第1章 集合-第2章 常用逻辑用语（阶段测试）（含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第1章 集合-第2章 常用逻辑用语
一、选择题
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则 UA＝（　　）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，4，5} C．{1，3} D．
2．下列各式中，错误的个数是（　　）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1}＝{（0，1）}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，则A*B＝（　　）
A．{x|x＞3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥3}
4．设a∈R，则“a＝﹣2”是“关于x的方程x2+x+a＝0有实数根”的（　　）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．集合，则集合A的元素有（　　）个
A．4 B．5 C．6 D．7
6．若集合A＝{x|x，k∈Z}，集合B＝{x|x，k∈Z}，则（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∪B＝Z
二、填空题
7．已知集合{1，a}与{2，b}相等，则a+b＝　 　 ．
8．若“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”为真命题，则实数m的取值范围是　 　 ．
9．对于数集M、N，定义M+N＝{x＝a+b，a∈M，b∈N}，M÷N＝{x，a∈M，b∈N}，若集合P＝{ 1，2 }，则集合（P+P）÷P中所有元素之和为 　 　 ．
10．已知集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x||x﹣3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 　 　 ．
三、多选题
（多选）11．集合B A，则下列结论正确的是（　　）
A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝B
（多选）12．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，则实数a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
（多选）13．下列命题是真命题的是（　　）
A．命题“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1＞0“
B． x∈R，x2+x+1＞0
C．“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分条件
D．“m＜0“是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一负根”的充要条件
（多选）14．命题“已知y＝|x|﹣1，当m∈A时， x∈R都有m≤y恒成立，则集合A可以是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
四、解答题
15．已知命题p：x∈[1，3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a+1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求实数m的取值范围．
请从①A C，②A∩C≠ ，③C RA这三个条件中选一个填入②中横线处，并完成第（2）问的解答．
17．已知方程x2+bx+c＝0有两个不等的实根x1，x2，设C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若A∩C＝ ，C∩B＝C，试求b、c的值．
18．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
第1章 集合-第2章 常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则 UA＝（　　）
A．{1，2，3，4，5} B．{2，4，5} C．{1，3} D．
【答案】B
【分析】进行补集的运算即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
∴ UA＝{2，4，5}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的列举法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．下列各式中，错误的个数是（　　）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1}＝{（0，1）}；③ {0，1，2}；④ ＝{0}；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据集合的表示和集合之间的关系逐一判断即可．
【解答】解：对于①，”∈“符号用在元素与集合的关系中，应为{0} {0，1，2}，故①错误．
对于②，{0，1}表示含两个元素的集合，而{（0，1）}表示含一个元素的集合，应为{0，1}≠{（0，1）}，
故②错误．
对于③，由于空集是任何集合的子集，所以 {0，1，2}正确，故③正确．
对于④， 表示不含任何元素的集合，而{0}表示含0一个元素的集合，所以应为 ≠{0}，故④错误．
所以错误的个数是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了集合之间的关系，集合的含义与表示，属于基础题．
3．如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，则A*B＝（　　）
A．{x|x＞3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥3}
【答案】D
【分析】由已知先求出A∩B，然后结合韦恩图即可求解．
【解答】解：因为A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y＞2}，
所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，
阴影部分的集合为从集合B中去除A∩B，
则A*B＝{x|x≥3}．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
4．设a∈R，则“a＝﹣2”是“关于x的方程x2+x+a＝0有实数根”的（　　）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出方程有实根的充要条件，然后根据四个条件的定义即可判断求解．
【解答】解：若关于x的方程x2+x+a＝0有实数根，
则Δ＝12﹣4a≥0，解得a，
而﹣2，
所以“a＝﹣2”是“关于x的方程x2+x+a＝0有实数根”的充分条件，
故选：A．
【点评】本题考查了四个条件的应用，涉及到方程有实根的条件，属于基础题．
5．集合，则集合A的元素有（　　）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】由已知求出12的正整数约数即可求解．
【解答】解：因为集合，
则当5﹣n＝1，2，3，4，6，12，解得n＝4，3，2，1，﹣1，﹣7满足题意，
故选：C．
【点评】本题考查了集合与元素的关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
6．若集合A＝{x|x，k∈Z}，集合B＝{x|x，k∈Z}，则（　　）
A．A＝B B．A B C．B A D．A∪B＝Z
【答案】B
【分析】分别得出集合A，B中的分子表示的数集，由此即可判断集合A，B的关系．
【解答】解：集合A：当k∈Z时，2k﹣1表示奇数，
集合B：当k∈Z时，k+2表示整数，
所以A B，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的表示法以及集合的包含关系，属于基础题．
二、填空题
7．已知集合{1，a}与{2，b}相等，则a+b＝　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知结合集合相等的条件即可求解．
【解答】解：因为集合{1，a}与{2，b}相等，
所以a＝2，b＝1，
所以a+b＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．
8．若“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”为真命题，则实数m的取值范围是　[1，+∞）　 ．
【答案】[1，+∞）．
【分析】直接利用特称命题和全称命题的应用建立不等式，进一步求出结果．
【解答】解：“ x∈R，x2﹣2x+m≥0”为真命题，
