9.2.3 总体集中趋势的估计 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

9.2.3　总体集中趋势的估计
【课标要求】　1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).2.理解集中趋势参数的统计含义．
【导学】
学习目标一　众数、中位数、平均数
　师问：初中我们已学过，平均数、中位数和众数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势，那么什么是众数、中位数呢？
生答：
例1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
总结：众数是出现次数最多的数；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；平均数一般是根据公式来计算．
跟踪训练1　某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
学习目标二　总体集中趋势的估计
例2 甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12 h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果(单位：h)如下：
甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；
乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；
丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20.
(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；
(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间？
(3)如果你是顾客，宜选择哪个厂商的产品？为什么？
总结：(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
学习目标三　利用频率分布直方图估计总体的集
中趋势
　师问：如何利用频率分布直方图来估计样本的平均数、中位数和众数呢？
生答：
例3 某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门组织部分居民对本次活动进行打分(分数为正整数，满分100分)．现从所有有效数据中随机抽取一个容量为100的样本，统计发现分数均在[40，100]，将样本数据整理得到如下频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计该城市居民打分的众数、中位数(保留一位小数)及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
总结：(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中．中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数)．平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和．
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数．
跟踪训练3　(多选)某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计(　　)
A．平均数>中位数 B．中位数>平均数
C．中位数>众数 D．众数>平均数
【导练】
1．下列四组数据中，中位数等于众数的是(　　)
A．1，2，4，4，1，1，3 B．1，2，4，3，4，4，2
C．1，2，3，3，4，4，4 D．1，2，3，4，2，2，3
2．对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175 cm，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165 cm，则这个班级的平均身高估计为(　　)
A．168.75 cm B．169 cm
C．171 cm D．171.25 cm
3．研究人员测量了某种药物服用8小时后在人体血液中所占的百分比，并将所得数据统计如图所示，据此可以估计，这种药物服用8小时后在人体血液中所占百分比的中位数为(　　)
A．6　　　B．5.5　　　C．5.2　　　D．6.5
4．若x1，x2，…，xn的平均数是10，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数是________．
【导思】
为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成A，B两组，每组50株，其中A组绿植喷甲农药，B组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记C为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙农药残留百分比直方图中a，b的值；
(2)估计甲农药残留百分比的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(3)估计乙农药残留百分比的中位数．(保留2位小数)
9．2.3　总体集中趋势的估计
导　学
学习目标一　生答：在一组数据中出现次数最多的数称为众数；中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间位置的数，如果中间位置有两个，则为这两个数的平均数．
例1　解析：因为成绩为1.75 m的人数为4，最多，所以17名运动员的成绩的众数为1.75 m；
根据中位数的定义可知把17名运动员的成绩从小到大排列，第9个运动员的成绩为中位数，所以17名运动员的成绩的中位数为1.70 m；
17名运动员的成绩的平均数为：
≈1.69 m.
所以这些运动员成绩的众数为1.75 m，中位数为1.70 m，平均数约为1.69 m．
跟踪训练1　解析：由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为＝87.故选C.
答案：C
学习目标二　
例2　解析：(1)根据平均数的计算公式可知，
甲厂数据的平均数是＝12；
乙厂数据的平均数是＝13.6；
丙厂数据的平均数是＝13.4.
甲厂、乙厂、丙厂的众数分别是9，12，8.
甲厂数据的中位数为＝10，乙厂数据的中位数为＝12.5，丙厂数据的中位数为＝12.
(2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间．
(3)我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大，众数最大，中位数最大，所以待机时间更长些，稳定性也较好．
跟踪训练2　解析：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15 (岁)，
中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15 (岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
学习目标三　生答：在频率分布直方图中，样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替；中位数左边和右边的直方图的面积应相等；而众数为最高小矩形所在的区间中点的横坐标．
例3　解析：(1)由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋a＋0.03＋0.024＋0.016)×10＝1，
解得a＝0.02.
(2)由频率分布直方图可知众数为＝75.
由(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3<0.5，
(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6>0.5，
所以中位数位于[70，80)之间，设中位数为x，则(0.004＋0.006＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，
解得x＝≈76.7.
平均数为0.04×45＋0.06×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.24×85＋0.16×95＝76.2.
跟踪训练3　解析：由题中直方图在右边“拖尾”知平均数大于中位数，故A正确；由题图估计中位数接近7.2，众数为5.7，所以中位数大于众数，故C正确，故选AC.
答案：AC
导　练
1．解析：A选项，将数据由小到大排列为1，1，1，2，3，4，4，中位数与众数分别为2和1；B选项，将数据由小到大排列为1，2，2，3，4，4，4，中位数与众数分别为3和4；C选项，中位数与众数分别为3和4；D选项，将数据由小到大排列为1，2，2，2，3，3，4，中位数与众数分别为2和2.故选D.
答案：D
2．解析：设总体身高的平均值为，男生在全部学生中所占的比例为＝ ，女生在全部学生中所占的比例为＝ ，所以＝×175＋×165＝171，所以总体身高均值为171 cm.故选C.
答案：C
3．解析：依题意，0.15＋0.2＋2a＋0.2＋0.1＋0.05＝1，解得a＝0.15，则前三块小矩形的面积分别为0.15，0.2，0.3，所以中位数位于组[5，7)内，则所求中位数为5＋×2＝6.故选A.
答案：A
4．解析：
答案：21
导　思
解析：(1)C为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，
根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
则由频率分布直方图得
解得
所以乙农药残留在表面的百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10.
(2)估计甲农药残留百分比的平均数为
x甲＝2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
(3)设乙农药残留百分比的中位数为x，则
(0.05＋0.10＋0.15)×1＋0.35×(x－5.5)＝0.5，解得x≈6.07，
所以估计乙农药残留百分比的中位数约为6.07.