(共74张PPT)
2.2 充分条件、必要条件、充要条件
探究点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
探究点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
探究点三 根据充要条件求参数
探究点四 判定定理、性质定理与充分、必要条件
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能结合具体命题理解充分条件、必要条件和充要条件的意义.
2.能结合典型数学命题理解判定定理与充分条件、性质定理与必
要条件、数学定义与充要条件的关系.
知识点一 充分条件与必要条件
1.一般地,当命题“若,则”为真命题时,我们就说“由可以推出 成立”,
记作_______,读作“推出 ”；
如果命题“若,则”为假命题,就说“由不能推出 成立”,记作_______,
读作“不能推出 ”.
2.定义：如果“”，那么称是的__________，也称是 的
___________.
充分条件
必要条件
【诊断分析】
判断正误.（在括号内打“√”或“×”）
（1）“”是“ ”的充分条件.( )
×
[解析] 当时,不能推出,所以“”不是“ ”
的充分条件.
（2）“”是“ ”的必要条件.( )
√
[解析] 当时,一定有,所以“”是“ ”的必要条件.
判断正误.（在括号内打“√”或“×”）
（3）“”是“ ”的充分条件.( )
×
[解析] 当时,不一定成立,如,但 ，
所以“”不是“ ”的充分条件.
（4）“或”是“ ”的必要条件.( )
√
[解析] 当时,可得或,
所以“或 ”是“ ”的必要条件.
知识点二 充要条件
1.定义：如果,且,那么称是的充分且必要条件,简称为
是的______条件,也称的充要条件是 .
充要
2.“”和“ ”的传递性
如果,,那么 ;
如果,,那么 .
【诊断分析】
判断正误.（在括号内打“√”或“×”）
（1）已知,,,则是 的既不充分又不必要条件.
( )
√
[解析] 因为,，且,,
所以 是 的既不充分又不必要条件.
（2）已知,,,则是 的充要条件.( )
√
[解析] 因为,,且 ,
,所以是 的充要条件.
知识点三 充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系
判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件.性质定理都
给出了相应数学结论成立的一个______条件.
充分
必要
探究点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 下列各题中，哪些是 的充分条件
（1）是完全平方式, ;
解：若是完全平方式,则,所以,
所以 不是 的充分条件.
（2）, ;
解：若,则且 ,
所以,所以,所以是 的充分条件.
例1 下列各题中，哪些是 的充分条件
（3）在中, ,在中， .
解：由三角形的内角和为 可知,若 ,则 ,
因此,所以是 的充分条件.
综上,中是 的充分条件.
例2 下列各题中,哪些是 的必要条件
（1）, ;
解：当时,,所以,所以是 的必要条件.
（2）, ;
解：当时,成立,但是 不成立,
所以,所以不是 的必要条件.
（3）是自然数, 是正整数;
解：0是自然数,但是0不是正整数,所以,所以不是 的必要条件.
例2 下列各题中,哪些是 的必要条件
（4）三角形是等边三角形, 三角形是等腰三角形.
解：等边三角形一定是等腰三角形,所以,所以是 的必要条件.
综上,中是 的必要条件.
变式 下列各题中,哪些是的充分条件 哪些是 的必要条件
（1）, ；
解：若,则,,不是的充分条件.
若 ,则,,是 的必要条件.
（2）四边形是矩形, 四边形的对角线相等.
解：由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即,
是 的充分条件.
四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即,
不是 的必要条件.
综上,（2）中是的充分条件,（1）中是 的必要条件.
［素养小结］
充分条件或必要条件的判断方法：
（1）若
,则
是
的充分条件，
是
的必要条件.
（2）若
对应的集合为
,
对应的集合为
,
,则
是
的充分条
件，
是
的必要条件.
探究点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？
（用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充
分又不必要条件”回答）
（1）若，则 ；
解：当时，不一定成立，但当时， 一定成立，
所以是 的必要且不充分条件.
例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？
（用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充
分又不必要条件”回答）
（2）若,都为无理数，则 为无理数；
解：若,都为无理数，则不一定为无理数，例如 是无理数，但
是有理数.
当为无理数时，,不一定都为无理数，
即 是 的既不充分又不必要条件.
例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？
（用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充
分又不必要条件”回答）
（3）若，则 ；
解：若，则，即.
当 时，不一定成立，即是 的充分且不必要条件.
例3 下列“若,则”形式的命题中，分别是 的什么条件？
（用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充
分又不必要条件”回答）
（4）若，则且 .
