第四章 对数运算与对数函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第四章 对数运算与对数函数
一、选择题
1．方程＝的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
2．函数的值域为（　　）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3] D．（0，3）
3．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m+n的值是（　　）
A．15 B．75 C．45 D．225
4．函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（1，3]
5．已知实数a，b，c满足1.5a＝3.1，5b＝0.1，c＝，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
7．定义在R上的函数f（x）＝ln（x2+1）+|x|，若f（m）＞f（n），则m、n满足（　　）
A．m＞n B．m＜n C．|m|＜|n| D．|m|＞|n|
二、填空题
8．函数y＝+log3（1+x）的定义域为 　 　 ．
9．满足的实数x＝ 　 　 ．
10．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加．按这个增长速度，大约经过 　 　 年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上（结果保留整数）（参考数据：lg2≈0.30，lg13≈1.11）．
11．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ 　 　 ．
三、多选题
（多选）12．已知4a﹣3ab＝16，log2a＝，则下列结论正确的是（　　）
A．ab＝2a+1 B．a＝3 C．b＝log316 D．b＝log34
（多选）13．关于x的方程（log3x）2+log93x＝2的解可以为（　　）
A．3 B．1 C． D．
（多选）14．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在（﹣1，3）上单调递增
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
D．f（x）的值域为R
（多选）15．已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
四、解答题
16．计算：
（1）log2（23×45）；
（2）log29 log38；
（3）．
17．（1）已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645．
18．已知函数f（x）＝log2（2x） log2．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的最值；
（2）若f（x）＜mlog2x对于x∈[1，4]恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知函数，a∈R．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在（﹣∞，3]内为增函数，求实数a的取值范围．
20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．
当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝log0.8（x+a）+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
21．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1] g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
第四章 对数运算与对数函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．方程＝的解是（　　）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
【答案】A
【分析】根据指数式与对数式的互化可知， ，进而得到答案．
【解答】解：∵
∴
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查指数式与对数式的相互转化．
2．函数的值域为（　　）
A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣∞，3] D．（0，3）
【答案】A
【分析】分段函数的值域，先分别求出：当x＜1时，函数值y的范围；当x≥1时，最后取它们的并集即可．
【解答】解：当x＜1时，0＜y＜31＝3；
当x≥1时，y＞0；
∴函数的值域为：y＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的值域，属于基础题，关键是先正确求出各段上的y的取值范围，最后合并．
3．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m+n的值是（　　）
A．15 B．75 C．45 D．225
【答案】C
【分析】由指数式和对数式的关系，将已知对数式化为指数式，再由指数的运算法则求解即可．
【解答】解：loga3＝m，loga5＝n，
所以am＝3，an＝5，
所以a2m+n＝a2man＝9×5＝45．
故选：C．
【点评】本题考查指数式和对数式的转化、指数的运算法则，考查运算能力，属于基础题．
4．函数f（x）＝loga（6﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（1，3]
【答案】B
【分析】由题意可得a＞0，故有t＝6﹣ax在[0，2]上是减函数，根据函数f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上是减函数，故有a＞1．再根据 ，求得a的范围．
【解答】解：由题意可得a＞0，故有t＝6﹣ax在[0，2]上是减函数，
再根据函数f（x）＝loga（6﹣ax）在[0，2]上是减函数，故有a＞1．
再根据 ，求得1＜a＜3，
故选：B．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
5．已知实数a，b，c满足1.5a＝3.1，5b＝0.1，c＝，则（　　）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】先把指数式化为对数式，求出a，b，再利用对数函数的性质进行求解．
【解答】解：∵1.5a＝3.1，5b＝0.1，
∴a＝log1.53.1，b＝log50.1，
∵，∴a＞2，
∵log50.1＜log51＝0，∴b＜0，
∵c＝＝＝＝ln2，且ln1＜ln2＜lne，
∴0＜c＜1，
∴a＞c＞b，
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了利用对数函数的性质进行比较大小，是基础题．
6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2023年全年投入研发资金160万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）（参考数据：lg1.1≈0.04，lg2≈0.30）
A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
【答案】C
【分析】设从2023年后，第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得160×（1+10%）n≥200，结合对数的运算性质求出n的取值范围即可．
【解答】解：设从2023年后，第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，
则由题意可得，160×（1+10%）n≥200，
即1.1n≥，
两边取对数可得，nlg1.1，
所以n＝＝≈2.5，
又因为n∈N*，
即n＝3，
所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．定义在R上的函数f（x）＝ln（x2+1）+|x|，若f（m）＞f（n），则m、n满足（　　）
