(共66张PPT)
3.2 基本不等式
3.2.2 基本不等式的应用
探究点一 利用基本不等式的变形求最值
探究点二 基本不等式在实际问题中的应用
◆
◆
◆
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【练】
答案核查【导】
【学习目标】
结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值
的问题，从中领会基本不等式 成立时的三个限
制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.
探究点一 利用基本不等式的变形求最值
角度1 配凑法求最值
例1（1）［2025·江苏无锡辅仁高级中学高一期中］已知实数 ，
则 的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 实数 ，
，
当且仅当时等号成立， 的最小值为6.故选B.
√
（2）［2025·江苏泰州兴化中学高一月考］已知 且
，则 的最小值为( )
A.12 B. C.16 D.
[解析] 因为，所以， ，且
，则 ，
当且仅当且，即， 时，等
号成立，所以 的最小值为16.故选C.
√
变式 利用基本不等式求以下最值：
（1）若，求 的最大值；
解：， ，
,
当且仅当，即时等号成立， 的
最大值为12.
变式 利用基本不等式求以下最值：
（2）若，求 的最小值；
解：，，令，则, ，
可化为， ，
当且仅当，即，即 时等号成立，
的最小值为 .
变式 利用基本不等式求以下最值：
（3）当时，求 的最大值.
解：当时，， ，
，
当且仅当，即 时等号成立，
的最大值为1.
角度2 常数代换求最值
例2（1）［2025·江苏宿迁湖滨高级中学高一月考］若， ，
且，则 的最小值为( )
A.20 B.12 C.16 D.25
√
[解析] 因为，所以 ，所以
， 当且仅当且，
即 时取等号，所以 的最小值为25.故选D.
（2）［2025·江苏扬州高一期中］已知，， ，
则 的最大值是____.
16
[解析] 因为，， ，所以
，所以
，当且仅当
即时等号成立，所以 的最
大值为16.
变式 ［2025·江苏丹阳高一期中］ 已知，， ,
则 的最小值为( )
A.36 B.25 C.16 D.9
[解析] 由，，，得 ，所以
，当且
仅当且，即， 时等号成立，所以
的最小值为16.故选C.
√
角度3 消元法求最值
例3 ［2025·江苏淮安涟水一中高一月考］已知 ，且
，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，由，得 ，
则，当且仅当，且 ，
，即， 时取等号.故选A.
√
变式 ［2025·北京大兴区高一期中］ 已知,，且 ，则
的最小值为( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为，所以，, ，所以
，当且仅当 ，即
，时，等号成立，所以 的最小值为1.故选C.
√
［素养小结］
若是求和的最小值,通常化（或利用）积为定值;若是求积的最大值,
通常化（或利用）和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配
凑因式.
探究点二 基本不等式在实际问题中的应用
例4 ［2025·广东佛山石门中学高一月考］某住宅小区
为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一
座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由
两个相同的矩形和 构成的占地面积为100平
（1）设长为米，总造价为元，求关于 的表达式；
方米的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为每平
方米 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，
造价为每平方米105元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，
造价为每平方米40元.
解：由题可得，正方形的面积为 ，阴影
部分的面积为，所以 ，且
，则，则 .
（2）若市面上花坛造价为每平方米225元，求总造价
的最小值，并求此时花坛的造价.
解：由（1）可知，
，当且仅当
且，即 时等号成立，所以
.
此时花坛的造价为 （元）.
变式 ［2025·江苏徐州三中高一期中］ 已知， 为东西方向的海岸
线上相距的两地（在的东侧），地在，之间，且距离
地处，在地正南方向处有一海岛，由海岛 开往海岸的
小船以 的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的 地登岸，登
岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达 地的时间；
解：如图①所示，由题可得 ，
，， ，
，由勾股定理可得
，因
此，此人从海岛到达 地的时间为
.
变式 ［2025·江苏徐州三中高一期中］ 已知， 为东西方向的海岸
线上相距的两地（在的东侧），地在，之间，且距离
地处，在地正南方向处有一海岛，由海岛 开往海岸的
小船以 的速度按直线方向航行.
（2）一快递员以的速度从地向 地骑行，同时某人乘小船
从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于，之间的地，且距 地
，求快递员的速度 的最大值.
