(共56张PPT)
3.3 从函数观点看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
探究点一 二次函数的零点
探究点二 由二次函数的零点求参数的值
探究点三 由二次函数的零点求参数的取值范围
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
结合具体实例,能够借助一元二次函数的图象,判断一元二次方程
根的存在性及根的个数,知道函数 的零点就
是方程 的实数根,能够从函数观点认识方程.
知识点一 二次函数的零点
一般地，一元二次方程 的根就是二次函数
当函数值取零时_________的值，即二次函
数的图象与 轴交点的________，也称为二
次函数 的零点.
自变量
横坐标
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的零点是和 .( )
×
[解析] 函数的零点是函数的图象与
轴交点的横坐标,而不是与 轴的交点.
（2）函数的零点是 .( )
×
[解析] 函数的零点是函数的图象与
轴交点的横坐标,而不是函数 图象的顶点.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数的零点是 和1.( )
×
[解析] 根据二次函数零点的定义可得结论错误.
（4）方程的根就是函数 的零点.( )
√
[解析] 根据二次函数零点的定义可得结论正确.
知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零
点之间的关系
当时，一元二次方程 的根、二次函数
的图象、二次函数 的零点之间的
关系：
___________________ __________________ _______________ _______________ ___________ _______
_______
有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
_____________________________ ___________________________ __________________________
___________________ _____________ _______________ _________ ________
有两个零点
有一个零点
无零点
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 有两个零点.( )
×
[解析] 方程的两根为 ，
则函数 只有一个零点.
（2）方程 可能没有实数根.( )
×
[解析] 因为方程 的
，所以方程
有两不相等的实数根.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数 有两个零点.( )
√
[解析] 因为方程的 ，
所以方程 有两个不相等的实数根，所以函数
有两个零点.
（4）函数的图象与 轴有两个交点.( )
×
[解析] 方程的根为，.当 时，
，此时函数的图象与 轴只有一个交点.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（5）函数 没有零点.( )
√
[解析] 方程的 ，
所以方程没有实数根，所以函数 没
有零点.
探究点一 二次函数的零点
例1 求下列函数的零点：
（1） ；
解：由，解得或 ，
所以函数的零点为1和 .
例1 求下列函数的零点：
（2） ；
解：①当时，，由得 ，所以函数
的零点为 .
②当时，由得 ，解
得或，又 ，
所以当时，，函数有唯一的零点 .
当且时，，函数有两个零点和 .
综上所述，当或时，函数的零点为 ；
当且时，函数有两个零点和 .
（3） ，其图象如图所示.
解：由题图可知，函数有两个零点 和3.
［素养小结］
（1）判断二次函数
零点的情况，可以转化
为判断方程
的根的情况.
（2）二次函数
的零点就是方程
的根，也就是该函数图象与
轴交点的横坐标.
探究点二 由二次函数的零点求参数的值
例2（1）若二次函数的两个零点为1和 ,
则实数 的值为( )
A.2 B.3 C. D.
[解析] 由题意知，关于的方程 的两根为1
和,故由根与系数的关系得,,可得 或2，
又，所以 .故选D.
√
（2）［2025·江苏盐城南阳中学高一期中］已知函数
，若函数只有一个零点，则 的值是_____.
0或
[解析] 若函数只有一个零点,即关于 的方程
只有一个根或有两个相同的实数根.则当 时,方
程为，解得，满足题意；
当 时, ,解得 ,此时方程有两个相同的实数根，
满足题意.
综上，的值是0或 .
变式（1）若,是二次函数的两个零点，则
的值是( )
A.3 B.9 C.21 D.33
[解析] 由题可知，,是方程 的两个实数根，
所以， ，
故 .故选C.
√
（2）已知二次函数的图象与 轴的交点为
，，若，则 的值为_______.
或5
[解析] 由题可知， ， 为方程 的两个根，
故, ，所以
，解得
或 .
［素养小结］
由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判
别式及根与系数的关系，解题的关键是正确运用判别式及根与系数
的关系.
探究点三 由二次函数的零点求参数的取值范围
例3（1）若关于的方程有两个正根,求实数 的
取值范围；
解：设方程的两个正根为,,则
即解得,故实数的取值范围是 .
（2）若,是关于的方程 的两个实数
根,且,都大于1,求实数 的取值范围.
解： 方程 的两个根都大于1，
,,,解得
且 .
变式 已知函数 .
（1）分别求该函数有两个零点、一个零点、没有零点时 的值或取
值范围；
解：若函数 有两个零点，则方程
有两个不相等的实数根，所以
，解得.
