§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第1课时 组合与组合数
一、选择题
1.给出以下5个问题:
①从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数;②从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到一个和,这样的和的个数;③从a,b,c,d四名学生中选出两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
其中属于组合问题的有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,则不同的选法种数为 ( )
A.5 B.12
C.20 D.120
3.5-8= ( )
A. B.
C.0 D.
4.某学校安排5名高三教师去3所学校进行交流学习,一所1名,一所2名,一所2名,则不同的安排方式共有 ( )
A.12种 B.18种
C.30种 D.90种
5.若+=30,则n的值为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.三个家庭的3位妈妈带着3位女宝和2位男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,3位妈妈互不相邻照顾孩子,3位女宝相邻且不排最前面也不排最后面,为了防止2位男宝打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面,则不同的排法种数共有 ( )
A.144种 B.216种 C.288种 D.432种
7.(多选题)若=+,则正整数x的值可以是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.(多选题)已知-+0!=4,则m可能的取值是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题
9.++= .
10.[2024·江西赣州高二期中] 从由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的两位数中任取一个,则这个两位数大于40的个数是 .
11.[2024·江西抚州一中高二期中] 在某城市中有如图所示的方格型道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径从A地出发去往B地,途经C地,则不同的路线有 种.
12.某位球类教练的球队共有10名队员,按照比赛的规则,比赛时一支球队的上场队员为5名,则共有 种参赛方法.若这位教练在选上场队员时,还要从中确定1名队员作为防守人员,此时共有 种参赛方法.
三、解答题
13.计算:(1)-·;
(2)+.
14.一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种不同的取法
(2)从口袋内取出3个球,其中必有1个黑球,有多少种不同的取法
(3)从口袋内取出3个球,其中没有黑球,有多少种不同的取法
15.在象棋比赛中,参赛的任意两位选手都比赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.现有四名学生统计全部选手的总得分,分别为131分,132分,133分,134分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有 ( )
A.11位 B.12位
C.13位 D.14位
16.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的自然数,问:
(1)能够组成多少个五位偶数
(2)能够组成多少个小于2018的正整数 (共24张PPT)
3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第1课时 组合与组合数
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过实例,理解组合的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式.
3.通过对组合概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养.
知识点一 组合
一般地,从___个不同元素中，任取___且, 个元素为______,叫作
从个不同元素中取出 个元素的一个组合.
一组
知识点二 组合数
1.定义
从个不同元素中取出,且, 个元素的所有组合的个数，叫作从
个不同元素中取出,且,个元素的组合数，记作 .
2.公式
.
规定： .
知识点三 排列与组合的区别
排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序.
【诊断分析】 “”与“ ”是相同的排列吗 它们是相同的组合吗
解:“”与“ ”所含元素相同,但元素的顺序不同,故它们是相同的组合,
但不是相同的排列.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果.
探究点一 组合的概念理解
例1 给出下列问题：
①从,，, 名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
②从,,, 名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
,,, 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
,,, 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？
解：①从,，, 名学生中选2名学生完成一件工作，没有顺序性，
属于组合问题；
②从,,, 名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有顺序性，
属于排列问题；
,，, 四支足球队之间进行单循环比赛，没有顺序性，属于组合问题；
,,, 四支足球队争夺冠亚军，有顺序性，属于排列问题.
变式 以下四个问题中，属于组合问题的是( )
C
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在某电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D.从6名同学中选出2名同学，分别担任学习委员与文艺委员
[解析] 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，
而A,B,D均与顺序有关，不是组合问题.故选C.
［素养小结］
区分排列问题与组合问题的方法
首先把问题的一个结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否
会出现新的结果.若出现新的结果,则说明有顺序,是排列问题;若不出现新的结果,
则说明无顺序,是组合问题.
探究点二 组合数公式的求值和证明
例2（1） 求值：
；；； .
解：① .
② .
③ .
④ .
（2）设，，.求证: .
证明： ，
所以 .
变式 若，则 等于( )
C
A.8 B.7 C.6 D.5
[解析] 由题意知，且，，可得 .
故选C.
［素养小结］
公式一般用于计算;而公式及 一
般用于证明、解方程（不等式）等.
探究点三 组合数公式的简单应用
例3（1） 5人一起见面，每两人握一次手，则一共握手的次数为( )
A
A. B. C. D.25
[解析] 两人握手是相互的，无顺序性，则两人握手属于组合问题，
于是可得5人每两人握手一次，共握手 次.故选A.
（2）从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，则不同的选法种
数为( )
B
A.5 B.10 C.20 D.30
[解析] 从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动，
则不同的选法种数为 ，故选B.