解：如图②所示,， ，
， ，由勾股定理可得
，
由题可得，即 ，可得
且，即 时，等号成立，
因此，快递员的速度的最大值为 .
，所以 ，当且仅当
［素养小结］
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
（1）理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数值;
（2）建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值
问题;
（3）在自变量的取值范围内,求出函数的最大值或最小值;
（4）根据实际背景写出答案.
利用基本不等式解决实际问题的重点是将实际问题转化为能利用最
值定理求最值的问题上来.
1.利用最值定理求最值的常见类型：（1）和与积型与型 ，
即已知和（或积）为定值，求积（或和）的最值；（2）平方和与积
型与型 ，即已知平方和（或积）为定值，求积
（或平方和）的最值；（3）平方和与和型与型 ，即
已知平方和（或和）为定值，求和（或平方和）的最值.
例1 ［2025·四川绵阳南山中学高一月考］已知正实数, 满足
，求 的最小值的一种解法是：
，当且仅当
且，即， 时取等号.学习上述解法并
解决下列问题：
（1）若正实数,满足，求 的最小值；
解：因为,且 ，
所以 ，所以
的最小值是 .
例1 ［2025·四川绵阳南山中学高一月考］已知正实数, 满足
，求 的最小值的一种解法是：
，当且仅当
且，即， 时取等号.学习上述解法并
解决下列问题：
（2）若实数,,,满足，试比较和 的大
小，并指明等号成立的条件；
解： ，
且,当且仅当 时,等号成立，
所以 ，
当且仅当且,同号时等号成立，所以 ，
此时,也满足 .
例1 ［2025·四川绵阳南山中学高一月考］已知正实数, 满足
，求 的最小值的一种解法是：
，当且仅当
且，即， 时取等号.学习上述解法并
解决下列问题：
（3）求代数式的最小值，并求出当 取得
最小值时 的值.
解：令,，由可得 ，
则 ，
因为,，所以.
构造 ，
由，可得，因此, ，
由（2）知 ，
当且仅当且, 同正时等号成立，
结合，解得,，即 ,可得
.
所以当时，取得最小值 .
2.解决实际应用问题,关键在于弄清问题的各种数量关系,抽象出数学
模型,利用基本不等式解应用题,既要注意条件是否具备,还要注意有关
量的实际含义.
例2 ［2025·上海进才中学高一期中］随着城市居民汽车使用率的增
加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市
轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划
部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该
隧道内的车流速度（单位：千米/时）和车流密度 （单位：辆/千米）
所满足的关系式： 研究表明：当隧道
内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/时.
（1）若车流速度不小于20千米/时，求车流密度 的取值范围；
解：当时， ，符合题意；
当时，令，解得 ，所以
.
所以若车流速度不小于20千米/时，则车流密度 的取值范围是
.
（2）隧道内的车流量 （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/
时）满足 ，求隧道内车流量的最大值，并指出当车流量最大
时的车流密度.
解：由题意得
当时，，随的增大而增大，所以 ，当
时等号成立；
当时，
.
又因为，当且仅当 ，即
时等号成立，所以 .
所以隧道内车流量的最大值为2450辆/时，此时车流密度约为70辆/千米.
练习册
1.［2025·江苏如皋中学高一月考］若，则函数 的最
小值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，所以
，当且仅当
，即时等号成立，所以的最小值为 .
故选D.
√
2.若正实数，满足，则 的最小值是( )
A.6 B.8 C.9 D.10
[解析] ，
当且仅当 ，即时，等号成立，所以 的最小值是
9．故选C.
√
3.用一段长为 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的面积的
最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 设矩形模型一条边的长为,相邻边的长为 ，则
，，由题意可得，所以 .
设矩形模型的面积为,则，
当且仅当 时等号成立，故选C.
√
4.若，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，则
，当且仅当
，即时等号成立，故原式最大值为 .故选A.
√
5.［2025·广东河源中学高一月考］已知，则 的最小
值是( )
A.16 B.25 C.27 D.34
[解析] 由，得 ，因此
，当且仅当，即 时取等号，所以
的最小值为25.故选B.
√
6.若实数，，且，则 的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 因为实数，，，所以 ，则
，当且仅当
时等号成立，即 的最小值为9，故选C.
