§2 排列问题
2.1 排列与排列数
【课前预习】
知识点
1.一定的顺序 2.不同排列的个数
诊断分析 (1)× (2)√ (3)× (4)√
【课中探究】
例1 解:由排列的定义可知,需要考虑元素顺序的问题,才是排列问题.①中任选两个数相加,没有顺序性,所以不是排列问题;④中任意两点确定一条直线,但是直线没有方向性,所以没有顺序,也不是排列问题.②③⑤在求解时都需要考虑元素的顺序,是排列问题.
变式 ③④ [解析] 根据排列的定义可知,③④需要考虑元素的顺序性,属于排列问题,故填③④.
例2 解:(1)画出树状图,如图所示.
由上面的树状图可知,所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.共12个.
(2)画出树状图,如图所示.由上面的树状图可知,所有的四位数为1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24个.
变式 解:由题意作出树状图,如图所示.
故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共24个.
拓展 D [解析] 记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法分两类.第一类,不选甲,作出树状图,如图所示.
第二类,选甲,作出树状图,如图所示.
综上,共有48种不同的排法.
例3 B [解析] 2名教师排在两边有2种排法,3名学生排在中间有种排法,所以共有2种排法.故选B.
变式 解:方法一:先从这6支队中选1支为主队,然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理可知,每组进行比赛的场数为6×5=30.
方法二:根据题意知,一场比赛就是在6支队中选2支队的一个排列,故有=30(种)安排方法,即每组共进行30场比赛.
拓展 B [解析] 因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=4×3×2×1=24(种).故选B.§2 排列问题
2.1 排列与排列数
1.A [解析] ②③没有顺序,不是排列问题,故选A.
2.C [解析] 满足条件的点的坐标为(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),共能确定15个点.故选C.
3.B [解析] 画出树状图,如图所示.从树状图可知,由1,2,3,4,5,6可以组成20个“三位递增数”.故选B.
4.C [解析] 画出树状图,如图所示.由图知,共有12种参赛方式,故选C.
5.C [解析] 司机、售票员各有种分配方法,由分步乘法计数原理知,共有种不同的分配方法.
6.B [解析] 用1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1的四位数用树状图表示,如图所示.本题要求恰有三个相同的数字,由图可知满足题意的四位数共有12个.故选B.
7.AD [解析] 对于A,从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组,与顺序有关,是排列问题;对于B,从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,只要求选出即可,不是排列问题;对于C,从a,b,c,d中选出3个字母,只要求选出即可,不是排列问题;对于D,从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数,需要先选出再排序,是排列问题.故选AD.
8.BD [解析] 对于A,三名同学依次选择,每名同学都有4种方法,根据分步乘法计数原理可知有4×4×4=64(种)方法,A错误;对于B,所有可能的方法有64种,其中甲工厂没有同学去的安排方法有3×3×3=27(种),故甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37(种),B正确;对于C,A同学必须去甲工厂,另外两名同学各有4种方法,故有4×4=16(种)安排方法,C错误;对于D,三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有4×3×2=24(种),D正确.故选BD.
9.96 [解析] A种工作对应4种选择,B种工作对应4种选择,C种工作对应3种选择,D种工作对应2种选择,E种工作对应1种选择,则这5人承担工作的所有不同安排方法有4×4×3×2×1=96(种).
10.①③④ [解析] 对于①,植树和种菜是不同的,存在顺序问题,是排列问题;对于②,不存在顺序问题,不是排列问题;对于③,存在顺序问题,是排列问题;对于④,车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题.故填①③④.
11.30 [解析] 对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,所以从六个大站中选一个作为起点站,有6种选法,再从剩下的五个大站中选一个作为终点站,有5种选法,故不同的火车票有6×5=30(种).
12.20 [解析] 第一步从5名教师中选出1人到一所中学去支教,有5种方法;第二步从剩余的4名教师中选出1人到另一所中学去支教,有4种方法.则共有5×4=20(种)选派方法.
13.解:分两类.第一类含字母a,有ba,ca,da,ea,共4个排列;第二类不含字母a, 有bc,bd,be,cb,cd,ce,db,dc,de,eb,ec,ed,共12个排列.故满足要求的排列一共有16个.
14.解:从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本,分给甲、乙、丙三人,每人一本,相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素,按“甲、乙、丙”的顺序进行排列,每一个排列就对应着一种分法,所以共有4×3×2=24(种)不同的分法.不妨给“语文、数学、英语、物理”编号,依次为1,2,3,4,画出树状图如图所示.
将语文、数学、英语、物理分别简称为语、数、英、物,则由树状图可知,按甲、乙、丙的顺序,所有不同的分法为:
语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英
数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英
英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数
物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数
15.A [解析] 将3个新节目插入节目单中,共有9个节目,原来的6个节目顺序不变.分两步:先从这9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目,共有9×8×7=504(种)方法;再把原来的6个节目按原来的顺序安排到剩余的6个位置上,共有1种方法. 故共有504×1=504(种)不同的方法.故选A.
