2026届高三微专题12.2 事件的相互独立性与条件概率 学案（含答案）

2026届高三微专题12.2 事件的相互独立性与条件概率
1.条件概率
⑴定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
⑵乘法公式：对任意两个事件与，若，则．我们称之为概率的乘法公式．
(3)条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则
①；
②如果和是两个互斥事件，则；
③设和互为对立事件，则．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.
注意：
⑴如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；
⑵已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．
2.相互独立与条件概率的关系
事件与事件 相互独立 对任意的两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.即事件与相互独立的充要条件是．
性质 ⑴若事件与事件相互独立，则与，与，与也都相互独立； ⑵若事件与事件相互独立，，
概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则
3.全概率公式
⑴定义：一般地,设是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.
⑵全概率公式的直观意义：
①某事件B的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件B是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和
.
②“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.
4.贝叶斯公式：
设
【重要结论】
1.在利用乘法公式解决实际问题时，要注意区分和的不同，表示在事件发生的条件下，事件发生的概率；而则表示在事件发生的条件下，事件发生的概率.
2.概率与的联系与区别：
⑴联系：事件都发生了；
⑵区别：①在中，事件发生有时间上的差异，事件先发生，事件后发生；在中，事件同时发生；
②基本事件空间不同在中，事件成为样本空间，即；在中，基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即.
1.【人教A版必修二 P251 习题10.2 T1】先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丁相互独立 D. 丙与丁相互独立
2.【人教A版选择性必修三 P48 练习T3】（多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，个白球，每次从中随机摸出个球，则下列结论中正确的是( )
A. 若不放回的摸球次，则第一次摸到红球的概率为
B. 若不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为
C. 若有放回的摸球次，则仅有前次摸到红球的概率为
D. 若有放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率为
(
考点
一
相互独立事件的概率
)
【典例精讲】
例1.(2025·江苏省·模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则
A. A与B相互独立 B. A与C相互独立 C. B与C相互独立 D. C与D相互独立
例2.(2025·辽宁省·模拟题)甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“M单位招到甲或乙”，事件“N单位招到甲或丙”，事件“Q单位招到丙或丁”，事件“Q单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是
A. 事件相互独立 B. 事件相互独立
C. 事件相互独立 D. 事件相互独立
【方法储备】
1.相互独立事件的判断
⑴定义：从定义的角度看一个事件的发生对另一个事件的发生的概率是否有影响,若一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响,则两事件是相互独立的；
⑵公式：对于两个事件,若有成立,则得事件相互独立.
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
【拓展提升】
练1-1(2025·河南省·模拟题)有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件为偶数，为偶数，，则下列不正确的是( )
A. B. A与B相互独立 C. A与C相互独立 D. B与C相互独立
练1-2(2025·江西省九江市·模拟)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，事件“两次取出的球的数字之和是6”，则
A. A与C相互独立 B. B与D相互独立 C. A与D相互独立 D. B与C相互独立
练1-3.(2025·湖北省黄冈市·模拟题)
如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”．
请写出具体的样本空间；
请证明：但不满足A，B，C两两独立；
连续抛掷3次这个正八面体，求事件AB只发生1次的概率．
(
考点二 条件概率
)
【典例精讲】
例3.(2025·河北省沧州市模拟) 袋子中有大小相同的个白球和个红球，从中任取个球，已知个球中有白球，则恰好拿到个红球的概率为( )
A. B. C. D.
例4. (2025·江苏省泰州市月考) 设集合，且，，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
例5.(2025·浙江省·模拟题)有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字先把这些卡片正面朝上排成一排，且第k个位置上的卡片恰好写有数字然后掷一颗均匀的骰子，若点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处.进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为 .
【方法储备】
条件概率的两种常用方法：
1.定义法：先求和，再由，求；
2.样本点法：借助古典概型概率公式，先求事件包含的样本点数，再求事件所包含的样本点数，得.
【拓展提升】
练2-1 (2025·江苏省淮安市·月考试卷)一个袋中有大小、形状完全相同的个球，颜色分别为红、黄、蓝从袋中无放回地依次取出个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则( )
A. B. C. ，相互独立 D.
练2-2(2025·河南省郑州市月考)现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，，，假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是 ．
直接挑战第关并过关的概率为；
连续挑战前两关并过关的概率为；
若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则；
若直接挑战第关，则过关的概率是．
练2-3(2025·上海市市辖区月考) 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为，，，的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭主持人知道奖品在哪个箱子里游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得．
现有抽奖人甲选择了号箱，在打开号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子．
计算主持人打开号箱的概率
当主持人打开号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选号箱，还是改选号或号箱以获得奖品的概率最大为决策依据
(
考点三 全概率公式
)
【典例精讲】
例6.(2025·浙江省绍兴市·模拟)现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球;乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球.第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为 .
