第六章 概 率
§1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
【课前预习】
知识点一
诊断分析
知识点二
1 P(B|A)+P(C|A) P(B|A)
诊断分析 (1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
例1 A [解析] 由题意得,AB表示“第一次和第二次都取到奇数”,则P(AB)==,又P(A)=,所以P(B|A)==.故选A.
变式 (1) (2)A [解析] (1)P(B|A)===.
(2)依题意知P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)===.故选A.
例2 [解析] 用事件A表示“甲被选上”,用事件B表示“乙被选上”,用事件C表示“丙被选上”.由题意知P(A)==,P(AB)==,P(AC)==,所以P(B|A)==, P(C|A)==,所以P[(B∪C)|A]= P(B|A)+ P(C|A)=+=.
变式 [解析] 设事件A表示“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”,事件B表示“取出的两瓶中另一瓶是红色”,事件C表示“取出的两瓶中另一瓶是黑色”,事件D表示“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,又P(A)==,P(AB)==,P(AC)==,故P(D|A)=P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=+=.第六章 概 率
§1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
1.C [解析] 由P(B|A)=,可得P(A)==.故选C.
2.C [解析] 设“第一次抽到次品”为事件A,“第二次抽到次品”为事件B,则P(A)==,P(AB)==,所以在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率为P(B|A)===.故选C.
3.D [解析] 用事件A表示“第一次抽到数学题”,事件B表示“第二次抽到数学题”,则P(A)=,P(AB)==,则由条件概率公式得P(B|A)==,所以在第一次抽到数学题的前提下,第二次也抽到数学题的概率是.故选D.
4.B [解析] P(A|B)=≥P(AB),故A错误;当B为必然事件,即P(B)=1时,P(A|B)=P(A)=,故B正确;P(AB)=P(A)P(B)当且仅当A与B相互独立时才成立,故C错误;P(A|A)=1,故D错误.故选B.
5.D [解析] 根据题意可得n(A)=-=20-1=19,n(AB)=+=18,则P(B|A)==.故选D.
6.A [解析] 甲、乙两人从四个地点中各随机选择一个参观,共有4×4=16(种)选择,若甲和乙均不选择青少年活动中心去参观,则有3×3=9(种)选择,所以甲和乙至少有一人选择青少年活动中心去参观有16-9=7(种)选择,所以P(A)=.由题意知,事件AB表示“甲、乙两人中有且只有一人选择青少年活动中心去参观”,且甲、乙两人中有且只有一人选择青少年活动中心去参观有1×3+3×1=6(种)选择,所以P(AB)==,因此P(B|A)==.故选A.
7.BC [解析] ∵当B发生时A一定发生,∴P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),故A,D中等式不成立;P(B|A)==,故B中等式成立;P(A|B)==1,故C中等式成立.故选BC.
8.AB [解析] 因为甲罐中只有红球和白球,所以A1,A2为对立事件,A正确;当A1发生时,乙罐中有4个红球,7个白球,此时B发生的概率为,即P(B|A1)=,B正确;当A2发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此时B发生的概率为,即P(B|A2)=,C不正确;P(B|A1)+P(B|A2)=+=,D不正确.故选AB.
9. [解析] 由题可知,P(B)==,P(AB)==,所以P(A|B)==.
10. [解析] 设事件A表示“第1次摸到红球”,事件B表示“第2次摸到白球”,则P(A)==,P(AB)==,故在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到白球的概率为P(B|A)===.
11. [解析] 由已知得P(A)=,P(B)=,P(AB)=,则P(B|A)==,P(A|B)==.
12. [解析] 易知P(A)=.事件AB表示“第一次取到的数是偶数且第二次取到的数是3的整数倍”,若第一次取到的数为6或12,则第二次取到的数有3种情况,若第一次取到的数为4,8,10,则第二次取到的数有4种情况,故事件AB包含的样本点共有2×3+3×4=18(个).∴P(AB)==,∴P(B|A)==.
13.解:(1)用事件A表示“第1次抽到舞蹈节目”,事件B表示“第2次抽到舞蹈节目”,则AB表示“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”.从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的样本点总数为n(Ω)==30,根据题意可知n(A)==20,所以P(A)===.
(2)由(1)知,n(AB)==12,所以P(AB)===.
(3)由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)===.
14.解:(1)设“男青年志愿者a1和女青年志愿者b1都不被选中”为事件C,则P(C)==,所以所求概率为P()=1-P(C)=1-=.
(2)记“男青年志愿者a1被选中”为事件A,“女青年志愿者b1被选中”为事件B,则P(A)==,P(AB)==,所以P(B|A)==,所以在男青年志愿者a1被选中的情况下,女青年志愿者b1也被选中的概率为.
15. [解析] 易知P(M)==,MN表示“一次出现的点数为5,另一次出现的点数为奇数”,则事件MN包含的样本点共有2+1+2=5(个),所以P(MN)==,所以P(N|M)==.
