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2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题
的否定
探究点一 全称量词命题的否定
探究点二 存在量词命题的否定
探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
知识点一 全称量词命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量词命 题 对中任意一个 ， 有 成立 _____________ ，____
_________
常见全称量词的否定：“任意”的否定是“存在”，“所有”的否定是“不都”.
，
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平
行四边形”.( )
×
[解析] “所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四
边形”.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）“实数的平方是正数”的否定是“有些实数的平方不是正数”.( )
√
[解析] “实数的平方是正数”的否定是“有些（或存在）实数的平方不
是正数”.
（3）“,”的否定是“, ”.
( )
×
[解析] 量词改变,结论否定，但条件不能变.
知识点二 存在量词命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
存在量词 命题 存在中的一个 ， 使 成立 ， ，
常见存在量词的否定：“存在”的否定是“任意”，“有”的否定是“所有”.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“有些实数的绝对值是正数”的否定是“, ”.( )
√
[解析] 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词
命题,而命题的否定只否定结论.
（2）“，”与“， ”的真假性相反.( )
√
[解析] 存在量词命题与其否定一真一假.
（3）从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“ ”同时否定.( )
×
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“ ”进行否定,
而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）所有能被7整除的整数都是奇数;
解：该命题的否定:存在一个能被7整除的整数不是奇数.真命题.
（2）每一个四边形的四个顶点都共圆；
解：该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．真命题.
（3）对任意， 的个位数字都不等于1;
解：该命题的否定：存在， 的个位数字等于1.真命题.
例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（4）对任意的，一元二次方程 都有实数根.
解：该命题的否定：存在，使一元二次方程 没有
实数根.
因为，所以，所以对任意的 ，一元
二次方程 都有实数根，所以原命题的否定为假命题.
变式 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）三角形的内角和为 ；
解：真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为 ，即存在一
个三角形的内角和不等于 .
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
解：假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
（3）对任意的,一元二次方程 都必有实数根.
解：真命题.命题的否定:存在,使一元二次方程
无实数根.
［素养小结］
（1）对全称量词命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，
没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词；②对原命题
的结论进行否定.
（2）判定全称量词命题“
，
”是真命题，需要对集合
中
的每个元素
，证明
成立；要判定一个全称量词命题是假命题，
只要举出集合
中的一个特殊值
，使
不成立即可.要判定存在量
词命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个
，使
成立
即可，否则就是假命题.
探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（1）， ;
解：该命题的否定:，.
因为当 时, ,所以为假命题.
（2）， ；
解：该命题的否定：，.
因为当 时, ，所以为假命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
（3）有些分数不是有理数.
解：该命题的否定:一切分数都是有理数.为真命题.
变式 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）存在一个实数，它的绝对值不是正数;
解：该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题.
（2）有些三角形是等边三角形；
解：该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
（3）， .
解：该命题的否定：， .真命题.
［素养小结］
存在量词命题的否定，是在否定结论
的同时，改变量词的属性，
即将存在量词改为全称量词.
探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 已知，， ，
.
（1）若为假命题，求实数 的取值范围；
解：若为假命题，则为真命题，即在 上恒成立，所
以在 上恒成立，
即实数的取值范围是 .
例3 已知，， ，
.
（2）若和均为真命题，求实数 的取值范围.
解：当为真命题时，， ，
所以，解得或，
因为 为真命题，所以.
由（1）可知，当为真命题时， .
综上，实数的取值范围是 .
变式（1）若“，”为假命题，则 的值可以是
( )
A.5 B.3 C.1 D.
[解析] 由题意可得， 为真命题，
则，且，所以，所以 的取值可以是5，故选A.
√
（2）［2025·北京延庆一中高一月考］已知 ，
，若为假命题，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
因为 为假命题，所以方程不存在正实数根，
于是有，得 ，故选D.
√
［素养小结］
（1）
与
的否定只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
（2）在求参数范围的问题中，往往分离参数，转化成求函数的最值
问题.
