第1章 集合-第4章 指数与对数（阶段测试）（含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第1章 集合-第4章 指数与对数
一、选择题
1．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4）
2．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
3．log5（log3（log2x））＝0，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．在R上定义运算：a*b＝ab+b，则不等式x*（x﹣2）＜0的解集为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
5．已知
①若x＞0，y＞0，则；
②若a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2；
③若x＞0，y＞0，且，则3x+y的最小值为．
上面不等式中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．当x∈A时，若有x﹣1 A且x+1 A，则称x是集合A的一个“孤元”，由A的所有孤元组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{1，2，3}的孤星集是M'，集合P＝{1，3，4} }的孤星集是P'，则M'∩P'＝（　　）
A．{1，3} B．{2，3} C．{1} D．
7．已知a＞b且关于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x}，则 的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．2
二、填空题
8．若命题“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为 　 　 ．
9．已知关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，则a的值为 　 　 ．
10．已知实数x，y满足x＞y≥0，则的最小值是 　 　 ．
三、多选题
（多选）11．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（　　）
A． B．0 C．1 D．3
（多选）12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，则以下选项正确的有（　　）
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2+bx+a＜0的解集为
D．cx2+bx+a＜0的解集为或
（多选）13．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则3
D．
（多选）14．若a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么（　　）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C． D．
四、解答题
15．已知A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，B＝{x||x﹣m|≤2}．
（1）若“ x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使“x∈A”是“x∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．（1）求值；
（2）设a＞0，b＞0，化简．
17．已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+1﹣a＝0}．
（1）若﹣4∈B，求实数a的取值；
（2）若集合B是集合A的真子集，求实数a的取值组成的集合．
18．（1）已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456；
（2）若a，b分别是方程（lgx）2﹣lgx20的两个实根，求lg（ab） （logab+logba）的值．
19．（1）若关于x的不等式x2+ax+b﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求实数a，b的值；
（2）若a＝2，求当不等式x2+ax+b﹣a＞b2﹣3b对任意的实数x都成立时实数b的取值范围．
第1章 集合-第4章 指数与对数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．（0，1） C．（1，4） D．（0，4）
【答案】D
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞0}，
∴A∩B＝（0，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误；
对于B，a2＝a2，b＞c，
由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确．
对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
3．log5（log3（log2x））＝0，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用对数的运算性质化简得出x，再利用指数运算性质即可得出．
【解答】解：∵log5（log3（log2x））＝0，
∴log3（log2x）＝1，
∴log2x＝3，
∴x＝23＝8，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．在R上定义运算：a*b＝ab+b，则不等式x*（x﹣2）＜0的解集为（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【答案】D
【分析】根据题意解不等式x2﹣x﹣2＜0即可．
【解答】解：依题意，x*（x﹣2）＜0即为x（x﹣2）+x﹣2＝x2﹣x﹣2＜0，即（x﹣2）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜2，
即该不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：D．
【点评】本题以新定义为载体，旨在考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
5．已知
①若x＞0，y＞0，则；
②若a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2；
③若x＞0，y＞0，且，则3x+y的最小值为．
上面不等式中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①利用基本不等式计算的最小值，即可；
②采用作差法，即可得解；
③将3x+y整理成3x+y＝（x+1）+（2x+y）﹣1，再利用“乘1法”，得解．
【解答】解：①因为x＞0，y＞0，所以2，当且仅当x＝y时，等号成立，