A．m＞n B．m＜n C．|m|＜|n| D．|m|＞|n|
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的定义可得函数f（x）是偶函数，根据f（m）＞f（n）则f（|m|）＞f（|n|），再根据该函数在（0，+∞）上是增函数，从而得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝ln（x2+1）+|x|，定义域为R，
∴f（﹣x）＝ln[（﹣x）2+1]+|﹣x|＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数，
∵f（m）＞f（n），
∴f（|m|）＞f（|n|），
∵ln（x2+1）在（0，+∞）上是增函数，|x|在（0，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴|m|＞|n|．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及绝对值在处理偶函数中的作用，属于中档题．
二、填空题
8．函数y＝+log3（1+x）的定义域为 　（﹣1，2]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“让解析式有意义”的原则来确定函数的定义域，偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．
【解答】解：，
解得：x∈（﹣1，2]
故答案为：（﹣1，2]
【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求解方法，解题的原则是让解析式有意义，同时考查不等式组的求解，属于基础题．
9．满足的实数x＝ 　3　 ．
【答案】3
【分析】利用指数与对数的互相转换，即可解得x的值．
【解答】解：∵，
∴2x﹣1+4＝2x，
即2x﹣1＝4＝22，
∴x﹣1＝2，
解得x＝3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查指数与对数的运算，属于基础题．
10．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加．按这个增长速度，大约经过 　60　 年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上（结果保留整数）（参考数据：lg2≈0.30，lg13≈1.11）．
【答案】60．
【分析】写出这种鸟类的数量与年数的函数关系式，利用函数解析式列出不等式求出对应的结论．
【解答】解：这种鸟类的数量与年数的函数关系式为y＝1.04x，x∈N．
令1.04x≥4，可得x≥，
因为＝＝＝＝60，
所以x≥60，
即约经过60年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的4倍或4倍以上．
故答案为：60．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了转化思想与计算能力，是中档题．
11．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），设函数g（x）＝f2（x）+f（x2），则g（x）max﹣g（x）min＝ 　5　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】换元t＝log2x，求得0≤t≤1，化简g（x）即为h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，求出对称轴t＝﹣2，可得h（t）在[0，1]为增函数，计算即可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
∴，即1≤x≤2，
∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，
∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2
设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，
∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，
∴g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7
则g（x）max﹣g（x）min＝7﹣2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法转化为二次函数求值域问题，注意自变量的范围，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．
三、多选题
（多选）12．已知4a﹣3ab＝16，log2a＝，则下列结论正确的是（　　）
A．ab＝2a+1 B．a＝3 C．b＝log316 D．b＝log34
【答案】ABC
【分析】先将已知等式log2a＝适当变形，再利用等式4a﹣3ab＝16，即可逐项判断．
【解答】解：∵，∴，∴ab＝2a+1，
∵4a﹣3a6＝16，4a﹣3 2a+1＝16，∴4a﹣6 2a﹣16＝0，
∴2a＝8，∴a＝3，∴3b＝24＝16，解得b＝log316．
故选：ABC．
【点评】本题考查对数函数的性质，属于中档题．
（多选）13．关于x的方程（log3x）2+log93x＝2的解可以为（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】AC
【分析】由已知结合对数的运算性质进行化简，即可求解．
【解答】解：（log3x）2+log93x＝2可化为（log3x）2+（+log3x）＝2，
即（log3x）2+log3x﹣＝0，
解得，log3x＝1或log3x＝﹣，
所以x＝3或x＝．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
（多选）14．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在（﹣1，3）上单调递增
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
D．f（x）的值域为R
【答案】ACD
【分析】根据题意，先分析函数的定义域，再结合对数函数的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），
有，解可得﹣1＜x＜3，即函数的定义域为（﹣1，3），
依次分析选项：
对于A，函数y＝ln（1+x）在（﹣1，3）上递增，y＝（3﹣x）在（﹣1，3）上递减，
则函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）在（﹣1，3）上递增，A正确；
对于B和C，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x），
f（2﹣x）＝f（1+2﹣x）﹣ln（3﹣2+x）＝ln（3﹣x）﹣ln（1+x）＝﹣f（x），
则f（x）为图象关于点（1，0）对称，故B错误，C正确；
对于D，f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）＝ln，x∈（﹣1，3），
设t＝，则t＝，
当x∈（﹣1，3）时，t∈（0，+∞），故f（x）在值域为R，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查复合函数的性质，涉及函数的单调性和值域，属于基础题．
（多选）15．已知函数f（x）＝|ln（x﹣1）|，f（a）＞f（b），则下列结论正确的是（　　）
A．若a＞2，则a＞b B．若a＞b，则a＞2
C．若a＞2，则 D．若a＞2，则
【答案】ABC
【分析】先根据函数解析式作出其图象，利用图象特征进行逐一判断，即得A，B项，对于C，D项，则必须结合图象分类考虑，并求解不等式f（a）＞f（b）即得
【解答】解：依题意作出函数f（x）的图象，如图，
因f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，观察图形易判断A，B项正确；
对于C，D项，当a＞2时，若b≥2，则成立；
