本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 解:只有(3)是命题,(1)(2)(4)都不是能判断真假的陈述句,因此都不是命题.
例2 解:(1)是假命题,若取a=-1,b=1,则满足a2=b2,但a≠b.
(2)是真命题.
(3)是假命题,如一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个三角形的三边长都是4,这两个三角形周长相等,但这两个三角形却不全等.
(4)是真命题.
题型二
例3 (1)A (2)B (3)m>3 [解析] (1)由|x-1|>2,得x-1>2或x-1<-2,解得x>3或x<-1,所以“x>3”是“|x-1|>2”的充分且不必要条件.故选A.
(2)由x-3<0可得x<3.对于A,1(3)若p是q的充分且不必要条件,则需满足
其中1-m≤-2与m-1≥2等号不能同时取得,所以m>3.
例4 解:(1)由A=,3∈A且5 A,可得或所以(无解)或故1≤a<2,所以实数a的取值范围为[1,2).
(2)若选①,即“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,则集合A是集合B的真子集,
因为B=[1,5],集合A=,
所以(2-a≥1与1+2a≤5中的等号不能同时成立),经检验,当a=1时满足条件,所以≤a≤1,所以存在满足题意的实数a,且实数a的取值范围是.
若选②,即“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件,则集合B是集合A的真子集,
因为B=[1,5],集合A=,
所以(2-a≤1与1+2a≥5中的等号不能同时成立),经检验,当a=2时满足条件,所以a≥2,所以存在满足题意的实数a,且实数a的取值范围是[2,+∞).
若选③,即“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则集合A等于集合B,因为B=[1,5],集合A=,所以a≥,且方程组无解,所以不存在满足题意的a.
变式 (1)ABD [解析] 对于A,由x2-2x=0得x=0或x=2,所以由x2-2x=0不一定能推出x=2,但由x=2可以推出x2-2x=0,故A正确; 对于B,若ab≠0,则a≠0且b≠0,故“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件,故B正确;对于C,当a≠0时,一元二次方程ax2+bx+c=0有解 b2-4ac≥0,所以由b2-4ac<0不能推出方程ax2+bx+c=0有解,反之,方程ax2+bx+c=0有解也不能推出b2-4ac<0,故C错误;对于D,若p是q的充分且不必要条件,则q是p的必要且不充分条件,故D正确.故选ABD.
(2)解:由题得A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件,∴B A.
当B= 时,得a=0;当B≠ 时,则当B={1}时,得a=1;
当B={2}时,得a=.
综上所述,满足条件的实数a组成的集合是.
题型三
例5 (1)C (2)C [解析] (1)命题“ x>0,x2-2=0”的否定是“ x>0,x2-2≠0”.故选C.
(2)易知 x∈R,x2+1≥1是真命题,所以p1是假命题;当x=0时,x+|x|=0,故p2是假命题;易知p3是真命题;在方程x2-7x+15=0(*)中,Δ=72-4×15<0,则方程(*)无解,故p4是假命题.故选C.
例6 B [解析] 若“ x∈{x|-3≤x≤-2},mx>12”是假命题,则其否定“ x∈{x|-3≤x≤-2},mx≤12”是真命题.当x∈[-3,-2]时,若m=0,则mx=0≤12,满足条件.若m>0,则 x∈{x|-3≤x≤-2},x≤,则≥-3,即-3m≤12,即m≥-4,则m>0.若m<0,则 x∈{x|-3≤x≤-2},x≥,则≤-2,即-2m≤12,即m≥-6,则-6≤m<0.综上,当原命题为假命题时,m的取值范围是m≥-6.因为要找原命题是假命题的一个充分且不必要条件,所以要找集合{m|m≥-6}的一个真子集,结合选项可知,只有B符合题意.故选B.
变式 (-∞,3] [解析] 由题意得“ x∈(1,+∞),2x-m+1≠0”是真命题,故m≠2x+1在(1,+∞)上恒成立,因为当x∈(1,+∞)时,2x+1∈(3,+∞),所以m的取值范围是(-∞,3].本章总结提升
◆ 题型一 命题
[类型总述] (1)判断语句是否为命题;(2)命题的真假性.