√
7.已知，，且，则 的最小值为___.
2
[解析] 因为，，且，即 ，所以
，当且仅当， 时取等号.
8.某公司欲购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产
品可获得的总利润（单位：万元）与机器使用的时间 （单位：年）
的关系为 ，则当每台机器使用___年时，
年平均利润最大，最大值是___万元.
5
8
[解析] 每台机器使用年的年平均利润为 ，且
，故，当且仅当 时等号成立，此时年
平均利润最大，最大值为8万元.
9.（13分）某人准备在一块占地面积为1800平方
米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周
围均是宽为1米的小路（示意图如图所示），大
棚的总占地面积为平方米，其中 .
（1）试用，表示 ；
解：由题意可得， ，则
，所以 .
9.（13分）某人准备在一块占地面积为1800平方米
的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围
均是宽为1米的小路（示意图如图所示），大棚的
总占地面积为平方米，其中 .
（2）若要使的值最大，则， 的值各为多少？
解： ，当且仅当，即 时等号成立，此时，所以当，时， 取得最大值.
10.［2024·江苏无锡江阴高一月考］若，则 的最小
值为( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 因为，所以 ，所以
，
当且仅当，即时取等号，所以 的最
小值为 ，故选A.
11.设,若恒成立,则 的最大值为( )
A.4 B.2 C.8 D.1
[解析] 由题可知的最大值为 的最小值.又
,
当且仅当,即时取等号，所以 的最大值为8.故选C.
√
12.（多选题）已知,，且 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，因为,，所以 ，当且
仅当,时等号成立，所以 ，故A错误；
对于B, ，
当且仅当, 时等号成立，故B正确；
对于C,因为 ，
当且仅当,时等号成立，所以 ，故C正确；
对于D,因为，所以 ，所以
,当且仅当,时等号成立，
故D错误.
故选 .
13.［2025·吉林长春实验中学高一期中］已知， ，
，则 的最小值为_________.
[解析] 由，得，因为 ，
，所以
，
当且仅当时取等号，所以 的最小值为
.
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正数, 满足
.
（1）求 的最小值；
解：因为,，且，所以 ，
当且仅当，即,时等号成立，可得 ,
则，即 的最小值为8.
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正数, 满足
.
（2）求 的最小值；
解：因为,，且，所以 ，可得
，
当且仅当，即，即, 时等号成立，
所以的最小值为 .
14.（15分）［2025·河北唐山一中高一月考］ 已知正数, 满足
.
（3）若，，求 的最小值.
解：因为,，且，所以 ，
可得 ，
当且仅当，即时等号成立，所以 的最小
值为18.
15.［2025·湖南长沙一中高一月考］设正实数，， 满足
，则当取得最大值时， 的最大值为
( )
A.2 B. C.1 D.
√
[解析] 因为正实数，，满足 ，所以
，所以 ，当
且仅当，即 时，等号成立，
此时，当 取得最大值时，
，分析可得，
当，即时， 取得最大值2.故选A.
16.（15分）［2025·上海黄浦区格致中学高一期中］ 一天早晨，同
学们走进教室，发现黑板上有如下内容：
例：求, 的最小值.
解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当
时等号成立，所以当时， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
当且仅当时，取到最小值 .
（1）请你模仿例题，研究, 的最小值；
（注：当,,，都为正数时， ，当且仅当
时等号成立）
解：因为当,,，都为正数时 ，当且仅当
时等号成立，所以当 时
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
当且仅当时，取得最小值 .
16.（15分）［2025·上海黄浦区格致中学高一期中］ 一天早晨，同
学们走进教室，发现黑板上有如下内容：
例：求, 的最小值.
解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当
时等号成立，所以当时， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
当且仅当时，取到最小值 .
（2）求, 的最小值；
解：因为当,,都为正数时，当且仅当
时等号成立，所以当时， ，当且仅当
时等号成立，
所以 ，
当且仅当时，取得最小值 .
16.（15分）［2025·上海黄浦区格致中学高一期中］ 一天早晨，同
学们走进教室，发现黑板上有如下内容：
例：求, 的最小值.
解：因为当，，都为正数时， ，当且仅当
时等号成立，所以当时， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
当且仅当时，取到最小值 .
（3）当时，求, 的最小值.
