(共60张PPT)
3.2 基本不等式
3.2.1 基本不等式的证明
探究点一 基本不等式的推导与证明
探究点二 利用基本不等式证明不等式
探究点三 利用基本不等式求最值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.知道基本不等式 的几何背景，能结合具体
实例解释基本不等式成立的条件.
2.会运用所学知识证明基本不等式并能在证明过程中分析不等式
成立的条件.
知识点一 基本不等式
1.算术平均数与几何平均数
对于正数,,我们把称为,的______平均数,称为, 的_____
平均数.
算术
几何
2.两个重要不等式
不等式 内容 等号成立的条件
重要不等式
基本不等式 _ __________________
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对任意，，， 均成立．( )
×
[解析] 对任意,,成立,当且仅当, 都为非负数时,
不等式 成立.
（2）若，，则 .( )
×
[解析] 若,,则 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）若,则 .( )
×
[解析] 只有当时,才有不等式 成立.
（4）若，，则 .( )
√
[解析] 当，时，因为,所以 .
知识点二 最值定理
1.已知, 都是正数.
（1）如果和等于定值,那么当时,积取得最____值 .
（2）如果积等于定值,那么当时,和取得最____值 .
大
小
2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意:
（1）, 必须是______.
（2）求积的最大值时,应看和是否为______;求和 的最
小值时,应看积 是否为______.
（3）______成立的条件是否满足.
正数
定值
定值
等号
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个正数的积为定值,它们的平方和有最小值.( )
√
[解析] 由 知,该说法正确.
（2）若,且,则 .( )
√
[解析] 因为，所以 .
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）两个负数的和为定值,则它们积有最大值.( )
√
[解析] 设,,, 为定值,
则,
所以 ,所以 .
探究点一 基本不等式的推导与证明
例1 （多选题）若 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以 ，故选项A正确；
因为,所以,，,则 ，
故，所以选项B和D正确，选项C错误.
故选 .
√
√
√
变式 很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证
明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点 在半
圆的圆弧上,点在直径上,且 ,设
, ,则该图形可以完成的无字证明为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可知, ,
.
由题可得,因为 ,所以
.故选B.
［素养小结］
（1）在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.
（2）运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即
成立的条件是
,
,等号成立的条件是
;
成
立的条件是
,
,等号成立的条件是
.
探究点二 利用基本不等式证明不等式
例2-1 （1）已知，为正实数，求证： .
证明：因为，为正实数，所以, 也为正实数，
所以，当且仅当 时取等号.
（2）已知,，求证： .
证明： 因为， ，所以由基本不等式可得
，
故，当且仅当 时等号成立.
例2-2 已知，， 都是非负实数，求证:
.
证明：因为， 都是非负数，且
,
所以,即,当且仅当 时取得等号,则有
.
同理得，.
故，当且仅当 时等号成立.
变式 证明：对任意的,, ,
恒成立.
证明：因为,, 都是正数，
所以（当且仅当 时等号成立）,
（当且仅当 时等号成立）,
（当且仅当 时等号成立），
所以 ，当且仅当
时，等号成立.
［素养小结］
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结
构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆
项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中
还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已
知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等
号能否取到.
探究点三 利用基本不等式求最值
例3 若,求 的最小值.
解：因为,所以 ,
所以,当且仅当,即 时取等号,
故的最小值为 .
变式（1）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.若,,则
B.若,则
C.若,,则
D.若,,,则
√
√
[解析] ,,,当且仅当 时,等号成立,
故A正确;
, ,
当且仅当,即时取等号,显然不成立,故B错误;
,, 当时,不成立,故C错误;
, ,,,当且仅当 时,
等号成立,故D正确.
故选 .
（2）已知，则 的最大值为__.
[解析] 因为,所以 ,所以
,当且仅当,即
时等号成立.
［素养小结］
利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
①一正:基本不等式
成立的前提条件为
,
.
②二定:化不等式的一边为定值.
③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
拓展 已知正实数,满足，求 的最小值.
解：,，（当且仅当 时，
等号成立），整理可得 ，即
，可得 .
的最小值为6.
1.关于基本不等式的证明
作差法证明基本不等式 .
因为,,所以,所以 ,即
,当且仅当 时,等号成立.
2.基本不等式的结构：基本不等式 的右边为和的形式,左边
为积的形式,该不等式表明两正数, 的和与积之间的大小关系,运用
该不等式可作和与积之间的不等变换.
