第2课时 排列的综合问题
1.D [解析] 由题意可知,他们发出的信息总数是=25×24=600(条).故选D.
2.C [解析] 从0,1,2,3,4中任选两个数字进行排列,有=20(种)情况,其中数字0排在首位的有4种情况,所以满足条件的两位数有20-4=16(个).故选C.
3.B [解析] 先将不含甲、乙的4人全排列,有种排法,再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙,有种排法,所以甲、乙两人不相邻的不同排法有=24×20=480(种).故选B.
4.B [解析] 由题意知,该名歌手可以安排在中间任意一个位置 ,则有3种不同的安排方法.其余4人可任意安排顺序,有=24(种)不同的安排方法.所以不同的安排方法有3=72(种),故选B.
5.B [解析] ①若第一个节目排甲,则共有=120(种)排法;②若第一个节目排乙,则共有=96(种)排法.故共有120+96=216(种)排法.故选B.
6.D [解析] 先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目,有种排法,这样共有5个节目,其中2个音乐节目不连排,2个舞蹈节目不连排.如图,若曲艺节目排在1号或5号位置,则共有4=16(种)排法;若曲艺节目排在2号或4号位置,则共有4=16(种)排法;若曲艺节目排在3号位置,则有2×2×=16(种)排法.所以共有×(16+16+16)=288(种)排法.故选D.
1 2 3 4 5
7.ABD [解析] 这样的六位数共有=720(个),A正确;偶数共有=240(个),B正确;4,6不相邻的共有=480(个),C不正确;4个奇数按数位从高到低,按大小从小到大排序的共有=30(个),D正确.故选ABD.
8.ACD [解析] 对于A,甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,将甲、乙看成一个整体,与丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法,故A正确;对于B,若甲站在最左端,乙、丙、丁、戊全排列,有=24(种)排法,故B错误;对于C,先将丙、丁、戊三人排成一排,再将甲、乙安排在三人形成的四个空位中,有·=72(种)排法,故C正确;对于D,甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有=120(种)排法,甲、乙、丙全排列有=6(种)排法,则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有=20(种),故D正确.故选ACD.
9.48 [解析] 甲、乙必须站在一起,可将甲、乙“捆绑”在一起看作一个元素,然后跟剩下的三个元素进行全排列,有种排法,甲、乙可以交换位置,有种排法,所以五个人排成一列,甲、乙必须站在一起,共有=48(种)排法.
10.480 [解析] 2位校长和4位老师全排列,有=720(种)站法,其中2位校长相邻的站法有=2×120=240(种),故2位校长不相邻的站法有720-240=480(种).
11.660 [解析] ①当末位数字为0时,有=360(个)五位数满足题意;②当末位数字为5时,有·=300(个)五位数满足题意,∴所有满足题意的五位数的个数为360+300=660.
12.60 [解析] 分三类讨论:(1)数学排在第一二节,则从语文、英语、体育和物理中任选三科排在第三四五节即可,共有=24(种)方法.(2)数学排在第三四节,则从语文、英语和物理中任选一科排在第一节,再从余下的三科中任选两科排在第二五节即可,共有=18(种)方法.(3)数学排在第四五节,则从语文、英语和物理中任选一科排在第一节,再从余下的三科中任选两科排在第二三节即可,共有=18(种)方法.故不同的排课方式共有++=24+18+18=60(种).
13.解:(1)若偶数不能相邻,则先将三个奇数进行排列,然后从三个奇数形成的4个空位中选出3个空位插入三个偶数,所以不同的六位数的个数为=6×24=144.
(2)在数字1和2之间恰有一个奇数,有2种情况,
将这个整体与其余三个数字进行排列,满足条件的六位数的个数为2=2×2×24=96.
14.解:(1)根据题意,先将3名女生排在一起,有=6(种)排法,将排好的女生视为一个整体,与4名男生进行全排列,共有=120(种)排法,由分步乘法计数原理知,共有6×120=720(种)排法.
(2)根据题意,先将4名男生排好,有=24(种)排法,再在这4名男生之间及两头形成的5个空位中插入3名女生,有=60(种)排法,故符合条件的排法共有24×60=1440(种).
(3)根据题意,先排甲、乙、丙以外的其他4人,有=24(种)排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙排好,有=2(种)排法,最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人形成的5个空位中,有=20(种)排法,故符合条件的排法共有24×2×20=960(种).
