9.1.2～9.1.3 分层随机抽样+获取数据的途径 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

9.1.2～9.1.3　分层随机抽样　获取数据的途径
【课标要求】　1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.4.知道获取数据的基本途径．
【导学】
学习目标一　分层随机抽样
　师问：某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小．请问问题中样本总体有什么特征？为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？
生答：
例1 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
总结：(1)使用分层随机抽样的前提：分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
(2)进行分层随机抽样的相关计算常用到：.
跟踪训练1　(1)下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为________．
学习目标二　用分层抽样的样本平均数估计总体
平均数
　师问：在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数和第2层的总体平均数和样本平均数，该如何计算？
生答：
例2 (多选)某校高一年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.则下列说法正确的是(　　)
A．若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用×170.2＋×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值
B．若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用×170.2＋×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值
C．若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为×170.2＋×160.8≈163.6(cm)
D．如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差
总结：
1．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 ＋估计总体平均数.
2．在非比例分配的分层随机抽样中，如果层数分为2层，由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数， 用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此我们用估计总体平均数.
跟踪训练2　某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则据此估计高二总体数学成绩平均值为________．
学习目标三　获取数据的途径
　师问：我们日常生活中有哪些获取数据的方法和途径呢？
生答：
例3 为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是(　　)
A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据
总结：选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．
跟踪训练3　下列数据一般需要通过实验获取的是(　　)
A．某子弹的射程
B．某学校的男女生比例
C．华为手机的市场占有率
D．期中考试的班级数学成绩
【导练】
1．若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是(　　)
A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据
2．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法
3．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(　　)
A．30 B．25
C．20 D．15
4．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________．
【导思】
某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占37.5%，老年人占20%.登山组的职工占参加活动总人数的三分之一，且该组中，青年人占50%，中年人占30%，老年人占20%.为了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的整体满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
指津：(1)先求出登山组中青年人、中年人、老年人占总人数的比例， 从而求出游泳组中，青年人、中年人、老年人占总人数的比例， 进而求出游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)结合第一问，求出游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为52, 55, 27.
9．1.2～9.1.3　分层随机抽样 获取数据的途径
导　学
学习目标一　生答：小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异．可分不同的群体抽取．
例1　解析：抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
跟踪训练1　解析：(1)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．故选B.
(2)依题意可知高一年级需要选派的人数为×60＝10(人)．
答案：(1)B　(2)10
学习目标二　生答：
例2　解析：对于A，由分层抽样的概念可得样本平均值为×170.2＋×160.8≈165.4(cm)，由此可以估计平均值约为165.4 cm，故A正确；对于B，由平均数的计算公式可得，样本平均值为×170.2＋×160.8≈163.6(cm)，由此估计总体平均值约为163.6 cm，故B正确；对于C，与B对照，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而不是确定的总体平均值，故C错误；对于D，如果仅根据男生、女生的样本平均值和方差，可以估计出总体的均值和方差，不能计算出总体的均值和方差，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
跟踪训练2　解析：抽取的同学数学成绩平均值为＝105，因此，估计高二总体数学成绩平均值为105.
答案：105
学习目标三　生答：通过调查获取数据、通过试验获取数据、通过观察获取数据、通过查询获得数据等．
例3　解析：因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．故选D.
答案：D
跟踪训练3　解析：选项A，某子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过实验获取；选项B，某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过实验获取；选项C，华为手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过实验获取；选项D，期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过实验获取．故选A.
答案：A
导　练
1．解析：因为要研究的是某城市家庭的收入情况，所以通过调查获取数据．故选A.
答案：A
2．解析：总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．故选D.
答案：D
3．解析：样本中松树苗为150×＝150×＝20(棵)．故选C.
答案：C
4．解析：＝×3＋×8＝6.
答案：6
导　思
解析：(1)登山组人数占参加活动总人数的，则游泳组人数占参加活动总人数的，
登山组中青年人、中年人、老年人占总人数的比例分别为×50%＝×30%＝×20%＝，所以游泳组中青年人、中年人、老年人占总人数的比例分别为42.5%－＝，37.5%－＝，20%－＝，所以游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例为．
(2)由(1)知游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例为31∶33∶16，游泳组人数占参加活动总人数的，故游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为200×＝52，200×＝55，200×＝27，所以游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为52，55，27.