变式 某学习小组有4名男生和3名女生，从这7人中选3人参加数学竞赛.
（1）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，那么有多少种选法
解：方法一：男生甲入选，女生乙不入选，有 （种）选法，
男生甲不入选，女生乙入选，有（种）选法，
男生甲入选，女生乙入选，有 （种）选法，
故共有 （种）选法.
方法二：7人中选3人，有 （种）选法，
甲、乙两人均不入选，有 （种）选法，
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内，
那么共有 （种）选法.
（2）如果3人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法
解：男生1人入选，女生2人入选，有 （种）选法，
男生2人入选，女生1人入选，有 （种）选法，
故共有 （种）选法.
［素养小结］
注意区分是排列问题，还是组合问题，同时运用好分类加法计数原理与分步乘
法计数原理.
1.组合要求个元素是不同的,被取的个元素也是不同的,即从 个不同的元素中
进行 次不放回地抽取.
2.取出的 个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的特点.
3.辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关.若
交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合
问题.例如,在数的运算当中,加法运算和乘法运算的结果是组合问题,减法运算和
除法运算的结果则是排列问题;“寄信”是排列问题,“握手”是组合问题等.
例1 ( )
B
A.110 B.65 C.55 D.100
[解析] .故选B.
例2 若，则 ( )
A
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 因为，,，所以 ，
得，即，解得或 （舍去）.
故选A.
例3 在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一（即13张牌）
组成的牌，则一名参赛者可能得到的不同的牌有( )
D
A.种 B.种 C.种 D. 种
[解析] 根据题意，原问题可以转化为从52张牌中任选13张，分配给这名参赛者，
则有种情况，即参赛者可能有 种不同的牌.故选D.§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第1课时 组合与组合数
【课前预习】
知识点一
n m 一组
知识点三
诊断分析
解:“abc”与“bca”所含元素相同,但元素的顺序不同,故它们是相同的组合,但不是相同的排列.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果.
【课中探究】
例1 解:①从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成一件工作,没有顺序性,属于组合问题;
②从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有顺序性,属于排列问题;
③a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,没有顺序性,属于组合问题;
④a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有顺序性,属于排列问题.
变式 C [解析] 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题,而A,B,D均与顺序有关,不是组合问题.故选C.
例2 解:(1)①===120.
②====120.
③===1.
④=1.
(2)证明:k-n=k×-n×=-=0,所以n=k.
变式 C [解析] 由题意知==20,且m>3,m∈N+,可得m=6.故选C.
例3 (1)A (2)B [解析] (1)两人握手是相互的,无顺序性,则两人握手属于组合问题,于是可得5人每两人握手一次,共握手次.故选A.
(2)从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动,则不同的选法种数为=10,故选B.
变式 解:(1)方法一:男生甲入选,女生乙不入选,有=10(种)选法,男生甲不入选,女生乙入选,有=10(种)选法,男生甲入选,女生乙入选,有=5(种)选法,故共有10+10+5=25(种)选法.
方法二:7人中选3人,有=35(种)选法,甲、乙两人均不入选,有=10(种)选法,如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内,那么共有35-10=25(种)选法.
(2)男生1人入选,女生2人入选,有=12(种)选法,
男生2人入选,女生1人入选,有=18(种)选法,
故共有12+18=30(种)选法.§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第1课时 组合与组合数
1.B [解析] ①当取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,会得到不同的三位数,所以此问题不但与取出的元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题;②取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出的元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题;③两名学生完成的是同一份工作,这两名学生没有顺序,是组合问题;④甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,为组合问题;⑤发信人与收信人是有区别的,是排列问题.综上,属于组合问题的有3个.故选B.
2.B [解析] 从物理和历史中任选1科,有=2(种)选法,然后从其他4科中任选2科,有=6(种)选法,则共有2×6=12(种)选法.故选B.
3.B [解析] 5-8=5×-8×=-===.故选B.
4.D [解析] 由题意,分配5名教师中的1名去需要1名教师的学校,有5×3种选择,再分配2名教师去剩下2所学校之一,有种选择,剩下2名教师去第3所学校,有1种选择.故不同的安排方式共有5×3×=90(种).故选D.
5.B [解析] 因为+=30,所以+n(n-1)=30(n≥2),所以(n-5)(n+4)=0,所以n=5,故选B.
6.C [解析] 第一步:将3位妈妈全排列,共有种排法;第二步:将3位女宝全排列,共有种排法;第三步:将3位女宝“捆绑”在一起作为一个元素,在3位妈妈形成的2个空中选择1个插入,有种排法;第四步:首先将2位男宝之中的一人插入第三步中相邻的2位妈妈中间,然后将另一位男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的1个,共有种排法.∴不同的排法种数共有=288(种).故选C.