15.A [解析] 根据题意可知A和B都没有得到第一名,且B不是最后一名,分两种情况:①A是最后一名,则B可以为第二、三、四名,即B有3种情况,剩下的三人安排其他三个名次,有=6(种)情况,此时有3×6=18(种)名次排列情况;②A不是最后一名,A,B需要排在第二、三、四名,有=6(种)情况,剩下的三人安排其他三个名次,有=6(种)情况,此时有6×6=36(种)名次排列情况.故5人的名次排列方式共有18+36=54(种).故选A.
16.解:将“六艺”全排列,有种排法,“射”排在第一次的情况有种,“数”和“乐”两次讲座相邻的情况有种,“射”排在第一次且“数”和“乐”相邻的情况有种,所以“射”不在第一次,“数”和“乐”两次讲座不相邻的排法有--+=408(种).第2课时 排列的综合问题
◆ 知识点 排列的常见问题类型及解决方法
1.相邻问题通常采用“捆绑”法;
2.不相邻问题通常采用“插空”法;
3.定位问题通常采用“位置分析”法或“元素分析”法;
4.定序问题通常采用“直除”法.
◆ 探究点一 排数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字,
(1)可组成多少个五位数
(2)可组成多少个无重复数字的五位数
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数
(4)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数
变式 (1)用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数,若组成的六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是第几个数
[素养小结]
排数问题的解题原则
排数问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排数问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素.解决该类排数问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
◆ 探究点二 排队问题
角度1 相邻问题
例2 有3名男生,4名女生,这7个人站成一排.在下列情况下,各有多少种不同的站法.
(1)男、女各自站在一起;
(2)男生必须排在一起.
变式 4名学生和3名教师站成一排照相.
(1)若中间三个位置排教师,则有多少种排法
(2)若一边是教师,另一边是学生,则有多少种排法
[素养小结]
解决相邻问题一般采用“捆绑”法,即将相邻元素捆绑在一起,看成一个元素,再与剩余的元素进行排列的一种方法.
角度2 不相邻问题
例3 5名同学国庆节期间去某地采风观景,结束后他们排成一排照相留念,若甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有 种.
变式 甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.
(1)甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种
(2)甲、乙、丙3名同学均不相邻的排法共有多少种
[素养小结]
解决不相邻问题一般采取“插空”法,其解题步骤为:首先排其他元素,其次确定“空隙”位置的数量,最后将指定元素排在“空隙”位置处.其中最后一步一定要注意交换元素顺序对结果是否有影响.
角度3 定位、定序问题
例4 有7名学生,其中3名男生,4名女生,在下列不同条件下,求不同的排法种数.
(1)全体站成一排,其中甲不站在最左边,也不站在最右边;
(2)全体站成一排,其中甲不站在最左边,乙不站在最右边;
(3)男生顺序已定,女生顺序不定.
变式 有五名学生站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,则不同的排法共有 ( )
A.66种 B.60种
C.36种 D.24种
[素养小结]
解决定位问题一般采用特殊元素、特殊位置优先安排的方法,即对于有限制条件的元素(或位置)在解题时要优先考虑.对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先将这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.第2课时 排列的综合问题
一、选择题
1.某班有25名同学,春节期间若互发一条问候信息,则他们发出的信息总数是 ( )
A.50条 B.100条
C.300条 D.600条
2.[2024·北京石景山高二期末] 用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的两位数的个数为 ( )
A.25 B.20
C.16 D.15
3.现有6名学生(含甲、乙)决定参军报国,不负韶华,报名前6人排成一排拍照,则甲、乙两人不相邻的不同排法有 ( )
A.960种 B.480种
C.288种 D.144种
4.安排5名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,则不同的安排方法种数为 ( )
A.60种 B.72种
C.80种 D.120种
5.[2024·江西丰城东煌学校高二月考] 某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有 ( )
A.192种 B.216种
C.240种 D.288种
6.某班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,3个音乐节目恰有2个连排,则不同的排法种数是 ( )
A.240 B.188
C.432 D.288
7.(多选题)用3,4,5,6,7,9这6个数组成没有重复数字的六位数,则下列结论中正确的有 ( )
A.这样的六位数共有720个
B.在这样的六位数中,偶数共有240个
C.在这样的六位数中,4,6不相邻的共有144个
D.在这样的六位数中,4个奇数(即3,5,7,9)按数位从高到低、按大小从小到大排序的共有30个
8.(多选题)现有甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,则下列说法正确的是 ( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有18种
C.甲、乙不相邻的排法有72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
二、填空题
9.五个人排成一列,若甲、乙必须站在一起,则有 种排法.