解：若，则且不一定成立，
例如当 ，时，，但.
当，时， 一定成立，即是 的必要且不充分条件.
变式 下列各题中，试分别指出是 的什么条件.
（1）是自然数， 是整数；
解：若是自然数，则必是整数，但若是整数，不妨令 ，
则不是自然数，故是 的充分且不必要条件.
（2）,, ;
解：当,时，满足，，但 ，
因此不是的充分条件；
当,时,满足,但 ,,因此不是 的必要条件.
所以是 的既不充分又不必要条件.
变式 下列各题中，试分别指出是 的什么条件.
（3）内错角相等, 两直线平行;
解：由内错角相等,可得到两直线平行,反之,由两直线平行,可得到内
错角相等,故是 的充要条件.
（4）四边形的两条对角线相等, 四边形是等腰梯形.
解：若四边形的两条对角线相等,则四边形可能为等腰梯形，也可能
是矩形；若四边形是等腰梯形,则两条对角线相等.
故是 的必要且不充分条件.
［素养小结］
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若
,则
”以及“若
,则
”的真假.
（2）集合法：利用集合的包含关系判断.
（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由
,可得
;充要条件也有传递性.
拓展 已知两个关于的一元二次方程 和
,求两方程的根都是整数的充要条件.
解：因为是一元二次方程,所以 ，
又另一个方程为 ,且两方程都有实根,
所以解得 .
综上可得且 .
因为两方程的根都是整数,所以其根的和与积也为整数,所以
所以或或 或1.
当时，第一个方程可化为 ，该方程的根不是
整数，不符合题意；
当时,第一个方程可化为 ,该方程的根不是整数，
不符合题意；
当 时,第一个方程可化为，该方程的根不是整数，
不符合题意;
当 时,易知两方程的根均为整数.
所以两方程的根都是整数的充要条件是 .
探究点三 根据充要条件求参数
例4 ［2025·江苏泰州二中高一月考］已知集合 ,
非空集合，是否存在实数 ，使得“
”是“ ”的________？
（1）把“充分且不必要条件”补充在上面问题中的横线部分，若问题中
的实数存在，求出的取值范围；若问题中的 不存在，请说明理由.
解：因为“”是“”的充分且不必要条件，
所以集合 是集合的真子集，
又， ，
所以解得，所以存在满足题意的实数，且 的
取值范围为 .
例4 ［2025·江苏泰州二中高一月考］已知集合 ,
非空集合，是否存在实数 ，使得“
”是“ ”的________？
（2）把“必要且不充分条件”补充在上面问题中的横线部分，若问题中
的实数存在，求出的取值范围；若问题中的 不存在，请说明理由.
解：因为“”是“”的必要且不充分条件，所以集合 是集合
的真子集，
又 ，可得解得 .
变式（1）［2025·江苏盐城中学高一月考］已知 ，
，若是的充分且不必要条件，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由是 的充分且不必要条件，
得，则 ，故选B.
√
（2）［2025·江苏扬大附中高一月考］设全集 ，已知集合
，.若 不是空集，
设；，且是的必要且不充分条件，则实数 的取
值范围是______.
[解析] 因为不是空集，所以，则.
因为是 的必要且不充分条件，所以是的真子集，
即 且等号不能同时取得，解得，
经验证当 时符合题意，则实数的取值范围是 .
［素养小结］
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、
必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包
含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解，有时还需要
借助数轴解决问题.
探究点四 判定定理、性质定理与充分、必要条件
例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半为性质定理.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；
解：有两个角互余的三角形是直角三角形为判定定理.
（3）菱形的对角线互相垂直；
解：菱形的对角线互相垂直为性质定理.
例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理：
（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
解：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似为判定定理.
（5）三边对应成比例的两个三角形相似；
解：三边对应成比例的两个三角形相似为判定定理.
（6）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
解：相似三角形的面积比等于相似比的平方为性质定理.
变式 判断下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，
写出其中涉及的充分条件或必要条件：
（1）形如是常数 的函数是二次函数；
解：该命题可以看成一个判定定理，因此“形如
是常数 的函数”是“函数是二次函数”的充分条件.
（2）菱形的对角线互相平分.
解：该命题可以看成一个性质定理，因此“四边形对角线互相平分”
是“四边形是菱形”的必要条件.
［素养小结］
（1）区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结
论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征，若定理阐述了
结论成立的依据，则是判定定理，否则是性质定理.