7.AC [解析] 因为+=,所以=,即2x-1=x或2x-1+x=8,解得x=1或3,经检验均满足要求.故选AC.
8.CD [解析] 因为-+0!=4,所以=6,易知当m=2或m=3时=6成立,所以m可能的取值是2或3,故选CD.
9.8 [解析] ++=1++1=8.
10.8 [解析] 根据题意,选取的十位数为4或5,个位数不重复,即在剩余的4个数字中选择1个,则这个两位数大于40的个数为2×4=8.
11.105 [解析] 由题可知,不同的路线有=105(种).
12.252 1260 [解析] 由于上场队员不需考虑顺序,所以参赛方法共有=252(种).在确定防守人员时,该教练可以分两步完成:第一步,从10名队员中选出5名参加比赛,共有种选法,第二步,从选出的5名上场队员中选出1名作为防守人员,共有种选法,所以所求的参赛方法共有×=1260(种).
13.解:(1)原式=-×3×2×1=0.
(2)由题意得解得2≤n≤4,又n∈N*,所以n=2或n=3或n=4.若n=2,则原式=+=1+3=4;若n=3,则原式=+=3+4=7;若n=4,则原式=+=10+1=11.
14.解:(1)从口袋内的8个球中取出3个球的取法共有=56(种).
(2)从口袋内的8个球中取出3个球,其中恰有1个黑球,
相当于从7个白球中取出2个球,共有=21(种)取法.
(3)从口袋内取出3个球,其中没有黑球,
相当于从7个白球中取出3个球,有=35(种)取法.
15.B [解析] 设参赛选手共有n位,则总比赛场次为,即场,且n∈N*,n≥2.由题意知任意一场比赛结束后,两位选手的总得分都为2分,故所有选手的总得分为n(n-1)分,易知该分数为偶数,∴当n(n-1)=132时,可得n=12;当n(n-1)=134时,n无整数解.∴参赛选手共有12位.故选B.
16.解:(1)依题意,当0在个位时,组成五位偶数的个数为=120;当2,4在个位时,组成的五位偶数首位不为0,则组成五位偶数的个数为2··=192.
故组成五位偶数的个数为120+192=312.
(2)小于2018的正整数如下:一位数有5个;两位数有·=25(个);三位数有·=100(个);四位数1为千位时有=60(个);四位数2为千位时有2013,2014,2015,共3个.
故小于2018的正整数共有5+25+100+60+3=193(个).§3 组合问题
3.1 组合3.2 组合数及其性质
第1课时 组合与组合数
【学习目标】
1.通过实例,理解组合的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式.
3.通过对组合概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养.
◆ 知识点一 组合
一般地,从 个不同元素中,任取 (m≤n且m,n∈N+)个元素为 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
◆ 知识点二 组合数
1.定义
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作.
2.公式
===
.
规定:=1.
◆ 知识点三 排列与组合的区别
排列需考虑元素顺序,组合不需考虑元素顺序.
【诊断分析】 “abc”与“bca”是相同的排列吗 它们是相同的组合吗
◆ 探究点一 组合的概念理解
例1 给出下列问题:
①从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法
②从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法
③a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场
④a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果
在上述问题中,哪些是组合问题 哪些是排列问题
变式 以下四个问题中,属于组合问题的是 ( )
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在某电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D.从6名同学中选出2名同学,分别担任学习委员与文艺委员
[素养小结]
区分排列问题与组合问题的方法
首先把问题的一个结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会出现新的结果.若出现新的结果,则说明有顺序,是排列问题;若不出现新的结果,则说明无顺序,是组合问题.
◆ 探究点二 组合数公式的求值和证明
例2 (1)求值:
①;②;③;④.
(2)设n∈N*,n≥3,k∈N*.求证: n=k.
变式 若=20,则m等于 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
[素养小结]
公式=一般用于计算;而公式=及=一般用于证明、解方程(不等式)等.
◆ 探究点三 组合数公式的简单应用
例3 (1)5人一起见面,每两人握一次手,则一共握手的次数为 ( )
A. B. C. D.25
(2)从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动,则不同的选法种数为 ( )
A.5 B.10 C.20 D.30
变式 某学习小组有4名男生和3名女生,从这7人中选3人参加数学竞赛.
(1)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内,那么有多少种选法
(2)如果3人中必须既有男生又有女生,那么有多少种选法
[素养小结]
注意区分是排列问题,还是组合问题,同时运用好分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