10.2位校长和4位老师合影留念,2位校长不相邻的站法有 种.
11.用数字0,1,2,3,4,5,6可组成 个没有重复数字并且是5的倍数的五位数.
12.某班级周三上午共有5节课,只能从语文、数学、英语、体育和物理中选择科目进行安排,数学必须安排,且连续上两节,但不能同时安排在第二三节,除数学外的其他学科最多只能安排一节,体育不能安排在第一节,则不同的排课方式共有 种.
三、解答题
13.用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数.
(1)若偶数不能相邻,则不同的六位数有多少个 (结果用数字表示)
(2)若数字1和2之间恰有一个奇数,没有偶数,则不同的六位数有多少个 (结果用数字表示)
14.现有4名男生和3名女生相约一起去观看电影,他们的座位在同一排且连在一起.
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种
(2)女生互不相邻的坐法有多少种
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种
(列出算式,并计算出结果)
15.[2024·江西上饶贞白中学高二月考] 某中学进行数学竞赛选拔考试,A,B,C,D,E共5名同学参加考试,排出第1名到第5名的名次.A和B去向老师询问考试结果,老师对A说:“你和B都没有得到第一名.”对B说:“你不是最后一名.”从这两个回答分析,5人的名次排列方式共有 ( )
A.54种 B.72种
C.96种 D.120种
16.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次讲座不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有多少种 (共27张PPT)
2 排列问题
2.2 排列数公式
第2课时 排列的综合问题
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
知识点 排列的常见问题类型及解决方法
1.相邻问题通常采用“捆绑”法；
2.不相邻问题通常采用“插空”法；
3.定位问题通常采用“位置分析”法或“元素分析”法；
4.定序问题通常采用“直除”法.
探究点一 排数问题
例1 用0，1，2，3，4五个数字，
（1）可组成多少个五位数？
解：各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，
故由分步乘法计数原理知，有 （个）符合题意的五位数．
（2）可组成多少个无重复数字的五位数？
解：方法一（直接法） 考虑特殊位置“万位”，
从1，2，3，4中任选一个填入万位，有 种填法，
将剩余4个数字填入其余四个数位，这4个数字进行全排列，有 种排法，
故共有 （个）符合题意的五位数．
方法二（间接法）若不考虑首位是否为0，则有 （种）情况，
其中首位为0的情况有（种），故符合题意的五位数有 （个）.
（3）可组成多少个无重复数字的五位奇数？
解：考虑特殊位置“个位”和“万位”，先填个位，从1，3中选一个填入个位，
有种填法，
然后从剩余3个非零数中选一个填入万位，有 种填法，
最后将剩下的3个数填入中间三个数位，这3个数进行全排列，有 种排法，
故共有 （个）符合题意的五位奇数．
（4）可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
解：是3的倍数的三位数要求其各数位上数字之和是3的倍数，
则可由0,1,2或0,2,4或1,2,3或2,3,4组成无重复数字的三位数，
由0,1,2和0,2,4组成的无重复数字的三位数共有 （个），
由1,2,3和2,3,4组成的无重复数字的三位数共有（个），
故共有 （个）符合题意的三位数.
变式（1） 用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字且能被5整除的五位数
解:个位上的数字必须是0或5.若个位上的数字是0,则有 个符合题意的五位数；
若个位上的数字是5且五位数不含0,则有 个符合题意的五位数;
若个位上的数字是5且五位数含0,则有 个符合题意的五位数.
故共有 （个）符合题意的五位数.
（2）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数,若组成的六位数按从
小到大的顺序排成一列,则240 135是第几个数
解: 当十万位上的数字为1时,有 个无重复数字的六位数;
当十万位上的数字为2,万位上的数字为0,1,3中的一个时,有 个无重复数字的六
位数,
所以240 135前面有 （项）,即240 135是第193个数.
［素养小结］
排数问题的解题原则
排数问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排数问题的限制条件主要
表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素.解决该类排数问题的
方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,当一个位子安
排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
探究点二 排队问题
角度1 相邻问题
例2 有3名男生，4名女生，这7个人站成一排.在下列情况下，各有多少种不同
的站法.
（1）男、女各自站在一起；
解：（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即3名男生进行全排列，有 种排法，
女生必须站在一起，即4名女生进行全排列，有 种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有 种排法，
由分步乘法计数原理知共有 （种）排法.
（2）男生必须排在一起.
