第3课时 排列、组合的综合应用
【课前预习】
知识点
诊断分析
解:分两类,每一类又分两步分别完成.
第一类:先从A类选修课3门中选1门,再从B类选修课4门中选2门,将它们合在一起,即为一种方案,它是一个组合问题.
第二类:先从A类选修课3门中选2门,再从B类选修课4门中选1门,将它们合在一起,即为一种方案,它是一个组合问题.
【课中探究】
例1 解:(1)抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法共有种抽法.
(2)抽出的产品中至少有2件是次品的抽法共有(+)种抽法.
(3)抽出的产品中至多有2件是次品的抽法共有(++)种抽法.
变式 (1)240 (2)C [解析] (1)将5名同学分为四组,每组的人数分别为2,1,1,1,有=10(种)分组方法,再分配学习四门课程,有=24(种)方法,所以共有10×24=240(种)不同的方法.
(2)先将这4名志愿者分成3组,每组至少1名志愿者,共有种分法,再将这3组志愿者分配给3个项目,每个项目分配1组志愿者,共有种分配方法,故不同的分配方案有=36(种).故选C.
例2 解:(1)无序不均匀分组问题.首先选1本有种方法,然后从余下的5本中选2本有种方法,最后将余下3本全选有种方法,故共有=60(种)分配方法.
(2)无序均匀分组问题.若不考虑重复的情况,应有种方法,但是这些方法中出现了三个“位置”上的重复,故共有=15(种)分配方法.
(3)无序部分均匀分组问题.共有=15(种)分配方法.
(4)有序部分均匀分组问题.在第(5)问的基础上再分配给三人,共有·=90(种)分配方法.
(5)直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有种方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有=30(种)分配方法.
变式 70 [解析] 先从8人中任选4人去第一个小区,再让剩余的4人去第二个小区,根据分步乘法计数原理可得,不同的安排方法种数为=70.
例3 解:用0代表小球,用|代表隔板.
(1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,故共有=10(种)放法.
(2)恰有1个空盒子,则插隔板时分两步进行.先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有种插法,然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成“空盒”,如|0|000||00|,有种插法.故共有=40(种)放法.
(3)恰有2个空盒子,则插隔板时分两步进行.先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在小球之间的5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如|00|0000|,有种插法,然后将剩下的两块隔板插入前面三块隔板所在的空隙形成“空盒”,有以下两种情况:
①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个“空盒”,如||00||0000|,有种插法;
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.故共有×(+)=30(种)放法.
变式 解:(1)10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙,在9个空隙中选2个位置插入隔板,可把名额分成3份,对应地分给3个班级,每一种插板方法对应一种分法,故共有=36(种)不同的分法.
(2)要求每班至少2个名额,可以先从10个名额中拿出3个,分别给各班1个名额,还剩下7个名额,此时题目转化为7个名额分给3个班,每班至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得共有=15(种)不同的分法.
(3)2班、3班分别先给1个和2个名额,此时问题转化为7个名额分给3个班,每班至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得共有=15(种)不同的分法.第3课时 排列、组合的综合应用
1.D [解析] 从2名教师和5名学生中,选出3人,有=35(种)选法,若入选的3人中没有教师,即全部为学生的选法有=10(种),则满足要求的有35-10=25(种)不同的选取方案,故选D.
2.D [解析] 由题意可知,不同的送法共有=10×6=60(种),故选D.
3.B [解析] 第一步,为甲选1本,有种选法;第二步,为乙选2本,有种选法;第三步,为丙选2本,有种选法.所以不同的分配方法共有=30(种).故选B.
4.B [解析] 根据题意,从4名男生和2名女生中选2人参加会议,有=15(种)选法,其中没有男生,即全部为女生的选法有=1(种),则至少有一名男生的选法有15-1=14(种).故选B.
5.C [解析] 若开放一间自习室,则有=6(种)情况;若开放2间自习室,则有=15×2=30(种)情况.若开放3间自习室,则有=60(种)情况.则共有6+30+60=96(种)情况,故选C.
6.C [解析] 小组中有1名女医生的选法有=75(种);小组中有2名女医生的选法有=60(种);小组中有3名女医生的选法有=10(种).所以共有75+60+10=145(种)选法.故选C.
7.C [解析] 根据题意,分两步进行分析:①从3件次品中抽取2件次品,有种抽取方法;②从7件合格品中抽取3件合格品,有种抽取方法.则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有×=105(种).故选C.
