4.2 二项式系数的性质
【课前预习】
知识点一
1.增大 减小 2.和
诊断分析 (1)√ (2)√
知识点二
1.首末两端“等距离” 2.增大 减小
3.①2n ②2n-1
诊断分析 (1)× (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
例1 C [解析] ∵次数为m的二项式的展开式中第r+1项的二项式系数为,∴所给杨辉三角形中第m行的第14个数和第15个数分别为与,∴=,整理得=,解得m=34,故选C.
变式 D [解析] 对于A,由组合数的性质可得=,故A中猜想正确;对于B,由组合数的性质可得+=, 故B中猜想正确;对于C,由二项式系数和的性质可得+++…+=2n,故C中猜想正确;对于D,115=(10+1)5=105+5×104+10×103+10×102+5×10+1=161 051,故D中猜想错误.故选D.
例2 解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1①.
令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022②.
(1)a0+a1+a2+…+a2022=1.
(2)由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022,
∴a1+a3+a5+…+a2021=.
(3)由①+②得2(a0+a2+…+a2022)=32022+1,
∴a0+a2+…+a2022=.
令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2022=.
(4)∵(1-2x)2022的展开式的通项为=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,r∈[0,2022],r∈N,
∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1011),且a2022>0.
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022.
变式 (1)243 (2)ABC [解析] (1)∵(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,代入可得各项系数之和为(1+2)5=243.
(2)设t=x-1,则原式转化为(1+t)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,令t=0,得a0=1,故A正确;(1+t)5展开式的通项为Tr+1=tr,r=0,1,2,3,4,5,则a2==10,a3==10,即a2=a3,故B正确;令t=1,得a0+a1+a2+…+a5=25=32,所以a1+a2+…+a5=31,故C正确;令t=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,则a1-a2+a3-a4+a5=1,故D错误.故选ABC.
例3 解:的展开式的通项为Tk+1=()8-k=(-1)k·2k· .
(1)易知展开式中共9项,则二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,该项为T5=(-1)4×24×=1120x-6.
(2)设第k+1(k∈N*)项系数的绝对值最大,
则即整理得
于是k=5或k=6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
变式 解:(1)因为(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,所以=且n≥5,解得n=7,
所以=展开式的二项式系数之和为++…+=210=1024.
(2)展开式的通项为Tr+1=x10-r·=(-2)rx10-2r,r∈[0,10],r∈N.
设的展开式中第k+1项的系数的绝对值最大,
则解得≤k≤,又k∈N,所以k=7,
所以的展开式中系数绝对值最大的项为T8=(-2)7x10-14=-.4.2 二项式系数的性质
1.C [解析] (a+b)10的展开式共11项,第3项的二项式系数为,则由对称性可知,与第3项二项式系数相同的项的二项式系数为,即所求项为第9项.故选C.
2.D [解析] 令x=1,得=(-1)2024=1.故选D.
3.C [解析] ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,∴=,∴n=10,因此所有项的二项式系数和为210,故选C.
4.C [解析] 因为在(x-1)n的二项展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,即最大,所以n=10.故选C.
5.B [解析] 因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,所以令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B.
6.A [解析] 由题意,的展开式中各项系数的和为-2,令x=1,得-(1+a)=-2,解得a=1,故=.的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-2x-1)r=(-2)rx5-2r,由5-2r=1,得r=2,则T3=(-2)2x=40x,由5-2r=-1,得r=3,则T4=(-2)3x-1=-80x-1, 故所求的常数项为40-80=-40.故选A.
7.CD [解析] 由题可知,该二项展开式中各项的系数与二项式系数相等,且展开式中第3项与第8项的二项式系数分别为,,则=,可得n=9.所以该展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.故选CD.