解：（捆绑法）把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有 （种）不同的排法.
变式 4名学生和3名教师站成一排照相.
（1）若中间三个位置排教师，则有多少种排法？
解：先排教师有种排法，再排学生有种排法，
故共有 （种）排法.
（2）若一边是教师，另一边是学生，则有多少种排法？
解：先排教师有种排法，再排学生有 种排法，
教师和学生各看成一个大元素，可以交换位置，共有 （种）排法.
［素养小结］
解决相邻问题一般采用“捆绑”法，即将相邻元素捆绑在一起，看成一个元素，
再与剩余的元素进行排列的一种方法.
角度2 不相邻问题
例3 5名同学国庆节期间去某地采风观景，结束后他们排成一排照相留念，若
甲、乙两人不相邻，则不同的排法共有____种.
72
[解析] 7 先将除甲、乙两人外的另外3个人排成一排，
再将甲、乙插入到已经排好的3个人形成的4个空中，
共有 （种）排法.
变式 甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.
（1）甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种？
解：根据题意，甲、乙、丙3名同学相邻，将三人看成一个整体，
有 （种）排法，
将这个整体与其他三人全排列，有 （种）排法.
故共有 （种）排法.
（2）甲、乙、丙3名同学均不相邻的排法共有多少种？
解：甲、乙、丙3名同学均不相邻，可分为两步解决.
第一步，先把其余三人排列，有 （种）排法；
第二步，把甲、乙、丙3名同学插入由其余三人隔开的四个空中，
有 （种）排法.
故共有 （种）排法.
［素养小结］
解决不相邻问题一般采取“插空”法，其解题步骤为：首先排其他元素，其次确
定“空隙”位置的数量，最后将指定元素排在“空隙”位置处.其中最后一步一定要
注意交换元素顺序对结果是否有影响.
角度3 定位、定序问题
例4 有7名学生，其中3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数.
（1）全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
解：方法一：先排甲，有5种排法，再排其余6人，有 种排法，
故不同的排法种数为 .
方法二：左、右两边的位置可安排除甲外其余6人中的2人，有 种排法，
其他位置有种排法，故不同的排法种数为 .
（2）全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；
解：方法一：分两类：第一类，甲站在最右边，有 种排法；
第二类，甲不站在最右边，则甲可以从除去两端的位置后剩下的5个位置中任选一个，
有 种排法，
而乙可以从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有种排法，
其余人全排列，有 种排法，故不同的排法种数为 .
方法二：7名学生全排列，有种排法，其中甲在最左边时，有 种排法，
乙在最右边时，有 种排法，
甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种排法，
故不同的排法种数为 .
（3）男生顺序已定，女生顺序不定.
解：7名学生站成一排，有种排法，其中3名男生的排法有 种，
由于男生顺序已定，女生顺序不定，故不同的排法种数为 .
变式 有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的
排法共有( )
B
A.66种 B.60种 C.36种 D.24种
[解析] 首先对五名学生全排列，则共有 （种）排法，
因为只有甲在乙的左边或甲在乙的右边两种情况，
所以甲不排在乙的左边的不同的排法共有 （种）.故选B.
［素养小结］
解决定位问题一般采用特殊元素、特殊位置优先安排的方法，即对于有限制条
件的元素（或位置）在解题时要优先考虑.对于某几个元素顺序一定的排列问题，
可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元
素的全排列数.
1.捆绑法是把有关元素捆绑为一个大元素，再与其余元素全排列，最后将捆绑
后的大元素内部进行全排列.
2.插空法是先排其余元素，然后将不相邻元素插入到其余元素排列的空中.
3.排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素.解决该类排列问题
时，一般遵循“优先”原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.当一个位子
安排不同的元素，另一个位子的元素个数不相同时,应分类讨论.
例1 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中
甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有
( )
B
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
[解析] 因为甲、乙两种商品必须排在一起，所以可将甲、乙看成一个元素，
甲、乙内部的排法有种.
将甲、乙看成一个元素与戊进行全排列，排法有 种，
再将丙、丁插入到甲乙、戊形成的空隙中，排法有 种.
所以不同的排法共有 （种），故选B.
例2 受到疫情影响，某校决定实施学生佩戴口罩、间隔而坐的策略.已知一排
有9个座位，要求每2名同学之间至少间隔1个空位，若一排要坐4名同学，则不
同的坐法有_____种.
360
[解析] 先排5张空椅子，然后将4名同学进行插空，
可得共有 （种）不同的坐法.