8.AC [解析] 选取的3个学生都是女生的不同选法共有=4(种),恰有1个女生的不同选法共有=12(种),至少有1个女生的不同选法共有-=34(种),选取的3个学生中至多有1个男生的不同选法共有+=22(种).故选AC.
9.74 [解析] 由题意知,至少包含前5个题目中的3个,有三种情况,即包含3个,有种选法,包含4个,有种选法,包含5个,有种选法,根据分类加法计数原理得,共有++=74(种)选法.
10.36 [解析] 先将4人分成3组,其中一组2人,其余两组各1人,再分配到三个项目,则不同的安排方式有=36(种).
11.19 [解析] 可按重复数字个数进行分类讨论.若没有重复数字,则数字只能是1,3,5或2,3,4,三位数共有2个;若有两个重复数字,则数字为2,2,5或1,4,4,三位数共有2=6(个);若三个数字相同,则只有333.所以满足题意的三位数共有2+2+1=19(个).
12.180 [解析] 首先选两名游客拿A风景区门票,共有种方案,再选两名游客拿B风景区门票,共有种方案,最后两名游客C,D风景区门票各拿一张,共有种方案,所以不同的分配方案共有··=180(种).
13.解:(1)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,
每个小球有4种放法,则一共有4×4×4×4=256(种)不同的放法.
(2)①将4个小球分为3组,有=6(种)分组方法;
②在4个盒子中任选3个,分别放入3组小球,有=24(种)情况.故共有6×24=144(种)不同的放法.
14.解:(1)4只鞋子恰好成2双,相当于从10双鞋子中选2双,有种取法,即有45种不同取法.
(2)第一步,从10双鞋子中选取4双,有种不同选法.第二步,从每双鞋子中各取一只,有24种取法.根据分步乘法计数原理可得,选取种数为×24=3360.
(3)先从10双鞋子中选取1双,有种选法,再从9双鞋中选取2双有种选法.最后从2双鞋子的每双中各取一只,共有22种取法.根据分步乘法计数原理可得,不同取法有×22=1440(种).
15.A [解析] 利用间接法:先从18名学生中选取3人,再排除都是男生的情况,所以至少有1名女生的选法有-=696(种),故选A.
16.解:(1)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,由“隔板法”可知,将6个相同的小球排成一列,在6个小球形成的5个空隙中插入3块隔板,所以不同的放法种数为=10.
(2)把6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,先把6个不同的小球按个数为2,2,1,1和3,1,1,1这两种方案分成4组,每一种方案的4组小球分别放入4个箱子中,则不同的放法种数为+=65.
(3)把6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,先把6个不同的小球按个数为2,2,1,1和3,1,1,1这两种方案分成4组,每一种方案的4组小球全排列,得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子,所以不同的放法种数为·=1560.第3课时 排列、组合的综合应用
一、选择题
1.从2名教师和5名学生中,选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有1名教师,则不同的选取方案的种数是 ( )
A.20 B.55 C.30 D.25
2.从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学,则不同的送法共有 ( )
A.240种 B.125种
C.120种 D.60种
3.要将《飘》《围城》《红与黑》《西游记》《红楼梦》五本名著分给甲、乙、丙3名文学爱好者,甲得1本,乙得2本,丙得2本,则不同的分配方法共有 ( )
A.15种 B.30种
C.180种 D.240种
4.从4名男生和2名女生中选2人参加会议,则至少有一名男生的选法有 ( )
A.13种 B.14种
C.15种 D.16种
5.某校有6间不同的自习室,由于某种原因,每天晚上至多开放3间,则甲、乙两名同学恰好在同一间自习室自习的情况种数为 ( )
A.41 B.63 C.96 D.112
6.从6名男医生,5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组,且至少有一名女医生,则不同的选法共有 ( )
A.130种 B.140种
C.145种 D.155种
7.已知10件产品中有7件合格品,3件次品,若从中任意抽取5件产品进行检查,则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有 ( )
A.35种 B.38种
C.105种 D.630种
8.(多选题)现有3个男生、4个女生,若从中选取3个学生,则下列说法正确的是 ( )
A.选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种
B.选取的3个学生中恰有1个女生的不同选法共有24种
C.选取的3个学生中至少有1个女生的不同选法共有34种
D.选取的3个学生中至多有1个男生的不同选法共有18种
二、填空题
9.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答,其中至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数是 .
10.学生会体育部共有4人,运动会期间将分别担任篮球、排球、足球三大球类项目的志愿者,每位志愿者只去一个项目,每个项目至少需要一名志愿者,则不同的安排方式有
种.
11.在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中,其各个数字之和为9的三位数共有 个.