3.基本不等式的几何意义
如图所示,为半圆的直径,,,过点 作
交半圆于,连接,,.可证 ,所以
,而.因为,所以,当且仅当与
重合,即时, 等号成立.因此基本不等式 的几何意义是
圆的半径不小于半弦.
4.利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
（1）注意基本不等式成立的条件；
（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否取到；
（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等
式模型，再使用.
5.基本不等式的推广
如果 为正实数，那么
（当且仅当
时，取等号）.
1.比较大小除了用比较法,也可利用基本不等式.在应用定理时应特别
注意定理成立的条件,避免因条件遗漏导致解题结果错误,例如
就要求,,而等号成立的条件是 .
例1 已知,是不相等的正数,,,试比较, 的大小.
解:因为,是不相等的正数,所以， ，
由得 ,
又,即 ,
所以,即 .
2.基本不等式链的几何证明
例2 证明基本不等式链:若 ,则
.
证明：方法一（代数法）因为 ,
所以
（当且仅当 时,等号成立）.
方法二（几何意义法）
练习册
1.不等式 中,等号成立的条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 该不等式等号成立的条件为,即 .故选D.
√
2.［2024·北京延庆区高一期中］函数 有( )
A.最小值 B.最大值 C.最小值4 D.最大值4
[解析] 因为,所以,当且仅当 ,
即 时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C.
√
3.若 ，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，因此只有B项正确.
√
4.函数 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，， 由基本不等式得
，当且仅当 时取等号.
，故函数 的最大值是
.故选B.
√
5.已知正数，满足，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为正数，满足，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.故选A.
√
6.［2024·人大附中高一期中］已知,,若 ,则( )
A.的最大值为1 B. 的最大值为2
C.的最小值为1 D. 的最小值为2
[解析] 因为,当且仅当 时等号成
立，所以,所以,所以 的最大值为1,故A正确,B
错误;
因为,当且仅当 时等号成立，
所以,所以,所以的最小值为 ,故C,D错误.
故选A.
√
7.［2025·江苏南京六合高级中学高一期中］已知， ，且
，则 的最小值为___.
4
[解析] 因为,，所以 ，当且仅当
时等号成立,所以 的最小值为4.
8.已知为正数，比较大小：___4.（填“ ”“ ”“ ”“ ”中
的一个）
[解析] 由,得 ,当且仅当
时，等号成立.
9.（13分）
（1）若，求 的最大值；
解：因为，所以 ，所以
，
当且仅当，即 时取等号，
所以，即的最大值为 .
9.（13分）
（2）已知，求 的最大值；
解：因为，所以，则 ，所以
，
当且仅当，即 时取等号，
所以的最大值是 .
（3）已知，，且,求 的最小值.
解：由，，得，当且仅当 时取
等号，可得，所以 的最小值为4.
10.（13分）
（1）已知，，，求证： ；
证明：由， ，得
，当且仅当 ，即
,时取等号，所以 .
10.（13分）
（2）设,,均为正实数，求证： .
证明： .
因为,,均为正实数，所以,, ，
当且仅当 时，等号同时成立，所以
，
所以 .
11.［2025·江苏盐城东台一中高一月考］若 ，则
有( )
A.最小值0 B.最大值2 C.最大值 D.不能确定
√
[解析] 由基本不等式得，
，当且仅当
，即时等号成立，故有最大值 ，故C
正确，B，D错误；
令,解得或 ,又，所以
取不到0，故A错误.
故选C.
12.“”是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
[解析] 由，可得或当时， ，当
且仅当时，等号成立；当时，， ，则
，当且仅当时等号成立，所以充分性成立.
当 时，设，则，则，可得，
即 ，可得，所以必要性成立.
故“”是“ ”的充要条件.故选C.
13.（多选题）下列函数的最小值为4的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，当时， ，则
，当且仅当 ，即
时等号成立，故，当且仅当 时等号成
立，故A错误；
√
√
，当且仅当
时，等号成立，故B正确；
对于C，当时， ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D，易知，令， ，
则原式，当且仅当时，等号成立，因为 ，
所以取不到等号，该函数的最小值不是4，故D错误.
故选 .
14.［2025·扬州一中高一月考］已知，，且 ，
则 的最大值为___.
[解析] 因为，，且 ，所以
，当且仅当 且
，即，时，等号成立，故的最大值为 .
15.已知，则 的最小值为
__________.
[解析] 因为,所以 ，
设，则,所以， ,所以
,当且仅
当，即时等号成立，所以 的最小值为
.