1.对全称量词命题与存在量词命题关系的认识
（1）结构关系的认识:全称量词命题中的全称量词表明给定范围内
所有对象都具备某一性质,无一例外.而存在量词命题中的存在量词却
表明给定范围内的对象有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量
词命题.
（2）真假性的认识:全称量词命题的否定与全称量词命题的真假性
相反,存在量词命题的否定与存在量词命题的真假性相反.
2.关键量词的否定
词语 是 都是 大于 小于 且
词语的否定 不是 不都是 小于或等 于 大于或等 于 或
词语 必有一 个 至少有 个 至多有一 个 所有 成立 所有 不成
立
词语的否定 一个也 没有 至多有 个 至少有两 个 存在一个 不成立 存在一个
成立
1.含有一个量词的命题的否定要注意的问题:
（1）确定命题类型,是全称量词命题还是存在量词命题.
（2）改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰
当的全称量词.
（3）否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”
“不存在”“不成立”等.
2.含量词命题的真假问题,直接判断含有一个量词的全称量词命题
（存在量词命题）的真假较为困难时,可借助全称量词命题与存在量
词命题的关系,转化为判断其否定的真假性问题,达到化难为易的目的.
例
（1）［2025·江苏灌南高级中学高一月考］若“, ”
是假命题，则实数 的取值范围是________.
[解析] 因为“,”是假命题，
所以“ ,”是真命题.
又，所以实数 的取值范围是 .
（2）［2025·广东广州白云艺术中学高一月考］写出这些命题的否
定，并判断其否定命题的真假：
①, ；
解：, ，为假命题.
②三角形的三个内角都为 ；
解：存在一个三角形的三个内角不都为 ，为真命题.
③存在一个实数，使 .
解：， ，为假命题.
练习册
1.若“存在实数，使方程有实数根”，则 的否
定是( )
A.存在实数，使方程 无实数根
B.不存在实数，使方程 无实数根
C.对任意的实数，方程 都无实数根
D.至多有一个实数，使方程 有实数根
[解析] 命题是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即 的否定
为“对任意的实数，方程 都无实数根”.故选C.
√
2.［2025·辽宁辽阳高一期中］“， ”的否定
为( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 易知原命题的否定为“， ”.故选D.
√
3.［2025·江苏盐城中学高一期中］“, ”的否定
是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 命题“，”的否定是“ ,
”.故选B.
√
4.设所有的等边三角形都是等腰三角形，则 的否定为( )
A.所有的等边三角形都不是等腰三角形
B.有的等边三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等边三角形
D.不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
[解析] 命题 的否定为“有的等边三角形不是等腰三角形”.故选B.
√
5.已知，，如果 的否定是真命题，那么
实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 的否定：，.
因为 的否定为真命题，所以关于的方程有实根.
当 时，方程的根为；
当时，需满足，解得，
此时 的取值范围为且.
综上的取值范围为 .故选C.
√
6.（多选题）下列命题的否定为真命题的是( )
A.每一个素数都是奇数
B.能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除
C.，
D.，
√
√
[解析] 对于A，2是偶数，也是素数，所以A中的命题是假命题，故
该命题的否定为真命题；
对于B，易知原命题为真命题，故该命题的否定为假命题；
对于C，易知原命题为假命题，故该命题的否定为真命题；
对于D，易知原命题为真命题，故该命题的否定为假命题.
故选 .
7.命题“对于所有的实数，都有 ”可用符号记为______
_________________，该命题的否定为______________________.
，
，
[解析] 命题“对于所有的实数，都有 ”可用符号记为
“，”，该命题的否定为“， ”.
8.已知“，”是假命题，则实数 的取值范围是
________.
[解析] 由题可知，“，”为真命题，故当 时，
，则实数的取值范围是 .
9.（13分）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（1）所有二次函数的图象都开口向上;
解：“所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题,其否定为“有
些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.
（2）存在,使得 ;
解：“存在,使得”是存在量词命题,其否定为“对任意 ,
都有 ”,真命题.
（3）某些平行四边形是菱形；
解：该命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
9.（13分）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.