（2）判定定理可用充分条件的语言来表述，性质定理可用必要条件
的语言来表述.
1.对充分条件的理解
（1）“是的充分条件”的等价说法:①“若,则”为真命题; ;
是 的必要条件.
（2）充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当具备此条件时,就
可以得出此结论;当不具备此条件时,结论也有可能成立.例如,
,但是,当时,也可以成立,故“ ”是“
”的充分条件.
2.对必要条件的理解
（1）“是的必要条件”的等价说法:①“若,则”为真命题; ;
是 的充分条件.
（2）必要条件是在充分条件的基础上得出的.真命题的条件是结论成
立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结
论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
3.对充要条件的理解：利用集合间的包含关系判断.设 满足
，满足
若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是
的必要条件或是的充分条件；若且，即，则 是
的充要条件.
4.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
（1）若，则称是的充分条件，是 的必要条件.
（2）若，则是 的充要条件.
（3）若，但，则称是 的充分且不必要条件.
（4）若，但，则称是 的必要且不充分条件.
（5）若，且，则称是 的既不充分又不必要条件.
5.从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即 满足
，满足 .
（1）若，则是 的充分条件.
（2）若，则是 的必要条件.
（3）若，则是 的充要条件.
（4）若，则是 的充分且不必要条件.
（5）若，则是 的必要且不充分条件.
（6）若不包含于且不包含于，则是 的既不充分又不必要条件.
6.“ ”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即， ，则有
，即是 的充要条件.
充要条件的证明与探求：
（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两
种叙述方式的区别.
①是的充要条件，则证的是充分性， 证的是必要性；
②的充要条件是，则证的是必要性， 证的是充分性.
（2）探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；如果能保证
每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
例1 求证：的内心与外心重合是 是正三角形的充要条件.
证明：充分性：如图，设点既是 的外心，也是
的内心，，，的延长线分别交 ，
，于点，， .
由是的外心可得，，分别是，， 的中点，且
，所以.
由是的内心可得， 分别是，的平分线，
则 ,同理可得,则，
即 是正三角形，故充分性成立.
必要性：当 是正三角形时，角平分线所在直线和
三边的中垂线所在直线重合，则其内心和外心必重合，
故必要性成立.
综上，的内心与外心重合是 是正三角形的充要条件.
例2 ［2025·江苏泰州高一期中］已知集合 ,
，, .
（1）当时，求 .
解：当时， ，
因为，所以 .
例2 ［2025·江苏泰州高一期中］已知集合 ,
，, .
（2）在“充分条件”“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面
问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“ ”的____？
若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：方法一：选充分条件，有 ,
， ，
则解得，所以实数的取值范围是 .
方法二：选必要条件，有, ，
，
则方程组无解，所以实数 不存在.
练习册
1.若，则“”是“ ”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
[解析] 由，得，所以充分性不成立；
由 ，得，所以必要性成立.
所以“”是“ ”的必要条件.
√
2.［2025·江苏连云港高级中学高一月考］“”是“ ”
的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 当时，一定有 ，充分性成立；
当时，如时，不满足 ，即必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分且不必要条件.故选A.
√
3.［2024·天津河北区高一期中］“两个三角形相似”是“两个三角形的
三边对应成比例”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 由“两个三角形相似”可得“两个三角形的三边对应成比例”，
即充分性成立；
反之，由“两个三角形的三边对应成比例”可得“两个三角形相似”，
即必要性成立.
所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.
故选C.
√
4.［2024·河南开封高一期中］已知集合, ,
,，则“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 因为,,,，所以 ，
所以“”是“ ”的必要且不充分条件，故选B.
√
5.［2025·江苏南京高一期中］已知命题，若命题 是命
题的必要条件，则命题 可以为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，对照选项，当满足 时，必满足
.故选C.
√
6.［2024·江苏常州一中高一期中］下列条件中，是“ ”的
必要且不充分条件的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，解得.对于A，“ ”是
“”的充要条件，A错误；
对于B，“ ”是“”的必要且不充分条件，B正确；
对于C，“ ”是“”的充分且不必要条件，C错误；
对于D，“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件，D错误.
故选B.
√
7.［2025·江苏海安中学高一月考］已知为实数，则“ ”是“
”的______________条件.（请填“充分且不必要”“必要且不充
分”“充要”“既不充分又不必要”中的一个）
充分且不必要
[解析] 由可以推出；
由可得 ，不能推出.