则Δ＝4﹣4m≤0，解得m≥1．
故m的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查的知识要点：特称命题和全称命题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
9．对于数集M、N，定义M+N＝{x＝a+b，a∈M，b∈N}，M÷N＝{x，a∈M，b∈N}，若集合P＝{ 1，2 }，则集合（P+P）÷P中所有元素之和为 　　 ．
【答案】．
【分析】根据定义分别求出（P+P）÷P中对应的集合的元素即可得到结论．
【解答】解：∵P＝{1，2}，
∴a＝1或2，
∴P+P＝{x|x＝a+b，a∈P，b∈P}＝{2，3，4}，
∴（P+P）÷P＝{x|x＝2，3，4，1，}，
∴元素之和为2+3+4+1，
故答案为：．
【点评】本题主要考查集合元素的确定，根据定义分别求出对应集合的元素是解决本题的关键．
10．已知集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x||x﹣3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 　5　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由A∩B＝A可得A B，解出集合B后结合集合的关系计算即可得．
【解答】解：由A∩B＝A，故A B，
由|x﹣3|≤m，得﹣m+3≤x≤m+3，
故有，即，即m≥5，
即m的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三、多选题
（多选）11．集合B A，则下列结论正确的是（　　）
A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝A D．A∩B＝B
【答案】BD
【分析】根据集合间的关系与集合的运算，即可求解．
【解答】解：对A选项，∵A∪B＝B A B，∴A选项错误；
对B选项，∵A∪B＝A B A，∴B选项正确；
对C选项，∵A∩B＝A A B，∴C选项错误；
对D选项，∵A∩B＝B B A，∴D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查集合间的关系与集合的运算，属基础题．
（多选）12．已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B A，则实数a的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】根据B A，可得2∈A，，列出不等式求得a≤1，能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B A，
∴2∈A，，
∴，解得a≤1．
故选：AB．
【点评】本题考查集合的运算，考查子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）13．下列命题是真命题的是（　　）
A．命题“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1＞0“
B． x∈R，x2+x+1＞0
C．“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分条件
D．“m＜0“是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一负根”的充要条件
【答案】BCD
【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解，
对于B，结合配方法，即可求解，
对于C，解出方程x2﹣x＝0的解，即可求解，
对于D，结合韦达定理，以及二次函数的判别式，即可求解．
【解答】解：对于A，“ x0∈R，使得x0﹣1＜0“的否定是“ x∈R，均有x2+x﹣1≥0“，故A错误，
对于B，x2+x+10，故B正确，
对于C，x2﹣x＝0，解得x＝0或x＝1，
故“x2﹣x＝0“是“x＝1”的必要不充分条件，故C正确，
对于D，关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一负根，
则，解得m＜0，
故“m＜0“是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根、一负根”的充要条件，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
（多选）14．命题“已知y＝|x|﹣1，当m∈A时， x∈R都有m≤y恒成立，则集合A可以是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】BD
【分析】直接利用不等式的解法和函数的恒成立问题的应用求出结果．
【解答】解：由已知y＝|x|﹣1，得y≥﹣1，
要使 x∈R，都有m≤y成立，
只需m≤﹣1，
由于选项D为选项B的子集，
故选：BD．
【点评】本题考查的知识要点：函数的恒成立问题，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
四、解答题
15．已知命题p：x∈[1，3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a+1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】实数a的取值范围是[1，2]．
【分析】根据题意，p是q的必要不充分条件，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，则a≥1且a+1≤3，得1≤a≤2，再分别验证即可．
【解答】解：根据题意，p是q的必要不充分条件，
{x|a≤x≤a+1} [1，3]，则a≥1且a+1≤3，得1≤a≤2．
当a＝1时，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，满足题意；
当a＝2时，{x|a≤x≤a+1} [1，3]，满足题意．
所以，实数a的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，C＝{x|x＞m﹣2}．
（1）求A∪B；
（2）若 _____，求实数m的取值范围．
请从①A C，②A∩C≠ ，③C RA这三个条件中选一个填入②中横线处，并完成第（2）问的解答．
【答案】（1）A∪B＝{x|x＞﹣1}；（2）选①：（﹣∞，1]，②：（﹣∞，5），③：[5，+∞）．
【分析】（1）根据并集的定义即可求解；（2）选①：根据集合的包含关系建立不等式关系即可求解；选②：根据交集与空集的性质建立不等式关系即可求解；选③：先求出集合A的补集，再根据集合的包含关系建立不等式关系即可求解．
【解答】解：（1）因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
所以A∪B＝{x|x＞﹣1}；
（2）①若A C，则m﹣2≤﹣1，即m≤1，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，1]，
②若A∩C≠ ，则m﹣2＜3，即m＜5，
所以实数m的取值范围为（﹣∞，5），
③若C RA，因为 RA＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
则m﹣2≥3，即m≥5，
所以实数m的取值范围为[5，+∞）．
【点评】本题考查了集合的运算关系以及求解参数取值范围问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
17．已知方程x2+bx+c＝0有两个不等的实根x1，x2，设C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若A∩C＝ ，C∩B＝C，试求b、c的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据A∩C＝ ，C∩B＝C，求出集合C，得到关于a，b的方程组，解出即可．
【解答】解：若C∩B＝C，则C B，
又A∩C＝ ，
∴C＝{4，10}，
∴，
解得．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查解方程组问题，是一道基础题．
18．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，M＝{1}．
【分析】由题意知集合A有且仅有一个元素，再转化为方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，利用判别式Δ＝22﹣4m＝0求解．
【解答】解：存在实数m满足条件，理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，
∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1．
∴所有的m的值组成的集合M＝{1}．
【点评】本题考查了集合性质及二次方程解的个数判断，属于基础题．
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