第六章 统计（单元测试）（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第六章 统计
一、选择题
1．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（　　）
A．80 B．90 C．100 D．120
2．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（　　）
附：第6行至第9行的随机数表
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．3 B．16 C．38 D．20
3．在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏．在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
观看人数占调查人数的百分比 2% 2% 4% 6% m% 12% 8% 10% 12% 16% 12% 10%
从表中可以得出正确的结论为（　　）
A．表中m的值为8
B．估计观看比赛不低于5场的人数是860人
C．估计观看比赛场数的众数为8
D．估计观看比赛不高于3场的人数是280人
4．高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第40的百分位数为（　　）
A．168 B．170 C．172 D．171
5．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（　　）
A．样本容量为240
B．若样本中对平台三满意的人数为40，则m＝40%
C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D．样本中对平台一满意的人数为24人
6．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近10年来，参加足球比赛的学生人数分别为x1，x2，x3，…，x10，它们的平均数为，已知这10年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x10﹣1，则它们的平均数 为（　　）
A．3﹣1 B．3+1 C． D．3
7．给出以下26个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项不正确的为（　　）
A．众数为163.0
B．第25百分位数为155.0
C．中位数为160.0
D．80% 位数为164.0
二、填空题
8．海水养殖场对某水产品的网箱养殖方法的产量进行调查，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量（单位：kg）后制成频率分布直方图如图所示．估计网箱养殖方法的箱产量数据的61%分位数为　 　 ．
9．某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取　 　 名学生．
高一 高二 高三
女生 373 m n
男生 377 370 p
三、多选题
（多选）10．对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（　　）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90 110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
四、解答题
11．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．
12．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：
（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
第六章 统计
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为（　　）
A．80 B．90 C．100 D．120
【答案】B
【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出从高二年级抽取的人数．
【解答】解：抽样的比例为 ＝，则从高二年级抽取的人数为450×＝90，
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
2．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（　　）
附：第6行至第9行的随机数表
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．3 B．16 C．38 D．20
【答案】D
【分析】由简单随机抽样得：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，则选出的第3个个体的编号为20，得解．
【解答】解：按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，
则选出的第3个个体的编号为20，
故选：D．
【点评】本题考查了简单随机抽样，属简单题．
3．在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏．在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
观看人数占调查人数的百分比 2% 2% 4% 6% m% 12% 8% 10% 12% 16% 12% 10%
从表中可以得出正确的结论为（　　）
A．表中m的值为8
B．估计观看比赛不低于5场的人数是860人
C．估计观看比赛场数的众数为8
D．估计观看比赛不高于3场的人数是280人
【答案】D
【分析】利用题中统计表中所给的数据信息，利用频率、频数、样本容量的关系，众数的定义对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【解答】解：对于A，由频率之和为1可得，2+2+4+6+m+12+8+10+12+16+12+10＝100，解得m＝6，故选项A错误；
对于B，故观看比赛不低于5场的人数为2000×（1﹣0.02﹣0.02﹣0.04﹣0.06﹣0.06）＝1600人，故选项B错误；
对于C，估计观看比赛场数的众数为9，故选项C错误；
对于D，估计观看比赛不高于3场的人数是2000×（0.02+0.02+0.04+0.06）＝280人，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了统计表的应用，读懂统计表并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
4．高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第40的百分位数为（　　）
A．168 B．170 C．172 D．171
【答案】C
【分析】把这7人的身高从小到大排列，由7×40%＝2.8，得到第5个数据为这7人的第40百分位数．
【解答】解：高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，
把这7人的身高从小到大排列为：168，170，172，172，175，176，180，
7×40%＝2.8，
∴第3个数据为这7人的第40百分位数，即这7人的第40百分位数为172．
故选：C．
【点评】本题考查7人的第40百分数的求法，考查一组数据的第p百分位的求法，考查运算求解能力，是基础题．
5．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（　　）
A．样本容量为240
B．若样本中对平台三满意的人数为40，则m＝40%
C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D．样本中对平台一满意的人数为24人
【答案】B
【分析】利用扇形统计图和条形统计图能求出结果．
【解答】解：对于A，样本容量为6000×4%＝240，故A正确；
对于B，根据题意平台三的满意率，m＝40，故B错误；
对于C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，
总体中对平台二满意人数约为1500×20%＝300，故C正确；
对于D，总体中对平台一满意人数约为2000×4%×30%＝24，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近10年来，参加足球比赛的学生人数分别为x1，x2，x3，…，x10，它们的平均数为，已知这10年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x10﹣1，则它们的平均数 为（　　）
A．3﹣1 B．3+1 C． D．3
【答案】A
【分析】根据题意，由平均数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为，