例7.(2025·江苏省南京市·模拟题)
某学校有A，B两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A餐厅则后一天继续选择A餐厅的概率为，前一天选择B餐厅则后一天选择A餐厅的概率为p，如此往复．已知他第1天选择A餐厅的概率为，第2天选择A餐厅的概率为
求王同学第天恰好有两天在A餐厅用餐的概率；
求王同学第天选择A餐厅用餐的概率
【方法储备】
运用全概率公式的一般步骤如下：
(1)求出样本空间的一个划分；
(2)求；
(3)求；
(4)求目标事件的概率．
【拓展提升】
练3-1(2025·浙江省台州市模拟) 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 ．
练3-2(2025·河北省石家庄市模拟)（多选） 投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为，记表示事件“在次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是( )
A. 与是互斥事件 B.
C. D.
1.(2025·江苏省苏州市联考)（多选）甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则
A. B.
C. 事件A与事件B相互独立 D.
2.(2025·广东省·单元测试)（多选）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是( )
A. 若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为
B. 第二次抽到蓝色球的概率为
C. 如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子
D. 如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种
3.(2025·江苏省无锡市·期中考试)
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球;乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为先验概率
求首次试验结束的概率；
在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率先验概率进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率;
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球;方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案解析】
1.【人教A版必修二P251习题10.2 T1】
由题意可知，两次掷出的点数之和是的所有可能结果为：，，，，，共种
两次掷出的点数之和是的所有可能结果为：，，，，，，共种
则甲，乙，丙，丁．
甲丙甲丙； 甲丁甲丁；
乙丁乙丁丙丁丙丁，
故答案选：．
2.【人教A版选择性必修三P48练习T3】（多选）
解：对于，第一次摸到红球的概率为，故A错误，
对于，不放回的摸球次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率，故B正确，
对于，有放回的摸球次，则仅有前次摸到红球的概率，故C正确，
对于，有放回的摸球次，则恰有次摸到红球的概率，故D正确．
故本题选BCD．
例1.解：依题意得，，
，故A项错误；
，，故B项错误；
，故C项错误；
，，故D项正确.
故选：
例2.解：M，N两个单位招志愿者的不同选法种数为，
，
因为事件ST所包含的基本事件为招甲、N招丙，招乙、N招甲，招乙、N招丙，共3个，
所以，因为，所以为独立事件，故A项正确；
，同理得，故B项错误；
，同理得，故C项错误；
因为为对立事件，所以，故D项错误.
故选：
练1-1解：有放回地随机取两次，基本事件为：
，
，
，
，
，
，共有36个，
事件B的基本事件为：
，，
，，
，，共有27个，
所以，故A正确；
事件A的基本事件为：
，，
，，，共有18个；
事件C的基本事件为：
，
，
，
，共有24个，
所以，
，
因为，故 A 与 B 不相互独立，故B错误；
因为，故 A 与 C 相互独立，故C正确；
，故 B 与 C 相互独立，故D正确.
练1-2.解：若先回答问题，则答题顺序可能为，，和，，，
当答题顺序为，，且连对两题时，
当答题顺序为，，且连对两题时，
所以先回答问题，连对两题的概率为
同理先回答问题，连对两题的概率为先回答问题，连对两题的概率为
所以要使得最大，他应该先回答问题，
练1-3.解：因为正八面体八个面分别标以数字1到8，
任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是1，2，3，4，5，6，7，8，
所以样本空间
证明：事件A所含的样本点为：，事件B所含的样本点为：，
事件C所含的样本点为：，
故事件ABC所含的样本点为：，所以，
又，所以，
又事件AC所含的样本点为：，所以，
又，所以，
所以事件A，C不独立，即不满足A，B，C两两独立.
依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记为第i次抛掷这个正八面体发生事件AB，则，
所以事件AB只发生1次的概率为

例3.解：由题意，任取个球中有白球的情况有种，
其中恰好拿到个红球的情况有种，
故所求概率为.