所以，即①正确；
②（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣b2d2﹣2abcd＝a2d2+b2c2﹣2abcd＝（ad﹣bc）2≥0，即②错误；
③3x+y＝（x+1）+（2x+y）﹣1＝[（x+1）+（2x+y）] （）﹣1＝12﹣1≥2+2，
当且仅当，即2（x+1）2＝（2x+y）2时，等号成立，即③正确，
所以正确的有2个．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应用，不等式的大小比较，熟练掌握“乘1法”，作差法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．当x∈A时，若有x﹣1 A且x+1 A，则称x是集合A的一个“孤元”，由A的所有孤元组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{1，2，3}的孤星集是M'，集合P＝{1，3，4} }的孤星集是P'，则M'∩P'＝（　　）
A．{1，3} B．{2，3} C．{1} D．
【答案】D
【分析】先根据“孤元”及“孤星集”的定义，分别求出集合M′，P′，然后再求并集即可得解．
【解答】解：根据“孤元”的定义可得M＝{1，2，3}中没有“孤元”，
∴M的孤星集M′＝ ，
同理P＝{1，3，4}的“孤元”有1，4，
∴P的孤星集P′＝{1，4}，
∴M′∩P′＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查新定义，集合的交集运算，属基础题．
7．已知a＞b且关于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x}，则 的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由题意可得，进而可得ab＝1，a＞b，a﹣b＞0，即有（a﹣b），再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为关于x的不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x}，
所以，即a＞0，ab＝1，a＞b，a﹣b＞0，
所以（a﹣b）22，
当且仅当a﹣b，即a，b时，等号成立．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的应用，难点是得出ab＝1，属于中档题．
二、填空题
8．若命题“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为 　m＜1　 ．
【答案】m＜1
【分析】根据特称命题为真命题得到判别式Δ＞0，即可得到结论．
【解答】解：若命题“ x∈R，x2﹣2x+m＜0”是真命题，
则判别式Δ＞0，即Δ＝4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为：m＜1
【点评】本题主要考查特称命题的应用，利用一元二次不等式与判别式△之间的关系是解决本题的关键．
9．已知关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2﹣x1＝15，则a的值为 　　 ．
【答案】．
【分析】由不等式的解集得出对应方程的实数根，结合题意利用根与系数的关系即可求出a的值．
【解答】解：关于x 的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为{x|x1＜x＜x2}，
所以x1和x2是方程x2﹣2ax﹣8a2＝0的两个实数根，
所以，
因为x2﹣x1＝15，所以4x1x2＝4a2+32a2＝225，
即a2，解得a＝±，所以a．
故答案为：．
【点评】本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
10．已知实数x，y满足x＞y≥0，则的最小值是 　5　 ．
【答案】5
【分析】化简4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），代入，再利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：∵x＞y＞0，∴x+y＞0，x﹣y＞0，
4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），
∴323＝5，
当且仅当，即y＝0时取等号，
∴的最小值是5．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
三、多选题
（多选）11．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（　　）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】ABC
【分析】解方程可求得集合A，根据交集结果可知B A，分别在a＝0和a≠0的情况下讨论即可求得a所有可能的取值．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0得：x＝1或x＝2，即A＝{1，2}，
∵A∩B＝B，∴B A，
当a＝0时，B＝ ，满足题意；
当a≠0时，，则或，解得：a＝1或；
综上所述：实数a的取值集合为．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，属于基础题．
（多选）12．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，则以下选项正确的有（　　）
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2+bx+a＜0的解集为
D．cx2+bx+a＜0的解集为或
【答案】AD
【分析】由题可得m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，利用韦达定理表示出b，c，即可求解不等式．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，
所以m，n是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，故A正确；
则，即b＝﹣（m+n）a，c＝mna，
因为m＞0，则n＞0，所以c＝mna＜0，故错误；
不等式cx2+bx+a＜0化为mnax2﹣（m+n）ax+a＜0，
即mnx2﹣（m+n）x+1＞0，即（mx﹣1）（nx﹣1）＞0，
因为0＜m＜n，所以，则不等式的解集为或，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解与二次方程根的关系以及一元二次不等式的解法，属于中档题．
（多选）13．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则3
D．
【答案】BD
【分析】利用指数和对数运算公式即可直接解出．
【解答】解：对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，令，则m2＝a+a﹣1+2＝16，故m≠3，选项C错误；
