8．6.3　第2课时　平面与平面垂直的性质 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

第2课时　平面与平面垂直的性质
【课标要求】　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．
【导学】
学习目标一　平面与平面垂直的判定定理
　师问：教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？
生答：
例1 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD.
总结：若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直. 应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1　如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
学习目标二　垂直关系的综合应用
例2 如图，四棱锥P?ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E为PC中点．
(1)求证：PA⊥BC；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.
总结：(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
跟踪训练2　如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1＝AC，AC⊥BC，平面A1BC⊥平面ACC1A1，D1为A1B1的中点．
(1)求证：A1C∥平面BC1D1；
(2)求证：BC⊥AA1.
【导练】
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　)
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是(　　)
A．异面 B．相交但不垂直
C．平行 D．相交且垂直
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
4．如图，在三棱锥P?ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
【导思】
如图，四棱锥P?ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝22，平面ABCD⊥平面PAC.
(1)证明：PC⊥AB；
(2)若PA＝PC＝52AC，M是PA的中点，求三棱锥M?ABC的体积．
第2课时　平面与平面垂直的性质
导　学
学习目标一　生答：不一定，也可能平行、相交(不垂直)；只要保证所画的线与两平面的交线垂直即可．
例1　证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.
由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又∵AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
跟踪训练1　证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB ∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
又∵AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
学习目标二　
例2　证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
PA⊥AB，PA?平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.
(2)因为AP＝AD，设F为PD的中点，连接AF，EF，如图，则EF綉12CD.又AB綉12CD，所以EF綉AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
因为PA＝AD且F为PD的中点，所以AF⊥PD，又∠DAB＝90°，所以AB⊥DA，又PA⊥AB，PA∩DA＝A，所以AB⊥平面PAD，所以EF⊥平面PAD，所以AF⊥EF，又PD∩EF＝F，所以AF⊥平面PCD，所以BE⊥平面PDC.
又因为BE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.
跟踪训练2　证明：(1)连接B1C交BC1于点E，则E为B1C的中点，连接D1E.
因为D1为A1B1的中点，所以D1E∥A1C，
又D1E?平面BC1D1，且A1C?平面BC1D1，
所以A1C∥平面BC1D1.
(2)
连接AC1，因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1为菱形，
所以AC1⊥A1C，
又平面A1BC⊥平面ACC1A1，平面A1BC∩平面ACC1A1＝A1C，
且AC1?平面ACC1A1，所以AC1⊥平面A1BC，
又BC?平面A1BC，所以AC1⊥BC，
因为AC⊥BC，AC∩AC1＝A，AC，AC1?平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又AA1?平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
导　练
1．解析：当平面α⊥平面β，直线a∥α时，a与β有以下四种位置关系：①a⊥β，②a∥β，③a与β相交，④a在平面β内．故选D.
答案：D
2．解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.故选C.
答案：C
3．解析：在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直．故选D.
答案：D
4．解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，且侧面PAC∩底面ABC＝AC，又∠PAC＝90°，即PA⊥AC，AC?平面ABC，
所以PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，
所以PA⊥AB，故PB＝PA2+AB2＝1+4＝5.
答案：5
导　思
解析：(1)
证明：取BC中点N，连接AN，则CN＝AD＝CD＝2，又AD∥CN，BC⊥CD，
所以四边形ANCD为正方形，则∠ANB＝∠ANC＝90°，∠NAC＝45°，AC＝2，
又在△ANB中，AN＝BN＝2，则∠BAN＝π4，AB＝2，所以∠BAC＝π2，即AB⊥AC.
又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AB.
(2)连接DN，交AC于O，连接OP，
因为AB⊥平面PAC，PO?平面PAC，所以PO⊥AB.
由于AD∥BN，AD＝BN，又因为PA＝PC，O为AC的中点，所以OP⊥AC.
又因为AC?平面ABCD，AB?平面ABCD.AC∩AB＝A，所以PO⊥平面ABCD.
所以PA＝PC＝5，OP＝PA2?AO2＝5?1＝2，
S△ABC＝12×2×2＝2，V三棱锥P?ABC＝13×2×2＝43，
又因为M为PA中点，所以VM?ABC＝12VP?ABC＝23.