9.2.2 总体百分位数的估计 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

9.2.2　总体百分位数的估计
【课标要求】　结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
【导学】
学习目标一　百分位数的定义
　师问：“全班有25%的人数学成绩低于83分”这句话是什么意思？
生答：
例1 关于百分位数的说法中，正确的是(　　)
A．百分位数一定是数据中的某一项
B．恰好有k%的数据比第k百分位数小
C．某样本的第k百分位数一定是整体的第k百分位数
D．一组数据中不同的百分位数可能相等
总结：分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据如何在最小值与最大值之间分布的信息．
跟踪训练1　15%分位数的含义是(　　)
A．总体中任何一个数小于它的可能性是15%
B．总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%
C．总体中任何一个数大于它的可能性是15%
D．总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%
学习目标二　百分位数的计算
例2 某旅游网考察了一个景点附近的15家酒店，根据清洁程度、舒适程度、服务态度、位置、早餐质量等给每个酒店一个评分(满分10分)，结果如下：
9．0，8.8，8.7，9.1，8.2，8.5，9.7，8.9，9.5，9.8，9.2，8.9，9.6，8.6，8.9.
(1)计算第25百分位数；
(2)某网站计划将评分在第95百分位数以上的酒店列为优先推荐酒店，若某酒店的评分为9.6，该酒店能否列为优先推荐酒店？
总结：计算第 p百分位数的步骤
第 1 步，按从小到大排列原始数据．
第 2 步，计算 i ＝n×p%.
第 3 步，若 i不是整数，而大于 i的比邻整数为j，则第 p百分位 数为j数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1) 项数据的平均数．
跟踪训练2　(1)小明同学统计了他最近10次的数学考试成绩，得到的数据分别为92，85，87，91，95，90，88，83，98，96.则这组数据的60%分位数是(　　)
A．92 B．91.5
C．91 D．90
(2)5名学生的期中考试数学成绩分别为98，120，105，110，m，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，则m＝__________．
学习目标三　利用频率分布直方图求百分位数
例3 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．
估计参赛学生的成绩的25%，90%分位数．
总结：根据频率分布直方图求第p百分位数的步骤
(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，　fb%，则第p百分位数为a＋(b－a)×.
跟踪训练3　从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
则在被调查的用户中，月用电量的第71百分位数为(　　)
A．205 B．215
C．225 D．235
【导练】
1．下列关于50%分位数的说法正确的是 (　　)
A．50%分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是连续型的数据
2．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为(　　)
A．87.5 B．88
C．89 D．91
3．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的上四分位数为(　　)
A．2 B．2.5
C．7.5 D．8
4．某校从高一年级中随机抽取部分学生，将他们的期末数学测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．据此统计，期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为________分．
【导思】
某中学为了加强食堂用餐质量开展“美食”工作，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生的认可系数(认可系数＝不低于0.95，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)为了了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈，求出应选取评分在[60，70)的学生人数；
(2)判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
9．2.2　总体百分位数的估计
导　学
学习目标一　生答：全班小于83分的人数不少于全班人数的25%，大于或等于83分的人数不少于1－25%＝75%.
例1　解析：对A，百分位数的计算结果可能是数据中的某一项，也有可能是某两个数据的平均数，故A错误；对B，第k百分位数为数据中的某一项，也有可能是某两个数据的平均数，恰有k%的数据，若此数据与下个数据相等，则k%的数据不一定比第k百分位数小，故B错误；对C，样本的第k百分位数计算结果和整体的第k百分位数计算结果不一定是同一个数据，故C错误；对D，根据百分位数的定义，可知一组数据中不同的百分位数可能相等，故D正确．故选D.
答案：D
跟踪训练1　解析：根据第p百分位数的定义知，15%分位数的含义是总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%.故选B.
答案：B
学习目标二　
例2　解析：(1)15个评分从小到大的顺序是：8.2，8.5，8.6，8.7，8.8，8.9，8.9，8.9，9.0，9.1，9.2，9.5，9.6，9.7，9.8.
又0.25×15＝3.75，所以第25百分位数为第4个数8.7.
(2)0.95×15＝14.25，
所以第95百分位数为第15个数据9.8，
所以优先推荐酒店的评分必须大于9.8分，
所以某酒店的评分为9.6，该酒店不能列为优先推荐酒店．
跟踪训练2　解析：(1)将10次的数学考试成绩由小到大排序依次为83，85，87，88，90，91，92，95，96，98，由10×0.6＝6，得这组数据的60%分位数是＝91.5.故选B.
(2)由5×60%＝3，将成绩从小到大排列，得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，所以＝111，解得m＝112.
答案：(1)B　(2)112
学习目标三　
例3　解析：由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05，
成绩在60分以下的学生所占比例为30%>25%，
所以25%分位数一定位于[50，60)内，
由50＋10×＝58.3，可以估计参赛学生的成绩的25%分位数为58.3；
成绩在80分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＝85%<90%，
成绩在90分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＋10%＝95%>90%，
所以90%分位数一定位于[80，90)内，
由80＋10×＝85，可以估计参赛学生的成绩的90%分位数为85.
跟踪训练3　解析：(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4，在这组数据中[50，200)对应的频率为(0.002 4＋0.003 6＋0.006)×50＝0.6，[50，250)对应的频率为(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋0.004 4)×50＝0.82，所以这组数据第71百分位数在[200，250)中．设第71百分位数为a，则＝，解得a＝225.故选C.
答案：C
导　练
1．解析：由百分位数的意义可知，将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数；50%分位数是中位数，50%分位数表示至少有50%的数据项小于或等于这个值，且至少有50%的数据项大于或等于这个值，第50百分位数又称第二个四分位数，所以选项A，B，D错误．故选C.
答案：C
2．解析：5×60%＝3，因为3为整数，故选取88和90的平均数作为第60百分位数，即＝89.故选C.
答案：C
3．解析：10×＝7.5，所以上四分位数是第8个数，为8.故选D.
答案：D
4．解析：因为(0.005＋0.015＋0.03)×10＝0.5<0.6，0.5＋0.025×10＝0.75>0.6，
所以60%分位数应位于[70，80)内．
由70＋10×＝74，得期末数学测试成绩不少于60%分位数的分数至少为74分．
答案：74
导　思
解析：(1)由题意有(x＋0.015＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝1，解得x＝0.01，
评分低于80分的频率为(0.01＋0.015＋0.020)×10＝0.45，
因此评分低于80分的人数为600×0.45＝270，
评分在[60，70)的学生总数为0.015×10×600＝90，
因此分层抽样时应选取评分在[60，70)的学生人数为×30＝10人．
(2)认可程度平均分为＝55×0.01×10＋65×0.015×10＋75×0.02×10＋85×0.03×10＋95×0.025×10＝79.5.
设认可程度评分第60百分位数为m，
则(m－80)×0.03＋0.2＋0.15＋0.1＝0.6，
解得m＝85，
因此认可系数＝≈0.94<0.95，
所以需要进一步整改．