第五章 计数原理
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
【学习目标】
1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.能够结合具体实例,进一步识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能运用这些原理解决简单的实际问题.
◆ 知识点一 分类加法计数原理
完成一件事,可以有 办法,在第1类办法中有 种方法,在第2类办法中有 种方法……在第n类办法中有 种方法,那么,完成这件事共有N=
种方法. (也称“加法原理”)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事. ( )
◆ 知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要经过 步骤,缺一不可,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法……做第n步有 种不同的方法,那么,完成这件事共有N= 种方法. (也称“乘法原理”)
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以是各不相同的. ( )
(2)在分步乘法计数原理中,事情如果是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( )
◆ 探究点一 分类加法计数原理
例1 从甲地出发前往乙地,一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某人某天要从甲地出发去乙地旅游,则所有不同走法的种数是 ( )
A.16 B.15
C.12 D.8
变式 某班有男生22人,女生18人,从中选一名学生为数学课代表,则不同的选法共有 ( )
A.40种 B.396种
C.22种 D.18种
[素养小结]
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
[提醒] 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.
拓展 如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有 ( )
A.9种 B.11种
C.13种 D.15种
◆ 探究点二 分步乘法计数原理
例2 在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有 ( )
A.12种 B.24种
C.64种 D.81种
变式 为促进中学生综合素质全面发展,某校开设了5个社团,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,则不同的报名方式共有 ( )
A.60种 B.120种
C.125种 D.243种
[素养小结]
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
[提醒] 分步时要注意不能遗漏步骤,否则就不能完成这件事.
◆ 探究点三 分步、分类计数原理综合应用
例3 现从高二年级4个班的学生中共抽取34人,其中甲、乙、丙、丁班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外活动小组.
(1)选其中1人为负责人,有多少种不同的选法
(2)每班选1名组长,有多少种不同的选法
(3)推选2人发言,这2人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
变式 [2024·江西上饶玉山二中高二月考] 某学校派出五名教师去三所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求,每位教师只能去一所学校参与支教,并且每所学校至少有一名教师参与支教,同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教,则不同的安排方案有 ( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
[素养小结]
利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才能完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从而归纳出解题方法.
(2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图,使问题的分析更直观、清楚,以便于探索规律.
(3)综合问题在求解过程中一般先分类再分步.(共24张PPT)
1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.能够结合具体实例,进一步识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数
原理,并能运用这些原理解决简单的实际问题.
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，可以有_____办法,在第1类办法中有____种方法,在第2类办法中有
____种方法……在第类办法中有____种方法,那么，完成这件事共有
___________________种方法. （也称“加法原理”）
类
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.( )
×
（2）在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事.( )
√
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事需要经过_____步骤,缺一不可，做第1步有____种不同的方法,做第2
步有____种不同的方法……做第 步有____种不同的方法，那么，完成这件事共
有 _______________种方法. （也称“乘法原理”）
个
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以是各不相同
的.( )
√
（2）在分步乘法计数原理中,事情如果是分两步完成的,那么其中任何一个单独
的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( )
√
探究点一 分类加法计数原理
例1 从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某
人某天要从甲地出发去乙地旅游，则所有不同走法的种数是( )
D
A.16 B.15 C.12 D.8
[解析] 根据分类加法计数原理可知，共有 （种）不同的走法.故选D.
变式 某班有男生22人，女生18人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的
选法共有( )
A
A.40种 B.396种 C.22种 D.18种
[解析] 从该班男生中选一名学生为数学课代表有22种方法，
从该班女生中选一名学生为数学课代表有18种方法，
故不同的选法共有 （种）.故选A.
［素养小结］
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
［提醒］ 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事.
拓展 如图所示，在， 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断
路，则电路不通，则焊接点脱落导致电路不通的情况有( )
C
A.9种 B.11种 C.13种 D.15种
[解析] 按照可能脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有（1）,（4）,共2种情况;
若脱落2个，则有，，，，， ,共6种情况;
若脱落3个，则有，，， ，共4种情况;
若脱落4个，则有，共1种情况.
综上,共有 （种）情况.故选C.
探究点二 分步乘法计数原理
例2 在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗
位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有( )
C
A.12种 B.24种 C.64种 D.81种
[解析] 根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意一人，有4种排班方法.
同理第二天和第三天也有4种排班方法，
根据分步乘法计数原理可知，不同的排班方法有 （种），故选C.
变式 为促进中学生综合素质全面发展，某校开设了5个社团，甲、乙、丙三
名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有( )
C
A.60种 B.120种 C.125种 D.243种
[解析] 由题意知，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，
所以每个人有5种选择，则不同的报名方式共有 （种），故选C.