对于D选项，7，故选项D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了指数和对数的运算，学生的数学运算能力属于基础题．
（多选）14．若a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么（　　）
A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C． D．
【答案】AD
【分析】将指数式化为对数式，根据选项中的 运算分别验证即可．
【解答】解：依题意设4a＝6b＝9c＝k，k＞0，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，
对于A，ab+bc＝2ac即 2，因为 log69+log64＝log636＝2，故A正确B错误；
对于C，2logk4+logk6＝logk962logk9＝logk81，故C错误；
对于D，2logk6﹣logk4＝logklogk9，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查了对数运算律与运算性质，主要考查计算能力，属于中档题．
四、解答题
15．已知A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}，B＝{x||x﹣m|≤2}．
（1）若“ x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使“x∈A”是“x∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）[﹣4，12]；（2）存在，[0，8]．
【分析】（1）根据题意转化为集合A、B存在公共元素，求出A、B无公共元素时，实数m的取值范围，取补集即可．
（2）由题意转化为B A，再根据集合的包含关系可得或，解不等式组即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣8x﹣20≤0}＝{x|（x﹣10）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤10}，B＝{x||x﹣m|≤2}＝{x|﹣2≤x﹣m≤2}＝{x|m﹣2≤x≤m+2}，
（1）若“ x∈A，使得x∈B”为真命题，即集合A、B存在公共元素，
假设A、B无公共元素，则m﹣2＞10或m+2＜﹣2，
解得m＞12或m＜﹣4．
则集合A、B存在公共元素时，实数m的取值范围[﹣4，12]．
（2）存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，
若“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，
则B A，所以或，解得0≤m≤8，
所以m的取值范围为[0，8]．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件的集合思想，考查了转化与化归的思想，属于中档题．
16．（1）求值；
（2）设a＞0，b＞0，化简．
【答案】（1）7．
（2）．
【分析】（1）利用对数运算法则及对数换底公式能求出结果；
（2）把根式转化为分数指数幂，能求出结果．
【解答】解：（1）
1
＝4+2+1＝7．
（2）∵a＞0，b＞0，
∴．
【点评】本题考查对数的运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．已知集合A＝{x|x2+4x＝0}，集合B＝{x|x2+2（a+1）x+1﹣a＝0}．
（1）若﹣4∈B，求实数a的取值；
（2）若集合B是集合A的真子集，求实数a的取值组成的集合．
【答案】（1）1；（2）（﹣3，0）．
【分析】（1）因为﹣4∈B，所以﹣4是一元二次方程x2+2（a+1）x+1﹣a＝0的根，代入一元二次方程可求得a的值；（2）若集合B是集合A的真子集，则B＝ 或B＝{﹣4}或B＝{0}，分情况讨论可得实数a的取值组成的集合．
【解答】解：（1）∵﹣4∈B，
∴﹣4是一元二次方程x2+2（a+1）x+1﹣a＝0的根，
∴（﹣4）2﹣8（a+1）+1﹣a＝0，
∴a＝1，
故实数a的取值为1；
（2）由x2+4x＝0得x＝0或x＝﹣4，
∴A＝{﹣4，0}，
∵集合B是集合A的真子集，
∴B＝ 或B＝{﹣4}或B＝{0}，
当B＝ 时，Δ＝4（a+1）2﹣4（1﹣a）＝4a（a+3）＜0，
∴﹣3＜a＜0，
当B＝{﹣4}时，有42﹣8（a+1）+1﹣a＝9﹣9a＝0，
得a＝1，
经检验，此时B＝{x|x2+4x＝0}＝A，不符合题意，
当B＝{0}时，1﹣a＝0，
∴a＝1，不符合题意，
综上：实数a的取值组成的集合为（﹣3，0）．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，子集与真子集的关系，属于基础题．
18．（1）已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456；
（2）若a，b分别是方程（lgx）2﹣lgx20的两个实根，求lg（ab） （logab+logba）的值．
【答案】（1）；
（2）12．
【分析】（1）结合对数的换底公式及对数运算性质可求；
（2）结合方程的根与系数关系及对数运算性质可求．
【解答】解：（1）因为log23＝a，log37＝b，
所以log1456；
（2）由题意得（lga）2﹣2lga0，（lgb）2﹣2lgb0，
所以lga+lgb＝2，lgalgb，
所以lg（ab） （logab+logba）＝（lga+lgb）（）＝2[]＝4（4﹣1）＝12．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及对数换底公式的应用，属于基础题．
19．（1）若关于x的不等式x2+ax+b﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求实数a，b的值；
（2）若a＝2，求当不等式x2+ax+b﹣a＞b2﹣3b对任意的实数x都成立时实数b的取值范围．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝﹣5．
（2）（1，3）．
【分析】（1）利用不等式的解集，列出方程求解即可．
（2）利用不等式恒成立，转化求解即可．
【解答】解：（1）因为不等式f（x）＝x2+ax+b﹣a＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
所以由题意得﹣1，3为函数x2+ax+b﹣a＝0的两个根，
所以，解得a＝﹣2，b＝﹣5．
（2）当a＝2时，x2+2x+b﹣2＞b2﹣3b恒成立，即x2+2x﹣2＞b2﹣4b恒成立．
因为x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3≥﹣3，所以b2﹣4b＜﹣3，
解之得1＜b＜3，所以实数b的取值范围为1＜b＜3．
所以b∈（1，3）．
【点评】本题考查不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．
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