第二章 函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第二章 函数
一、选择题
1．若函数f（x）＝在（﹣∞，0）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
2．函数f（x）＝+的定义域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，+∞） D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
3．已知f（﹣1）＝2x+，则f（x）＝（　　）
A．2x2+5x+3（x≥﹣1） B．2x2﹣5x+3（x≥﹣1）
C．2x2﹣5x+3 D．2x2+5x+3
4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式．已知函数f（x）由下表给出，则的值为（　　）
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
5．幂函数y＝x﹣1与y＝x，x＝1，y＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”（如图所示），则幂函数f（x）＝的图象经过的“卦限”是（　　）
A．⑤① B．③⑦ C．④⑧ D．⑥②
6．已知函数f（x）＝，对于任意x≥，下列说法正确的是（　　）
A．函数最小值为1 B．函数最小值为2
C．函数最大值为4 D．函数最大值为6
7．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，2] C．（1，4] D．[2，4]
8．在数学研究性学习中，陈老师给出一个定义在全体实数上的函数f（x）．甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：函数f（x）的最小值不是f（0）；
乙：函数f（x）的图象关于直线x＝3对称；
丙：函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
丁：函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．
如果甲、乙、丙、丁四位同学恰有一人说错，那么你认为说错的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．已知幂函数y＝f（x）的图象经过，则f（3）＝ 　 　 ．
10．已知函数f（x）＝，若f（x）＝，则该方程的解集为 　 　 ．
11．函数y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是 　 　 ．
12．定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 　 　 ．
三、多选题
（多选）13．下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝
B．f（x）＝2x+1与g（x）＝
C．f（x）＝与g（x）＝
D．f（x）＝（x≥1）与g（x）＝
（多选）14．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|+g（x）是偶函数
C．f（x）|g（x）|是奇函数 D．f（x）﹣g（x）是奇函数
（多选）15．给出下列说法，其中不正确的是（　　）
A．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，3）
B．函数f（x）＝﹣的单调递增区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递增，在区间（1，+∞）上也单调递增，则f（x）在R上是单调增函数
D．x1是f（x）定义域内的任意的值，若f（x1+1）＞f（x1），则f（x）是增函数
（多选）16．若函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x）成立，并且当0≤x≤2时，f（x）＝x+2，则下列结论不正确的是（　　）
A．f（﹣）＝3
B．函数f（x）的最大值是
C．方程f（x）＝3的解集是{x|x＝2k+1，k∈Z}
D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
四、解答题
17．已知函数过点（2，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
18．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝2．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（2x+3）﹣f（x）＜6，求x的取值范围．
19．已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1的定义域为R．
（1）求实数a的值；
（2）若定义在[1，4]上的函数，求g（x）的最值．
20．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：．
（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
21．设函数y＝f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且对任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求证：f（）＝﹣f（x）．
（2）求不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集．
22．已知定义在x∈[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x+2．
（1）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的解析式；
（2）设g（x）＝ax﹣2﹣a，（a＞0），若对于任意x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求实数a的取值范围．
第二章 函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若函数f（x）＝在（﹣∞，0）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
【答案】B
【分析】由已知结合反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝在（﹣∞，0）上单调递增，
所以a+1＜0，
所以a＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数单调性的应用，属于基础题．
2．函数f（x）＝+的定义域是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，+∞） D．[﹣2，0）∪（0，+∞）
【答案】D
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：f（x）＝+，
则，解得x≥﹣2且x≠0，
故函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