若函数 有一个零点,则方程
有两个相等的实数根，所以，解得 ；
若函数没有零点，则方程
没有实数根，所以，解得 .
综上所述，当原函数有两个零点时， ；当原函数有一个零点
时，；当原函数没有零点时， .
变式 已知函数 .
（2）若该函数有一个零点为0，求 的值；
解：由题意知0是方程 的一个根，
则，解得 .
（3）若关于的方程 有两个根，且一个根大
于2，另一个根小于2，求实数 的取值范围.
解：由题意可得即
解得.故实数的取值范围为 .
［素养小结］
由二次函数的零点分布求参数范围的问题时，一般要结合对应一元
二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式（组）进行
求解，或者结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴以及图象与
轴的交点情况,列出不等式（组）进行求解，函数有两个零点说明函
数图象与
轴有两个交点.
练习册
1.［2025·湖南长沙明德中学高一月考］函数 的零点
是( )
A., B.1，2
C., D.,
[解析] 令，解得或 ，
所以的零点是, .故选D.
√
2.函数 的零点的情况是( )
A.有一个零点 B.有两个零点
C.没有零点 D. 不确定，所以无法判断
[解析] 方程 的判别式
, 方程
有两个不相等的实数根， 函数
有两个零点.故选B.
√
3.已知二次函数有零点，则 的取值范围是
( )
A. B. C.且 D.且
[解析] 二次函数有零点，
关于 的一元二次方程 有实数根，
则解得且 .故选C.
√
4.已知二次函数，若 ，则该函数的零点个数
是( )
A.1 B.2 C.0 D.无法确定
[解析] ，， 方程 有
两个不等实根，故二次函数 有两个零点．故选B．
√
5.［2025·江苏常熟中学高一期中］“ ”是“函数
只有一个零点”的( )
A.充要条件 B.必要且不充分条件
C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 当时，函数只有一个零点；
当 时,若函数只有一个零点,则 ，
解得.
综上，若函数只有一个零点，则 或.
所以“”是“函数 只有一个零点”的充分且不必
要条件.故选C.
√
6.若二次函数 有两个零点1和4，则函数
的零点为( )
A.1或 B.1或4 C.或 D.或
[解析] 由二次函数 有两个零点1和4，可得1，4为方
程的两个根，所以解得 所以函数
，
令，解得 或，
则函数的零点为1或 .
√
7.函数在区间 上的零点个数是___.
1
[解析] 对于函数，因为 ,所以该
函数的图象与轴相切，
又因为该函数图象的对称轴为直线 ,
所以函数的图象在区间上与 轴只有一个交点，
即函数在区间 上只有1个零点.
8.若二次函数的两个零点都小于0，则实数 的
取值范围是_ __________.
[解析] 因为二次函数 的两个零点都小于0，所
以方程 有两个不相等的负根，
设这两个负根分别为,，
则即
可得，所以实数的取值范围是 .
9.（13分）已知关于的一元二次方程 .
（1）若该方程有一个正根，一个负根，求实数 的取值范围；
解：方法一：由题意知解得，即
的取值范围为 .
方法二：由题意得，解得，即 的取值
范围为 .
（2）若该方程有一个根大于2，另一个根小于2，求实数 的取值范围；
解：由题意知，解得，即 的取值范围
为 .
9.（13分）已知关于的一元二次方程 .
（3）若该方程有一个根大于2，另一个根不大于0，求实数 的取值
范围.
解：由题意知可得，即 的取值范围为
.
10.［2025·北京师大附中高一期中］已知关于 的方程
的两个实数根为,，且满足 ，
则常数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得 .故选C.
√
11.（多选题）已知二次函数 ，若方程
的一个根大于3，另一个根小于2，则下列结论正确
的是( )
A. B.
C.当时， D.当时，
√
√
√
[解析] 依题意知，函数 的图象开口向上，
与轴有两个交点，所以，故 ,故B正确；
因为方程 的一个根大于3，另一个根小于2，且
，所以当时，，当时， ，故C，D正确；
的取值范围不确定，故A不正确.
故选 .
12.已知函数，并且 , 是方程
的两根，则实数,, , 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题知 ， 是函数
的图象与 轴交点的横坐
标，且 .设,则, 是
的图象与 轴交点的横坐标，
且.
函数 的图象可以由函数 的
图象向下平移2个单位长度得到,如图所示.由图知， ，
故选C.