故“”是“ ”的充分且不必要条件.
8.抛物线关于直线对称的充要条件是 ____.
[解析] 由抛物线关于直线对称,可得 ;
反之也成立.
所以抛物线关于直线 对称的充要条件是 .
9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件.
（1）， ；
解：因为，但，
所以是 的必要且不充分条件.
（2）是直角三角形， 是等腰三角形；
解：因为是直角三角形是等腰三角形， 是等腰
三角形是直角三角形，所以是 的既不充分又不必要条件.
9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件.
（3）四边形的对角线互相平分， 四边形是矩形；
解：因为四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，但四边形是矩
形 四边形的对角线互相平分，所以是 的必要且不充分条件.
（4）, ;
解：因为,所以是 的充要条件.
9.（13分）下列各题中，分别判断是 的什么条件.
（5）有两个不等的实数根, .
解：由 有两个不等的实数根,
知且,得且,则 ;
反之,当时,方程只有一个实数根,即,
所以是 的充分且不必要条件.
10.（13分）［2024·江苏无锡高一期中］ 已知非空集合
， .
（1）若，求 ；
解：当时，，所以或 ，
又，
所以 或 .
10.（13分）［2024·江苏无锡高一期中］ 已知非空集合
， .
（2）若“”是“”的充分且不必要条件，求实数 的取值范围.
解：因为“”是“”的充分且不必要条件，所以，
又 是非空集合，所以且
（等号不同时成立），解得 ，
所以实数的取值范围为 .
11.［2024·重庆八中高一月考］已知是的充分条件，是 的充分且
不必要条件，是的必要条件，是 的必要条件，现有下列命题：
是的必要且不充分条件；是的充分且不必要条件；是
的充分且不必要条件；是 的充要条件.其中所有的真命题是
( )
A.①④ B.②③ C.③ D.④
√
[解析] 因为是的充分条件，所以.因为是 的充分且不必要
条件，所以，.因为是的必要条件，所以.因为 是
的必要条件，所以.
由,,可得 ,则是的充要条件,①为假命题；
是 的充要条件，②为假命题；
因为，，所以，，故是 的充分且不必要条
件，③为真命题；
易得，，所以是 的必要且不充分条件，④为假命题.
故选C.
12.已知集合,, 不是空
集，若“”是“”的充分且不必要条件，则实数 的取值范围
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由“”是“”的充分且不必要条件，得是 的非空真
子集，则（其中与 的等号不同时
成立），可得
当时，符合题意，所以实数 的取值范围为 .
故选C.
13.（多选题）下列选项中，是 的充要条件的是( )
A.，
B.，
C.，关于的方程 有实数根
D.或，
√
√
[解析] 对于A，易知或，且，则 ，
所以不是的充要条件;
对于B，由知，, 要么同为正数,要么同为负数,
要么至少有一个为零,均满足,故是 的充要条件;
对于C，因为关于的方程 有实数根,
所以,即,所以是的充要条件;
对于D，因为 , 所以不是的充要条件.
故选 .
14.［2024·福州一中高一期中］已知方程 至少有
一个负实根，若为真命题的一个必要且不充分条件为 ，
则实数 的取值范围是_______.
[解析] 方程至少有一个负实根，若 为真命题，
则当时，由,得，符合题意.
当 时，，设方程的两个实根分
别为， ，则,，则此时方程
有一个正根和一个负根，符合题意.
当时，若 ，则 ，此时方程为
,解得 ，符合题意；
若，则，设方程 的两个实
根分别为，，则, ，则此时方
程有两个负根，符合题意.
综上所述，当 为真命题时，的取值范围是.
因为 为真命题的一个必要且不充分条件为,所以,
解得 .
15.已知集合点不在第一、三象限， ，集
合，若“”是“”的必要条件，则实数 的
取值范围是__________.
[解析] 由“”是“”的必要条件，得.又 中元素为整数，
故只可能为，，.由点 不在第一、三象限，
得或 则或.
当时,①无解,由②得 ，此时，，
故，则；
当 时，，则，满足题意；
当 时，②无解，由①得，此时,，
因为， ，所以.
综上，实数的取值范围是 .
16.（15分）设，，分别是的内角,， 所对的边，且
，则“为直角三角形”的充要条件是“ ”.试
用边长，，探究 为锐角三角形的一个充要条件，并证明.
解：为锐角三角形的充要条件为 .
