第2课时 组合数的性质
【课前预习】
知识点
诊断分析
解:每次取2个元素的组合有个,每次取3个元素的组合有个,它们结果相等都是10个.
【课中探究】
例1 (1)C (2)A [解析] (1)由组合数的性质,得=,所以-=28,即n(n-1)-=28,解得n=8或n=-7(舍去).故选C.
(2)因为=,所以2m=m或2m+m=9,解得m=0或3.故选A.
变式 11 11 [解析] ∵=,且=,∴n=5+6=11,∴===11.
例2 (1)B (2)13 [解析] (1)+++…+=+++…+,由+=,知+=,+=,…,+=,∴+++…+===210.故选B.
(2)由+++…+=28-1,得1++++…+=28,即++++…+=28.因为+=,所以++++…+=+++…+=++…+=…=+=,所以=28,可得=28n,即n2-1=168,又n是正整数,所以n=13.
变式 C [解析] +++…+=++++…+-=+++…+-=…=+-=-1.故选C.第2课时 组合数的性质
一、选择题
1.+= ( )
A.25 B.35
C.70 D.90
2.满足方程=的x的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.2或3
3.等于 ( )
A. B.101
C. D.6
4.已知m≥3,则+-= ( )
A.1 B.m
C.m+1 D.0
5.已知组合数方程:-=(n∈N*,n≥11),则n的值为 ( )
A.16 B.15
C.14 D.12
6.下列有关排列数、组合数的计算及说法中,正确的是 ( )
A.=
B.(n+2)(n+1)=
C.+++…+=
D.+是一个常数
7.+2+等于 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列等式一定成立的是 ( )
A.=
B.=+
C.=(m+1)
D.(n+1)=(m+1)
二、填空题
9.++= .(用数字作答)
10.若=,则= .(用数字作答)
11.若=,则n= .
12.若=+(n∈N*),则n= .
三、解答题
13.化简:-+.
14.求+++…+的值.
15.化简+++…+的结果为 ( )
A. B.
C. D.
16.求证:为偶数.(共16张PPT)
3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第2课时 组合数的性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握组合数公式和组合数的性质.
2.能运用组合数的性质进行计算.
知识点 组合数的性质
性质
性质
【诊断分析】 从,,,, 五个元素中，每次取2个元素的组合共有多少个？
每次取3个元素的组合共有多少个？它们之间有什么关系？
解：每次取2个元素的组合有个，每次取3个元素的组合有 个，
它们结果相等都是10个.
探究点一 组合数的性质1
例1（1） 若，则 ( )
C
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 由组合数的性质，得，所以 ，
即，解得或 （舍去）.故选C.
（2）若，则 的值为( )
A
A.0或3 B.1或3 C.2或3 D.3或4
[解析] 因为，所以或，解得 或3.故选A.
变式 若，则____， ____.
11
11
[解析] ，且，，
.
［素养小结］
（1）为了简化计算，当时，通常将计算改为计算 ,例如
.
（2）若，则或 .这个性质也叫对偶法则.
探究点二 组合数的性质2
例2（1） 等于( )
B
A.120 B.210 C.126 D.240
[解析] ，
由 ，知，， ， ，
.故选B.
（2）若，则正整数 ____.
13
[解析] 由 ，
得，即 .
因为 ，
所以，
所以，可得 ，即，
又是正整数，所以 .
变式 计算 的值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] .
故选C.
［素养小结］
（1）性质 的公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之
和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数.
（2）性质 主要用于恒等变形，以简化运算，该性质又叫增一
法则.
1.组合数的性质 .
证明:因为,,所以 .
应用:（1）简化计算,当时,通常将计算转化为计算 ,如
.
（2）列等式,或,如或 .
2.组合数的性质 .
证明:
.
例1 计算： ( )
B
A.180 B.186 C.188 D.192
[解析] ，
.
故选B.
例2 计算： ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由 可得，
原式 ,
故选D.
例3 计算：
（1） ；
解：根据组合数的性质 ，
可得 .
（2） .
解：根据组合数的性质 ，
可得
.第2课时 组合数的性质
1.B [解析] +==35.故选 B.
2.D [解析] 由组合数的性质可知,x=3或x+3=5,所以x=3或x=2.故选D.
3.D [解析] ====6.故选D.
4.D [解析] +-=-=0.故选D.
5.B [解析] ∵-=,∴=,∴n=15.故选B.
6.D [解析] 对于A,=,故A不正确;对于B,(n+2)(n+1)=(n+2)(n+1)n(n-1)·…·(n-m+1)=≠,故B不正确;对于C,+++…+=++++…+-1=+++…+-1=++…+-1=…=-1,故C不正确;对于D,n应满足解得n=2,所以+=+=2,故D正确.故选D.
7.D [解析] +2+=+2+=(+)+(+)=+=.故选D.
8.ABD [解析] 由=,==,得=,A中等式成立;由+=+==,=,得=+,B中等式成立;因为=(n+1)n(n-1)·…·(n-m+1),(m+1)=(m+1)n(n-1)…(n-m+1),所以C中等式不成立;由(n+1)=(n+1)·=,(m+1)=(m+1)·=,得(n+1)=(m+1),所以D中等式成立.故选ABD.
9.21 [解析] 因为+=,所以++=++=+===21.
10.36 [解析] 因为=,所以n=4+5=9,所以===36.
11.4或7 [解析] 依题意得2n=n+4或2n+n+4=25,解得n=4或n=7.
12.5 [解析] 因为=+,所以=,又因为=,所以n-2=3,即n=5.
13.解:因为+=,所以-+=-+=0.
14.解:依题意得即解得n=6, 所以原式=+++…+=+++…+=19+18+17+…+12=124.
15.B [解析] +++…+=+++…+=(+++…+)=(+++…+)=(++…+)=…===,故选B.
16.证明:由组合数性质,可得=+,又=,所以=2,为偶数.第2课时 组合数的性质
【学习目标】
1.掌握组合数公式和组合数的性质.
2.能运用组合数的性质进行计算.
◆ 知识点 组合数的性质
性质1 =
性质2 =+
【诊断分析】 从a,b,c,d,e五个元素中,每次取2个元素的组合共有多少个 每次取3个元素的组合共有多少个 它们之间有什么关系
◆ 探究点一 组合数的性质1
例1 (1)若-=28,则n= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)若=,则m的值为 ( )
A.0或3 B.1或3
C.2或3 D.3或4
变式 若=,则n= ,=.
[素养小结]
(1)为了简化计算,当m>时,通常将计算改为计算,例如===2022.
(2)若=,则x=y或x+y=n.这个性质也叫对偶法则.
◆ 探究点二 组合数的性质2
例2 (1)+++…+等于 ( )
A.120 B.210
C.126 D.240
(2)若+++…+=28-1,则正整数n= .
变式 计算+++…+的值为 ( )
A. B.
C.-1 D.-1
[素养小结]
(1)性质+的公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数.
(2)性质+主要用于恒等变形,以简化运算,该性质又叫增一法则.