解：由题可得，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当
时，取得最小值 .
快速核答案（导学案）
课中探究
例1 （1）B （2）C 变式 （1）12（2）
<（3）1
例2 （1）D （2）16 变式 C
例3 A 变式 C
例4 （1）
（2）,此时花坛的造价为（元）.
变式 （1）（2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.C 7.2 8.5 8
9.（1） （2），
10.A 11.C 12.BC 13.
14.（1）8 （2）（3）18
15.A 16.（1）（2）（3）3.2.2 基本不等式的应用
1.D [解析] 因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1++1≥2+1=4+1,当且仅当x-1=,即x=2+1时等号成立,所以y的最小值为4+1.故选D.
2.C [解析] +=(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当= ,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C.
3.C [解析] 设矩形模型一条边的长为x cm,相邻边的长为y cm,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.设矩形模型的面积为S cm2,则S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,故选C.
4.A [解析] 由00,则x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×=,当且仅当2x=1-2x,即x=时等号成立,故原式最大值为.故选A.
5.B [解析] 由00,因此+=[x+(1-x)]=17++≥17+2=25,当且仅当=,即x=时取等号,所以+的最小值为25.故选B.
6.C [解析] 因为实数x>0,y>0,x+4y=xy,所以+=1,则x+y=(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当x=2y时等号成立,即x+y的最小值为9,故选C.
7.2 [解析] 因为a>0,b>0,且=2,即a=2b,所以b+=b+≥2=2,当且仅当b=1,a=2时取等号.
8.5 8 [解析] 每台机器使用x年的年平均利润为=18-,且x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.
9.解:(1)由题意可得xy=1800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)·=1808-3x-y(x>3,y>3).
(2)S=1808-3x-×=1808-≤1808-2=1808-240=1568,当且仅当3x=,即x=40时等号成立,此时y==45,所以当x=40,y=45时,S取得最大值.
10.A [解析] 因为00,所以+=[2a+(1-2a)]=2+++1≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=时取等号,所以+的最小值为3+2,故选A.
11.C [解析] 由题可知k的最大值为+的最小值.又+=[2m+(1-2m)]=4+2≥8,当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号,所以k的最大值为8.故选C.
12.BC [解析] 对于A,因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,当且仅当a=1,b=2时等号成立,所以ab≤2,故A错误;对于B,+=(2a+b)=≥=2,当且仅当a=1,b=2时等号成立,故B正确;对于C,因为(+)2=2a+b+2=4+2≤4+4=8,当且仅当a=1,b=2时等号成立,所以+≤2,故C正确;对于D,因为2a+b=4,所以b=4-2a,所以+4a=+4a=8a+-16≥16-16,当且仅当a=,b=4-2时等号成立,故D错误.故选BC.
13.6-3 [解析] 由2a+b+ab=16,得(a+1)(b+2)=18,因为a>0,b>0,所以a+b=(a+1)+(b+2)-3≥2-3=6-3,当且仅当a+1=b+2=3时取等号,所以a+b的最小值为6-3.
14.解:(1)因为a>0,b>0,且a+2b=ab,所以ab=a+2b≥2,当且仅当a=2b=4,即a=4,b=2时等号成立,可得≥2,则ab≥8,即ab的最小值为8.
(2)因为a>0,b>0,且a+2b=ab,所以+=1,可得a+b=(a+b)=2+1++≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=b,即a=2+,b=+1时等号成立,
所以a+b的最小值为3+2.
(3)因为a>2,b>1,且a+2b=ab,所以(a-2)(b-1)=2,
可得+=+=10++≥10+2=18,当且仅当=,即a=b=3时等号成立,所以+的最小值为18.
15.A [解析] 因为正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,所以z=x2-xy+4y2,所以==≤=,当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时z=x2-xy+4y2=6y2,当取得最大值时,+-=+-=-+=-+2,分析可得,当=2,即y=时,+-取得最大值2.故选A.
16.解:(1)因为当a,b,c,d都为正数时a+b+c+d≥4,当且仅当a=b=c=d时等号成立,所以当x∈(0,+∞)时x4+1+1+1≥4x,当且仅当x=1时等号成立,
所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3,
当且仅当x=1时,取得最小值-3.