16.解:(1)由题知,先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次的样本点总数为n(Ω)=6×6=36.记“m·n=1”为事件A,由m·n=1得2a-b=1,从而A={(1,1),(2,3),(3,5)},n(A)=3,故P(A)===.
(2)设“点数a,b之和不大于5”为事件B,则B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)},n(B)=10.设“a,b中至少有一个为2”为事件C,则C={(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},所以BC={(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)},n(BC)=5,故“在点数a,b之和不大于5的条件下,a,b中至少有一个为2” 的概率为P(C|B)===.第六章 概 率
§1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
【学习目标】
结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
◆ 知识点一 条件概率的概念
设A,B是两个事件,且P(A)>0,则称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.显然,0≤P(B|A)≤1.
【诊断分析】 在一个盒子中有大小、质地相同的10个球,其中6个红球,4个白球,两个人依次不放回地摸一个球,在第一个人摸出1个红球的条件下,第2个人摸出1个白球的概率是 .
◆ 知识点二 条件概率的性质
(1)设样本空间为Ω,P(A)>0,则P(Ω|A)= .
(2)如果B和C是互斥事件,且P(A)>0,那么P(B∪C|A)= .
(3)设和B互为对立事件,且P(A)>0,则P(|A)=1- .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)0
(2)P(B|A)=可能成立. ( )
(3)若事件A,B互斥,则P(B|A)=0. ( )
◆ 探究点一 条件概率
例1 [2024·河北邯郸五中月考] 从1,2,3,4,5中不放回地依次选取2个数,记事件A表示“第一次取到的是奇数”,事件B表示“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
变式 (1)若P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)= .
(2)把一枚质地均匀的硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
求条件概率主要有两种方法:
(1)利用定义,求P(A)和P(AB),则P(B|A)=.
(2)借助古典概型的概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件A与事件B的积事件包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=.
◆ 探究点二 互斥事件的条件概率
例2 某医院要选拔2人支援抗疫,该医院有6人最先报名,则在甲被选上的条件下,乙或丙被选上的概率为 .
变式 有五瓶墨水,其中红色墨水一瓶,蓝色、黑色墨水各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率是 .
[素养小结]
(1)若B,C互斥,则在事件A发生的条件下,事件B或C有一个发生的概率公式为P[(B∪C)|A]=P(B|A)+ P(C|A);
(2)若B1, B2,…,Bn彼此互斥,则在事件A发生的条件下,事件B1, B2,…,Bn有一个发生的概率公式为P[(B1∪B2∪…∪Bn)|A]= P(B1|A)+ P(B2|A)+…+P(Bn|A).第六章 概 率
§1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
一、选择题
1.[2024·重庆荣昌中学高二月考] 已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)= ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·广东深圳外国语学校高二月考] 有10件产品,其中4件是正品,其余都是次品,现不放回地从中依次抽2件,则在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.在7道题中有5道数学题和2道物理题,若不放回地依次抽取2道题,则在第一次抽到数学题的前提下,第二次也抽到数学题的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.对于随机事件A,B,下列结论中正确的是 ( )
A.P(A|B)B.P(A|B)=是可能的
C.P(AB)=P(A)P(B)恒成立
D.P(A|A)=0
5.已知桌上放有3本相同的语文书和3本相同的数学书,小明现从这6本书中任意抽取3本书,事件A表示“至少抽到1本数学书”,事件B表示“抽到语文书和数学书”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
6.[2024·江苏徐州田家炳中学月考] 甲、乙两位学生参观某中学,准备从教学南楼、教学北楼、青少年活动中心和学生劳动实践基地四个地点中各随机选择一个参观,若事件A表示“甲和乙至少有一人选择青少年活动中心去参观”,事件B表示“甲和乙选择的地点不同”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
7.(多选题) 设A,B是两个事件,当B发生时A一定发生,且0A.P(A+B)=P(B) B.P(B|A)=
C.P(A|B)=1 D.P(AB)=P(A)
8.(多选题)甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球(这些球除颜色外完全相同).先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一个球.用事件A1表示“从甲罐取出的球是红球”,事件A2表示“从甲罐取出的球是白球”,事件B表示“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是 ( )
A.A1,A2为对立事件
B.P(B|A1)=
C.P(B|A2)=
D.P(B|A1)+P(B|A2)=1
二、填空题
9.[2024·河南焦作博爱一中高二月考] 某学习小组共有10名成员,其中有6名女生,为学习期间随时关注学生的学习状态,现随机从这10名成员中抽选2名成员担任小组组长,协助老师了解学情,A表示“抽到的2名成员都是女生”,B表示“抽到的2名成员性别相同”,则P(A|B)= .
10.从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球,在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到白球的概率为 .
11.某气象台统计,该地区某天下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为,设事件A表示“该地区某天下雨”,事件B表示“该地区某天刮四级以上的风”,则P(B|A)= ,P(A|B)= .
12.从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中不放回地依次取2个数,用事件A表示“第一次取到的数是偶数”,事件B表示“第二次取到的数是3的整数倍”,则P(B|A)= .
