§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
【课前预习】
知识点
3.(k=0,1,2,…,n)
诊断分析 (1)× (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
例1 解:(1)(a+2b)5=a5+a4(2b)1+a3(2b)2+a2(2b)3+a(2b)4+(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a2b3+80ab4+32b5.
(2)展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-2)r,∴其展开式为x6-12+60x3-160+240-192+64x-3.
变式 解:=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+=x7-7x5+21x3-35x+-+-.
例2 (1)C (2)B [解析] (1)原式=(-2)0+(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=(1-2)n=(-1)n.故选C.
(2)16-32x+24x2-8x3+x4=×24+×23×(-x)+×22×(-x)2+×2×(-x)3+×(-x)4=(2-x)4.故选B.
变式 A [解析] 原式=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=(x-1+1)4-1=x4-1,故选A.
拓展 6 [解析] ·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=·3n·10+·3n-1·11+·3n-2·12+…+·31·1n-1+·30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6.
例3 解:(1)由二项式通项可得,第6项的二项式系数为=126.
(2)由题意可知,T3=·(x2)7·=9x12,故第3项的系数为9.
(3)由题意可知,Tr+1=(x2)9-r=x18-3r,令18-3r=0,解得r=6,所以T7==,即常数项为.
变式 (1)15 (2)B [解析] (1)的展开式的通项为Tk+1=x6-k=x6-3k,令6-3k=0,解得k=2,所以常数项是=15.
(2)的展开式的通项为Tr+1=(ax)6-r=(-2)ra6-rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,∴的展开式中的常数项为T4=(-2)3a6-3x6-6=-160a3=-160,∴a3=1,∴a=1.故选B.
拓展 C [解析] 由(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,可得2n=64,即n=6.设x+1=t,则2x+3=2t+1,则(2x+3)n=(2x+3)6=(2t+1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,可得a2t2=(2t)6-414=22t2=60t2,则a2=60.故选C.
例4 (1)A (2)C [解析] (1)=,可得的展开式的通项为Tr+1=x10-r=(-1)rx10-2r,令10-2r=0,解得r=5,所以展开式中的常数项为(-1)5=-252.故选A.
(2)由题可得(x-1)5的展开式中含x3的项为x3(-1)2=10x3,含x5的项为x5(-1)0=x5,这两项分别与x2和1相乘,得(x2+1)(x-1)5的展开式中含x5的项为10x5+x5=11x5,故所求系数为11,故选C.
变式 (1)C (2)-480 [解析] (1)二项式(1+ay)6的展开式的通项为Tr+1=×16-r(ay)r=aryr,令r=3,可得二项式(1+ay)6的展开式中y3的系数为a3,∴(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为(-1)a3=160,可得a3=-8,解得a=-2,故选C.
(2)(x+y-2z)6=[(x+y)-2z]6的展开式的通项为Tr+1=(x+y)6-r(-2z)r,令r=3,得T4=(x+y)3(-2z)3=-8(x+y)3z3.易知(x+y)3的展开式的通项为x3-mym,令m=2,得(x+y)3的展开式中含xy2的项为xy2.所以(x+y-2z)6的展开式中,xy2z3的系数是-8=-480.§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
1.C [解析] 因为的展开式共有(n+6)项,所以n+6=20,所以n=14,故选C.
2.A [解析] 因为S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3·10+(x-1)2·11+(x-1)·12+·13,所以结合二项展开式的形式,可得S=[(x-1)+1]3=x3.故选A.
3.A [解析] (x-y)5的展开式的通项为Tr+1=(x)5-r·(-y)r=()5-r·(-1)r·x5-ryr,取r=3,得T4=()2×(-1)3·x2y3=-20x2y3.故选A.
4.D [解析] (2-x)6的展开式的通项为Tr+1=·26-r·(-x)r=·(-1)r·26-r·xr ,∴T3=×(-1)2×24·x2=240x2,T4=×(-1)3×23·x3=-160x3,T5=×(-1)4×22·x4=60x4,∴第3,4,5项之和是60x4-160x3+240x2,故选D.