(2)因为当a,b,c都为正数时a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时等号成立,所以当x∈(0,+∞)时,x3+3+3≥3x,当且仅当x=3时等号成立,
所以x3-3x=x3+3+3-6-3x≥3x-6-3x=-6,
当且仅当x=3时,取得最小值-6.
(3)由题可得x3++≥ax,当且仅当x3=时等号成立,所以x3-ax=x3++--ax≥-,当且仅当x3=时,取得最小值-.3.2.2 基本不等式的应用
【学习目标】
结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,从中领会基本不等式≤(a,b>0)成立时的三个限制条件(一正、二定、三相等)在求解实际问题的最值中的作用.
◆ 探究点一 利用基本不等式的变形求最值
角度1 配凑法求最值
例1 (1)[2025·江苏无锡辅仁高级中学高一期中] 已知实数x>1,则y=2x+的最小值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)[2025·江苏泰州兴化中学高一月考] 已知a>b≥0且+=1,则2a+b的最小值为 ( )
A.12 B.8
C.16 D.8
变式 利用基本不等式求以下最值:
(1)若0(2)若x>-3,求y=的最小值;
(3)当x<时,求y=3x-1+的最大值.
角度2 常数代换求最值
例2 (1)[2025·江苏宿迁湖滨高级中学高一月考] 若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,则+的最小值为 ( )
A.20 B.12
C.16 D.25
(2)[2025·江苏扬州高一期中] 已知a>0,b>0,2a+3b=5,则(2a+2)(3b+1)的最大值是 .
变式 [2025·江苏丹阳高一期中] 已知a>0,b>0,a+4b=ab,则a+4b的最小值为 ( )
A.36 B.25
C.16 D.9
角度3 消元法求最值
例3 [2025·江苏淮安涟水一中高一月考] 已知b>2,且2a+b=ab+1,则a+2b的最小值是 ( )
A.5+2 B.3+
C.3- D.5-2
变式 [2025·北京大兴区高一期中] 已知a,b∈R,且ab=2,则+的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.2
[素养小结]
若是求和的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式.
◆ 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用
例4 [2025·广东佛山石门中学高一月考] 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一座八边形的休闲场所.如图,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米a元;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺彩色水磨石地坪,造价为每平方米105元;在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为每平方米40元.
(1)设AD长为x米,总造价为S元,求S关于x的表达式;
(2)若市面上花坛造价为每平方米225元,求总造价S的最小值,并求此时花坛的造价.
变式 [2025·江苏徐州三中高一期中] 已知A,B为东西方向的海岸线上相距12 km的两地(B在A的东侧),C地在A,B之间,且距离A地3 km处,在C地正南方向3 km处有一海岛P,由海岛P开往海岸的小船以10 km/h的速度按直线方向航行.
(1)某人在海岛P上乘小船在距C地正东方向4 km处的D地登岸,登岸后以5 km/h的速度向东步行到B地,求此人从海岛P到达B地的时间;
(2)一快递员以v km/h的速度从A地向B地骑行,同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C,B之间的E地,且距C地x km(0[素养小结]
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法:
(1)理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数值;
(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3)在自变量的取值范围内,求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案.3.2.2 基本不等式的应用
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)C [解析] (1)∵实数x>1,∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=2时等号成立,∴y=2x+的最小值为6.故选B.
(2)因为a>b≥0,所以a+b>0,a-b>0,且2a+b=(a+b)+(a-b),则2a+b==10++≥10+2=16,当且仅当=且+=1,即a=8,b=0时,等号成立,所以2a+b的最小值为16.故选C.
变式 解:(1)∵00,∴y=x(12-3x)=×3x×(12-3x)≤×=12,
当且仅当3x=12-3x,即x=2时等号成立,∴y=x(12-3x)的最大值为12.
(2)∵x>-3,∴x+3>0,令t=x+3,则t>0,x=t-3,
∴y=可化为y==t+,∵y=t+≥2=2,当且仅当t=,即t=,即x=-3时等号成立,∴y=的最小值为2.
(3)当x<时,3x-4<0,4-3x>0,∴y=3x-4++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当4-3x=,即x=1时等号成立,
∴y=3x-1+的最大值为1.