3．已知f（﹣1）＝2x+，则f（x）＝（　　）
A．2x2+5x+3（x≥﹣1） B．2x2﹣5x+3（x≥﹣1）
C．2x2﹣5x+3 D．2x2+5x+3
【答案】A
【分析】设t＝﹣1，则t≥﹣1，x＝（t+1）2，从而f（t）＝2（t+1）2+＝2（t+1）2+t+1＝2t2+5t+3，由此能求出结果．
【解答】解：f（﹣1）＝2x+，
设t＝﹣1，则t≥﹣1，x＝（t+1）2，
∴f（t）＝2（t+1）2+＝2（t+1）2+t+1＝2t2+5t+3，
∴f（x）＝2x2+5x+3（x≥﹣1）．
故选：A．
【点评】本题考查换元法求函数解析式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
4．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式．已知函数f（x）由下表给出，则的值为（　　）
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）由下表给出，
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
y 1 2 3
若，则，则有，
故，
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的定义，属于基础题．
5．幂函数y＝x﹣1与y＝x，x＝1，y＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”（如图所示），则幂函数f（x）＝的图象经过的“卦限”是（　　）
A．⑤① B．③⑦ C．④⑧ D．⑥②
【答案】D
【分析】利用幂函数的图象和性质求解．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝是偶函数，过点（0，0），（1，1），
在（0，+∞）内f（x）增函数，
由偶函数的性质得：
f（x）的图象关于y轴对称，在（﹣∞，0）内f（x）是减函数，如图：
∴幂函数f（x）＝的图象经过的“卦限”是②⑥．
故选：D．
【点评】本题考查幂函数的图象、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．已知函数f（x）＝，对于任意x≥，下列说法正确的是（　　）
A．函数最小值为1 B．函数最小值为2
C．函数最大值为4 D．函数最大值为6
【答案】B
【分析】利用分子常数化，利用基本不等式以及对勾函数的性质进行求解判断即可．
【解答】解：f（x）＝＝4x+﹣2＝4（x+）﹣2，
f（x）在（0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，
∵x≥，
∴当x＝时，f（x）取得最小值为f（x）＝4×+2﹣2＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据分式的性质，利用分子常数化进行求解是解决本题的关键，是基础题．
7．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，2] C．（1，4] D．[2，4]
【答案】B
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得关于a的不等式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，分段函数在R上单调递增，
则有，解可得：1＜a≤2，
则a的取值范围是（1，2]．
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
8．在数学研究性学习中，陈老师给出一个定义在全体实数上的函数f（x）．甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：函数f（x）的最小值不是f（0）；
乙：函数f（x）的图象关于直线x＝3对称；
丙：函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
丁：函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．
如果甲、乙、丙、丁四位同学恰有一人说错，那么你认为说错的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】根据题意，先分析可得“乙和丙中必定有一个错误”，再假设“乙错误”，得到矛盾，可得“乙的说法正确”，即可得答案．
【解答】解：根据题意，乙同学的说法和丙同学的说法是矛盾的，
若函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，则函数f（x）在[0，+∞）不会单调，
反之，若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，其函数图象不会关于直线x＝3对称，
故乙和丙中必定有一个错误，
若乙错误，则甲、丙、丁都正确，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增且在（﹣∞，0]上单调递减，
则f（0）一定是f（x）的最小值，与甲的说法矛盾，此时不能成立，
故乙的说法正确，丙的说法错误．
故选：C．
【点评】本题考查函数的单调性和对称性，涉及合情推理的应用，属于基础题．
二、填空题
9．已知幂函数y＝f（x）的图象经过，则f（3）＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】根据给定条件，求出幂函数解析式，再求出函数值即得．
【解答】解：依题意，设f（x）＝xα，由，得2α＝2﹣3，解得α＝﹣3，
即，所以．
故答案为：
【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
10．已知函数f（x）＝，若f（x）＝，则该方程的解集为 　　 ．
【答案】．
【分析】分x，﹣1和x＜﹣1三种情况讨论，分别根据f（x）的解析式求解即可．
【解答】解：当时，f（x）＝2x，
由，得，
解得，
当时，f（x）＝﹣x2+2，
由，得，即，
解得或（舍去），
当x＜﹣1时，f（x）＝|x|，
由，得，
解得或（舍去），
综上，方程的解集为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题．
11．函数y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是 　[﹣1，8]　 ．
【答案】[﹣1，8]．
【分析】配方得y＝（x+1）2﹣1，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
故当x＝﹣1时，ymin＝﹣1；当x＝2时，，
故函数y＝x2+2x，x∈[﹣2，2]的值域是[﹣1，8]．
故答案为：[﹣1，8]．
【点评】本题主要考查了二次函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
12．定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是 　（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．
【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，
（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，
∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
三、多选题
（多选）13．下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝
B．f（x）＝2x+1与g（x）＝
C．f（x）＝与g（x）＝
D．f（x）＝（x≥1）与g（x）＝
【答案】ACD
【分析】根据函数定义的三要素即可判断．
【解答】解：因为函数，故选项A正确；
因为函数f（x）＝2x+1的定义域为R，函数的定义域为，故选项B错误；
因为函数＝，故选项C正确；
因为函数 的定义域为[1，+∞），
函数g（x）＝的定义域也为[1，+∞），故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数定义域问题，属于基础题．
（多选）14．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|+g（x）是偶函数
C．f（x）|g（x）|是奇函数 D．f（x）﹣g（x）是奇函数
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设F（x）＝f（x）g（x），
则F（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）＝﹣F（x），
故F（x）为奇函数，A错误；
对于B，设F（x）＝|f（x）|+g（x），
则F（﹣x）＝|f（﹣x）|+g（x）＝|f（x）|+g（x）＝F（x），
故F（x）为偶函数，B正确；
对于C，设F（x）＝f（x）|g（x）|，
则F（﹣x）＝f（﹣x）|g（﹣x）|＝﹣f（x）|g（x）|＝﹣F（x），
故F（x）为奇函数，C正确；
对于D，设F（x）＝f（x）﹣g（x），
则F（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）≠±F（x），
故F（x）为非奇非偶函数，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的判断方法，属于基础题．
（多选）15．给出下列说法，其中不正确的是（　　）
A．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，3）
B．函数f（x）＝﹣的单调递增区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若定义在R上的函数f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递增，在区间（1，+∞）上也单调递增，则f（x）在R上是单调增函数
D．x1是f（x）定义域内的任意的值，若f（x1+1）＞f（x1），则f（x）是增函数
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数的定义域分析A，由函数单调性、单调区间的定义分析B，举出反例分析C、D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若函数f（x）＝的定义域为R，
则ax2+2ax+3≥0恒成立，
当a＝0时，不等式为3≥0，恒成立，符合题意；
当a≠0时，必有，即可得0＜a≤3，
综合可得：0≤a≤3，即a的取值范围为[0，3]，A正确；
对于B，由函数单调性和单调区间的定义，数f（x）＝﹣的单调递增区间是（﹣∞，0）、（0，+∞），B错误；
对于C，函数f（x）＝，在区间（﹣∞，1]上单调递增，在区间（1，+∞）上也单调递增，
但f（x）不是R上的单调增函数，C错误；
对于D，函数g（x）＝，满足对于定义域内的任意的x1，都有f（x1+1）＞f（x1），
但f（x）不是增函数，D错误．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及函数的定义域，属于中档题．
（多选）16．若函数f（x）对于任意实数x，都有f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x）成立，并且当0≤x≤2时，f（x）＝x+2，则下列结论不正确的是（　　）
A．f（﹣）＝3
B．函数f（x）的最大值是
C．方程f（x）＝3的解集是{x|x＝2k+1，k∈Z}
D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
【答案】ABD
【分析】由已知可推断函数f（x）是以4为周期的函数，再逐项判断即可得解．
【解答】解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），f（x）＝f（﹣x），
所以f（4+x）＝f[2+（2+x）]＝f[2﹣（2+x）]＝f（﹣x）＝f（x），
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．
因为当0≤x≤2时，f（x）＝x+2，
f（x）是定义在R上的偶函数，
所以当﹣2≤x≤0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x+2，
所以f（﹣）＝+2＝，故A错误；
当0≤x≤2时，f（x）＝x+2为增函数，所以最大值为f（2）＝4，
又f（x）为偶函数，所以当﹣2≤x≤2时，f（x）的最大值为4，
由函数f（x）是以4为周期的周期函数，所以函数f（x）的最大值是4，故B错误；
当0≤x≤2时，由f（x）＝3可得x＝1，
当﹣2≤x≤0时，由f（x）＝3可得x＝﹣1，
所以方程f（x）＝3的解集是{x|4k+1，k∈Z}∪{x|4k﹣1，k∈+1，k∈Z}，故C正确；
由分析作出图象，如图所示：
由图象可知直线x＝﹣1不是函数f（x）的对称轴．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的对称性，考查转化思想与数形结合思想，逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题
17．已知函数过点（2，4）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
【答案】（1）；
（2）证明过程见解析．
【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入函数的表达式，求出a的值，即可得答案；
（2）利用作差法证明即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数过点（2，4），
则有，解得a＝﹣4，
所以f（x）的解析式为．
（2）由题意不妨设2＜x1＜x2，
所以，
因为2＜x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
【点评】本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的求法，属于基础题．
18．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝2．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（2x+3）﹣f（x）＜6，求x的取值范围．
【答案】（1）f（0）＝0；
（2）f（x）为奇函数；
（3）x∈（﹣∞，0）．
【分析】（1）令x＝y＝0，即可得答案；
（2）令y＝﹣x，结合（1）的结论即可判断；