5.A [解析] 由二项式定理得x3=[(x-2)+2]3=·(x-2)023+·(x-2)122+·(x-2)221+·(x-2)320,又x3=a0+a1·(x-2)+a2·(x-2)2+a3·(x-2)3,所以a2=×21=3×2=6.故选A.
6.C [解析] ∵(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,∴在(x2-x-2)5的展开式中x的系数为×(-2)4+×(-2)5=-80,故选C.
7.AD [解析] 二项式(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=(x3)r=x4r-n.令n=4,则当r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确.故选AD.
8.BD [解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=(-1)rxk-rx-2r=(-1)rxk-3r(k∈N*,r=0,1,2,…,k),则由题意知k-3r=2有解,即r=有解,因为r∈N,所以k=2,5,8,11,14,…,故选BD.
9.24 [解析] 的展开式的通项为Tr+1=(2x)4-r,r=0,1,2,3,4,所以其展开式中的常数项为(2x)2=24.
10.5 [解析] 的展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r=(-3)r,由第5项为常数项可知当r=4时,2n-=0,可得n=5.
11.1 [解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=·x5-r·(ax-1)r=ar··x5-2r,令5-2r=-1,解得r=3,所以的系数是a3·=10a3=10,解得a=1.
12.2 [解析] 当第1个因式取x2时,第2个因式展开式中取常数项,其系数为1×,当第1个因式取时,第2个因式展开式中取含x3的项,其系数为a×(-1)3.由题知,1×+a×(-1)3=-19,解得a=2.
13.解:(2-x)6的展开式的通项为Tr+1=·26-r(-x)r,
(1+x)(2-x)6的展开式中的常数项为×26(-x)0=64,含x的项为×25(-x)1+x·×26(-x)0=-192x+64x=-128x.
14.解:(1)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a9=29=512.
令x=0,可得a0=19=1,所以a1+a2+…+a9=511.
(2)设第k,k+1,k+2项的系数之比为3∶4∶5.
(1+x)n的展开式的通项为Tr+1=·1n-r·xr=·xr,r=0,1,2,…,n.
由整理可得解得
15.B [解析] (x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5,则(1+x)5的展开式的通项为Ar+1=·xr,(2+x)5的展开式的通项为Bk+1=·25-kxk,所以(x2+3x+2)5的展开式的通项为Tr+1,k+1=·25-k·xr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.令r+k=2,可得或或因此,(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为×23+×24+×25=800.故选B.
16.解:(1)二项式的展开式的通项为Tr+1=()n-r=,r=0,1,2,…,n,
由题意可知a=,b=,c=,且a+c=2b,n≥2,
则+=×2,即1+=n,解得n=8或n=1(舍去),故展开式的第四项T4==-7.
(2)由(1)可得二项式,
令x=1,得展开式中各项的系数和为=.§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
【学习目标】
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
4.通过学习,培养学生数学运算的核心素养.
◆ 知识点 二项式定理及相关概念
1.二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*),简写为(a+b)n=an-kbk.
2.二项展开式:二项式定理等号右边的式子.
3.二项式系数:等号右边各项的系数 .
4.二项式通项:Tk+1=an-kbk .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(a+b)n的展开式中共有n项. ( )
(2)二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第r+1项一定相同. ( )
(3)an-kbk是(a+b)n的展开式的第k项. ( )
(4)(a-b)n与(a+b)n的展开式的第k项的二项式系数相同. ( )
◆ 探究点一 二项式定理
例1 利用二项式定理展开下列各式:
(1)(a+2b)5;
(2).
变式 利用二项式定理展开.
[素养小结]
利用二项式定理求展开式时,要注意以下几点:
(1)项数不能少;(2)两项之间是加号;(3)展开后需化简.
◆ 探究点二 二项式定理的逆用
例2 (1)1-2+4-8+…+(-2)n等于 ( )
A.1 B.-1
C.(-1)n D.3n
(2)化简16-32x+24x2-8x3+x4= ( )
A.x4 B.(2-x)4
C.(2+x)4 D.(1-2x)4
变式 化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)的结果为 ( )
A.x4-1
B.(x-1)4-1
C.(x+1)4-1
D.x4+1
[素养小结]
二项式定理的逆用是将多项式合并成二项式(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用.逆用该定理可解决一些化简、求和与证明问题.熟悉公式的特点——项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律,是逆用该定理的关键.