（4）可以被5整除的数的末位是0；
解：该命题的否定：有些可以被5整除的数的末位不是0，是真命题.
（5）不论取何实数值，方程 必有实数根.
解：该命题的否定：存在一个实数，使得方程 没
有实数根.若方程没有实数根，则判别式 ，此不等式
无解，则所得命题为假命题．
10.已知集合,集合 ,若
“, ”为假命题,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为“, ”为假命题,所以“, ”
为真命题.
当 时,, ,符合题意;
当 时,可得,且， ,可得
.
综上,实数的取值范围为 ,故选A.
√
11.（多选题）下列命题的否定为假命题的是( )
A.，
B.所有的正方形都是矩形
C.，
D.至少有一个实数，使
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ，所以选项A中命题为
真命题，所以该命题的否定为假命题，故A符合题意；
对于B，因为所有的正方形都是矩形，所以选项B中命题为真命题，
所以该命题的否定为假命题，故B符合题意；
对于C，因为 ，所以选项C中命题为
假命题，所以该命题的否定为真命题，故C不符合题意；
对于D，因为当 时， ，所以选项D中命题为真命题，
所以该命题的否定为假命题，故D符合题意.
故选 .
12.（多选题）［2025·广东广州玉岩中学高一期中］ “ ,
”是真命题的一个充分且不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为“,”是真命题，所以“ ，
”是真命题，又当时，，所以 .
因为，所以 的一个充分且
不必要条件是或.
故选 .
√
√
13.已知“存在，使得等式 成立”是假命题，则
实数 的取值范围是_________________.
[解析] 由题意得“对任意的，不等式 恒成立”是
真命题，故，所以实数的取值范围是或 .
14.（15分）已知,, ,
,若的否定是假命题，是真命题，求实数 的取值
范围.
解：因为的否定是假命题，所以 是真命题，
由“,”为真命题，得.
因为 是真命题，所以关于的方程 有实数根，
则,解得 .
综上，实数的取值范围是 .
15.［2025·福建厦门一中高一月考］已知 ，
，是假命题，则实数 的取值范围是_______.
[解析] ，， 是真命题等价于
，因为，，所以.
因为 为假命题，所以实数的取值范围是 .
16.（15分）已知，， ，
.
（1）当为假命题时，求实数 的取值范围；
解：当为假命题时， 为真命题.
当时，， ，
即实数的取值范围为 .
16.（15分）已知，， ，
.
（2）若和中有且仅有一个是假命题，求实数 的取值范围.
解：和中有且仅有一个是假命题，和 一真一假.
当为真命题时，，解得 .
①当为真命题，为假命题时，解得 ；
②当为真命题，为假命题时，解得 .
综上所述，实数的取值范围为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
，
【诊断分析】(1)× (2)√ (3)×
知识点二【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）×
课中探究 例1(1)该命题的否定:存在一个能被7整除的整数不是奇数.真命题.
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．真命题.
（3）该命题的否定：存在
，
的个位数字等于1.真命题.
(4)该命题的否定:存在
,使一元二次方程
没有实数根.假命题.
变式 （1）真命题.命题的否定：三角形的内角和不全为
> .
（2）假命题.命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.
（3）真命题.命题的否定:存在
,使一元二次方程
无实数根.
例2 （1）该命题的否定:
，
. 假命题.
（2）该命题的否定：
，
. 假命题.
（3）该命题的否定:一切分数都是有理数.真命题.
变式 （1）解：该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题.
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
（3）该命题的否定：
，
.真命题.
例3 （1）
（2）
变式 （1）A （2）D
快速核答案（练习册）
1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.AC
7.
，
，
8.
9.（1）否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.
（2）否定为“对任意
,都有
”,真命题.
（3）否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题.
（4）该命题的否定：有些可以被5整除的数的末位不是0，是真命题.
(5)该命题的否定:存在一个实数
,使得方程
没有实数根.为假命题.
10.A 11.ABD 12.CD 13.
14.
15.