12.现有6张风景区门票分配给六名游客,若其中A,B风景区门票各2张,C,D风景区门票各1张,则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)
三、解答题
13.现有一些小球和盒子,完成下面的问题.
(1)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中(允许有空盒子),一共有多少种不同的放法
(2)4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,恰有1个空盒的放法共有多少种
14.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求出现下列结果时,各有多少种取法
(1)4只鞋子恰成2双;
(2)4只鞋子没有成双的;
(3)4只鞋子有2只成双,另2只不成双.
15.从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛,则至少有1名女生的选法有 ( )
A.696种 B.1080种 C.690种 D.1088种
16.(1)把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法
(2)把6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法
(3)把6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法 (共22张PPT)
3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
第3课时 排列、组合的综合应用
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
知识点
1.不同元素分组的组合问题有以下类型：
①完全均匀分组，是指每组元素个数相等；
②部分均匀分组，是指部分组元素个数相等；
③完全非均匀分组，是指每组元素个数均不相等.
2.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题求解时将这些元素取出或剔除.
3.“至多”或“至少”含有几个元素的组合问题使用直接法或间接法求解.
【诊断分析】 某校开设类选修课3门， 类选修课4门，一位同学从中共
选3门.若要求两类课程中各至少选一门，试设计一种选取方案，它是一个排列
问题，还是一个组合问题？
解：分两类，每一类又分两步分别完成.
第一类：先从类选修课3门中选1门，再从 类选修课4门中选2门，
将它们合在一起，即为一种方案，它是一个组合问题.
第二类：先从类选修课3门中选2门，再从 类选修课4门中选1门，
将它们合在一起，即为一种方案，它是一个组合问题.
探究点一 “至多”或“至少”问题
例1 在100件产品中，有97件合格品，3件次品，从这100件产品中任意抽出5件.
（此题结果用式子作答即可）
（1）抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种？
解：抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法共有 种抽法.
（2）抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少种？
解：抽出的产品中至少有2件是次品的抽法共有 种抽法.
（3）抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少种？
解：抽出的产品中至多有2件是次品的抽法共有 种抽法.
变式（1） 有5名同学打算在四门课程中每人选择一门学习，则每门课程至
少有一名同学选择的不同方法共有_____种.
240
[解析] 将5名同学分为四组，每组的人数分别为2，1，1，1，
有 （种）分组方法，
再分配学习四门课程，有 （种）方法，
所以共有 （种）不同的方法.
（2）现从某中学选出4名志愿者，每名志愿者需要去服务3个项目中的一个项目，
每个项目至少安排一名志愿者，则不同的分配方案有( )
C
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
[解析] 先将这4名志愿者分成3组，每组至少1名志愿者，共有 种分法，
再将这3组志愿者分配给3个项目，每个项目分配1组志愿者，共有 种分配方法，
故不同的分配方案有 （种）.故选C.
［素养小结］
组合问题常有以下两类题型:
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由其
他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,利用逆向思维,
间接求解.
探究点二 分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题
例2 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
（1）分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
解:无序不均匀分组问题.首先选1本有种方法,
然后从余下的5本中选2本有 种方法,最后将余下3本全选有种方法,
故共有 （种）分配方法.
（2）平均分成3份,每份2本;
解：无序均匀分组问题.若不考虑重复的情况,应有 种方法,
但是这些方法中出现了三个“位置”上的重复,故共有 （种）分配方法.
（3）分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
解：无序部分均匀分组问题.共有 （种）分配方法.
（4）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
解：有序部分均匀分组问题.在第（5）问的基础上再分配给三人,
共有 （种）分配方法.
（5）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解：直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有 种方法,
余下的4本留给丙有种方法,故共有 （种）分配方法.
变式 8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，
则不同的安排方法共有____种.
70
[解析] 先从8人中任选4人去第一个小区，再让剩余的4人去第二个小区，
根据分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为 .
［素养小结］
注意三点问题：（1）不同元素的分组方法，（2）每组中元素的个数是否相等，
（3）分完组是否还需要分配也就是是否有序.
角度2 相同元素分组、分配问题
例3 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列条件下不同放法的种数.
（1）每个盒子都不空;
解:用0代表小球，用 代表隔板.
先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,
然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,
故共有 （种）放法.
（2）恰有1个空盒子;
解： 恰有1个空盒子,则插隔板时分两步进行.
先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,
并在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,
如,有 种插法，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成“空盒”,
如,有种插法.
故共有 （种）放法.
（3）恰有2个空盒子.
解：恰有2个空盒子,则插隔板时分两步进行.