证明：充分性：若，则 不是直角三角形.
假设为钝角三角形，则 ，
过作的延长线的垂线，垂足为 （如图①），由勾股定理知
，与 矛盾，故假设不成立， 为锐角三角形，充分性成立.
必要性：过点作边的垂线，垂足为 （如图②），
由勾股定理知，
.故必要性成立.
故 为锐角三角形的充要条件为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
2.充分条件 必要条件【诊断分析】（1）× （2）√ （3）× （4）√
知识点二 1.充要 【诊断分析】 （1）√ （2）√ 知识点三 充分 必要
课中探究 例1
中
是
的充分条件 例2
中
是
的必要条件
变式 （2）中
是
的充分条件,（1）中
是
的必要条件
例3 （1）必要且不充分条件（2）既不充分又不必要条件（3）充分且不必要条件 （4）必要且不充分条件
变式 （1）充分且不必要条件. （2）
既不充分又不必要条件 （3）充要条件 （4）必要且不充分条件
拓展 两方程的根都是整数的充要条件是/m>
例4 （1） （2） 变式 （1）B （2）
探究点四 判定定理、性质定理与充分、必要条件
例5 （1）性质定理 （2）判定定理 （3）性质定理 （4）判定定理
（5）判定定理 （6）性质定理
变式 （1）解：该命题可以看成一个判定定理，因此“形如是常数的函数”是“函数是二次函
数”的充分条件.
（2）该命题可以看成一个性质定理，因此“四边形对角线互相平分”是“四边形是菱形”的必要条件.
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.充分且不必要 8.
9.（1）必要且不充分条件 （2）既不充分又不必要条件
（3）必要且不充分条件 （4）充要条件 （5）充分且不必要条件
10.（1） 或 （2）
11.C 12.C 13.BC 14.
15.
16.为锐角三角形的充要条件为.证明略2.2 充分条件、必要条件、充要条件
【课前预习】
知识点一
1.p q p / q 2.充分条件 必要条件
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)当x=y<0时,不能推出=,所以“x=y”不是“=”的充分条件.
(2)当b=0时,一定有ab=0,所以“ab=0”是“b=0”的必要条件.
(3)当x2>1时,x>1不一定成立,如(-2)2>1,但-2<1,所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件.
(4)当x2-3x+2=0时,可得x=1或x=2,所以“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件.
知识点二
1.充要
诊断分析
(1)√ (2)√ [解析] (1)因为x>0,y>0 / xy<0,且xy<0 / x>0,y>0,所以p是q的既不充分又不必要条件.
(2)因为x=0,y=0 x2+y2=0,且x2+y2=0 x=0,y=0,所以p是q的充要条件.
知识点三
充分 必要
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)若4x2-mx+9是完全平方式,则m=±12,所以p / q,所以p不是q的充分条件.
(2)若(x-1)2+(y-2)2=0,则x=1且y=2,所以(x-1)(y-2)=0,所以p q,所以p是q的充分条件.
(3)由三角形的内角和为180°可知,若A+B=90°,则C=90°,因此p q,所以p是q的充分条件.
综上,(2)(3)中p是q的充分条件.
例2 解:(1)当x=1时,x-1==0,所以p q,所以q是p的必要条件.
(2)当x=-2时,-2≤x≤5成立,但是-1≤x≤5不成立,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(3)0是自然数,但是0不是正整数,所以p / q,所以q不是p的必要条件.
(4)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.综上,(1)(4)中q是p的必要条件.
变式 解:(1)若A∩B=A,则A B,∴p / q,∴p不是q的充分条件.若A B,则A∩B=A,∴q p,∴p是q的必要条件.
(2)由四边形是矩形,可得四边形的对角线相等,即p q,∴p是q的充分条件.∵四边形的对角线相等不能推出四边形是矩形,即q / p,∴p不是q的必要条件.
综上,(2)中p是q的充分条件,(1)中p是q的必要条件.
探究点二
例3 解:(1)当x2=1时,x=1不一定成立,但当x=1时,x2=1一定成立,所以p是q的必要且不充分条件.
(2)若x,y都为无理数,则xy不一定为无理数,例如是无理数,但×=2是有理数.当xy为无理数时,x,y不一定都为无理数,即p是q的既不充分又不必要条件.
(3)若a2+b2=0,则a=b=0,即a+b=0.当a+b=0时,a2+b2=0不一定成立,即p是q的充分且不必要条件.