16.解:因为A不排第一位,所以排第一位的情况有3类(可从B,C,D中任选一人),此时兼顾分析B的排法,列出树形图,如图所示.所以符合题意的所有排列是BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.§2 排列问题
2.1 排列与排列数
【学习目标】
1.通过实例,理解排列的概念.
2.通过学习,培养学生直观想象的核心素养.
◆ 知识点 排列
1.排列的概念: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照 排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数:把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a,b,c与c,b,a为同一排列. ( )
(2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现.( )
(3)从1,2,3,4中任选两个数字,只能组成一个排列. ( )
(4)从n(n≥2)个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作,则所有排列的个数可以用表示. ( )
◆ 探究点一 排列与排列数的相关概念
例1 判断下面几个问题是否属于排列问题
①从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,不同的结果有多少种
②从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,不同的结果有多少种
③从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标
④平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最多可确定多少条直线
⑤10个学生排队照相,则不同的站法有多少种
变式 给出下面几个问题:
①5个人进行单循环乒乓球比赛;②从30人中选5人组成篮球队;③从40人中选2人担任正、副班长;④从1,2,3,4,5中选三个数组成无重复数字的三位数.
其中属于排列问题的有 (填符合题意的序号).
[素养小结]
判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排元素时是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
◆ 探究点二 用树状图法表示排列
例2 写出下列问题的所有排列:
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数.
(2)由1,2,3,4四个数字组成没有重复数字的四位数.
变式 写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.
[素养小结]
利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:树状图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方法.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,再以先安排哪个元素为标准进行分类,然后安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列.同理可完成其他排列.最后按树状图写出排列.
拓展 从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 ( )
A.12 B.24
C.36 D.48
◆ 探究点三 简单的排列问题
例3 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相,要求2名教师分别站在两侧,则不同的站法共有 ( )
A.种 B.2种
C.(-)种 D.种
变式 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛
[素养小结]
解决简单的排列应用问题的注意点
(1)明确要研究的元素是什么,有无顺序.
(2)明确需要分类完成还是分步完成.
拓展 有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有 ( )
A.12种 B.24种 C.48种 D.120种§2 排列问题
2.1 排列与排列数
一、选择题
1.下列问题属于排列问题的是 ( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从某班30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数做幂运算.
A.①④ B.①②
C.④ D.①③④
2.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,5},从两个集合中各取一个元素组成点的坐标,标记在平面直角坐标系中,则能确定的不同的点的个数是 ( )
A.12 B.9
C.15 D.21
3.已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为一个“三位递增数”(如135,256,345等),则由1,2,3,4,5,6可以组成的“三位递增数”的个数为 ( )
A.12 B.20
C.24 D.32
4.甲、乙、丙、丁4个人参加4×100 m接力赛,甲不跑第一棒和第四棒,则不同的参赛方式种数为 ( )
A.24 B.16
C.12 D.6
5.有4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有 ( )
A.种 B.种
C.种 D.2种
6.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有 ( )
A.9个 B.12个 C.15个 D.18个
7.(多选题)下列问题是排列问题的是 ( )
A.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数
B.求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数
C.求从a,b,c,d中选出3个字母的方法种数
D.求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数
8.(多选题)现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是 ( )
A.所有可能的方法有81种
B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若A同学必须去甲工厂,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
二、填空题
9.有5人承担A,B,C,D,E五种不同的工作,每人承担一种,且每种工作都有人承担.若这5人中甲不能承担A种工作,则这5人承担工作的所有不同安排方法有 种.
10.下列问题中是排列问题的为 .(填序号)
①选2个小组分别去植树和种菜;
②选2个小组去种菜;
③某班40名同学在假期互发短信;
④10个车站,站与站间的车票.
11.某高铁线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京.铁路部门应为该高铁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为 .
12.从5名教师中选派2人分别到两个中学去支教,共有 种不同的选派方法.
三、解答题
13.从a,b,c,d,e这5个字母中取出2个字母,且a不在首位的所有排列共有多少个
14.从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人,每人一本,试将所有不同的分法列举出来.
15.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 ( )
A.504 B.210
C.336 D.120
16.A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一位,B不排第四位,共有多少种不同的排列方法 (共24张PPT)
2 排列问题
2.1 排列与排列数
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过实例,理解排列的概念.
2.通过学习,培养学生直观想象的核心素养.
知识点 排列
1.排列的概念: 一般地,从个不同元素中取出，且, 个元素,
按照____________排成一列,叫作从个不同元素中取出 个元素的一个排列.