16.（1）
（2)
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【课前预习】
知识点一
x∈M,p(x) p(x)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”.
(2)“实数的平方是正数”的否定是“有些(或存在)实数的平方不是正数”.
(3)量词改变,结论否定,但条件不能变.
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× [解析] (1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论.
(2)存在量词命题与其否定一真一假.
(3)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)该命题的否定:存在一个能被7整除的整数不是奇数.真命题.
(2)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.真命题.
(3)该命题的否定:存在x∈Z,x2的个位数字等于1.真命题.
(4)该命题的否定:存在m>0,使一元二次方程x2+x-m=0没有实数根.因为m>0,所以Δ=1+4m>0,所以对任意的m>0,一元二次方程x2+x-m=0都有实数根,所以原命题的否定为假命题.
变式 解:(1)真命题.命题的否定:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形的内角和不等于180°.
(2)假命题.命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)真命题.命题的否定:存在m∈R,使一元二次方程x2+mx-1=0无实数根.
探究点二
例2 解:(1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+1>0.因为当x=-1时,x2+2x+1=(-1)2+2×(-1)+1=0,所以为假命题.
(2)该命题的否定: x>0,x2-3x+2≤0.因为当x=3时,x2-3x+2=32-3×3+2=2>0,所以为假命题.
(3)该命题的否定:一切分数都是有理数.为真命题.
变式 解:(1)该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题.
(2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形.假命题.
(3)该命题的否定: x>2,4x2-x≠0.真命题.
探究点三
例3 解:(1)若 p为假命题,则p为真命题,即a≤x2在[2,3]上恒成立,所以a≤(x2)min=4在[2,3]上恒成立,
即实数a的取值范围是(-∞,4].
(2)当q为真命题时, x∈R,x2+2ax+2a=0,所以Δ=4a2-8a≥0,解得a≤0或a≥2,因为 q为真命题,所以0
综上,实数a的取值范围是(0,2).
变式 (1)A (2)D [解析] (1)由题意可得 x∈[-4,5],|x|-a≤0为真命题,则0≤|x|≤5,且a≥|x|,所以a≥5,所以a的取值可以是5,故选A.
(2)由x+a-1=0,得x=1-a,因为p为假命题,所以方程x+a-1=0不存在正实数根,于是有1-a≤0,得a≥1,故选D.2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.C [解析] 命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即p的否定为“对任意的实数m,方程x2+mx+1=0都无实数根”.故选C.
2.D [解析] 易知原命题的否定为“ x∈(-3,-1),|x-4|<5”.故选D.
3.B [解析] 命题“ x>0,x2-4x+3≤0”的否定是“ x>0,x2-4x+3>0”.故选B.
4.B [解析] 命题p的否定为“有的等边三角形不是等腰三角形”.故选B.
5.C [解析] p的否定: x∈R,ax2+2x+3=0.因为p的否定为真命题,所以关于x的方程ax2+2x+3=0有实根.当a=0时,方程的根为x=-;当a≠0时,需满足Δ=4-12a≥0,解得a≤,此时a的取值范围为a≤且a≠0.综上a的取值范围为a≤.故选C.
6.AC [解析] 对于A,2是偶数,也是素数,所以A中的命题是假命题,故该命题的否定为真命题;对于B,易知原命题为真命题,故该命题的否定为假命题;对于C,易知原命题为假命题,故该命题的否定为真命题;对于D,易知原命题为真命题,故该命题的否定为假命题.故选AC.
7. x∈R,x2-x+1=0 x∈R,x2-x+1≠0 [解析] 命题“对于所有的实数x,都有x2-x+1=0”可用符号记为“ x∈R,x2-x+1=0”,该命题的否定为“ x∈R,x2-x+1≠0”.
8.(-∞,1] [解析] 由题可知,“ x≥2,2x-3≥a”为真命题,故当x≥2时,a≤(2x-3)min=2×2-3=1,则实数a的取值范围是(-∞,1].
9.解:(1)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题,其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”,真命题.
