适用于匀变速直线运动，对于不相邻的任意两段位移差应有：xm－xn＝(m－n)aT2。
3．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动。
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
7 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。
[解题指导] 画出该物体的运动过程如图所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻。根据题目要求可选用不同方法进行求解。
【集训提能】
8．(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情景，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，
已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则 ( )
A．猎豹的加速度为5 m/s2
B．猎豹的加速度为10 m/s2
C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
9．一质点在连续的6 s内做匀加速直线运动，在第1个2 s内位移为12 m，最后1个2 s内位移为36 m，下列说法正确的是( )
A．质点的加速度大小是3 m/s2
B．质点在第2 个2 s内的平均速度大小是18 m/s
C．质点在第2 s末的速度大小是12 m/s
D．质点在第1 s内的位移大小是6 m
综合提能 四) 初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用
【知识贯通】
初速度为零的匀加速直线运动的推论
按时间等分(设相等的时间间隔为T) 1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
前1T内、前2T内、前3T内、…、前nT内位移之比，由x＝at2可推得： x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第N个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…可推得： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶ xN＝1∶3∶5∶…∶ (2N－1)
按位移等分(设相等的位移为x0) 通过x0、2x0、3x0、…、nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝ ，可推得： t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过第一个x0、第二个x0、第三个x0、…、第N个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…可推得：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
x0末、2x0末、3x0末、…、nx0末的瞬时速度之比，由v2＝2ax，可得v＝ 可推得： v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
[特别提醒] (1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用以上比例式可以快速解题——逆向思维法。
10 (多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为 ( )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
[解题指导] 把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用有关比例式解题。
【集训提能】
11．(多选)几个水球可以挡住子弹？实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动。恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间之比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
12．如图所示为港珠澳大桥上四段长度均为110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则通过ce段的时间为( )
A．t B．t
C．(2－)t D．(2＋)t
参考答案
1.[解析] 法一：基本公式法
设最大速度为vmax，
由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
联系上式解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s。
法二：平均速度法
由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，
即＝＝，由x＝t得vmax＝＝5 m/s。
[答案] 5 m/s
2.答案：B
3.解析：选C 设桥面高度为h，球1、球2落到水面的时间分别为t1、t2，则h＝gt22，h－L＝gt12，又t2－t1＝Δt，联立解得h≈22 m，故选C。
4.[解析] 由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，故D正确，C错误。
[答案] BD
5.答案：B
6.答案：B
7.[解析] 法一：基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2，
x2＝vA·2T＋a(2T)2－vAT＋aT2，
vC＝vA＋a·2T，
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s，
代入以上各式，
联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，
vC＝21 m/s。
法二：平均速度法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。
由于B是A、C的中间时刻，
则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s，
又1＝，2＝。
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，
其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
法三：位移差法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2；
又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
8.答案：AD
9.答案：A
10.[解析] 子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确。子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确。
[答案] BD
11.答案：BD
12.答案：C第二章 ｜ 匀变速直线运动的研究
综合提能
组—重基础·体现综合
1．(多选)对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是( )
A．物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5