例1 判断下列语句哪些是命题,哪些不是命题.
(1)连接P,Q两点;
(2)延长线段AB到C;
(3)三角形的两边之差小于第三边;
(4)三角形的内角和等于180°吗
例2 判断下列命题的真假性:
(1)若a2=b2,则a=b;
(2)若A B,则A∪B=B;
(3)周长相等的两个三角形全等;
(4)若一个四边形的对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.
◆ 题型二 充分条件、必要条件、充要条件
[类型总述] (1)判断充分条件、必要条件;(2)充要条件的逆用求参数;(3)充要条件的证明.
例3 (1)设x∈R,则“x>3”是“|x-1|>2”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)[2025·福建漳州十校高一期中] 下列不等式中,可以作为“x-3<0”的一个必要且不充分条件的是 ( )
A.1C.x<1 D.0(3)已知p:-2≤x≤2,q:1-m≤x≤m-1,若p是q的充分且不必要条件,则实数m的取值范围为 .
例4 [2025·湖北武汉三中高一期中] 在“①充分且不必要;②必要且不充分;③充要”这三个条件中任选一个,补充到下面的横线中,并求解下列问题:
已知集合A=,B=[1,5].
(1)若3∈A且5 A,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使得“x∈A”是“x∈B”的 条件 若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
变式 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.“x2-2x=0”是“x=2”的必要且不充分条件
B.设a,b∈R,则“一元二次a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件
C.当a≠0时,“b2-4ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有解”的充要条件
D.若p是q的充分且不必要条件,则q是p的必要且不充分条件
(2)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若“x∈B”是“x∈A”的充分且不必要条件,试求满足条件的实数a组成的集合.
◆ 题型三 全称量词命题与存在量词命题
[类型总述] (1)全称量词命题与存在量词命题的真假判定;(2)全称量词命题与存在量词命题的否定.
例5 (1)命题“ x>0,x2-2=0”的否定是 ( )
A. x≤0,x2-2≠0 B. x>0,x2-2≠0
C. x>0,x2-2≠0 D. x≤0,x2-2≠0
(2)下列命题中为真命题的是 ( )
A.p1: x∈R,x2+1<0
B.p2: x∈R,x+|x|>0
C.p3: x∈Z,|x|∈N
D.p4: x∈R,x2-7x+15=0
例6 [2025·广东广雅中学高一月考] “ x∈{x|-3≤x≤-2},mx>12”是假命题的一个充分且不必要条件是 ( )
A.m≤-4 B.m≥-4
C.m<-6 D.m≥-6
变式 [2025·河北邢台高一期中] 已知“ x∈(1,+∞),2x-m+1=0”是假命题,则m的取值范围是 . (共23张PPT)
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题型一 命题
题型二 充分条件、必要条件、充要条件
题型三 全称量词命题与存在量词命题
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题型一 命题
［类型总述］（1）判断语句是否为命题；（2）命题的真假性.
例1 判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题.
（1）连接， 两点；
（2）延长线段到 ；
（3）三角形的两边之差小于第三边;
（4）三角形的内角和等于 吗？
解：只有（3）是命题， 都不是能判断真假的陈述句，因此
都不是命题.
例2 判断下列命题的真假性：
（1）若，则 ；
解：是假命题，若取,，则满足，但 .
（2）若，则 ；
解：是真命题.
（3）周长相等的两个三角形全等;
解：是假命题,如一个三角形的三边长分别为3，4，5，另一个三角形
的三边长都是4，这两个三角形周长相等，但这两个三角形却不全等.
（4）若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.
解：是真命题.
题型二 充分条件、必要条件、充要条件
［类型总述］（1）判断充分条件、必要条件;（2）充要条件的逆用
求参数;（3）充要条件的证明.
例3（1）设，则“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 由，得或，解得 或
，所以“”是“ ”的充分且不必要条件.故选A.
√
（2）［2025·福建漳州十校高一期中］下列不等式中，可以作为“
”的一个必要且不充分条件的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得.对于A，为 的既不
充分又不必要条件；
对于B，为 的必要且不充分条件；
对于C，为的充分且不必要条件；
对于D， 为 的充分且不必要条件.