(4)若a+b>4,则a>2且b>2不一定成立,例如当a=1,b=8时,a+b>4,但a<2.当a>2,b>2时,a+b>4一定成立,即p是q的必要且不充分条件.
变式 解:(1)若x是自然数,则x必是整数,但若x是整数,不妨令x=-1,则x不是自然数,故p是q的充分且不必要条件.
(2)当x=-2,y=-3时,满足x<1,y<1,但xy=6>1,因此p不是q的充分条件;当x=2,y=-3时,满足xy<1,但x>1,y<1,因此p不是q的必要条件.
所以p是q的既不充分又不必要条件.
(3)由内错角相等,可得到两直线平行,反之,由两直线平行,可得到内错角相等,故p是q的充要条件.
(4)若四边形的两条对角线相等,则四边形可能为等腰梯形,也可能是矩形;若四边形是等腰梯形,则两条对角线相等.
故p是q的必要且不充分条件.
拓展 解:因为mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0,
又另一个方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都有实根,所以解得-≤m≤1.综上可得-≤m≤1且m≠0.
因为两方程的根都是整数,所以其根的和与积也为整数,所以所以m=-1或-或或1.
当m=-时,第一个方程可化为x2+8x-8=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=时,第一个方程可化为x2-8x+8=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=-1时,第一个方程可化为x2+4x-4=0,该方程的根不是整数,不符合题意;当m=1时,易知两方程的根均为整数.
所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1.
探究点三
例4 解:(1)因为“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,所以集合A是集合B的真子集,又A={x|-3(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,所以集合B是集合A的真子集,
又B≠ ,可得解得≤m<2.
变式 (1)B (2)[2,3] [解析] (1)由p是q的充分且不必要条件,得{x|-1≤x<2} {x|x(2)因为B不是空集,所以m+1≤2m-1,则m≥2.因为p是q的必要且不充分条件,所以B是A的真子集,即且等号不能同时取得,解得-3≤m≤3,经验证当m=3时符合题意,则实数m的取值范围是[2,3].
探究点四
例5 解:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半为性质定理.
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形为判定定理.
(3)菱形的对角线互相垂直为性质定理.
(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似为判定定理.
(5)三边对应成比例的两个三角形相似为判定定理.
(6)相似三角形的面积比等于相似比的平方为性质定理.
变式 解:(1)该命题可以看成一个判定定理,因此“形如y=x2+bx(b是常数)的函数”是“函数是二次函数”的充分条件.
(2)该命题可以看成一个性质定理,因此“四边形对角线互相平分”是“四边形是菱形”的必要条件.2.2 充分条件、必要条件、充要条件
1.B [解析] 由a2=1,得a=±1,所以充分性不成立;由a=1,得a2=1,所以必要性成立.所以“a2=1”是“a=1”的必要条件.
2.A [解析] 当03.C [解析] 由“两个三角形相似”可得“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C.
4.B [解析] 因为A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},所以B A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,故选B.
5.C [解析] 由题意得q p,对照选项,当x满足-36.B [解析] 由|x-1|<2,解得-17.充分且不必要 [解析] 由x=2可以推出x2=4;由x2=4可得x=±2,不能推出x=2.故“x=2”是“x2=4”的充分且不必要条件.
8.-2 [解析] 由抛物线y=x2+mx+1关于直线x=1对称,可得m=-2;反之也成立.所以抛物线y=x2+mx+1关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
9.解:(1)因为|x|=|y| / x=y,但x=y |x|=|y|,所以p是q的必要且不充分条件.
(2)因为△ABC是直角三角形 / △ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形 / △ABC是直角三角形,所以p是q的既不充分又不必要条件.
(3)因为四边形的对角线互相平分 / 四边形是矩形,但四边形是矩形 四边形的对角线互相平分,所以p是q的必要且不充分条件.
(4)因为A∪B=A A∩B=B,所以p是q的充要条件.
(5)由ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,则p q;反之,当a=0时,方程ax2+2x-1=0只有一个实数根,即q / p,所以p是q的充分且不必要条件.
10.解:(1)当a=3时,A={x|2≤x≤4},所以 RA={x|x<2或x>4},又B={x|-2≤x≤5},所以( RA)∩B={x|-2≤x<2或4(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,所以A B,又A是非空集合,所以a-1≤6a-14且
(等号不同时成立),解得≤a≤,
所以实数a的取值范围为≤a≤.