B．物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为1∶3∶5
C．物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为∶∶
D．物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为∶∶
2.冰壶的运动可以看成匀减速直线运动，假设冰壶经过6 s停止运动，那么冰壶在先后连续相等的三个2 s内通过的位移之比x1∶x2∶x3为( )
A．1∶2∶3 B．5∶3∶1
C．1∶4∶9 D．3∶2∶1
3．一质点做匀变速直线运动，经直线上的A、B、C三点，已知AB＝BC＝x＝4 m，质点在AB间运动的平均速度为v1＝6 m/s，在BC间运动的平均速度为v2＝3 m/s，则质点的加速度为( )
A．1.5 m/s2 B．3 m/s2
C．－3 m/s2 D．－2 m/s2
4．一列做匀加速直线运动的火车，从某时刻开始计时，第1 min 内火车前进了240 m，第6 min内火车前进了1 140 m，则该火车的加速度为( )
A．0.01 m/s2 B．0.03 m/s2
C．0.05 m/s2 D．0.1 m/s2
5.如图所示，a、b、c、d为光滑斜面上的四个点。一小滑块自a点由静止开始下滑，通过ab、bc、cd各段所用时间均为T。现让该滑块自b点由静止开始下滑，则该滑块( )
A．通过bc、cd段的时间均大于T
B．通过c、d点的速度之比为1∶2
C．通过bc、cd段的时间之比为1∶1
D．通过c点的速度等于通过bd段的平均速度
6．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段位移内中间位置的瞬时速度为v，则( )
A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v<
B．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v>
C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v＝
D．匀加速直线运动时，v<；匀减速直线运动时，v>
7．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )
A．4 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．3 m/s
8．(多选)一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内产生的位移为8 m，在第4 s内产生的位移为4 m，则关于该物体运动的描述正确的是( )
A．该物体的加速度大小为4 m/s2，方向向西
B．该物体在第3 s末的速度大小为8 m/s
C．该物体在前3 s内的平均速度为12 m/s
D．该物体在5 s末回到了出发点
9．如图所示为在阅兵活动中亮相的新型装甲车，该型车既能高速行驶于铺装路面，又能快速行驶于急造军路、乡村土路。若该型车从静止开始，在水平路面上做匀加速直线运动，加速到72 km/h需要10 s。
(1)求该型车在匀加速过程的加速度大小；
(2)求该型车从静止到匀加速至72 km/h的过程中的位移大小。
组—重应用·体现创新
10．(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放做匀加速运动，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于通过B点的速度vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
11．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )
A．物体在A点的速度为
B．物体运动的加速度为
C．物体运动的加速度为
D．物体在B点的速度为
12．据统计，开车时看手机发生交通事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生交通事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2 s，相当于盲开50 m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离)至少是25 m，根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108 km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100 m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2 s后才发现危险，司机的反应时间为0.5 s，刹车的加速度与(1)问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。
参考答案
1.答案：ACD
2.答案：B
3.答案：C
4.答案：C
5.答案：A
6.解析：选B 等于t时间内物体的平均速度，也等于t时间内中间时刻的瞬时速度，又因为无论是匀加速还是匀减速直线运动中，任意一段时间内的平均速度总小于中间位置的瞬时速度，故有v>，故选项B正确。
7.解析：选D 设斜面长为L，加速度为a，到达底端的速度为v，则由v＝ 得3 m/s＝ ，所以v＝3 m/s，D正确。
8.解析：选AC 第3 s内的位移大小为8 m，则第3 s内的平均速度为8 m/s，根据匀变速直线运动规律，2.5 s末物体的速度v2.5＝8 m/s，同理可得3.5 s末物体的速度v3.5＝4 m/s，则加速度a＝＝＝－4 m/s2，即加速度方向沿正西方向，选项A正确；第3 s末的速度大小为v3＝v2.5＋at′＝8 m/s－4 m/s2×0.5 s＝6 m/s，选项B错误；初速度v0＝v3－at″＝6 m/s－(－4 m/s2)×3 s＝18 m/s，故前3 s内的平均速度为＝＝＝12 m/s，选项C正确；物体在前5 s内的位移x＝v0t＋at2＝40 m，故物体在5 s末不会回到出发点，选项D错误。
9.解析：(1)v＝72 km/h＝20 m/s，则该型车的加速度大小为a＝＝＝2 m/s2。
(2)该型车匀加速过程的位移大小为
x＝t＝×20 m/s×10 s＝100 m。
答案：(1)2 m/s2 (2)100 m
10.解析：选BC 初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，故物体到达各点的速度之比为1∶∶∶2，物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝ tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误。
11.解析：选ACD 根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：vA＝，故A正确；根据x2－x1＝aT2得物体运动的加速度为：a＝，故B错误，C正确；在该加速运动过程中有：vB＝vA＋aT＝＋＝，故D正确。
12.解析：(1)汽车运动的速度为v1＝＝ m/s＝25 m/s；设汽车刹车的最大加速度为a，则
a＝＝ m/s2＝12.5 m/s2。
(2)v2＝108 km/h＝30 m/s；司机看手机时，汽车运动的位移为x1＝v2t＝30×2 m＝60 m，
反应时间内运动的位移的大小为
x2＝v2Δt＝30×0.5 m＝15 m，
刹车后汽车运动的位移x3＝＝ m＝36 m；
所以汽车前进的距离为x＝x1＋x2＋x3＝60 m＋15 m＋36 m＝111 m＞100 m，所以会发生交通事故。
答案：(1)25 m/s 12.5 m/s2 (2)会发生交通事故