［素养小结］
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
［提醒］ 分步时要注意不能遗漏步骤,否则就不能完成这件事.
探究点三 分步、分类计数原理综合应用
例3 现从高二年级4个班的学生中共抽取34人,其中甲、乙、丙、丁班分别有7
人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外活动小组.
（1）选其中1人为负责人,有多少种不同的选法
解:分四类:第一类,从甲班的学生中选1人,有7种选法;
第二类,从乙班的学生中选1人,有8种选法;
第三类,从丙班的学生中选1人,有9种选法;
第四类,从丁班的学生中选1人,有10种选法.
所以不同的选法共有 （种）.
（2）每班选1名组长,有多少种不同的选法
解：分四步,第一、二、三、四步分别是从甲、乙、丙、丁班的学生中选1名组长,
所以不同的选法共有 （种）.
（3）推选2人发言,这2人需来自不同的班级,有多少种不同的选法
解：分六类,每一类又分两步：从甲、乙班的学生中各选1人,有 （种）
不同的选法;
从甲、丙班的学生中各选1人,有 （种）不同的选法;
从甲、丁班的学生中各选1人,有 （种）不同的选法;
从乙、丙班的学生中各选1人,有 （种）不同的选法;
从乙、丁班的学生中各选1人,有（种）不同的选法;
从丙、丁班的学生中各选1人,有 （种）不同的选法.
所以不同的选法共有 （种）.
变式 [2024·江西上饶玉山二中高二月考] 某学校派出五名教师去三所乡村学
校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去一
所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇
必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有( )
C
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
[解析] 先将五个人分为三组，每组的人数分别为3，1，1或2，2，1.
若三组的人数分别为3，1，1，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽一人，此时不同的分组方法有3种；
若三组的人数分别为2，2，1，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2,1,此时不同的分组方法有3种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，
因此不同的安排方案有 （种）.故选C.
［素养小结］
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才能完成这件
事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从而归纳出解题方法.
（2）分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图,使问题的分析更
直观、清楚,以便于探索规律.
（3）综合问题在求解过程中一般先分类再分步.
1.分类加法计数原理中“完成一件事有 类不同的办法”是指完成这件事的所有方
法可分为 类,即用任何一类中的任何一种方法都可以做完这件事,而不需要再用
其他方法.每一类中没有相同的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.
2.分步乘法计数原理中“完成一件事需要 个步骤”是指完成这件事的任何一种方
法都要分成 个步骤,在每一个步骤中任取一种方法,然后相继完成所有步骤才能
完成这件事,即步与步之间是连续的、缺一不可的,且不能重复、交叉.简单地说,
应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”.
例1 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为____.
36
[解析] 方法一:根据题意,将十位数字按1,2,3,4,5,6,7,8分成八类,
在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有
（个）.
方法二:分析个位数字,可以分成以下几类:个位数字是9,
则十位数字可以是1,2,3, ,8中的一个,故共有8个;
个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3, ,7中的一个,故共有7个;
同理,个位数字是7的有6个……个位数字是2的有1个.
由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有
（个）.
例2 甲、乙、丙、丁四人报名参加了，， 三个场馆各一个项目的志愿者
工作，每个项目仅需一名志愿者，每人至多参加一个项目.若甲不能参加 场馆
的项目，则不同的安排方案共有( )
C
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
[解析] 先从除甲外的3人中选1人参加A场馆的项目，有3种选法；
再安排另外两个项目，从剩余3人中选2人有3种选法，
再分别安排到B，C两个场馆的项目中.
所以不同的安排方案共有 （种）.故选C.
例3 若直线方程中的， 可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个
不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解:分两类完成：
第一类，当或中有一个为0时，方程即为或 ，
此时方程所表示的不同直线有2条.
第二类，当，都不取0时，方程 被确定需分两步完成.
第一步，确定 的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；
第二步，确定 的值，共有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知,
此时方程所表示的不同直线有（条）.
故由分类加法计数原理知，
方程 所表示的不同直线共有 （条）．第五章 计数原理
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
【课前预习】
知识点一
n类 m1 m2 mn m1+m2+…+mn
诊断分析 (1)× (2)√
知识点二
n个 m1 m2 mn m1·m2·…·mn
诊断分析 (1)√ (2)√
【课中探究】
例1 D [解析] 根据分类加法计数原理可知,共有4+3+1=8(种)不同的走法.故选D.
变式 A [解析] 从该班男生中选一名学生为数学课代表有22种方法,从该班女生中选一名学生为数学课代表有18种方法,故不同的选法共有22+18=40(种).故选A.