例3 现有2名学生代表，2名教师代表和1名家长代表合影，则同类代表互不相
邻的排法共有( )
B
A.24种 B.48种 C.72种 D.96种
[解析] 所有的排列方法有（种）
名学生代表相邻的排法有 种；
2名教师代表相邻的排法有 种；
2名学生代表相邻，同时2名教师代表也相邻的排法有 种.
则同类代表相邻的排法有 （种），
所以同类代表互不相邻的排法有 （种）.故选B.第2课时 排列的综合问题
【课中探究】
例1 解:(1)各个数位上数字允许重复,首位上不能为0,故由分步乘法计数原理知,
有4×5×5×5×5=2500(个)符合题意的五位数.
(2)方法一(直接法):考虑特殊位置“万位”,从1,2,3,4中任选一个填入万位,有种填法,
将剩余4个数字填入其余四个数位,这4个数字进行全排列,有种排法,故共有=96(个)符合题意的五位数.
方法二(间接法):若不考虑首位是否为0,则有=120(种)情况,其中首位为0的情况有=24(种),故符合题意的五位数有120-24=96(个).
(3)考虑特殊位置“个位”和“万位”,先填个位,从1,3中选一个填入个位,有种填法,然后从剩余3个非零数中选一个填入万位,有种填法,最后将剩下的3个数填入中间三个数位,这3个数进行全排列,有种排法,故共有=36(个)符合题意的五位奇数.
(4)是3的倍数的三位数要求其各数位上数字之和是3的倍数,则可由0,1,2或0,2,4或1,2,3或2,3,4组成无重复数字的三位数,由0,1,2和0,2,4组成的无重复数字的三位数共有2=8(个),由1,2,3和2,3,4组成的无重复数字的三位数共有2=12(个),故共有8+12=20(个)符合题意的三位数.
变式 解:(1)个位上的数字必须是0或5.若个位上的数字是0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五位数不含0,则有个符合题意的五位数;若个位上的数字是5且五位数含0,则有个符合题意的五位数.
故共有++=216(个)符合题意的五位数.
(2)当十万位上的数字为1时,有个无重复数字的六位数;
当十万位上的数字为2,万位上的数字为0,1,3中的一个时,有3个无重复数字的六位数,所以240 135前面有+3=192(项),即240 135是第193个数.
例2 解:(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即3名男生进行全排列,有种排法,女生必须站在一起,即4名女生进行全排列,有种排法,全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法,由分步乘法计数原理知共有··=288(种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与4名女生组成5个元素全排列,故有·=720 (种)不同的排法.
变式 解:(1)先排教师有种排法,再排学生有种排法,故共有×=144(种)排法.
(2)先排教师有种排法,再排学生有种排法,教师和学生各看成一个大元素,可以交换位置,共有=288(种)排法.
例3 72 [解析] 先将除甲、乙两人外的另外3个人排成一排,再将甲、乙插入到已经排好的3个人形成的4个空中,共有=6×12=72(种)排法.
变式 解:(1)根据题意,甲、乙、丙3名同学相邻,将三人看成一个整体,有=6(种)排法,将这个整体与其他三人全排列,有=24(种)排法.故共有6×24=144(种)排法.
(2)甲、乙、丙3名同学均不相邻,可分为两步解决.
第一步,先把其余三人排列,有=6(种)排法;
第二步,把甲、乙、丙3名同学插入由其余三人隔开的四个空中,有=24(种)排法.故共有6×24=144(种)排法.
例4 解:(1)方法一:先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,故不同的排法种数为5×=3600.
方法二:左、右两边的位置可安排除甲外其余6人中的2人,有种排法,其他位置有种排法,故不同的排法种数为=3600.
(2)方法一:分两类:第一类,甲站在最右边,有种排法;第二类,甲不站在最右边,则甲可以从除去两端的位置后剩下的5个位置中任选一个,有种排法,而乙可以从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个,有种排法,其余人全排列,有种排法,故不同的排法种数为+=3720.
方法二:7名学生全排列,有种排法,其中甲在最左边时,有种排法,乙在最右边时,有种排法,甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有种排法,故不同的排法种数为-2+=3720.
(3)7名学生站成一排,有种排法,其中3名男生的排法有种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故不同的排法种数为=840.
变式 B [解析] 首先对五名学生全排列,则共有=120(种)排法,因为只有甲在乙的左边或甲在乙的右边两种情况,所以甲不排在乙的左边的不同的排法共有=60(种).故选B.