三、解答题
13.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
14.某单位有8名青年志愿者,其中男青年志愿者有5人,分别记为a1,a2,a3,a4,a5,女青年志愿者有3人,分别记为b1,b2,b3,现从这8人中选4人参加某项公益活动.
(1)求男青年志愿者a1或女青年志愿者b1被选中的概率;
(2)在男青年志愿者a1被选中的情况下,求女青年志愿者b1也被选中的概率.
15.[2024·重庆荣昌中学高二月考] 把一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,记事件M为“两次出现的点数均为奇数”,N为“至少有一次出现的点数是5”,则P(N|M)= .
16.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次,将出现的点数分别记为a,b.
(1)设向量m=(a,b),n=(2,-1),求m·n=1的概率;
(2)求在点数a,b之和不大于5的条件下,a,b中至少有一个为2的概率.(共18张PPT)
1 随机事件的条件概率
1.1 条件概率的概念
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
知识点一 条件概率的概念
设,是两个事件,且,则称_ _____为在事件 发生的条件下事
件发生的条件概率.读作发生的条件下 发生的概率.显然，
.
【诊断分析】 在一个盒子中有大小、质地相同的10个球，其中6个红球，4
个白球，两个人依次不放回地摸一个球，在第一个人摸出1个红球的条件下，第
2个人摸出1个白球的概率是__.
知识点二 条件概率的性质
（1）设样本空间为 ,,则 ___.
（2）如果和是互斥事件,且,那么 ________________.
（3）设和互为对立事件,且,则 ________.
1
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） 可能成立.( )
√
（3）若事件,互斥,则 .( )
√
探究点一 条件概率
例1 [2024·河北邯郸五中月考]从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记
事件表示“第一次取到的是奇数”，事件 表示“第二次取到的是奇数”，则
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，表示“第一次和第二次都取到奇数”，则 ，
又，所以 .故选A.
变式（1） 若，，则 __.
[解析] .
（2）把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 ，
“第二次出现反面”为事件，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 依题意知,，所以 .故选A.
［素养小结］
求条件概率主要有两种方法:
（1）利用定义,求和,则 .
（2）借助古典概型的概率公式,先求事件包含的样本点个数,再求事件 与
事件的积事件包含的样本点个数,则 .
探究点二 互斥事件的条件概率
例2 某医院要选拔2人支援抗疫，该医院有6人最先报名，则在甲被选上的条件
下，乙或丙被选上的概率为__.
[解析] 用事件表示“甲被选上”,用事件表示“乙被选上”,用事件 表示“丙被选上”.
由题意知,, ，
所以, ,
所以 .
变式 有五瓶墨水，其中红色墨水一瓶，蓝色、黑色墨水各两瓶，某同学从中
随机任取两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率
是__.
[解析] 设事件表示“取出的两瓶中有一瓶是蓝色”，
事件 表示“取出的两瓶中另一瓶是红色”，
事件表示“取出的两瓶中另一瓶是黑色”，
事件 表示 “取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，
则，且与 互斥，
又，, ，
故 .
［素养小结］
（1）若,互斥,则在事件发生的条件下，事件或 有一个发生的概率公式为
;
（2）若,, ,彼此互斥,则在事件发生的条件下，事件,, , 有一
个发生的概率公式为
.
1.条件概率的理解
（1）与的意义不同,由条件概率的定义可知表示在事件
发生的条件下事件发生的条件概率，而表示在事件 发生的条件下事件
发生的条件概率.
（2）与的关系:在事件发生的前提下,事件 发生的概率不一定是
,即与 不一定相等.
（3）,必须满足与互斥,且 .
2.对条件概率计算公式的几点说明
（1）已知发生,在此条件下发生,相当于发生,要求,相当于把 看作
新的样本空间计算发生的概率,即 .
（2）条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化,在事件 发生
的条件下事件发生的概率可以看成在样本空间中事件 发生的概率,从而得出
求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法.
例1 [2024·吉林白城通榆一中高二期末] 在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关
的概率为，连续闯过前两关的概率为.设事件 表示“小明第一关闯关成功”，事
件表示“小明第二关闯关成功”，则 __.
[解析] 由题意得，，所以 .
例2 小明将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点
数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为__ .
[解析] 将这枚骰子连续抛掷三次，三次向上一面的点数一共有 种情况，
设 “三次点数都不相同”为事件，
则事件发生的点数情况有 （种），所以.
设事件是“三次点数之和不大于8”，
则事件， 同时发生的点数情况有（种），则 .
所以已知三次点数都不相同，
则三次点数之和不大于8的概率为 .
例3 已知10枚硬币中有7枚五角硬币3枚一角硬币，不考虑硬币的大小与质量差
异，从中任意取出2枚，已知其中一枚为一角硬币，则两枚都是一角硬币的概率
为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设事件A表示“至少一枚为一角硬币”，事件B表示“两枚都是一角硬币”，
则， ，
则所求概率为 .故选D.