11.C [解析] 因为p是r的充分条件,所以p r.因为q是r的充分且不必要条件,所以q r,r / q.因为s是r的必要条件,所以r s.因为p是s的必要条件,所以s p.由p r,r s,s p可得p r s,则r是p的充要条件,①为假命题;r是s的充要条件,②为假命题;因为q r,r / q,所以q p,p / q,故q是p的充分且不必要条件,③为真命题;易得s / q,q s,所以s是q的必要且不充分条件,④为假命题.故选C.
12.C [解析] 由“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件,得B是A的非空真子集,则(其中-m+3≥1与2m≤4的等号不同时成立),可得当m=1时,B={2}符合题意,所以实数m的取值范围为1≤m<2.故选C.
13.BC [解析] 对于A,易知p:a=0或b=0,q:a=0且b=0,则p /q,所以p不是q的充要条件;对于B,由|x|+|y|=|x+y|知,x,y要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,均满足xy≥0,故p是q的充要条件;对于C,因为关于x的方程x2-x-m=0有实数根,所以Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以p是q的充要条件;对于D,因为p /q,所以p不是q的充要条件,故选BC.
14.m>0 [解析] p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题,则当a=0时,由2x+1=0,得x=-,符合题意.当a<0时,Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=->0,x1x2=<0,则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意.当a>0时,若Δ=4-4a=0,则a=1,此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1,符合题意;若Δ=4-4a>0,则00,则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意.综上所述,当p为真命题时,a的取值范围是a≤1.因为p为真命题的一个必要且不充分条件为a≤m+1,所以m+1>1,解得m>0.
15.0则①或②.当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x|a≤x≤1,x∈Z},故A={1},则01时,②无解,由①得1≤x≤a,此时A={x|1≤x≤a,x∈Z},因为1∈A,3 A,所以116.解:△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2.
证明:充分性:若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三角形.
假设△ABC为钝角三角形,则∠C>90°,
过B作AC的延长线的垂线,垂足为D(如图①),由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+2·CD·b=a2+b2+2·CD·b>a2+b2,与a2+b2>c2矛盾,
故假设不成立,△ABC为锐角三角形,充分性成立.
必要性:过点A作边BC的垂线,垂足为D(如图②),
由勾股定理知,c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2-CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·ac2.2.2 充分条件、必要条件、充要条件
【学习目标】
1.能结合具体命题理解充分条件、必要条件和充要条件的意义.
2.能结合典型数学命题理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.
◆ 知识点一 充分条件与必要条件
1.一般地,当命题“若p,则q”为真命题时,我们就说“由p可以推出q成立”,记作 ,读作“p推出q”;
如果命题“若p,则q”为假命题,就说“由p不能推出q成立”,记作 ,读作“p不能推出q”.
2.定义:如果“p q”,那么称p是q的 ,也称q是p的 .
【诊断分析】 判断正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x=y”是“=”的充分条件. ( )
(2)“ab=0”是“b=0”的必要条件. ( )
(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件. ( )
(4)“x=1或x=2”是“x2-3x+2=0”的必要条件. ( )
◆ 知识点二 充要条件
1.定义:如果 p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的 条件,也称q的充要条件是p.
2.“ ”和“ ”的传递性
如果p q,q s,那么p s;
如果p q,q s,那么p s.
【诊断分析】 判断正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)已知p:x>0,y>0,q:xy<0,则p是q的既不充分又不必要条件. ( )
(2)已知p:x=0,y=0,q:x2+y2=0,则p是q的充要条件. ( )
◆ 知识点三 充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系
判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件.
◆ 探究点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
例1 下列各题中,哪些p是q的充分条件
(1)p:4x2-mx+9是完全平方式,q:m=12;
(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0;
(3)p:在△ABC中,A+B=90°,q:在△ABC中,C=90°.
例2 下列各题中,哪些q是p的必要条件
(1)p:x=1,q:x-1=;
(2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5;
(3)p:a是自然数,q:a是正整数;
(4)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
变式 下列各题中,哪些p是q的充分条件 哪些p是q的必要条件
(1)p:A∩B=A,q:A B;
(2)p:四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.
[素养小结]
充分条件或必要条件的判断方法:
(1)若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p对应的集合为A,q对应的集合为B,A B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
◆ 探究点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例3 下列“若p,则q”形式的命题中,p分别是q的什么条件 (用“充要条件”“充分且不必要条件”“必要且不充分条件”或“既不充分又不必要条件”回答)
(1)若x2=1,则x=1;
(2)若x,y都为无理数,则xy为无理数;
(3)若a2+b2=0,则a+b=0;
(4)若a+b>4,则a>2且b>2.
