第三章 指数运算与指数函数（单元测试）（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 指数运算与指数函数
一、选择题
1．已知函数f（x）＝，若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．＝（　　）
A．108 B．110 C．81 D．112
3．已知f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则f（x）的最大值为（　　）
A．1 B．27 C．9 D．81
4．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数在[1，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≤﹣3 C．m≥3 D．m≥﹣3
7．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F与其采摘后时间t（单位：天）近似满足的函数关系式为F＝1﹣m at，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（　　）
A．32 B．30 C．35 D．28
8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥OC，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点E，B，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．3
二、填空题
9．计算：+＝ 　 　 ．
10．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集是 　 　 ．
11．函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），则实数a的取值范围为 　 　 ．
12．已知函数，设a＞b≥0，若f（a）＝f（b），则b的取值范围是 　 　 ．
三、多选题
（多选）13．下列各式正确的有（　　）
A． B．
C． D．
（多选）14．设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则下列等式正确的是（　　）
A．f（x+y）＝f（x） f（y）
B．f（x﹣y）＝
C．f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
D．[f（xy）]n＝[f（x）]n [f（y）]n（n∈N*）
（多选）15．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的函数关系式为y＝at，则下列说法中错误的是（　　）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过50m2
B．浮萍面积每月的增长率不相等
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
（多选）16．已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0，且a≠1），则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B．函数f（x）在R上不具有单调性
C．函数f（|x|）的图象关于y轴对称
D．当0＜a＜1时，函数f（|x|）的最大值是0
四、解答题
17．化简：．
18．求下列函数的定义域与值域：
（1）y＝；
（2）y＝（a＞0且a≠1）．
19．求下列函数的单调区间：
（1）y＝|x2+2x﹣3|；
（2）y＝﹣x2+2|x|+1．
20．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）．
（1）若f（﹣1）＝2，求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差为，求实数a的值．
21．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
第三章 指数运算与指数函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知函数f（x）＝，若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵f（x）＝，f（1）＝f（﹣1），
∴a＝1﹣（﹣1）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查实数的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
2．＝（　　）
A．108 B．110 C．81 D．112
【答案】A
【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．
【解答】解：＝×
＝22×33＝4×27＝108．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
3．已知f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则f（x）的最大值为（　　）
A．1 B．27 C．9 D．81
【答案】C
【分析】由已知点的坐标先求出f（x），然后结合指数函数单调性即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝3x﹣b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），
所以32﹣b＝1，即b＝2，
所以f（x）＝3x﹣2，
因为2≤x≤4，
所以0≤x﹣2≤2，
所以1≤3x﹣2≤9，即f（x）的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了指数函数的单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．
4．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】对a，b，c变形，再结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝，
y＝2x在R上单调递增，
故a＞c＞b．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性排除选项，结合函数的零点以及变换趋势判断即可．
【解答】解：函数是偶函数，排除选项D；
函数有两个零点，排除选项B；
当x→+∞时，f（x）→﹣∞，当时变化缓慢，排除C；