例2 (1)D (2)16 [解析] (1)因为3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,当且仅当=且3m+2n-1=0,即m=n=时取等号,所以+的最小值为25.故选D.
(2)因为a>0,b>0,2a+3b=5,所以(2a+2)+(3b+1)=8,所以(2a+2)(3b+1)≤=42=16,当且仅当即时等号成立,所以(2a+2)(3b+1)的最大值为16.
变式 C [解析] 由a>0,b>0,a+4b=ab,得+=1,所以a+4b=(a+4b)=8++≥8+2=16,当且仅当a=4b且a+4b=ab,即a=8,b=2时等号成立,所以a+4b的最小值为16.故选C.
例3 A [解析] 因为b>2,所以b-2>0,由2a+b=ab+1,得a=,则a+2b=2b+=2b+=2(b-2)++5≥5+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,且a=,b>2,即b=+2,a=1+时取等号.故选A.
变式 C [解析] 因为ab=2,所以b=,a≠0,a2>0,所以+=+=+≥2=1,当且仅当=,即a=±,b=±时,等号成立,所以+的最小值为1.故选C.
探究点二
例4 解:(1)由题可得,正方形MNPQ的面积为x2,阴影部分的面积为100-x2,所以AM=,且AM>0,则0(2)由(1)可知,S=(225-100)x2++9500=125x2++9500≥2+9500=200×25+9500=14 500,当且仅当125x2=且0此时花坛的造价为225x2=225×20=4 500(元).
变式 解:(1)如图①所示,由题可得AC=3 km,PC=3 km,CD=4 km,BD=5 km,PC⊥CD,由勾股定理可得PD===5(km),因此,此人从海岛P到达B地的时间为+=+=1.5(h).
(2)如图②所示,AC=3 km,PC=3 km,CE=x km,PC⊥CE,由勾股定理可得PE==(km),
由题可得=,即=,可得====≤=,所以v≤10,当且仅当x=且0因此,快递员的速度v的最大值为10 km/h.3.2.2 基本不等式的应用
1.[2025·江苏如皋中学高一月考] 若x>1,则函数y=x+的最小值是 ( )
A.2 B.4
C.2+1 D.4+1
2.若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是 ( )
A.6 B.8
C.9 D.10
3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的面积的最大值为 ( )
A.9 cm2 B.16 cm2
C.4 cm2 D.5 cm2
4.若0A. B.
C.- D.-
5.[2025·广东河源中学高一月考] 已知0A.16 B.25
C.27 D.34
6.若实数x>0,y>0,且x+4y=xy,则x+y的最小值为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
7.已知a>0,b>0,且=2,则b+的最小值为 .
8.某公司欲购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器使用的时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器使用 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
9.(13分)某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(示意图如图所示),大棚的总占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S的值最大,则x,y的值各为多少
10.[2024·江苏无锡江阴高一月考] 若0A.3+2 B.3-2
C.4 D.4
11.设0A.4 B.2
C.8 D.1
12.(多选题)已知a>0,b>0,且2a+b=4,则 ( )
A.ab≤1 B.+≥2
C.+≤2 D.+4a≥12
13.[2025·吉林长春实验中学高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b+ab=16,则a+b的最小值为 .
14.(15分)[2025·河北唐山一中高一月考] 已知正数a,b满足a+2b=ab.
(1)求ab的最小值;
(2)求a+b的最小值;
(3)若a>2,b>1,求+的最小值.
15.[2025·湖南长沙一中高一月考] 设正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为 ( )
A.2 B.
C.1 D.
16.(15分)[2025·上海黄浦区格致中学高一期中] 一天早晨,同学们走进教室,发现黑板上有如下内容:
例:求x3-3x,x∈(0,+ )的最小值. 解:因为当a,b,c都为正数时,a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时等号成立,所以当x∈(0,+∞)时,x3+1+1≥3x,当且仅当x=1时等号成立, 所以x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2, 当且仅当x=1时,取到最小值-2.
(1)请你模仿例题,研究x4-4x,x∈(0,+∞)的最小值;(注:当a,b,c,d都为正数时,a+b+c+d≥4,当且仅当a=b=c=d时等号成立)
(2)求x3-3x,x∈(0,+∞)的最小值;
(3)当a>0时,求x3-ax,x∈(0,+∞)的最小值.