2.2 排列数公式
第1课时 排列数公式
1.C [解析] =4×3×2=24,故选C.
2.A [解析] 因为=2,所以m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m(m-1)(m-2),即(m-3)(m-4)=2,可得m=5,故选A.
3.D [解析] 由题意知4×5×6×…×(n-1)×n=n×(n-1)×…×6×5×4=.故选D.
4.D [解析] 8名学生站成两排,前排3人,后排5人,等价于8人去站已排好的8个位置,无任何条件限制,所以不同站法的种数为.故选D.
5.C [解析] 在5个位置中选2个安排其他2个节目,还有3个位置按顺序安排甲、乙、丙3个节目,方法种数为=20.故选C.
6.C [解析] 利用间接法:第一个节目不排小品类,共有=600(种)不同的排法,第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻,共有=192(种)不同的排法,所以第一个节目不排小品类,2个歌唱类节目不相邻共有600-192=408(种)不同的排法,故选C.
7.AC [解析] 对于A,=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!,故A符合题意;对于B,m!=m!n(n-1)(n-2)…(n-m+1)≠n!,故B不符合题意;对于C,==n!,故C符合题意;对于D,==≠n!,故D不符合题意.故选AC.
8.ABC [解析] 由排列数公式逐一验证,可知A,B,C中等式均成立,D中等式不成立.故选ABC.
9. [解析] ====.
10.6 [解析] 由=10×9×…×5,得10×9×8×…×(10-m+1)=10×9×…×5,则11-m=5,解得m=6.
11.60 [解析] 从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,有=5×4×3=60(种)不同的送法.
12.24 [解析] 先不考虑“不在同一条对角线上”这一限制条件,将三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内,且任意两颗棋子不同行、不同列,第一颗棋子有3×3=9(种)放法,第二颗棋子有2×2=4(种)放法,第三颗棋子有1种放法,则任意两颗棋子不同行、不同列的放法有9×4×1=36(种).其中在正方形的同一条对角线上的放法有2×=12(种),所以满足题意的放法有36-12=24(种).
13.解:(1)==1.
(2)==1.
14.解:由题可知,当首位排5或3时,末位可排2或4,中间三个数位的排列情况有种,此时共有2×2×=24(个)符合条件的五位偶数;当首位排2,末位排4或首位排4,末位排2时,中间三个数位的排列情况有种,此时共有2×1×=12(个)符合条件的五位偶数.所以由分类加法计数原理可得所有符合条件的五位偶数共有24+12=36(个).
15.BC [解析] ∵=(n-1)(n-2)=n2-3n+2,n≥3,n∈N*,∴-n=n2-4n+2,∴原不等式可化为n2-4n-5<0,n≥3,n∈N*,可得3≤n<5,n∈N*,即n=3或4,故选BC.
16.解:因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0,5p的尾数为5,所以m,n≤4,而1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,所以可得(m,n,p)=(1,4,2)或(4,1,2).(共19张PPT)
2 排列问题
2.2 排列数公式
第1课时 排列数公式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能利用计数原理推导排列数公式.
2.能利用排列数公式进行计算和证明,能解决简单的排列问题.
3.通过对排列数概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养,通过对排列数公
式的计算及应用,提高学生数学运算的核心素养.
知识点 排列数公式
________________________________.
当时，，记作!,读作： 的阶乘.
规定：， .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） .( )
√
（3） .( )
√
探究点一 排列数公式
例1 计算： .
解： .
变式（1） 可以表示为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ，故选C.
（2） 的值为_____.
696
[解析] 由题意得可得, .
［素养小结］
排列数的计算主要利用排列数公式进行.连续正整数的积可以写成某个排列数,其
中最大的正整数是排列元素的总个数,而正整数（因式）的个数是选取元素的个
数,这是排列数公式的逆用.
探究点二 排列数公式的化简和证明
例2 证明 !，并用它来化简
!．
解： !，等式得证.
.
变式 求证： .
证明： ，故原等式成立．
［素养小结］
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过程中要能灵
活对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.
常用的变形公式如下:
!， ，
!， .
探究点三 排列数公式的简单应用
例3 将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数
是( )
D
A.1260 B.120 C.240 D.720
[解析] 由题意知，有 （种）不同的分法．故选D.
变式 有6个人想在某风景区门口站成前后两排（每排各3人）照相，共有多少
种不同的排法？
解：先从6人中选出3人排在前排，有 （种）排法，
再把剩余的3人排在后排，有（种）排法，
则共有 （种）排法.
［素养小结］
求解排列问题时要特别注意是把哪个对象进行排列.多排问题也可以使用直排法求解.