（3）由题意可得f（1）＝2，f（3）＝6，则原不等式等价于f（x+3）＜f（3），由f（x）是定义在R上的增函数求解即可．
【解答】解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），解得f（0）＝0；
（2）解：因为函数f（x）的定义域为R，
令y＝﹣x，
则有f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∴f（x）为奇函数；
（3）解：因为f（1）＝2，
所以f（2）＝f（1+1）＝f（1）+f（1）＝2+2＝4，
又因为f（3）＝f（2+1）＝f（2）+f（1）＝2+4＝6，
即有f（2x+3）﹣f（x）＜6 f（2x+3）﹣f（x）＜f（3），
即f（2x+3﹣x）＜f（3） f（x+3）＜f（3），
又因为f（x）为增函数，
所以x+3＜3，
解得x＜0，
故x的取值范围为（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了对函数奇偶性的判断、利用单调性解不等式，属于中档题．
19．已知幂函数f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1的定义域为R．
（1）求实数a的值；
（2）若定义在[1，4]上的函数，求g（x）的最值．
【答案】（1）a＝2；
（2）．
【分析】（1）由幂函数的定义求解即可；
（2）由对勾函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：（1）幂函数f（x）＝（a2﹣3a+3）xa﹣1需要满足a2﹣3a+3＝1，解得a＝1或2，
当a＝1时，f（x）＝x0，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意，
当a＝2时，f（x）＝x，符合题意，则a＝2；
（2）由（1）得，
且易知g（x）在上单调递减，上单调递增，
又因为，g（1）＝3，，
则x∈[1，4]时，g（x）的最小值为，最大值为．
【点评】本题主要考查了幂函数定义的应用，还考查了函数单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
20．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：．
（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可得W（x）＝xG（x）﹣80x﹣50，进而求出W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；
（2）问题转化为求函数W（x）的最大值，分别求两段的最大值，再比较大小即可得函数W（x）的最大值．
【解答】解：（1）．
（2）当0＜x 20时，W（x）＝﹣2x2+100x﹣50＝﹣2（x﹣25）2+1200，
∴W（x）max＝W（20）＝1150，
当x＞20时，，
当且仅当，即x＝29时等号成立，
∴W（x）max＝W（29）＝1360，
∵1360＞1150，
当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．
【点评】本题考查函数的实际应用，考查基本不等式的实际应用，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于中档题．
21．设函数y＝f（x）（x∈R，且x≠0）对任意非零实数x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），且对任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求证：f（）＝﹣f（x）．
（2）求不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集．
【答案】（1）详见解答过程；
（2）．
【分析】（1）由已知关系合理的进行赋值即可证明；
（2）先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】证明：（1）因为对任意非零实数x1，x2恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），
令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0，
则，
即；
解：（2）令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1），
所以f（﹣1）＝0，
令x1＝﹣1，x2＝x，则f（﹣x）＝f（x），
又函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
所以f（x）是偶函数，
任取x1+x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，
由题设知，
所以＝，
所以f（x2）＞f（x1），
即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又因为f（x）是偶函数，f（x）+f（x﹣1）≥0可转化为f[x（x﹣1）]≥f（1），
所以|x（x﹣1）|≥1，即x2﹣x≥1或x2﹣x≤﹣1，解得或，
所以不等式f（x）+f（x﹣1）≥0的解集为．
【点评】本题主要考查了抽象函数赋值法的应用，还考查了函数单调性及奇偶性的判断及应用，属于中档题．
22．已知定义在x∈[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0，2]时，f（x）＝﹣x+2．
（1）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]上的解析式；
（2）设g（x）＝ax﹣2﹣a，（a＞0），若对于任意x1，x2∈[﹣2，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，结合函数的奇偶性，从而求出函数的解析式；
（2）由题意得g（x）max＜f（x）min，分别求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：（1）设x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∵f（x）定义x∈[﹣2，2]是偶函数，
∴f（﹣x）＝x+2，
∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x+2，
∴f（x）＝；
（2）因为对任意x1，x2∈[﹣2．，2]，都有g（x1）＜f（x2）成立，
所以g（x）max＜f（x）min，
又因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，
∴f（x）在区间[﹣2，0]和区间[0，2]上的值域相同．
当x∈[﹣2，0]时：f（x）＝x+2，
设t＝，则t∈[1，]，
函数化为：y＝t2+2t﹣3，t∈[1，]，
则f（x）min＝﹣1，
又g（x）max＝g（2）＝a﹣2，
∴a﹣2＜﹣1，∴a＜1，
故a的范围是：0＜a＜2．
【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的奇偶性、函数恒成立问题，是一道中档题．
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