2.1 认识实数 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

2.1 认识实数
课时1 无限不循环小数
1．通过拼图活动，感受不是有理数的数产生的实际背景和引入的必要性.
2．借助夹逼法估计不是有理数的数的大致范围，体会无限逼近数学思想.
数和 数统称为有理数.
分数分为 .
整数分为_____________________.
整
分
正整数、0、负整数
正分数、负分数
什么是有理数？
有理数是如何分类的呢？
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如：?1，?2，?3，…
分数
正分数：如 ， ，5.2， …
负分数：如 ， ，?3.5，…
除了有理数外还有没有其他的数？
有
理
数
1
1
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
拼法一：
拼法二：
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
拼法三：
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
(1)设大正方形的边长为 a，a满足什么条件？
S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2，
所以 S大正方形=2；
根据正方形面积公式：S大正方形=a2
所以 a2=2.
分析：一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1.
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
因为 a2=2， 而12=1， 22=4， 32=9…
所以 12所以 a不是整数.
a
a
a
a
从“数”的角度：
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a
根据三角形的三边关系，斜边AB满足：
AC-BC< a 即0C
A
B
1
1
a
取出一个三角形
(2) a可能是整数吗？说说你的理由.
a
a
a
a
从“形”的角度：
(3)a可能是分数吗？说说你的理由.并与同伴进行交流.
， ， …
从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数，
所以 a不是分数.
分析：
活动：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.
2
1
解：(1)设直角三角形的斜边长为b，
根据勾股定理得：b2=12+22=5，
根据正方形面积公式得：S正方形=b2
所以以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5.
b
S
b
b
b
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
尝试·思考
解：(2)因为正方形的边长为b，
根据正方形面积公式得：S正方形=b2
而S正方形=5，得出b2=5
所以b满足 b2=5.
b
b
b
b
S
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
2
1
尝试·思考
解：(3)因为b2=5，4所以b不是整数；
因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数，
而b2=5是整数，所以b不是分数.
b既不是整数，也不是分数，那么b一定不是有理数.
2
1
(1)如右图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
(3)b是有理数吗？
尝试·思考
数a，b确实存在，但都不是有理数.
2
1
b
a2=2
b2=5
a
a
a
a
1
1
1
1
b
b
b
能不能确定一下a的大致范围？
因为 a2=2， 而12=1， 22=4，···
所以 12而1.52=2.25， 2.25＞2
所以a的值一定小于1.5
所以a的大致范围在1~1.5之间.
分析
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
思考·交流
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
面积为2
1
a
2
2
通过观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
借助计算器探索，用表格的形式整理.
a
a的平方
2.25
1.96
2.1025
2.0449
2.0736
2.0164
1.9881
2.002225
1.999396
2.00052736
2.00024449
2.00081025
1.4
1.5
1.45
1.44
1.43
1.42
1.41
1.415
1.414
1.4145
1.4144
1.4143
边长a
面积S
1< a <2
1< S <4
1.4< a <1.5
1.96< S <2.25
1.41< a <1.42
1.9881< S <2.0164
1.414< a <1.415
1.999396< S <2.002225
1.4142< a <1.4143
1.99996164< S <2.00024449
a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4.
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？
假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，
而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.
(3)面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？
利用刚刚的方法可以算得：b=2.236067977…，
它不是有限小数.
在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数.
在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数.
a ，b都不是整数，也不是分数，是无限不循环小数.
因为1 因为两个相同最简分数的乘积仍然是分数，
而h2=3是整数.
所以h不是分数.
例 如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
2
h
A
B
C
D
解：因为△ABC是等边三角形，AD ⊥BC
所以D是BC的中点，且BC=2
所以BD=CD=1
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
h2=22 -12=4-1=3
h不可能是整数，也不可能是分数.
典型例题
不是有理数的数
如果一个数既不是整数，也不是分数，那么这个数一定不是有理数.
若a2=2，b2=5，则数a，b确实存在，但都不是有理数.
如何判断一个数是否为有理数：
注意：
解析：因为a2=17， 而42=16， 52=25， 62=36···
所以 42因为 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=17是整数，
所以a不是分数.