2.排列数：把从个不同元素中取出，且, 个元素的所有
_________________,叫作从个不同元素中取出个元素的排列数,记作 .
一定的顺序
不同排列的个数
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）,,与,, 为同一排列.( )
×
（2）在一个排列中,同一个元素不能重复出现.( )
√
（3）从1,2,3,4中任选两个数字,只能组成一个排列.( )
×
（4）从 个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作,则所有排列的个数
可以用 表示.( )
√
探究点一 排列与排列数的相关概念
例1 判断下面几个问题是否属于排列问题？
①从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，不同的结果有多少种？
②从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，不同的结果有多少种？
③从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
④平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？
⑤10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？
解：由排列的定义可知，需要考虑元素顺序的问题，才是排列问题.
①中任选两个数相加，没有顺序性，所以不是排列问题；
④中任意两点确定一条直线,但是直线没有方向性,所以没有顺序,也不是排列问题.
②③⑤在求解时都需要考虑元素的顺序，是排列问题.
变式 给出下面几个问题：
①5个人进行单循环乒乓球比赛；②从30人中选5人组成篮球队；③从40人中选2
人担任正、副班长；④从1,2,3,4,5中选三个数组成无重复数字的三位数.
其中属于排列问题的有______（填符合题意的序号）.
③④
[解析] 根据排列的定义可知，③④需要考虑元素的顺序性，属于排列问题，
故填③④.
［素养小结］
判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排元素时是有序的还是无序的,而检验
它是否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的“位置”应视具体问题的性质和
条件来决定）,看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
探究点二 用树状图法表示排列
例2 写出下列问题的所有排列:
（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数.
解：画出树状图，如图所示.
由上面的树状图可知，所有的两位数为12,13，14,21，23，24，31,32,34，41,42,
43.共12个.
（2）由1,2,3,4四个数字组成没有重复数字的四位数.
解：画出树状图,如图所示.
由上面的树状图可知,所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，
2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，
3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321,共24个.
变式 写出从4个元素,,, 中任取3个元素的所有排列.
解：由题意作出树状图，如图所示.
故所有的排列为,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,, .共24个.
［素养小结］
利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略
（1）适用范围:树状图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表
示方法.
（2）策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,再以先安排哪个元素为标准进行
分类,然后安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列.同理可
完成其他排列.最后按树状图写出排列.
拓展 从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是( )
D
A.12 B.24 C.36 D.48
[解析] 记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法分两类.
第一类，不选甲，作出树状图，如图所示.
第二类，选甲，作出树状图，如图所示.
综上，共有48种不同的排法.
探究点三 简单的排列问题
例3 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，
则不同的站法共有( )
B
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 2名教师排在两边有2种排法，3名学生排在中间有 种排法，
所以共有 种排法.故选B.
变式 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队
在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？
解：方法一：先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
按分步乘法计数原理可知，每组进行比赛的场数为 .
方法二：根据题意知，一场比赛就是在6支队中选2支队的一个排列，
故有 （种）安排方法，即每组共进行30场比赛.
［素养小结］
解决简单的排列应用问题的注意点
（1）明确要研究的元素是什么,有无顺序.
（2）明确需要分类完成还是分步完成.
拓展 有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那
么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
B
A.12种 B.24种 C.48种 D.120种
[解析] 因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，
所以5名同学值日顺序的编排方案共有 （种）.故选B.
1.排列中元素所满足的两个特征
（1）无重复性:从个不同元素中取出 个不同的元素,否则不是排列问题.
（2）有序性:安排这 个元素时是有顺序的,有顺序的就是排列,无顺序的不是排
列.而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化
就是有顺序,无变化就是无顺序.
2.从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排
列,元素不完全相同或元素完全相同而排列的顺序不同的排列,都不是同一个排列.
3.树状图,亦称树枝状图.树状图是数据树的图形表示形式,也是枚举法的一种表达
方式.画树状图的关键:一是确定层数,二是确定每层分叉的个数.树状图也是学生
学习排列组合、概率问题所需要画的一种图形.
例1 下面问题中，属于排列问题的是( )
A
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人进行抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
[解析] 对于A，组成的三位数与数字的排列顺序有关，是排列问题；
对于B，C，D，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，都不是排列问题.
故选A.
例2 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中选出3面排成一排作为一种信
号,共能组成多少种信号
解:从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中选出3面排成一排作为一种信号,
相当于从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中选出3面放入如图所示的3个
方格中,每个方格中放1面.
第1步，第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面,有4种方法;
第2步，第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面,
有3种方法;
第3步，第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的
2面中任选1面,有2种方法.
因此,根据分步乘法计数原理可得,从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中
选出3面排成一排作为一种信号,共能组成 （种）信号.
例3 从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人1本，则不同的送书方法的种
数为( )
C
A.5 B.10 C.20 D.60
[解析] 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
易知共有 （种）不同的送书方法.故选C.