8.AD [解析] 由(3x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a9=29①,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=-49=-218②,①-②可得2(a1+a3+a5+a7+a9)=29+218,所以a1+a3+a5+a7+a9=28+217,所以A中等式成立;①+②可得2(a0+a2+a4+a6+a8)=29-218,所以a0+a2+a4+a6+a8=28-217,所以C中等式不成立;令x=0,可得a0=-1,所以B中等式不成立;令x=,可得a0+++…+=0,可得+++…+=0-a0=1,所以D中等式成立.故选AD.
9.4 [解析] 令x=1,得(1+2)n=3n=81,∴n=4.
10.32 [解析] 令x=y=1,可得(x+2y)n的展开式中各项系数之和为(1+2)n=243=35,解得n=5,所以二项式(x+2y)5的展开式中各项二项式系数之和为25=32.
11. [解析] 因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以二项式的展开式有7项,则n=6,故的展开式的通项为Tr+1=()6-r=,r=0,1,2,…,6,令3-r=0,则r=2,故展开式中的常数项为=.
12.70 [解析] 的展开式的通项为Tr+1=x8-r(-x-1)r=(-1)rx8-2r(r∈[0,8],r∈N),显然当r=0,2,4,6,8时,二项展开式的系数为正,当r=1,3,5,7时,二项展开式的系数为负,且T1=x8=x8,T3=(-1)2x4=28x4,T5=(-1)4x0=70,T7=(-1)6x-4=28x-4,T9=(-1)8x-8=x-8,故的展开式中系数最大的项为T5=70.
13.解:若选①,的展开式的通项为Tr+1=(-1)r,则第5项的系数为,第3项的系数为,由题意得∶=5∶2,解得n=-3(舍去)或n=8.
若选②,第2项与倒数第3项的二项式系数分别为和,由题意得+=+=36,解得n=-9(舍去)或n=8.∴的展开式的通项为Tr+1=(-1)r.
(1)由n=8可知展开式中共9项,第5项的二项式系数最大,∴展开式中二项式系数最大的项为T5==70.
(2)令=-1,解得r=6,∴展开式中含的项为T7=x-1=.
14.解:(1)二项式系数的和为+++…+=210.
(2)令x=y=1,得各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为++…+=29,偶数项的二项式系数和为++…+=29.
(4)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=1①,令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),得a0-a1+a2-a3+…+a10=510②.由①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+510,∴奇数项系数和为;由①-②得2(a1+a3+a5+a7+a9)=1-510,∴偶数项系数和为.
15.B [解析] (x-1)2+(x-1)3+(x-1)4+(x-1)5=[(x+1)-2]2+[(x+1)-2]3+[(x+1)-2]4+[(x+1)-2]5,其二项展开式中(x+1)2的系数为(-2)0+(-2)+(-2)2+(-2)3=-61.故选B.
16.解:(1)①根据题意得+=7,即m+n=7(*),
f(x)的展开式中x2的系数为+=+=,将(*)变形为n=7-m代入上式,得x2的系数为m2-7m+21=+,故当m=3或m=4时,x2的系数取得最小值9.当m=3,n=4或m=4,n=3时,f(x)=(1+x)4+(1+x)3,则展开式中x3的系数为+=5.
②f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈+×0.003++×0.003≈2.02.
(2)由题意可得,a==70.(1+2x)8的展开式的通项为Tk+1=(2x)k=2kxk,由即得5≤k≤6,∴当k=5或k=6时,展开式的系数最大,则b=7×28,∴=.4.2 二项式系数的性质
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养.
◆ 知识点一 二项式系数表
1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐 ,随后又逐渐 .
2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二项式系数表中第r行共有r+1项. ( )
(2)第m行斜列中(从右上到左下)前k个数的和等于第m+1行斜列中第k个数. ( )
◆ 知识点二 二项式系数的性质
1.对称性
在(a+b)n的展开式中,与 的两个二项式系数相等,即=,=,…,=.