先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,
并在小球之间的5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如,有 种插法,
然后将剩下的两块隔板插入前面三块隔板所在的空隙形成“空盒”，
有以下两种情况：
①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个“空盒”,
如,有 种插法；
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如,有 种插法.
故共有 （种）放法.
变式 有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班，在下列条件下各
有多少种不同的分法？
（1）每班至少1个名额；
解：10个名额没有差别，把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙，
在9个空隙中选2个位置插入隔板，可把名额分成3份,对应地分给3个班级,
每一种插板方法对应一种分法，故共有 （种）不同的分法.
（2）每班至少2个名额；
解：要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额,
还剩下7个名额，此时题目转化为7个名额分给3个班，每班至少1个名额，
按照解第（1）小问的方法，可得共有 （种）不同的分法.
（3）每班的名额不能少于其班号数.
解：2班、3班分别先给1个和2个名额，此时问题转化为7个名额分给3个班，
每班至少1个名额，按照解第（1）小问的方法，可得共有 （种）不同的分法.
［素养小结］
相同元素分组、分配问题的处理策略
①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中
插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放
入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分组、分配问题.
②将个相同的元素分给个不同的对象 ,每个对象至少分得一个元素,有
种方法.可描述为个空中插入 块板.
1.不同元素分组问题的处理策略
①完全均匀分组,每组的元素个数均相等，分组后一定要除以分组的组数的全排
列.
②部分均匀分组,应注意不要重复,若有组元素个数相等,最后必须除以 !.
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
2.一定要区分相同元素和不同元素的分组问题.
例 有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外2名英语、日
语均精通.从中选出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另外4人翻译
日语,这2个小组能同时工作,则这样的8人名单共有多少种
解:将英语、日语均精通的人员称为“多面手”，按“多面手”的入选情况分成三类.
第一类:“多面手”不入选,这时有 （种）情况.
第二类:“多面手”中有一人入选,这时又有该人负责英语翻译或日语翻译两种可能,
因此有 （种）情况.
第三类:“多面手”中2人均入选,这时又分3种情况:2人都负责翻译英语,
2人都负责翻译日语,2人各负责翻译一个语种,
因此有 （种）情况.
综上,共有 （种）名单.第3课时 排列、组合的综合应用
【学习目标】
会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
◆ 知识点
1.不同元素分组的组合问题有以下类型:
①完全均匀分组,是指每组元素个数相等;
②部分均匀分组,是指部分组元素个数相等;
③完全非均匀分组,是指每组元素个数均不相等.
2.“含有”或“不含有”某些元素的组合问题求解时将这些元素取出或剔除.
3.“至多”或“至少”含有几个元素的组合问题使用直接法或间接法求解.
【诊断分析】 某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,试设计一种选取方案,它是一个排列问题,还是一个组合问题
◆ 探究点一 “至多”或“至少”问题
例1 在100件产品中,有97件合格品,3件次品,从这100件产品中任意抽出5件.(此题结果用式子作答即可)
(1)抽出的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种
(2)抽出的5件中至少有2件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的5件中至多有2件是次品的抽法有多少种
变式 (1)有5名同学打算在四门课程中每人选择一门学习,则每门课程至少有一名同学选择的不同方法共有 种.
(2)现从某中学选出4名志愿者,每名志愿者需要去服务3个项目中的一个项目,每个项目至少安排一名志愿者,则不同的分配方案有 ( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
[素养小结]
组合问题常有以下两类题型:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由其他元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:当直接法分类复杂时,利用逆向思维,间接求解.
◆ 探究点二 分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题
例2 按下列要求分配6本不同的书,分别有多少种不同的分配方法
(1)分成3份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)平均分成3份,每份2本;
(3)分成3份,1份4本,另外2份每份1本;
(4)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(5)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
变式 8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动,每个小区安排4名志愿者,则不同的安排方法共有 种.
[素养小结]
注意三点问题:(1)不同元素的分组方法,(2)每组中元素的个数是否相等,(3)分完组是否还需要分配也就是是否有序.
角度2 相同元素分组、分配问题
例3 6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列条件下不同放法的种数.
(1)每个盒子都不空;
(2)恰有1个空盒子;
(3)恰有2个空盒子.
变式 有10个运动员名额,分给班号分别为1,2,3的3个班,在下列条件下各有多少种不同的分法
(1)每班至少1个名额;
(2)每班至少2个名额;
(3)每班的名额不能少于其班号数.
[素养小结]
相同元素分组、分配问题的处理策略
①隔板法:将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分组、分配问题.
②将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),每个对象至少分得一个元素,有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块板.