拓展 已知·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=212,则n= .
◆ 探究点三 二项式通项
例3 在的展开式中,求:
(1)第6项的二项式系数;
(2)第3项的系数;
(3)常数项.
变式 (1)的展开式中常数项是 .(用数字作答)
(2)若(a为常数)的展开式中的常数项为-160,则a= ( )
A.-1 B.1
C.±1 D.2
[素养小结]
求二项展开式中特定项(或系数)的关键是运用二项式通项,解题过程一般分两步:第一步根据所给出的条件(特定项)和二项式通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,另外需注意常数项的指数为零、有理项的指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再代入通项中求对应的项.
拓展 已知(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,若(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,则a2= ( )
A.20 B.30
C.60 D.80
◆ 探究点四 两个二项式乘积、三项式的特定项
例4 (1)的展开式中的常数项是 ( )
A.-252 B.-220
C.220 D.252
(2)(x2+1)(x-1)5的展开式中x5的系数为 ( )
A.1 B.-9
C.11 D.21
变式 (1)若(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为160,则a= ( )
A.2 B.4
C.-2 D.-2
(2)(x+y-2z)6的展开式中xy2z3的系数是 .
[素养小结]
三项式求特定项的常用方法:
(1)因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式的乘积,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开.
(3)利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项合并.§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
一、选择题
1.若的展开式有20项,则自然数n的值为 ( )
A.9 B.11
C.14 D.15
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于 ( )
A.x3 B.-x3
C.(1-x)3 D.(x-1)3
3.(x-y)5的展开式中x2y3的系数为 ( )
A.-20 B.20
C.-2 D.2
4.在(2-x)6的展开式中,第3,4,5项之和是 ( )
A.460
B.140
C.60x4+160x3+240x2
D.60x4-160x3+240x2
5.已知对任意实数x,都有x3=a0+a1·(x-2)+a2·(x-2)2+a3·(x-2)3,则a2= ( )
A.6 B.9
C.12 D.21
6.在(x2-x-2)5的展开式中,x的系数为 ( )
A.80 B.240
C.-80 D.160
7.(多选题)对于二项式(n∈N*,n≥2),下列判断正确的有 ( )
A.存在n∈N*,n≥2,使得展开式中有常数项
B.对任意n∈N*,n≥2,展开式中都没有常数项
C.对任意n∈N*,n≥2,展开式中都没有x的一次项
D.存在n∈N*,n≥2,使得展开式中有x的一次项
8.(多选题)若二项式的展开式中含x的二次项,则k的取值可能为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.14
二、填空题
9.的展开式中的常数项是 .
10.已知的展开式中第5项为常数项,则n= .
11.已知二项式的展开式中的系数是10,则实数a= .
12.已知(1-x)5的展开式中含x2项的系数为-19,则实数a的值为 .
三、解答题
13.求(1+x)(2-x)6的展开式中的常数项和含x的项.
14.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中n≥2,n∈N*.
(1)当n=9时,求a1+a2+…+a9的值;
(2)在展开式中,若存在连续三项的系数之比为3∶4∶5,求n的值.
15.(x2+3x+2)5的展开式中x2的系数为 ( )
A.625 B.800
C.750 D.600
16.在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值a,b,c满足a+c=2b.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式中各项的系数和.(共28张PPT)
4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
4.通过学习,培养学生数学运算的核心素养.
知识点 二项式定理及相关概念
1.二项式定理：
，简写为
.
2.二项展开式:二项式定理等号右边的式子.
3.二项式系数：等号右边各项的系数__________________.
4.二项式通项： .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的展开式中共有 项.( )
×
（2）二项式与的展开式的第 项一定相同.( )
×
（3）是的展开式的第 项.( )
×
（4）与的展开式的第 项的二项式系数相同.( )
√
探究点一 二项式定理
例1 利用二项式定理展开下列各式：
（1） ；
解：
.
（2） .
解：展开式的通项为，
其展开式为 .
变式 利用二项式定理展开 .
解： .
［素养小结］
利用二项式定理求展开式时，要注意以下几点：
（1）项数不能少；（2）两项之间是加号；（3）展开后需化简.