所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.故选D.
1.已知a2=17，则a是(　　)
A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数
D
2. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　)
A. 面积为25的正方形 B. 面积为425的正方形
C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形
?
解析：假设正方形边长为a，
选项A：面积为25的正方形的边长是5，而5是有理数，排除A选项；
选项B：面积为425的正方形的边长是25，而25是有理数，排除B选项；
选项C：面积为8的正方形中的边长满足：S正方形=a2=8，
因为 a2=8， 而22=4， 32=9， 42=16···
所以 22?
C
因为 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=8是整数，
所以a不是分数.
所以a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.
选项D：面积为1.44的正方形的边长是1.2，而1.2是有理数，排除D选项；故选C.
2. 以下各正方形的边长不是有理数的是(　　)
A. 面积为25的正方形 B. 面积为425的正方形
C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形
?
C



3.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.
解析：如图：AB=1，AD=3，
根据勾股定理：AE2=32+42=25，AE=5，
所以线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段.
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}
B
A
D
E
C
根据勾股定理得：AC2=12+12=2，AC2=2，因为 1因为两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2，
所以 AC不是分数，即AC为长度不是有理数的线段.同理可得：BE，CD为长度不是有理数的线段.
2.1 认识实数
课时2 实数
1.了解无理数的基本概念。
2.了解实数的意义，能对实数按要求分类。
3.了解实数范围内相关概念的意义。
4.了解实数与数轴上点的一一对应关系，能用数轴上的点表示
无理数。
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
不是有理数的数都是无限不循环小数吗？
3， ， ， ， 。
4
5
5
9
8
45
2
11
= 0.8
= 0.5
·
= 0.18
· ·
= －0.17
·
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
3 = 3.0
如圆周率 π = 3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数.
再如 0.585 885 888 588 885…（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1）也是无理数.
而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.
无限不循环小数称为无理数.
归纳总结
无理数和有理数的区别：
{5A111915-BE36-4E01-A7E5-04B1672EAD32}有理数
无理数
是有限小数或无限循环小数
都能写成分数的形式（整数可以写成分母是 1 的分数）
是无限不循环小数
不能写成分数的形成
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两
个 1 之间 0 的个数逐次加 2）.
例
有理数
无理数
有理数和无理数统称实数
3.14， ， ，0.101 000 100 000 1…（相邻两
个 1 之间 0 的个数逐次加 2）.
（1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。
正数集合
负数集合
尝试·思考
（2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？
①按概念分类：
②按性质符号分类：
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
正无理数
负无理数
实数
正实数
负实数
正有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
负有理数
负无理数
0
正无理数
尝试·思考
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}名称
表示
性质
相反数
绝对值
倒数
实数 a 的相反数是 －a
a，b互为相反数 a+b=0
实数 a 的绝对值表示为 |a|
（2）|a| ≥ 0
（3）| a | = | －a |
a与 互为倒数（其中 a ≠ 0）
1
a
（1）|a|=
a（a>0）
0（a=0）
－a（a<0）
（2）正数的倒数是正数，负数
的倒数是负数，0没有倒数
（1）ab互为倒数 ab=1
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？你能在数轴上找到表示无理数的点吗？
前面讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a2=2，b2 = 5.
（1）如图，OA = OB，数轴上点 A 对应 a，b 中的哪个数？
0
1
2
3
－1
1
B
A
思考·交流
（2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。
0
1
2
3
－1
1
C
D
思考·交流
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的.
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
归纳总结
1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
0.4583，3.7，－π，－ ，18。
.
1
7
有理数
无理数
2. 比较 －3.14 与 －π 的大小。
π = 3.141 592 65…
3.14 < π
－3.14 > －π
3. a 是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？
若 a ≠ 0，则它的倒数如何表示？
a 是一个实数，它的相反数为－a，
a，a > 0
0，a = 0
－a，a < 0
它的绝对值为
若 a ≠ 0，则它的倒数为 。
1
a
认识实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样
实数与数轴上的点一一对应