16.（15分）我们都知道，,,，当且仅当 时
等号成立，于是就有，当且仅当 时等号成立，即
得到重要的不等关系：，,，当且仅当 时等
号成立，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上，
我们还能得出下列结论：，, .
（1）证明“，, ”.
证明：因为，当且仅当 时等号成立，所以
，即 ，
则 .
因为，当且仅当 时等号成立,所以
，即，则 .
综上可得 .
16.（15分）我们都知道，,,，当且仅当 时
等号成立，于是就有，当且仅当 时等号成立，即
得到重要的不等关系：，,，当且仅当 时等
号成立，其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上，
我们还能得出下列结论：，, .
（2）若，,，求 的最大值与最小值.
解：由，得 且
，即
.
因为，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即，可得 ，当且仅
当时等号成立.又因为 ，且
，
所以，即 ，
可得，当且仅当， 或
， 时等号成立.
所以的最大值为，最小值为 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.算术 几何 2.
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）√
知识点二 1.（1）大（2）小 2.（1）正数（2）定值 定值（3）等号
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）√
课中探究 例1 ABD 变式 B
例2-1 略 例2-2 略
例3
变式 （1）AD （2）
拓展 6
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.4 8.
9.（1）
（2）
（3）4 10.略
11.C 12.C 13.BC 14.
15.
16.（1）略（2）
的最大值为
，最小值为
3.2 基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
【课前预习】
知识点一
1.算术 几何 2.≤(a,b≥0) a=b
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab成立,当且仅当a,b都为非负数时,不等式a+b≥2成立.
(2)若a>0,b>0,则3a+2b≥2.
(3)只有当a>0时,才有不等式a+≥2=4成立.
(4)当a>0,b>0时,因为≤,所以ab≤.
知识点二
1.(1)大 (2)小 2.(1)正数 (2)定值 定值 (3)等号
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ [解析] (1)由x2+y2≥2xy知,该说法正确.
(2)因为≤=5,所以ab≤25.
(3)设x<0,y<0,x+y=s(s<0),s为定值,则(-x)+(-y)≥2=2,所以2≤-s(-s>0),所以xy≤.
【课中探究】
探究点一
例1 ABD [解析] 因为a>b>0,所以>,故选项A正确;因为a>b>0,所以a+b>0,ab>0,>,则0<<1,故<<,所以选项B和D正确,选项C错误.故选ABD.
变式 B [解析] 由题图可知,OF=AB=(a+b),OC=(a+b)-b=(a-b).由题可得CF==,因为CF≥OF,所以≥.故选B.
探究点二
例2-1 证明:(1)因为a,b为正实数,所以,也为正实数,
所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号.
(2)因为a>0,b>0,所以由基本不等式可得+++≥2+2,
故+≥+,当且仅当a=b时等号成立.
例2-2 证明:因为a,b都是非负数,且-==≥0,
所以≥,即≥,当且仅当a=b时取得等号,则有≥(a+b).
同理得≥(b+c),≥(c+a).故++≥(a+b)+(b+c)+(c+a)=(a+b+c),当且仅当a=b=c时等号成立.
变式 证明:因为x,y,z都是正数,
所以x+4y≥2=4>0(当且仅当x=4y时等号成立),y+z≥2>0(当且仅当y=z时等号成立),4z+x≥2=4>0(当且仅当4z=x时等号成立),
所以(x+4y)(y+z)(4z+x)≥32=32xyz,当且仅当x=4y=4z时,等号成立.
探究点三
例3 解:因为x>0,所以x3>0,
所以+x3≥2=2,当且仅当=x3,即x=时取等号,故+x3的最小值为2.
变式 (1)AD (2) [解析] (1)∵a,b>0,∴+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故A正确;∵≥>0,∴+≥2=2,当且仅当=,即x2=-4时取等号,显然不成立,故B错误;∵a∈R,a≠0,∴当a<0时,+a≥2=2不成立,故C错误;∵x,y∈R,xy<0,∴+=-≤-2,当且仅当-x=y时,等号成立,故D正确.故选AD.
(2)因为0拓展 解:∵a>0,b>0,∴a+b+3=ab≤(当且仅当a=b时,等号成立),整理可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0,即[(a+b)+2][(a+b)-6]≥0,可得a+b≥6.
