9.2.4 总体离散程度的估计 导学案（含答案） 高一数学人教A版必修第二册

9.2.4　总体离散程度的估计 导学案42
【课标要求】　1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.理解离散程度参数的统计含义．
【导学】
学习目标一　方差、标准差
　师问：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7　8　7　9　5　4　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
对于甲、乙的射击成绩，除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其他方法来说明两组数据的离散程度？
生答：
例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
总结：研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，　比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
跟踪训练1　甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是(　　)
甲：4　5　4　5　5　乙：4　2　3　4　3
丙：2　3　2　3　4　丁：6　1　2　6　1
A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
学习目标二　方差、标准差与统计图表的综合应用
例2 甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲、乙的平均数分别表示甲、乙的方差，则(　　)
A． B．
C．< D．>
总结：(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值，　然后比较大小．
(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为繁琐，可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小．
跟踪训练2　(多选)甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：
下列说法正确的是(　　)
A．从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当
B．从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定
C．从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好
D．从二人命中环数的走势看，甲更有潜力
学习目标三　分层随机抽样的方差
例3 在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分. 在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．
跟踪训练3　三人相约晚上一起点某餐厅外卖，他们分别在A，B，C平台上查到该餐厅的评分情况．A有20人评价，评分的平均分是6分，方差是1.B有30人评价，评分的平均分是7分，方差为0.5.C有50人评价，评分的平均分为5分，方差为1.5，那么该餐厅总的得分方差是(　　)
A．1 B．1.45
C．2 D．1.86
【导练】
1．下列数字特征不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是(　　)
A．极差 B．平均数
C．方差 D．标准差
2．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙相同 D．不能确定
3．某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为(　　)
A．87，10.2 B．85，10.2
C．87，10 D．85，10
4．某人任意统计5次上班步行到单位所花的时间(单位：分钟)分别为8，12，10，11，9.则这组数据的标准差为________．
【导思】
立定跳远是高中生体能测试的项目之一．对某同学在11月和12月立定跳远练习成绩(单位：米)统计如下：
11月 2.30 2.25 2.34 2.30 2.22 2.36 2.38 2.33
12月 2.40 2.33 2.38 2.43 2.41 2.44 2.40 2.41
(1)设11月和12月立定跳远练习成绩的平均数分别为，方差分别为，求；
(2)当<2时，则说明成绩没有明显提高，反之，则说明成绩有明显提高．通过计算，判断该同学12月立定跳远成绩比11月是否有明显提高？
9．2.4　总体离散程度的估计
导　学
学习目标一　生答：极差、方差、标准差．
例1　解析：(1)＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100；
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
跟踪训练1　解析：由题知＝，所以＝[(4－)2＋(5－)2＋(4－)2＋(5－)2＋(5－)2]＝，
＝，所以＝[(4－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2＋(3－)2]＝，
＝，所以＝[(2－)2＋(3－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2]＝，
＝，所以＝[(6－)2＋(1－)2＋(2－)2＋(6－)2＋(1－)2]＝，
所以方差最大的是丁，故选D.
答案：D
学习目标二　
例2　解析：因甲、乙两组数据采用相同的分组方法，则它们的分组各个中点值对应相同，设第1组到5组的中点值依次为t1，t2，t3，t4，t5，由两个频率分布直方图知，它们都关于过最中间一个小矩形下底边的中点且垂直于横轴的直线对称，即t1＋t5＝t2＋t4＝2t3，令甲组数据从第一组到第五组的频率依次为p1，p2，p3，p4，p5，且p1＝p5，p2＝p4，乙组数据从第一组到第五组的频率依次为p′1，p′2，p′3，p′4，p′5，且p′1＝p′5，p′2＝p′4，则＝t1p1＋t2p2＋t3p3＋t4p4＋t5p5＝2t3p1＋2t3p2＋t3p3＝t3(p1＋p2＋p3＋p4＋p5)＝t3，同理＝t3，因此＝．由频率分布直方图知，乙组数据比甲组数据相对于平均数更集中，甲组数据波动较乙的大，则有，所以＝.故选B.
答案：B
跟踪训练2　解析：由题意及图得，甲射击 10 次中靶环数分别为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，将它们由小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击 10 次中靶环数分别为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，将它们由小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.甲平均值＝×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)，乙平均值＝×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7(环)，甲方差＝×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝×(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，乙方差＝×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；B项，甲的成绩比乙稳定，B正确；C项，甲、乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误．故选ABC.
答案：ABC
学习目标三　
例3　解析：把专业人士打分样本记为x1，x2，x3，…，x8，其平均数记为，方差记为，
把观众代表打分样本记为y1，y2，y3，…，y12，其平均数记为，方差记为，
把总体数据的平均数记为，方差记为S2，则总样本平均数为＝×47.4＋×56.2＝52.68，总样本方差为S2＝
＝2＋()2]}
＝{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，
总样本标准差S＝10.37，
所以计算这名选手得分的平均数为52.68，标准差为10.37.
跟踪训练3　解析：依题意总平均分为＝5.8(分)，所以总方差为×[1＋(6－5.8)2]＋×[0.5＋(7－5.8)2]＋×[1.5＋(5－5.8)2]＝1.86.故选D.
答案：D
导　练
1．解析：对于A，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故不选A；对于B，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，它是描述数据集中位置的一个统计量，故平均数不能反映样本数据的分散程度、波动情况，故选B；对于C，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故不选C；对于D，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故不选D.故选B.
答案：B
2．解析：因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定．故选A.
答案：A
3．解析：由题意可知这25名学生成绩的平均数为＝87，这25名同学成绩的方差为＝10.2.故选A.
答案：A
4．解析：由题意得，这组数据的平均数
＝＝10，
所以标准差
s＝＝.
答案：
导　思
解析：(1)＝(2.30＋2.25＋2.34＋2.30＋2.22＋2.36＋2.38＋2.33)＝2.31，＝(2.40＋2.33＋2.38＋2.43＋2.41＋2.44＋2.40＋2.41)＝＝
0.012+0.062+0.032+0.012+0.092+0.052+0.072＋0.022)＝＝(02＋0.072＋0.022＋0.032＋0.012＋0.042＋02＋0.012)＝.
解析：因为＝2.40－2.31＝＝2 ，
则)2＝)2＝0.001 43，
所以，故小明12月立定跳远成绩比11月是有明显提高．