则数据3x1﹣1，3x2﹣1，3x3﹣1，…，3x10﹣1的平均数＝3﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查平均数的计算，注意平均数的性质，属于基础题．
7．给出以下26个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项不正确的为（　　）
A．众数为163.0
B．第25百分位数为155.0
C．中位数为160.0
D．80% 位数为164.0
【答案】B
【分析】将数据从小到大排列，根据众数、中位数、百分位数的定义直接求解．
【解答】解：把26个样本数据从小到大排序，得：
148.0，149.0，154.0，154.0，155.0，155.0，155.5，157.0，157.0，
158.0，158.0，159.0，159.0，161.0，162.0，162.5，162.5，163.0，
163.0，163.0，164.0，164.0，165.0，170.0，171.0，172.0，
∴众数为163.0，中位数为＝160.0，
由25%×26＝6.5，80%×26＝20.8，
∴样本数据的第25，80百分位数为第7，21项数据，分别为155.5，164.0，
故ACD正确，B不正确．
故选：B．
【点评】本题考查众数、中位数、百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、填空题
8．海水养殖场对某水产品的网箱养殖方法的产量进行调查，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量（单位：kg）后制成频率分布直方图如图所示．估计网箱养殖方法的箱产量数据的61%分位数为　49.75　 ．
【答案】49.75．
【分析】根据百分位数的计算方法求解即可．
【解答】解：由图可得，[25，50）频率为0.06+0.07+0.12+0.17+0.2＝0.62＞0.61，
[25，45）频率为0.06+0.07+0.12+0.17＝0.42＜0.61，
∴61%分位数位于[45，50）内，
∴61%分位数为×（50﹣45）+45＝49.75．
故答案为：49.75．
【点评】本题考查百分位数的计算，是基础题．
9．某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取　16　 名学生．
高一 高二 高三
女生 373 m n
男生 377 370 p
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】解：∵在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，
∴，即m＝380，
则高一，高二的学生总数为373+380+377+370＝1500，
则高三学生为2000﹣1500＝500，
若用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系，结合概率求出m是解决本题的关键．比较基础．
三、多选题
（多选）10．对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的是（　　）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90 110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层随机抽样
B．②③适宜采用分层随机抽样
C．②适宜采用分层随机抽样
D．③适宜采用简单随机抽样
【答案】CD
【分析】根据已知条件，结合分层随机抽样，简单随机抽样的定义，即可求解．
【解答】解：从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不宜采用分层抽样，
总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若从中抽取12人的成绩了解有关情况，宜采用分层抽样，
运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，适宜采用简单随机抽样．
故选：CD．
【点评】本题主要考查分层随机抽样，简单随机抽样的定义，属于基础题．
四、解答题
11．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量．
（2）从频率分布直方图中看出次数在以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分布直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组．
【解答】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3
∴第二小组的频率是＝0.08
∵第二小组频数为12，
∴样本容量是＝150
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是＝88%
即高一有88%的学生达标．
（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分布直方图分成两个相等的部分的位置，
∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9
前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，
∴中位数落在第四小组，
即跳绳次数的中位数落在第四小组中．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题．
12．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001一900．
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以加粗的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；
05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74
07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51
51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48
26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94
14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43
（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为08，求样本中所有编号之和：
（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4：样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题取出十个编号，先将编号从小到大排列再求中位数
（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，求该数列的前10项和．
（3）分别求出样本的平均数和方差，900名考生选做题得分的平均数与方差和样本的平均数与方差相等．
【解答】解：（1）根据题意，读出的编号依次是：
512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），
512（重复），687，858，554，876，647，547，332．
将有效的编号从小到大排列，得
332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，
所以中位数为×（647+687）＝667；
（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，
所以样本编号之和即为该数列的前10项之和，
即S10＝10×8+＝4130；
（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，
由题意可知xi＝8×7＝56，＝8×4＝32，
yi＝16，＝2×1＝2，
故样本平均数为＝×（xi+yi）＝×（56+16）＝7.2；
样本方差为s2＝×[+]
＝×{+}
＝×[﹣0.4（xi﹣7）+8×0.22++1.6（yi﹣8）+2×0.82]
＝×（32﹣0+0.32+2+0+1.28）
＝3.56；
所以估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．
【点评】本题考查了随机数表法抽样应用问题，也考查了系统抽样和平均数、方差的计算问题，是中档题．
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