故选B.
√
（3）已知，，若是 的充分
且不必要条件，则实数 的取值范围为_______.
[解析] 若是的充分且不必要条件，则需满足
其中与等号不能同时取得，所以 .
例4 ［2025·湖北武汉三中高一期中］在“①充分且不必要；②必要
且不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，
并求解下列问题：
已知集合， .
（1）若且，求实数 的取值范围.
解：由，且 ，可得
或所以 （无解）
或故，所以实数的取值范围为 .
例4 ［2025·湖北武汉三中高一期中］在“①充分且不必要；②必要
且不充分；③充要”这三个条件中任选一个，补充到下面的横线中，
并求解下列问题：
已知集合， .
（2）是否存在实数，使得“”是“ ”的 ___条件？若存在，
求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：若选①，即“”是“”的充分且不必要条件，则集合 是
集合 的真子集，
因为，集合 ，
所以与中的等号不能同时成立 ，
经检验，当时满足条件，所以 ，所以存在满足题意的
实数，且实数的取值范围是 .
若选②，即“”是“”的必要且不充分条件，则集合 是集合
的真子集，
因为，集合 ，
所以与中的等号不能同时成立 ，
经检验，当时满足条件，所以 ，所以存在满足题意的实
数，且实数的取值范围是 .
若选③，即“”是“”的充要条件，则集合等于集合 ，
因为，集合，所以 ，
且方程组无解，所以不存在满足题意的 .
变式（1）（多选题）下列说法正确的是( )
A.“”是“ ”的必要且不充分条件
B.设，，则“一元二次”是“ ”的必要且不充分条件
C.当时，“”是“一元二次方程 有
解”的充要条件
D.若是的充分且不必要条件，则是 的必要且不充分条件
√
√
√
[解析] 对于A，由得或，所以由
不一定能推出，但由可以推出 ，故A正确；
对于B，若，则且，故“”是“ ”的必要且
不充分条件，故B正确；
对于C,当 时,一元二次方程有解，
所以由 不能推出方程有解，反之，
方程 有解也不能推出，故C错误；
对于D,若是 的充分且不必要条件,则是的必要且不充分条件,故D正确.
故选 .
（2）设集合，，若“ ”
是“”的充分且不必要条件，试求满足条件的实数 组成的集合.
解：由题得， “”是“ ”的
充分且不必要条件， .
当 时，得；
当 时，则当时，得 ；
当时，得 .
综上所述，满足条件的实数组成的集合是 .
题型三 全称量词命题与存在量词命题
［类型总述］（1）全称量词命题与存在量词命题的真假判定;（2）
全称量词命题与存在量词命题的否定.
例5（1）命题“, ”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 命题“,”的否定是“, ”.故选C.
√
（2）下列命题中为真命题的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 易知，是真命题，所以 是假命题；
当时，，故是假命题；
易知 是真命题；
在方程中，，则方程 无解，
故 是假命题.
故选C.
√
例6 ［2025·广东广雅中学高一月考］“ ,
”是假命题的一个充分且不必要条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 若“, ”是假命题，
则其否定“,”是真命题.
当 时，若，则，满足条件.
若 ，则,，则，即 ，
即，则.
√
若，则, ，则，即，
即，则 .
综上，当原命题为假命题时，的取值范围是 .
因为要找原命题是假命题的一个充分且不必要条件，所以要找集合
的一个真子集，结合选项可知，只有B符合题意.
故选B.
变式 ［2025·河北邢台高一期中］ 已知“ ，
”是假命题，则 的取值范围是________.
[解析] 由题意得“， ”是真命题，
故在上恒成立，
因为当 时，，所以的取值范围是 .
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例1 只有（3）是命题，都不是能判断真假的陈述句，因此都不是命题.
例2 （1）假命题（2）真命题 （3）假命题（4）真命题
例3 （1）A （2）B （3）
例4 （1） （2）若选①，.若选②，.
若选③，不存在满足题意的.
变式 （1）ABD （2）
例5 （1）C （2）C 例6 B 变式