2.增减性与最大值
当k<时,随k的增大而 ;由对称性知,二项式系数的后半部分,随k的增大而 .当n是偶数时,中间的一项 取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
①+++…+= ;
②+++…=+++…= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二项展开式的二项式系数的和为++…+. ( )
(2)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同. ( )
(3)在(1+2x)9的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. ( )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项. ( )
◆ 探究点一 杨辉三角
例1 如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m(m>15)行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3,则m= ( )
A.40 B.50 C.34 D.32
变式 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角,如图,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是 ( )
A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想:=
B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:=+
C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+++…+=2n
D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15 101 051
[素养小结]
研究杨辉三角的性质,实质上是研究二项展开式的二项式系数(即组合数)的性质,求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个数之间的关系.
◆ 探究点二 二项式系数和、各项系数和
例2 设(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2022的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2021的值;
(3)求a2+a4+a6+…+a2022的值;
(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|的值.
变式 (1)已知(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,则各项系数之和为 .
(2)(多选题)若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则 ( )
A.a0=1
B.a2=a3
C.a1+a2+…+a5=31
D.a1-a2+a3-a4+a5=-1
[素养小结]
赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
◆ 探究点三 二项式的最值问题
例3 在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
变式 已知(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,求的展开式中:
(1)所有二项式系数之和;
(2)系数绝对值最大的项.
[素养小结]
(1)根据二项式系数的性质可知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中系数最大的项,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,则与之相邻的两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项.4.2 二项式系数的性质
一、选择题
1.在(a+b)10的展开式中与第3项的二项式系数相同的项是 ( )
A.第8项 B.第7项
C.第9项 D.第10项
2.的展开式中各项的系数和为 ( )
A.2024 B.-2024
C.-1 D.1
3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则所有项的二项式系数和为 ( )
A.212 B.211
C.210 D.29
4.在(x-1)n的展开式中,仅有第6项的二项式系数最大,则n= ( )
A.8 B.9
C.10 D.11
5.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
6.的展开式中各项系数的和为-2,则该展开式中的常数项为 ( )
A.-40 B.-20
C.20 D.40
7.(多选题)若的展开式中第3项与第8项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为 ( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
8.(多选题)设(3x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则下列等式中成立的是 ( )
A.a1+a3+a5+a7+a9=28+217
B.a0=1
C.a0+a2+a4+a6+a8=29-218
D.+++…+=1
二、填空题
9.已知(1+2x)n的展开式的各项系数之和为81,则n= .
10.已知(x+2y)n的展开式中各项系数之和为243,则各项二项式系数之和为 .
11.在二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 .
12.在的展开式中系数最大的项为 .
三、解答题
13.请从所给两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2;
②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36.
已知在的展开式中, .
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中含的项.
14.在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
15.已知(x-1)2+(x-1)3+(x-1)4+(x-1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a2= ( )
A.-111 B.-61 C.61 D.111
16.(1)已知m,n都是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.
①当f(x)的展开式中x2的系数最小时,求展开式中x3的系数;
②利用①中所求得的m,n的值,求f(0.003)的近似值.(精确到0.01)
(2)已知(1+2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求.(共27张PPT)
4 二项式定理
4.2 二项式系数的性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.
2.理解和初步掌握赋值法及其应用.
3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一 二项式系数表
1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐______,随后又逐渐______.
2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之____.
增大
减小
和
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二项式系数表中第行共有 项.( )
√
（2）第行斜列中（从右上到左下）前个数的和等于第行斜列中第 个
数. ( )
√
知识点二 二项式系数的性质
1.对称性
在 的展开式中,与_________________的两个二项式系数相等,即
, , , .
首末两端“等距离”
2.增减性与最大值
当时,随的增大而______;由对称性知,二项式系数的后半部分,随
的增大而______.当是偶数时,中间的一项_ ___取得最大值;当 是奇数时,中间的
两项_ ____与_____相等,且同时取得最大值.