探究点二 二项式定理的逆用
例2（1） 等于( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] 原式
.
故选C.
（2）化简 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] .
故选B.
变式 化简 的结果为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 原式
，
故选A.
［素养小结］
二项式定理的逆用是将多项式合并成二项式 的形式,即二项式定理从右
到左使用.逆用该定理可解决一些化简、求和与证明问题.熟悉公式的特点——项
数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律，是逆用该定理的关键.
拓展 已知，则 __.
6
[解析]
，
即，得 .
探究点三 二项式通项
例3 在 的展开式中，求：
（1）第6项的二项式系数；
解：由二项式通项可得，第6项的二项式系数为 .
（2）第3项的系数；
解：由题意可知， ，故第3项的系数为9.
（3）常数项.
解：由题意可知，，令 ，
解得，所以,即常数项为 .
变式（1） 的展开式中常数项是____.（用数字作答）
15
[解析] 的展开式的通项为 ，
令，解得，所以常数项是 .
（2）若为常数的展开式中的常数项为，则 ( )
B
A. B.1 C. D.2
[解析] 的展开式的通项为，
令，解得 ，
的展开式中的常数项为 ，
， .故选B.
［素养小结］
求二项展开式中特定项（或系数）的关键是运用二项式通项，解题过程一般分
两步：第一步根据所给出的条件（特定项）和二项式通项，建立方程来确定指
数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即， 均为非负整数，且
，另外需注意常数项的指数为零、有理项的指数为整数等）；第二步是根
据所求的指数，再代入通项中求对应的项.
拓展 已知 的展开式的二项式系数和为64，若
，则 ( )
C
A.20 B.30 C.60 D.80
[解析] 由的展开式的二项式系数和为64，可得，即 .
设，则 ，
则 ，
可得，则 .故选C.
探究点四 两个二项式乘积、三项式的特定项
例4（1） 的展开式中的常数项是( )
A
A. B. C.220 D.252
[解析] ，
可得 的展开式的通项为，
令，解得 ，所以展开式中的常数项为 .
故选A.
（2）的展开式中 的系数为( )
C
A.1 B. C.11 D.21
[解析] 由题可得的展开式中含的项为，
含 的项为，这两项分别与和1相乘，
得 的展开式中含的项为 ，
故所求系数为11，故选C.
变式（1） 若的展开式中的系数为160，则 ( )
C
A.2 B.4 C. D.
[解析] 二项式的展开式的通项为 ，
令，可得二项式的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
可得，解得 ，故选C.
（2）的展开式中 的系数是_______.
[解析] 的展开式的通项为
，
令 ，得.
易知 的展开式的通项为，
令，得的展开式中含的项为 .
所以的展开式中，的系数是 .
［素养小结］
三项式求特定项的常用方法：
（1）因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式的乘积,然后用二项式
定理分别展开.
（2）逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开.
（3）利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成,
注意最后应把各个同类项合并.
1.二项式定理的结构特点:
（1）各项的次数和都等于二项式的幂指数 ;
（2）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减1直到0,字母 按升幂排列,
从第一项开始,次数由0逐项增1直到 ;
（3）二项展开式共有 项.
2.应用二项展开式的通项时的注意点:
（1）是展开式中的第项,而不是第 项;
（2）公式中,的指数和为,且, 不能随便颠倒位置;
（3）要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;
（4）对二项式 的展开式的通项要特别注意符号问题.
3.二项展开式的第项的二项式系数是,二项式系数是仅与二项式的次数
有关的个组合数,与,的取值无关,且是正数;而二项展开式的第 项的
系数则是二项式系数与数字系数的积,可能为负数.如 的展开式的第
二项的二项式系数是,而第二项的系数则是 .
例1 已知 ，则
( )
D
A.0 B.1 C.10 D.20
[解析] 令 ，
则，
令 ，得 .故选D.
例2 已知正整数，若的展开式中不含，则 的值为___.
8
[解析] ，
且 的展开式的通项为，
的展开式中的系数为，
的展开式中的系数为，
故的展开式中 的系数为，即，
解得 .
例3 的展开式中 的系数为____.（用数字作答）
[解析] 的展开式的通项为 ，
令,得，则展开式中的系数为 .