例4.解：因为，所以，所以，故A错误；
，故B错误；，故D错误；
因为 ，所以，故C正确；
故选C．
例5.解：设事件A为“3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数”，
事件B为“骰子恰有一次点数为2”，
因为，为奇数，而每次翻转偶数号位的卡片会改变总和的奇偶性，每次翻转奇数号位的卡片不会改变总和的奇偶性，
所以要3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数，则3次翻转中，翻转偶数号位卡片的次数必须奇次，
因此当翻转偶数号位卡片的次数为1时，3次中那一次从2、4、6号位之一上翻，有种翻法，
剩下2次从1、3、5号位上每次翻一个，有种翻法，所以此时共有翻法，
当翻转偶数号位卡片的次数为3时，3次从2、4、6号位上每次翻一个，有种翻法，
所以三次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数的翻法总数为种，即
因为当翻转偶数号位卡片的次数为1，且恰有一次点数为2时，3次中那一次从2号位上翻，有种翻法，
剩下2次从1、3、5号位上每次翻一个，有种翻法，所以此时共有翻法，
当翻转偶数号位卡片的次数为3，且恰有一次点数为2时，3次中那一次从2号位上翻，有种翻法，
剩下2次从4、6号位上每次翻一个，有种翻法，所以此时共有翻法，
所以三次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数，且恰有一次点数为2的翻法总数种，即，
因此
故答案为：
练2-1.解：对于，由题意得，故A正确；
对于，因为，，
所以，故B正确；
对于，因为，，，
所以不互相独立，故C错误；
对于，因为，
所以，故D正确．
故选：．
练2-2.解：对于， ，所以两次点数之和应大于，
即直接挑战第关并过关的概率为 ，故正确；
对于， ，所以挑战第关通过的概率 ，
则连续挑战前两关并过关的概率为 ，故错误；
对于，由题意可知，抛掷次的基本事件有 ，
抛掷次至少出现一个点的事件共有 种，
故 ，而事件 包括：含，，的种，含，，的有种，共种，
故 ，所以 ，故正确；
对于，当 时， ，
而“次点数之和大于”包含以下种情况：
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，含，，，的有种，
含，，，的有种，
所以 ，故正确．
故答案为：
练2-3.解：设，，，分别表示，，，号箱子里有奖品，
设，，，分别表示主持人打开，，，号箱子，
则，且，，，两两互斥．
由题意可知，事件，，，的概率都是，
，，，．
由全概率公式，得．
在主持人打开号箱的条件下，号箱、号箱、号箱里有奖品的条件概率分别为：
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选号或号箱．
例6.解：记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，依题意，
，两两互斥，其和为，并且，，，所以
，，，应用全概率公式，有
故答案为
例7.解：设“王同学第i天选择A餐厅”
则，，
，
由全概率公式，得
，解得
设“王同学第天恰好有两天在A餐厅用餐”，
则，
因此
设“王同学第n天选择A餐厅”，则，，
由题与可得，，
由全概率公式，得
则，又因为，
所以是以首项为，公比为的等比数列.
因此，即
练3-1.解：，，
则，，
由全概率公式得：，
则，
所以，
故答案为：．
练3-2.解：因为对立事件是互斥事件，所以A正确
，所以B错误
由全概率公式可知：
，所以C正确
由可知，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
因为且，
所以，所以，
所以是关于的递减数列，
所以，故D正确．
故选：．
1.解：对于选项A，由题意可知： ，故选项A正确；
对于选项B，因为A表示事件“从甲罐取出的球是红球”，
设表示事件“从甲罐取出的球是黑球”，可得 ， ，
，，
，
故选项B正确；
对于选项C，结合选项B可得， ，，，故选项C错误;
对于选项D，结合选项B可得， ，故选项D正确;
故选：
2.解：对于选项A，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，
此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，
因此第二次抽到蓝色球的概率为，故A选项正确；
对于选项B、C，记“第一次抽到红色球”，“第一次抽到黄色球”，
“第一次抽到蓝色球”，“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”，
“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，
“第二次抽到蓝球”，易知，，两两互斥，和为，
，，，，，，故B选项错误；
第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，
所以，
，
，
所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C选项正确；
对于D，将5个不同的小球分成3组每组至少一个按分或按分
再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有种，故D选项正确.
故选：
3.解：设“选到甲袋”为事件，“选到乙袋”为事件，
“摸到红球”为事件，“摸到白球”为事件，
答：首次试验结束的概率为
①因为，是对立事件，
所以
所以，
答：选到的袋子为甲袋的概率为
②若选择方案一，则原来袋子是甲袋的概率为，是乙袋的概率为，
所以方案一中取到红球的概率：

若选择方案二，则另一个袋子是甲袋的概率为，是乙袋的概率为，
所以方案二中取到红球的概率：

因为，所以选择方案二第二次试验结束的概率更大.