若1＜b＜2，则由f（a）＞f（b） |ln（a﹣1）|＞|ln（b﹣1）| ln（a﹣1）＞﹣ln（b﹣1），即ln[（a﹣1）（b﹣1）]＞0，
故得：ab﹣a﹣b+1＞1，则成立，故C项正确，D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．
四、解答题
16．计算：
（1）log2（23×45）；
（2）log29 log38；
（3）．
【答案】（1）13；（2）6；（3）．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝（2log23） （3log32）＝2×3＝6；
（3）原式＝．
【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．
17．（1）已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256；
（2）已知log189＝a，18b＝5，求log3645．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合对数的换底公式进行化简即可求解；
（2）结合对数的换底公式及对数运算性质即可求解．
【解答】解：（1）∵log23＝a，则，
又∵log37＝b，
∴．
（2）∵log189＝a，18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，
∴．
【点评】本题主要考查了对数运算性质及对数换底公式的应用，属于基础题．
18．已知函数f（x）＝log2（2x） log2．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的最值；
（2）若f（x）＜mlog2x对于x∈[1，4]恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当x＝时，函数f（x）取得最小值﹣；当x＝4时，函数f（x）取得最大值0；
（2）（0，+∞）．
【分析】（1）由对数的运算性质和换元法，结合二次函数的最值求法，可得所求最值；
（2）由题意可得x﹣（m+1）log2x﹣2＜0，x∈[1，4]恒成立，运用换元法和参数分离，以及二次函数的图象和性质，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）f（x）＝log2（2x） log2＝（1+log2x）（log2x﹣2）＝x﹣log2x﹣2，
令log2x＝t，则函数化为y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]，
因此当t＝时，y＝t2﹣t﹣2取得最小值﹣，
当t＝2时，y＝t2﹣t﹣2，t∈[0，2]取得最大值0，
即当x＝时，函数f（x）取得最小值﹣；当x＝4时，函数f（x）取得最大值0．
（2）f（x）＜mlog2x，x∈[1，4]恒成立，
即x﹣（m+1）log2x﹣2＜0，x∈[1，4]恒成立，
令log2x＝t，则t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[0，2]恒成立，
令g（t）＝t2﹣（m+1）t﹣2＜0，t∈[0，2]，
则，即，
解得m＞0，
所以实数m的取值范围为（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的最值求法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和换元法、运算能力和推理能力，属于中档题．
19．已知函数，a∈R．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在（﹣∞，3]内为增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣1），递减区间是（2，+∞）；
（2） ．
【分析】（1）把a＝2代入，求出函数f（x）的定义域，再利用复合函数单调性求出单调区间．
（2）利用给定的递增区间结合对数函数的定义确定，再利用二次函数单调性求出a的范围．
【解答】解：（1）根据题意，当a＝2时，函数，
由2x2﹣2x﹣4＞0，得x＜﹣1或x＞2，则函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
令u＝2x2﹣2x﹣4，
显然函数u＝2x2﹣2x﹣4在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
而在（0，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣1），递减区间是（2，+∞）．
（2）依题意，函数f（x）在（﹣∞，3]上有意义，必有a×32﹣2×3﹣4＞0，解得，
令t＝ax2﹣2x﹣4，显然函数在（0，+∞）上单调递减，
而函数f（x）在（﹣∞，3]内为增函数，则二次函数t＝ax2﹣2x﹣4在（﹣∞，3]上单调递减，
且 x∈（﹣∞，3]，ax2﹣2x﹣4＞0恒成立，因此，且，无解，
所以实数a的取值范围是 ．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．
当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝log0.8（x+a）+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
【答案】（1）；
（2）14分钟．
【分析】（1）利用待定系数法设出对应的函数解析式，再利用图象上的特殊点，即可求得答案；
（2）根据（1）中的解析式，分两种情况分别列出不等式，求解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）当x∈[0，16]时，设f（x）＝b（x﹣12）2+84，（b＜0），
所以f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，解得，
所以，
当x∈[16，40]时，f（x）＝log0.8（x+a）+80，由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，
所以f（x）＝log0.8（x﹣15）+80，
综上可得，；
（2）当x∈[0，16]时，令＜68，解得x∈[0，4]，
当x∈[16，40]时，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，解得x∈[30，40]，
故在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有4+10＝14分钟．
【点评】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，涉及了分段函数解析式的求解，要掌握求解析式的常用方法：待定系数法、换元法、方程组法、配凑法等．
21．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1] g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，即确定函数的值域；
（2）利用换元法化简函数，再对新变元分类讨论，同时结合分离参数法，利用基本不等式，即可求得结论．
【解答】解：（1）…（2分）
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，…（4分）
故函数h（x）的值域为[0，2]…（6分）
（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k log2x
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]
所以（3﹣4t）（3﹣t）＞k t对一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°当t＝0时，k∈R；…（9分）
2°当t∈（0，2]时，恒成立，即…（11分）
因为，当且仅当，即时取等号…（12分）
所以的最小值为﹣3…（13分）
综上，k∈（﹣∞，﹣3）…（14分）
【点评】本题考查函数的值域，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，利用基本不等式求最值．
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