1.排列数公式的右边是若干个数的连乘积,其特点是:第一个因数是 （下标）,后
面的每一个因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为 （下标-上标
）,共有 （上标）个连续自然数相乘.
2.全排列：把 个不同的元素全部取出的一个排列
3.利用排列与排列数求解排列应用题的基本思路
例1 计算 __.
[解析] .
例2 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有_____种．
720
[解析] 6个人站成前、中、后三排，每排2人，
不同的排法有 （种）．
例3（1） 解方程： ；
解：由原方程知应满足 解得,且 .
由排列数公式知,原方程可化为
,
,,，
①式两边同时除以 ,得 ,
即,解得或 （舍去）， 原方程的解为 .
（2）解不等式： .
解： 原不等式可化为 （其中， ）,
即,或 .
又,,,,故 ,4,5,6,7，
原不等式的解集为 .2.2 排列数公式
第1课时 排列数公式
【课前预习】
知识点
n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]
诊断分析 (1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
例1 解:=
==1.
变式 (1)C (2)696 [解析] (1)89×90×91×…×100=,故选C.
(2)由题意得可得n=3,∴-=6!-4!=696.
例2 解:(n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=(n+1-1)·n!=n·n!,等式得证.1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!=(2!-1!)+(3!-2!)+…+(11!-10!)=11!-1!=11!-1.
变式 证明:·=·(n-m)!=n!=,故原等式成立.
例3 D [解析] 由题意知,有=720(种)不同的分法.故选D.
变式 解:先从6人中选出3人排在前排,有=120(种)排法,再把剩余的3人排在后排,有=6(种)排法,则共有120×6=720(种)排法.2.2 排列数公式
第1课时 排列数公式
【学习目标】
1.能利用计数原理推导排列数公式.
2.能利用排列数公式进行计算和证明,能解决简单的排列问题.
3.通过对排列数概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养,通过对排列数公式的计算及应用,提高学生数学运算的核心素养.
◆ 知识点 排列数公式
= .
当m=n时,=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1,记作n!,读作:n的阶乘.规定:=1,0!=1.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=1. ( )
(2)1!=1. ( )
(3)=. ( )
◆ 探究点一 排列数公式
例1 计算:.
变式 (1)89×90×91×…×100可以表示为( )
A. B.
C. D.
(2)-(n∈N*)的值为 .
[素养小结]
排列数的计算主要利用排列数公式进行.连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的正整数是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.
◆ 探究点二 排列数公式的化简和证明
例2 证明(n+1)!-n!=n·n!,并用它来化简1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!.
变式 求证: =·.
[素养小结]
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明,化简的过程中要能灵活对排列数进行变形,并要熟悉排列数之间的内在联系.
常用的变形公式如下:
①n!=n(n-1)!,②=n,
③n·n!=(n+1)!-n!,④=-.
◆ 探究点三 排列数公式的简单应用
例3 将3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则不同的分法种数是 ( )
A.1260 B.120
C.240 D.720
变式 有6个人想在某风景区门口站成前后两排(每排各3人)照相,共有多少种不同的排法
[素养小结]
求解排列问题时要特别注意是把哪个对象进行排列.多排问题也可以使用直排法求解.2.2 排列数公式
第1课时 排列数公式
一、选择题
1.= ( )
A.4 B.12
C.24 D.8
2.若=2,则m的值为 ( )
A.5 B.8
C.6 D.7
3.4×5×6×…×(n-1)×n等于 ( )
A. B.
C.n!-4! D.
4.8名学生站成两排,前排3人,后排5人,则不同站法的种数为 ( )
A. B.+
C.+ D.
5.某次演出有5个节目,若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定,则不同的排法有 ( )
A.120种 B.80种
C.20种 D.48种
6.某校一场小型文艺晚会有6个节目,其中2个舞蹈类、2个歌唱类、1个小品类、1个相声类.现确定节目的演出顺序,要求第一个节目不排小品类,2个歌唱类节目不相邻,则不同的排法有 ( )
A.336种 B.360种
C.408种 D.480种
7.(多选题)下列各式的运算结果中,等于n!的有 ( )
A. B.m! C. D.
8.(多选题)给出下列四个等式,其中成立的是 ( )
A.n!= B.=n C.= D.=
二、填空题
9.计算:= .
10.已知=10×9×…×5,那么m= .
11.从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法.
12.将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内,如图所示,要求任意两颗棋子不同行、不同列,且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上,则不同的放法共有 种.
三、解答题
13.计算:
(1);
(2).
14.求用数字1,2,3,4,5组成的没有重复数字且比20 000大的五位偶数的个数.
15.(多选题)满足不等式-n<7的n的值可以为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
16.已知m,n,p均为正整数,写出满足m!+n!=5p的一组解(m,n,p)的值.