(2)“存在x∈Q,使得x2=6”是存在量词命题,其否定为“对任意x∈Q,都有x2≠6”,真命题.
(3)该命题的否定:每一个平行四边形都不是菱形,是假命题.
(4)该命题的否定:有些可以被5整除的数的末位不是0,是真命题.
(5)该命题的否定:存在一个实数m,使得方程x2+mx-1=0没有实数根.若方程没有实数根,则判别式Δ=m2+4<0,此不等式无解,则所得命题为假命题.
10.A [解析] 因为“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,所以“ m∈R,A∩B= ”为真命题.当A={x|0≤x≤a}= 时,a<0,A∩B= ,符合题意;当A={x|0≤x≤a}≠ 时,可得a≥0,且 m∈R,a11.ABD [解析] 对于A,因为x2-x+=≥0,所以选项A中命题为真命题,所以该命题的否定为假命题,故A符合题意;对于B,因为所有的正方形都是矩形,所以选项B中命题为真命题,所以该命题的否定为假命题,故B符合题意;对于C,因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以选项C中命题为假命题,所以该命题的否定为真命题,故C不符合题意;对于D,因为当x=±时,x2-2=0,所以选项D中命题为真命题,所以该命题的否定为假命题,故D符合题意.故选ABD.
12.CD [解析] 因为“ x∈[1,3],x2-a≤0”是真命题,所以“ x∈[1,3],x2≤a”是真命题,又当x∈[1,3]时,(x2)min=1,所以a≥1.因为[2,+∞) [1,+∞),[3,+∞) [1,+∞),所以a≥1的一个充分且不必要条件是a≥2或a≥3.故选CD.
13.(-∞,6]∪[9,+∞) [解析] 由题意得“对任意的x∈(-2,3),不等式3x-m≠0恒成立”是真命题,故m (-6,9),所以实数m的取值范围是m≤-6或m≥9.
14.解:因为p的否定是假命题,所以p是真命题,由“ x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1”为真命题,得a≥3.因为q是真命题,所以关于x的方程2x2+5x+a=0有实数根,
则Δ=25-8a≥0,解得a≤.
综上,实数a的取值范围是3≤a≤.
15.m≥2 [解析] p: x∈[2,3], y∈[m,m+3],x>y是真命题等价于xmin>ymin,因为2≤x≤3,m≤y≤m+3,所以m<2.因为p为假命题,所以实数m的取值范围是m≥2.
16.解:(1)当 p为假命题时,p为真命题.
当x∈[-1,1]时,x2+2x∈[-1,3],∴k≥(x2+2x)max=3,即实数k的取值范围为[3,+∞).
(2)∵p和q中有且仅有一个是假命题,∴p和q一真一假.
当q为真命题时,Δ=4-4(3k+4)≥0,解得k≤-1.
①当p为真命题,q为假命题时,解得k≥3;
②当q为真命题,p为假命题时,解得k≤-1.
综上所述,实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【学习目标】
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
◆ 知识点一 全称量词命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
全称量 词命题 对M中任意一个x, 有p(x)成立 x∈M,
常见全称量词的否定:“任意”的否定是“存在”,“所有”的否定是“不都”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”. ( )
(2)“实数的平方是正数”的否定是“有些实数的平方不是正数”. ( )
(3)“ x>0,x2-2x+1≥0”的否定是“ x≤0,x2-2x+1<0”. ( )
◆ 知识点二 存在量词命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
存在量 词命题 存在M中的一个x, 使p(x)成立 x∈M, p(x) x∈M, p(x)
常见存在量词的否定:“存在”的否定是“任意”,“有”的否定是“所有”.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“ x∈R,|x|≤0”. ( )
(2)“ x∈M,p(x)”与“ x∈M, p(x)”的真假性相反. ( )
(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定. ( )
◆ 探究点一 全称量词命题的否定
例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有能被7整除的整数都是奇数;
(2)每一个四边形的四个顶点都共圆;
(3)对任意x∈Z,x2的个位数字都不等于1;
(4)对任意的m>0,一元二次方程x2+x-m=0都有实数根.