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的零点，是常用方法，是基础题．
6．已知函数在[1，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≤﹣3 C．m≥3 D．m≥﹣3
【答案】A
【分析】求f（x）的导数，利用f′（x）≥0，f（x）是增函数，求得m的取值范围．
【解答】解：∵，
∴f′（x）＝2x+1﹣＝；
设g（x）＝2x3+x2﹣m，∵g′（x）＝6x2+2x，
当x∈[1，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）是增函数，∴g（x）min＝g（1）＝3﹣m；
∴f′（x）在x∈[1，+∞）时，有f′（x）min＝g（x）min＝3﹣m≥0，f（x）是增函数，
解得m≤3，
∴m的取值范围是{m|m≤3}；
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，是中档题．
7．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F与其采摘后时间t（单位：天）近似满足的函数关系式为F＝1﹣m at，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（　　）
A．32 B．30 C．35 D．28
【答案】B
【分析】由题意列方程组，求出m和a，再列不等式求解即可．
【解答】解：由题意知，，解得m＝0.05，a＝；
所以1﹣0.05×≥60%，解得≤8，即t≤30，
所以最多可以保存30天．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，是基础题．
8．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥OC，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点E，B，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），又因为2at＝a2t，所以at＝2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入at＝2，求出a的值即可．
【解答】解：设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），
又因为2at＝a2t，
所以at＝2；
因为平行四边形OABC的面积S＝OC×AC＝at×2t＝4t，又平行四边形OABC的面积为8
所以4t＝8，t＝2，
所以a2＝2，
即a＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
二、填空题
9．计算：+＝ 　3　 ．
【答案】3．
【分析】利用有理指数幂的运算性质求解即可．
【解答】解：＝．
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．
10．设0＜a＜1，则关于x的不等式的解集是 　（﹣1，3）　 ．
【答案】（﹣1，3）．
【分析】由指数不等式的解法求解即可．
【解答】解：因为0＜a＜1，
所以不等式等价于x2﹣2x+3＜6，
解得﹣1＜x＜3，
即不等式的解集为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
11．函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），则实数a的取值范围为 　（0，）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用函数的定义域和单调性，可得 ，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（a﹣1）＞f（1﹣3a），
∴，求得0＜a＜，
故答案为：（0，）．
【点评】本题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题．
12．已知函数，设a＞b≥0，若f（a）＝f（b），则b的取值范围是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作函数的图象，从而利用数形结合知2﹣≤b+1＜2，从而解得．
【解答】解：作函数的图象如下，
，
结合图象可知，
2﹣≤b+1＜2，
∴≤b＜1，
故答案为：．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用．
三、多选题
（多选）13．下列各式正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】运用根式的化简方法直接求解即可．
【解答】解：∵∴A项错误；
∵，
∴B项正确；
∵，∴C项正确；
∵，∴D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了根式的化简，属于基础题．
（多选）14．设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则下列等式正确的是（　　）
A．f（x+y）＝f（x） f（y）
B．f（x﹣y）＝
C．f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
D．[f（xy）]n＝[f（x）]n [f（y）]n（n∈N*）
【答案】ABC
【分析】利用指数幂的运算性质逐个分析各个选项即可．
【解答】解：对于选项A：f（x+y）＝ax+y＝ax ay＝f（x）f（y），故选项A正确，
对于选项B：f（x﹣y）＝ax﹣y＝＝，故选项B正确，
对于选项C：f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故选项C正确，
对于选项D：[f（xy）]n＝（axy）n，[f（x）]n [f（y）]n＝（ax）n （ay）n＝a（x+y）n≠（axy）n，故选项D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，是基础题．
（多选）15．如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的函数关系式为y＝at，则下列说法中错误的是（　　）
A．第5个月时，浮萍面积就会超过50m2
B．浮萍面积每月的增长率不相等
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2＝t3
【答案】ABC
【分析】由函数过点（1，2），可得y＝2t，再结合增长率公式与指数式的运算，即可判断出答案．
【解答】解：由图可知，y＝at过点（1，2），则2＝a1，即a＝2，
所以池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝2t，