增大
减小
3.各二项式系数的和
① ____;
② ______.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二项展开式的二项式系数的和为 .( )
×
（2）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同.( )
×
（3）在 的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项.( )
√
（4）在 的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.( )
×
探究点一 杨辉三角
例1 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第
行中从左至右第14个数与第15个数的比为 ，
则 ( )
C
A.40 B.50 C.34 D.32
[解析] 次数为的二项式的展开式中第 项的二项式系数为，
所给杨辉三角形中第 行的第14个数和第15个数分别为与，
，整理得 ，解得 ，故选C.
变式 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的
杨辉三角，如图，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以
下关于杨辉三角的猜想中错误的是( )
D
A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜
想：
B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它
‘肩上’两个数的和”猜想：
C.由“第行所有数之和为 ”猜想：
D.由“，， ”猜想：
[解析] 对于A，由组合数的性质可得 ，故A中猜想正确；
对于B，由组合数的性质可得 ，故B中猜想正确；
对于C，由二项式系数和的性质可得 ，
故C中猜想正确；
对于D， ，故D中猜想错误.
故选D.
［素养小结］
研究杨辉三角的性质，实质上是研究二项展开式的二项式系数（即组合数）的
性质，求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个
数之间的关系.
探究点二 二项式系数和、各项系数和
例2 设 .
解:令,得 .
令,得 .
（1）求 的值;
.
（2）求 的值;
解： 由得 ,
.
（3）求 的值;
解： 由得 ,
.
令,得, .
（4）求 的值.
解： 的展开式的通项为
,， ，
,,且 .
.
变式（1） 已知 的展开式中二项式系数之和为32，则各项系数之和
为_____.
243
[解析] 的展开式中二项式系数之和为32，，解得 .
令,代入可得各项系数之和为 .
（2）（多选题）若 ，其中
,,, , 为实数，则( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 设，则原式转化为 ，
令，得，故A正确；
展开式的通项为, , 1,2,3,4,5，则，
，即，故B正确；
令 ,得,所以 ,故C正确；
令,得,则 ,故D错误.
故选 .
［素养小结］
赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若
,则展开式中各项系数之和为 ,奇数
项系数之和为 ,偶数项系数之和为
.
探究点三 二项式的最值问题
例3 在 的展开式中,
解： 的展开式的通项为 .
（1）求二项式系数最大的项；
易知展开式中共9项，则二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
该项为 .
（2）系数的绝对值最大的项是第几项
解：设第 项系数的绝对值最大，
则即整理得
于是或 .
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
变式 已知 的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求
的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
解：因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
所以 且，解得 ，
所以 展开式的二项式系数之和为
.
（2）系数绝对值最大的项.
解：展开式的通项为 ，
， .
设的展开式中第 项的系数的绝对值最大，
则解得，又，所以 ，
所以 的展开式中系数绝对值最大的项为
.
［素养小结］
（1）根据二项式系数的性质可知,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当
为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中
系数最大的项,一般采用列不等式（组）,解不等式（组）的方法求解.一般地,如
果第项的系数最大,则与之相邻的两项（第项、第 项）的系数均不大
于第项的系数,由此列不等式组可确定的范围,再依据来确定 的值,
即可求出系数最大的项.
1.二项式系数从左到右先递增再递减.因为
,所以相对于的增减情况由
决定.当,即时,随着的增加而增大;由对称性知,当 时,
随着 的增加而减小.
2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,且都等于 .对于二
项式,令, ,则
,即
.
例1 的展开式中所有的项的系数之和为( )
A
A. B. C.10 D.64
[解析] 令，，则展开式中所有项的系数之和为 .故选A.
例2 ，则
( )
B
A.49 B.52 C.56 D.59
[解析] 令 ，
得 ，
所以 .故选B.
例3 的展开式中系数最大的项是第____项.
10
[解析] 的展开式的通项为
，
由得，
因为，所以 ，
故 的展开式中系数最大的项是第10项.