∴a+b的最小值为6.3.2 基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是 ( )
A.a=4 B.a=
C.a=- D.a=±
2.[2024·北京延庆区高一期中] 函数y=2x+(x>0)有 ( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值4 D.最大值4
3.若a>b>0,则下列不等式成立的是 ( )
A.a>b>>
B.a>>>b
C.a>>b>
D.a>>>b
4.函数y=2-3x-(x>0)的最大值是 ( )
A.2-2 B.2-4
C.2+2 D.2+4
5.已知正数a,b满足ab=10,则的最大值是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2024·人大附中高一期中] 已知x,y∈R,若x2+y2=2,则 ( )
A.xy的最大值为1
B.xy的最大值为2
C.xy的最小值为1
D.xy的最小值为2
7.[2025·江苏南京六合高级中学高一期中] 已知x>0,y>0,且xy=4,则x+y的最小值为 .
8.已知a为正数,比较大小: 4.(填“>”“<”“≥”“≤”中的一个)
9.(13分)(1)若x<0,求y=+3x的最大值;
(2)已知0(3)已知a>0,b>0,且a+b=ab,求a+b的最小值.
10.(13分)(1)已知a>0,b>0,ab=4,求证:+≥;
(2)设a,b,c均为正实数,求证:++≥++.
11.[2025·江苏盐城东台一中高一月考] 若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.不能确定
12.“ab>0”是“+≥2”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
13.(多选题)下列函数的最小值为4的是 ( )
A.y=x+
B.y=x++1(x>1)
C.y=(x>0)
D.y=
14.[2025·扬州一中高一月考] 已知a>0,b>0,且3a+7b=10,则ab的最大值为 .
15.已知x2-3xy+2y2=1(x,y∈R),则2x2+y2的最小值为 .
16.(15分)我们都知道, a,b∈R,(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立,于是就有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,即得到重要的不等关系: a,b∈R,≥ab,当且仅当a=b时等号成立,其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上,我们还能得出下列结论: a,b∈R,≥≥ab.
(1)证明“ a,b∈R,≥≥ab”.
(2)若a,b∈R,=2,求a+b的最大值与最小值.3.2 基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
1.D [解析] 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±.故选D.
2.C [解析] 因为x>0,所以y=2x+≥2=4,当且仅当2x=,即x=1时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C.
3.B [解析] a=>>>=b,因此只有B项正确.
4.B [解析] y=2-,∵x>0,∴由基本不等式得3x+≥2=4,当且仅当x=时取等号.∴y=2-≤2-4,故函数y=2-3x-的最大值是2-4.故选B.
5.A [解析] 因为正数a,b满足ab=10,所以≤==,当且仅当a=2b=2时,等号成立.故选A.
6.A [解析] 因为x2+y2-2xy=(x-y)2≥0,当且仅当x=y时等号成立,所以x2+y2≥2xy,所以xy≤1,所以xy的最大值为1,故A正确,B错误;因为x2+y2+2xy=(x+y)2≥0,当且仅当x=-y时等号成立,所以x2+y2≥-2xy,所以xy≥-1,所以xy的最小值为-1,故C,D错误.故选A.
7.4 [解析] 因为x>0,y>0,所以x+y≥2=2=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以x+y的最小值为4.
8.≥ [解析] 由a>0,得=a+2+≥2+2=4,当且仅当a=1时,等号成立.
9.解:(1)因为x<0,所以-x>0,所以-y=-+(-3x)≥2=2×6=12,
当且仅当-=-3x,即x=-2时取等号,
所以y=+3x≤-12,即y=+3x的最大值为-12.
(2)因为00,所以y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤=,
当且仅当3x=1-3x,即x=时取等号,
所以y=x(1-3x)的最大值是.
(3)由a>0,b>0,得a+b=ab≤,当且仅当a=b时取等号,可得a+b≥4,所以a+b的最小值为4.
10.证明:(1)由a>0,b>0,得+==(2a+b)≥×2=,当且仅当2a=b,即a=,b=2时取等号,所以+≥.
(2)++==.
因为a,b,c均为正实数,所以ab≤,bc≤,ac≤,当且仅当a=b=c时,等号同时成立,所以≥=++,
所以++≥++.
11.C [解析] 由基本不等式得,=·≤·=2,当且仅当x=4-x,即x=2时等号成立,故有最大值2,故C正确,B,D错误;令=0,解得x=0或x=4,又012.C [解析] 由ab>0,可得或当时,+≥2,当且仅当a=b时,等号成立;当时,>0,>0,则+≥2,当且仅当a=b时等号成立,所以充分性成立.当+≥2时,设t=,则t+≥2,则≥0,可得t>0,即>0,可得ab>0,所以必要性成立.故“ab>0”是“+≥2”的充要条件.故选C.