变式 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件.
(1)p:x是自然数,q:x是整数;
(2)p:x<1,y<1,q:xy<1;
(3)p:内错角相等,q:两直线平行;
(4)p:四边形的两条对角线相等,q:四边形是等腰梯形.
[素养小结]
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:利用集合的包含关系判断.
(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … p,可得p1 p;充要条件也有传递性.
拓展 已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两方程的根都是整数的充要条件.
◆ 探究点三 根据充要条件求参数
例4 [2025·江苏泰州二中高一月考] 已知集合A={x|-3(1)把“充分且不必要条件”补充在上面问题中的横线部分,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.
(2)把“必要且不充分条件”补充在上面问题中的横线部分,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.
变式 (1)[2025·江苏盐城中学高一月考] 已知p:-1≤x<2,q:xA.a<2 B.a≥2
C.a>-1 D.-1(2)[2025·江苏扬大附中高一月考] 设全集U=R,已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.若B不是空集,设p:x∈A;q:x∈B,且p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围是 .
[素养小结]
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,有时还需要借助数轴解决问题.
◆ 探究点四 判定定理、性质定理与充分、必要条件
例5 指出下列定理是判定定理还是性质定理:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形;
(3)菱形的对角线互相垂直;
(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
(5)三边对应成比例的两个三角形相似;
(6)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
变式 判断下述命题是否可以看成判定定理或性质定理,如果可以,写出其中涉及的充分条件或必要条件:
(1)形如y=x2+bx(b是常数)的函数是二次函数;
(2)菱形的对角线互相平分.
[素养小结]
(1)区分一个定理是判定定理还是性质定理关键是看定理阐述了结论成立的依据还是揭示了一个研究对象的某个特征,若定理阐述了结论成立的依据,则是判定定理,否则是性质定理.
(2)判定定理可用充分条件的语言来表述,性质定理可用必要条件的语言来表述.2.2 充分条件、必要条件、充要条件
1.若a∈R,则“a2=1”是“a=1”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
2.[2025·江苏连云港高级中学高一月考] “0A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.[2024·天津河北区高一期中] “两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.[2024·河南开封高一期中] 已知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N},则“x∈A”是“x∈B”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.[2025·江苏南京高一期中] 已知命题p:-3A.-3≤x≤1 B.x<1
C.-36.[2024·江苏常州一中高一期中] 下列条件中,是“|x-1|<2”的必要且不充分条件的是 ( )
A.-1C.07.[2025·江苏海安中学高一月考] 已知x为实数,则“x=2”是“x2=4”的 条件.(请填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一个)
8.抛物线y=x2+mx+1关于直线x=1对称的充要条件是m= .
9.(13分)下列各题中,分别判断p是q的什么条件.
(1)p:|x|=|y|,q:x=y;
(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形;
(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形;
(4) p:A∪B=A, q:A∩B=B;
(5)p:ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,q:a>-1.
10.(13分)[2024·江苏无锡高一期中] 已知非空集合A={x|a-1≤x≤6a-14},B={x|-2≤x≤5}.
(1)若a=3,求( RA)∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,求实数a的取值范围.
11.[2024·重庆八中高一月考] 已知p是r的充分条件,q是r的充分且不必要条件,s是r的必要条件,p是s的必要条件,现有下列命题:①r是p的必要且不充分条件;②r是s的充分且不必要条件;③q是p的充分且不必要条件;④s是q的充要条件.其中所有的真命题是 ( )
A.①④ B.②③
C.③ D.④
12.已知集合A={x|1≤x≤4},B={x|-m+3≤x≤2m},B不是空集,若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件,则实数m的取值范围为 ( )
A.m<2 B.m≤2
C.1≤m<2 D.1≤m≤2
13.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的是 ( )
A.p:ab=0,q:a2+b2=0
B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|
C.p:m≥-,q:关于x的方程x2-x-m=0有实数根
D.p:x>2或x<-1,q:x<-1
14.[2024·福州一中高一期中] 已知p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要且不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是 .
15.已知集合A={x|点(x-1,x-a)不在第一、三象限,x∈Z},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是 .
16.(15分)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a≤b≤c,则“△ABC为直角三角形”的充要条件是“a2+b2=c2”.试用边长a,b,c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件,并证明.