变式 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)三角形的内角和为180°;
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)对任意的m∈R,一元二次方程x2+mx-1=0都必有实数根.
[素养小结]
(1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定.
(2)判定全称量词命题“ x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可.要判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则就是假命题.
◆ 探究点二 存在量词命题的否定
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,x2+2x+1≤0;
(2) x>0,x2-3x+2>0;
(3)有些分数不是有理数.
变式 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)有些三角形是等边三角形;
(3) x>2,4x2-x=0.
[素养小结]
存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词.
◆ 探究点三 全称量词命题、存在量词命题的应用
例3 已知p: 2≤x≤3,x2-a≥0,q: x∈R,x2+2ax+2a=0.
(1)若 p为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若p和 q均为真命题,求实数a的取值范围.
变式 (1)若“ x∈[-4,5],|x|-a>0”为假命题,则a的值可以是 ( )
A.5 B.3
C.1 D.-1
(2)[2025·北京延庆一中高一月考] 已知p: x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
[素养小结]
(1)p与p的否定只能一真一假,解决问题时可以相互转化.
(2)在求参数范围的问题中,往往分离参数,转化成求函数的最值问题.2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.若p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是 ( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根
C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0都无实数根
D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根
2.[2025·辽宁辽阳高一期中] “ x∈(-3,-1),|x-4|≥5”的否定为 ( )
A. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
B. x∈(-3,-1),|x-4|<5
C. x∈(-3,-1),|x-4|≤5
D. x∈(-3,-1),|x-4|<5
3.[2025·江苏盐城中学高一期中] “ x>0,x2-4x+3≤0”的否定是 ( )
A. x≤0,x2-4x+3>0
B. x>0,x2-4x+3>0
C. x>0,x2-4x+3>0
D. x≤0,x2-4x+3>0
4.设p:所有的等边三角形都是等腰三角形,则p的否定为 ( )
A.所有的等边三角形都不是等腰三角形
B.有的等边三角形不是等腰三角形
C.有的等腰三角形不是等边三角形
D.不是等边三角形的三角形不是等腰三角形
5.已知p: x∈R,ax2+2x+3≠0,如果p的否定是真命题,那么实数a的取值范围是 ( )
A.a< B.0C.a≤ D.a≥
6.(多选题)下列命题的否定为真命题的是 ( )
A.每一个素数都是奇数
B.能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除
C. x∈R,=0
D. x∈R,x2+x+1≠0
7. 命题“对于所有的实数x,都有x2-x+1=0”可用符号记为 ,该命题的否定为 .
8.已知“ x≥2,2x-39.(13分)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)所有二次函数的图象都开口向上;
(2)存在x∈Q,使得x2=6;
(3)某些平行四边形是菱形;
(4)可以被5整除的数的末位是0;
(5)不论m取何实数值,方程x2+mx-1=0必有实数根.
10.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},若“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为 ( )
A.a<3 B.a<4
C.111.(多选题)下列命题的否定为假命题的是 ( )
A. x∈R,x2-x+≥0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x2-2=0
12.(多选题)[2025·广东广州玉岩中学高一期中] “ x∈[1,3],x2-a≤0”是真命题的一个充分且不必要条件是 ( )
A.a≥1 B.a≥0
C.a≥2 D.a≥3
13.已知“存在x∈(-2,3),使得等式3x-m=0成立”是假命题,则实数m的取值范围是 .
14.(15分)已知p: x∈{x|1≤x≤2},a≥x+1,q: x∈R,2x2+5x+a=0,若p的否定是假命题,q是真命题,求实数a的取值范围.
15.[2025·福建厦门一中高一月考] 已知p: x∈[2,3], y∈[m,m+3],x>y是假命题,则实数m的取值范围是 .
16.(15分)已知p: x∈[-1,1],x2+2x-k≤0,q: x∈R,x2+2x+3k+4=0.
(1)当 p为假命题时,求实数k的取值范围;
(2)若p和q中有且仅有一个是假命题,求实数k的取值范围.