13.BC [解析] 对于A,当x<0时,-x>0,则-y=(-x)+≥2=4,当且仅当-x=,即x=-2时等号成立,故y=x+≤-4,当且仅当x=-2时等号成立,故A错误;对于B,当x>1时,x++1=x-1++2≥4,当且仅当x=2时,等号成立,故B正确;对于C,当x>0时,=2x+-2≥6-2=4,当且仅当x=时,等号成立,故C正确;对于D,易知y==+,令t=,t≥3,则原式=t+≥4,当且仅当t=2时,等号成立,因为t≥3,所以取不到等号,该函数的最小值不是4,故D错误.故选BC.
14. [解析] 因为a>0,b>0,且3a+7b=10,所以ab=×3a×7b≤×=,当且仅当3a=7b且3a+7b=10,即b=,a=时,等号成立,故ab的最大值为.
15.6-10 [解析] 因为x2-3xy+2y2=(x-y)(x-2y)=1,所以x≠y,设x-y=t(t≠0),则x-2y=,所以x=2t-,y=t-,所以2x2+y2=2+=9t2+-10≥6-10,当且仅当9t2=,即t4=时等号成立,所以2x2+y2的最小值为6-10.
16.解:(1)证明:因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以2a2+2b2≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2,
则≥.
因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,则≥ab.
综上可得≥≥ab.
(2)由=2,得a+b>0且(a+b)2=4(+)2,即(a+b)2=8+4(a+b)+8·.因为2·≤a+1+b+1=a+b+2,当且仅当a=b时等号成立,
所以(a+b)2≤8+4(a+b)+4(a+b+2),
即(a+b)2-8(a+b)-16≤0,可得0所以(a+b)2≥8+4(a+b),即(a+b)2-4(a+b)-8≥0,
可得a+b≥2+2,当且仅当a=-1,b=3+2或a=3+2,b=-1时等号成立.
所以a+b的最大值为4+4,最小值为2+2.3.2 基本不等式≤(a,b≥0)
3.2.1 基本不等式的证明
【学习目标】
1.知道基本不等式≤(a,b≥0)的几何背景,能结合具体实例解释基本不等式成立的条件.
2.会运用所学知识证明基本不等式并能在证明过程中分析不等式成立的条件.
◆ 知识点一 基本不等式
1.算术平均数与几何平均数
对于正数a,b,我们把称为a,b的 平均数,称为a,b的 平均数.
2.两个重要不等式
不等式 内容 等号成立的条件
重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) “a=b”时取“=”
基本不等式 “ ”时取“=”
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立. ( )
(2)若a>0,b>0,则3a+2b≥. ( )
(3)若a≠0,则a+≥2=4. ( )
(4)若a>0,b>0,则ab≤. ( )
◆ 知识点二 最值定理
1.已知x,y都是正数.
(1)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy取得最 值.
(2)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y取得最 值2.
2.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时,需注意:
(1)x,y必须是 .
(2)求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 ;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为 .
(3) 成立的条件是否满足.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个正数的积为定值,它们的平方和有最小值. ( )
(2)若a>0,b>0且a+b=10,则ab≤25. ( )
(3)两个负数的和为定值,则它们积有最大值.( )
◆ 探究点一 基本不等式的推导与证明
例1 (多选题)若a>b>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.> B.<
C.> D.>
变式 很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O的圆弧上,点C在直径AB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为 ( )
A.≥ B.≤
C.≤ D.a2+b2≥2ab
[素养小结]
(1)在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.
(2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件,即a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0,等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.
◆ 探究点二 利用基本不等式证明不等式
例2-1 (1)已知a,b为正实数,求证:+≥2.
(2)已知a>0,b>0,求证:+≥+.
例2-2 已知a,b,c都是非负实数,求证:++≥(a+b+c).
变式 证明:对任意的x,y,z∈(0,+∞),(x+4y)(y+z)(4z+x)≥32xyz恒成立.
[素养小结]
利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到.
◆ 探究点三 利用基本不等式求最值
例3 若x>0,求+x3的最小值.
变式 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若a,b>0,则+≥2=2
B.若x∈R,则+≥2=2
C.若a∈R,a≠0,则+a≥2=2
D.若x,y∈R,xy<0,则+=-≤-2
(2)已知0[素养小结]
利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
①一正:基本不等式≥成立的前提条件为a>0,b>0.
②二定:化不等式的一边为定值.
③三相等:必须存在取等号的条件,即等号成立的条件.
以上三点缺一不可.
拓展 已知正实数a,b满足ab=a+b+3,求a+b的最小值.