当t＝5时，y＝25＝32＜50，故A错误；
浮萍面积每月增长率为＝1，故B不正确；
当t＝1时，y＝2，当t＝2时，y＝22＝4，当t＝3时，y＝23＝8，
所以第一个月浮萍增加的面积为2m2，第二个月浮萍增加的面积为4﹣2＝2m2，第三个月浮萍增加的面积为8﹣4＝4m2，故C错误；
因为＝2，＝3，＝6，
所以 ＝，即t1+t2＝t3，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，指数函数的应用等知识，属于基础题．
（多选）16．已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（x∈R，a＞0，且a≠1），则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B．函数f（x）在R上不具有单调性
C．函数f（|x|）的图象关于y轴对称
D．当0＜a＜1时，函数f（|x|）的最大值是0
【答案】ACD
【分析】由已知结合函数奇偶性的定义及性质检验选项A，C，结合指数函数的单调性检验选项B，结合单调性与函数的最值关系检验选项D．
【解答】解：∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，故A选项正确；
当a＞1时，f（x）在R上为增函数，当0＜a＜1时，f（x）在R上为减函数，故B选项错误；
y＝f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，故C选项正确；
当0＜a＜1时，y＝f（|x|）在（﹣∞，0]上为增函数，在[0，+∞）上为减函数，
∴当x＝0时，y＝f（|x|）取得最大值，最大值为0，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质及函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
四、解答题
17．化简：．
【答案】．
【分析】利用有理数指数幂及根式化简运算求值．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查有理数指数幂及根式化简运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．求下列函数的定义域与值域：
（1）y＝；
（2）y＝（a＞0且a≠1）．
【答案】（1）定义域为[，+∞），值域为[1，+∞）；
（2）定义域为R，值域为（﹣1，1）．
【分析】根据定义域和值域的求法，逐一求解即可．
【解答】解：（1）5x﹣1≥0，解得x≥，故该函数定义域为[，+∞），
≥0，≥1，故该函数的值域为[1，+∞）；
（2）∵1+ax＞1恒成立，
∴函数的定义域为R，
∵y＝＝1﹣，1+ax＞1，
∴0＜＜2，则﹣2＜﹣＜0，
﹣1＜1﹣＜1，
即函数的值域为（﹣1，1）．
【点评】本题考查函数的定义域与值域，属于基础题．
19．求下列函数的单调区间：
（1）y＝|x2+2x﹣3|；
（2）y＝﹣x2+2|x|+1．
【答案】（1）函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）和（﹣1，1），单调递增区间为（﹣3，﹣1）和（1，+∞）；
（2）函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1），单调递减区间为（﹣1，0）和（1，+∞）．
【分析】将函数f（x）写成分段函数的形式，作出函数的草图，结合图象分析可得函数的单调区间．
【解答】解：（1）y＝|x2+2x﹣3|＝，
画出图象如图所示：
由图象得，函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）和（﹣1，1），
单调递增区间为（﹣3，﹣1）和（1，+∞）．
（2）y＝﹣x2+2|x|+1＝，
画出函数的图象，如图所示：
由图象得，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1），
单调递减区间为（﹣1，0）和（1，+∞）．
【点评】本题考查函数单调性的判断，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
20．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）．
（1）若f（﹣1）＝2，求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差为，求实数a的值．
【答案】（1）f（2）+f（﹣2）＝；
（2）a的值为3或．
【分析】（1）利用f（﹣1）＝2，求出a，继而可求得f（2）+f（﹣2）的值；
（2）分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分析f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调性，利用函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差为，列式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝ax，f（﹣1）＝＝2，故a＝，
当a＝时，f（x）＝，f（2）+f（﹣2）＝+＝，
故f（2）+f（﹣2）＝；
（Ⅱ）①当a＞1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递增，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（1）﹣f（﹣1）＝a﹣＝，
化简得3a2﹣8a﹣3＝0，
解得：a＝3或a＝﹣（舍去）；
②当0＜a＜1时，f（x）＝ax在[﹣1，1]上单调递减，
所以f（x）max﹣f（x）min＝f（﹣1）﹣f（1）＝﹣a＝，
化简得3a2+8a﹣3＝0．
解得：a＝或a＝﹣3（舍去）．
综上，实数a的值为3或．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化化归思想与方程思想，考查运算求解能力，属于中档题．
21．某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
【解答】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：
含第二次服药量为：
所以此时两次服药剩余的量为
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg
【点评】本题考查指数函数在实际中的应用，解答的关键是将实际问题对应的函数模型建立起来，进而通过代数计算得出实际问题的解决方案
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)