拓展 C [解析] 按照可能脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有(1),(4),共2种情况;若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况;若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4种情况;若脱落4个,则有(1,2,3,4),共1种情况.综上,共有2+6+4+1=13(种)情况.故选C.
例2 C [解析] 根据题意,第一天值班可以安排4名职员中的任意一人,有4种排班方法.同理第二天和第三天也有4种排班方法,根据分步乘法计数原理可知,不同的排班方法有4×4×4=64(种),故选C.
变式 C [解析] 由题意知,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,所以每个人有5种选择,则不同的报名方式共有5×5×5=125(种),故选C.
例3 解:(1)分四类:第一类,从甲班的学生中选1人,有7种选法;第二类,从乙班的学生中选1人,有8种选法;第三类,从丙班的学生中选1人,有9种选法;第四类,从丁班的学生中选1人,有10种选法.所以不同的选法共有7+8+9+10=34(种).
(2)分四步,第一、二、三、四步分别是从甲、乙、丙、丁班的学生中选1名组长,所以不同的选法共有7×8×9×10=5040(种).
(3)分六类,每一类又分两步:从甲、乙班的学生中各选1人,有7×8=56(种)不同的选法;从甲、丙班的学生中各选1人,有7×9=63(种)不同的选法;从甲、丁班的学生中各选1人,有7×10=70(种)不同的选法;从乙、丙班的学生中各选1人,有8×9=72(种)不同的选法;从乙、丁班的学生中各选1人,有8×10=80(种)不同的选法;从丙、丁班的学生中各选1人,有9×10=90(种)不同的选法.所以不同的选法共有56+63+70+72+80+90=431(种).
变式 C [解析] 先将五个人分为三组,每组的人数分别为3,1,1或2,2,1.若三组的人数分别为3,1,1,则教师夫妇必在三人的一组,则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽一人,此时不同的分组方法有3种;若三组的人数分别为2,2,1,则两人一组的有一组是教师夫妇,只需将剩余三人分为两组,且这两组的人数分别为2,1,此时不同的分组方法有3种.接下来,将所分的三组分配给三所不同的学校,因此不同的安排方案有(3+3)×6=6×6=36(种).故选C.第五章 计数原理
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理1.2 分步乘法计数原理
1.B [解析] 由分类加法计数原理可得不同的选法共有3+2=5(种).
2.C [解析] 由题意,每人有2种选择,根据分步乘法计数原理可得,不同的报名方法有2×2×2=8(种).故选C.
3.D [解析] 每名同学都有3种选择方式,则5名同学共有35=243(种)选择方式,故选D.
4.C [解析] 在电键组A中有2个电键,在电键组B中有3个电键,根据分类加法计数原理可知,共有2+3=5(种)接通电源使电灯发光的方法.故选C.
5.D [解析] 从甲地到丁地的路线分为两类.第一类,从甲地过乙地到丁地,该路线分两步,①从甲地到乙地,有3条路,②从乙地到丁地,有2条路,则由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有3×2=6(条)路;第二类,从甲地过丙地到丁地,该路线分两步,①从甲地到丙地,有2条路,②从丙地到丁地有4条路,则由分步乘法计数原理得,从甲地到丁地有2×4=8(条)路.最后由分类加法计数原理得,从甲地到丁地共有6+8=14(条)路.故选D.
6.B [解析] 分两类.第一类,穿衬衣和半身裙,由分步乘法计数原理知共有4×3=12(种)选择方法;第二类,穿连衣裙,有2种选择方法.由分类加法计数原理知共有12+2=14(种)选择方法.
7.BC [解析] 对于A,B,4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,每人都有3种选择,共有34种报名方法,所以A错误,B正确; 对于C,D,4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),每个项目的冠军有4种可能,共有43 种可能结果,所以C正确,D错误.故选BC.
8.AB [解析] 根据题意,从两类符号中任取2个符号排成一列的情况可分为三类.第一类,由两个“——”组成,二进制数为11(2),转化为十进制数为1×21+1×20=3;第二类,由两个“- -”组成,二进制数为00(2),转化为十进制数为0×21+0×20=0;第三类,由一个“——”和一个“- -”组成,二进制数为10(2)或01(2),转化为十进制数为1×21+0×20=2或0×21+1×20=1.所以从两类符号中任取2个符号排成一列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3.故选AB.
9.35 [解析] 从男工人中选一人有20种选法,从女工人中选一人有15种选法,根据分类加法计数原理可得,不同的选法共有20+15=35(种).
10.16 [解析] 不同的走法可以看作由两步完成.第一步,进门,共有4种走法;第二步,出门,共有4种走法.由分步乘法计数原理知不同的走法共有4×4=16(种).
11.36 [解析] 分三步完成.第一步,从2种主食中任选1种,有2种选法;第二步,从3种素菜中任选1种,有3种选法;第三步,从6种荤菜中任选1种,有6种选法.则根据分步乘法计数原理可知,共有2×3×6=36(种)不同的选取方法.
12.63 [解析] 这个电路中共有6个焊接点,按其脱落与否,共有26=64(种)情况,若电路畅通,则每个焊接点都不能脱落,有1种情况,现发现电路不通,则焊接点脱落的可能性共有64-1=63(种).
13.解:(1)从三个班选出1名学生任学生会主席,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中选出1名学生任学生会主席,共有50+60+55=165(种)不同的选法.
(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选出1名学生任学生会生活部部长,共有3类不同的方案:第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选出1名学生任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法.
14.解:(1)若取出的2个小球的颜色不同,则应在A,B袋中各取1个小球,或在A,C袋中各取1个小球,或在B,C袋中各取1个小球,共有1×2+1×3+2×3=11(种)取法.
(2)若取出的2个小球的颜色相同,则应在B袋中取出2个小球,或在C袋中取出2个小球,共有1+3=4(种)取法.
15.11 [解析] 把g,o,o,d 这4个字母排一列,可分三步进行.第一步:排g有4种排法;第二步:排d有3种排法;第三步:排两个o,共1种排法.所以总的排法种数为12,其中正确的有1种,所以错误的共有12-1=11(种).
16.14 [解析] 不妨设圆周上的点依次为A,B,C,D,E,F,G,H,要使四条弦无公共点,如图所示.符合图①的连接方式有2种,符合图②的连接方式有4种,符合图③的连接方式有8种,故不同的连接方式共有2+4+8=14(种).第五章 计数原理
§1 基本计数原理
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
一、选择题
1.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持班会,则不同的选法种数为 ( )
A.6 B.5
C.3 D.2
2.现有甲、乙、丙三人要报名参加数学、物理竞赛,每人均参加一科,则不同的报名方法有 ( )
A.4种 B.6种
C.8种 D.9种
3.5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的1个讲座,则不同的选择方式种数为 ( )
A.60 B.125 C.240 D.243
4.如图,在由电键组A与B所组成的并联电路中,要接通电源使电灯发光的方法种数是 ( )
A.2 B.3
C.5 D.6
5.如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路,从甲地到丙地有2条路,从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有 ( )
A.11条 B.12条
C.13条 D.14条
6.小红有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的半身裙,另有2套不同样式的连衣裙.她需要选择一套服装参加歌舞演出,则她的选择方法有 ( )
A.24种 B.14种
C.10种 D.9种
7.(多选题)下列说法中正确的有 ( )
A.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有43种报名方法
B.4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有34种报名方法
C.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有43种可能结果
D.4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有34种可能结果
8.(多选题) 我国古代的《易经》与“二进制”有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号:“”和“”,其中“”在二进制中记作“1”,“”在二进制中记作“0”,其转化原理与“逢二进一”的法则相通,如符号“”对应的二进制数011(2)转化为十进制数的计算为011(2)=0×22+1×21+1×20=3.若从两类符号中任取2个符号排成一列,则组成的十进制数可以为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.6
二、填空题
9.某车间有男工人20人,女工人15人,从中选一位工人参加技能培训,则不同选法的种数为 .
10.某商场共有4个门,购物者若从任意一个门进,从任意一个门出,则不同的走法种数是 .
11.为响应国家“节约粮食”的号召,某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食,并在用餐时积极践行“光盘行动”,则不同的选取方法有 种.
12.如图,某电子元件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A,B,C,D,E,F,如果某个焊接点脱落,则整个电路就会不通,现发现电路不通了,那焊接点脱落的可能性共有
种.
三、解答题
13.某校高三年级共有三个班,各班人数如下表.
男生人数 女生人数 总人数
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)从三个班中选出1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选出1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法
14.现有标号为A,B,C的三个口袋,A袋中有1个红色小球,B袋中有2个不同的白色小球,C袋中有3个不同的黄色小球.从中取出2个小球.
(1)若取出的2个小球的颜色不同,有多少种取法
(2)若取出的2个小球颜色相同,有多少种取法
15.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误排序共有 种.
16.在一个圆周上有8个点,用四条无公共点的弦连接它们,则不同的连接方式有 种.