13.已知二次函数的两个零点都在区间 内，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 因为二次函数的两个零点都在区间 内，
所以解得，故实数 的取值范围是
.
14.（15分）[ 江苏南通高一期中］ 已知二次函数
，其中 为实数.
（1）求证：对任意实数 ，该二次函数有两个零点；
证明：由题可得， ,
故对任意实数 ，该二次函数有两个不同的零点.
14.（15分）[ 江苏南通高一期中］ 已知二次函数
，其中 为实数.
（2）设该二次函数在上有两个不同的零点, ，且
，求此二次函数的解析式.
解：因为该二次函数在上有两个不同的零点， ，所以
因为，所以 ，可得
或 .
当时，二次函数的解析式为 ，此时二次函数的
两个零点为和1，不满足题意，舍去；
当 时，二次函数的解析式为 ,此时二次函数的
两个零点为2,6，满足题意.
所以所求二次函数的解析式为 .
15.（多选题）［2025·浙江衢州高一期中］ 定义：如果关于 的一元
二次方程 有两个不同的实数根，且其中一个
根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”，下列说法正确
的是( )
A.方程 是“和谐方程”
B.若关于的方程是“和谐方程”，则
C.若关于的方程 是“和谐方程”，则函数
的图象与轴交点的坐标是和
D.若，则关于的方程 是“和谐方程”
√
√
√
[解析] 对于A，由,得 ，则方程的两
根为,1，又,，所以方程 不是
“和谐方程”，故A错误.
对于B，因为关于的方程 是“和谐方程”，所以不妨
设，则所以 ，解得,，
或,，所以 ，故B正确.
对于C，关于的方程 是“和谐方程”，可设该
方程的两根为,,且,又所以 ， ，
则，即 ，则
，令，解得方程的两根为, ，即函数
的图象与轴交点的坐标是和 ,故C正确.
对于D，因为，所以，,，则关于 的
方程可化为 ，则
，解得方程的两根为, ，又
,所以关于的方程 是“和谐方程”,故D正确.
故选 .
16.（15分）［2025·江苏徐州三中高一期中］ 对于二次函数
，若存在，使得
成立，则称为二次函数 的不动点.
（1）求二次函数 的不动点；
解：设的不动点为，则 ,即
,解得或，所以 的不动
点为 和3.
16.（15分）［2025·江苏徐州三中高一期中］ 对于二次函数
，若存在，使得
成立，则称为二次函数 的不动点.
（2）若二次函数 有两个不相等的不动点
，，且，，求 的最小值.
解：依题意得， 有两个不相等的正实数
根，即方程 有两个不相等的正实数根，
所以解得 .
所以 ，
因为,所以 ,所以，
当且仅当 ，即时等号成立，所以 的最小值为8.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 自变量
横坐标 【诊断分析】(1)× (2)× (3)× (4)√
知识点二 有两个相异的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个零点
有一个零点
无零点
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
课中探究 例1 （1）1和
（2）
和
（3）
和3
例2 （1）D （2）0或
变式 （1）C （2）
或5
例3 （1）
（2）
且
变式 （1）
当原函数有两个零点时，；当原函数有一个零点时，；
当原函数没有零点时，. （2）
快速核答案（练习册）
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.1 8.
9.（1）（2） （3）
10.C 11.BCD 12.C 13.
14.（1）略（2）15.BCD
16.（1）和3 （2）83.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
【课前预习】
知识点一
自变量x 横坐标
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)函数y=x2-5x+6的零点是函数y=x2-5x+6的图象与x轴交点的横坐标,而不是与x轴的交点.
(2)函数y=x2-2x+2的零点是函数y=x2-2x+2的图象与x轴交点的横坐标,而不是函数y=x2-2x+2图象的顶点.
(3)根据二次函数零点的定义可得结论错误.
(4)根据二次函数零点的定义可得结论正确.
知识点二
有两个相异的实数根x1,2=
有两个相等的实数根x1=x2=-
没有实数根 有两个零点x1,2=
有一个零点x=- 无零点
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)方程x2-2x+1=0的两根为x1=x2=1,则函数y=x2-2x+1只有一个零点.
(2)因为方程x2-mx-1=0的Δ=(-m)2-4×1×(-1)=m2+4>0,所以方程x2-mx-1=0有两不相等的实数根.
(3)因为方程3x2-4x+1=0的Δ=(-4)2-4×3×1=4>0,所以方程3x2-4x+1=0有两个不相等的实数根,所以函数y=3x2-4x+1有两个零点.
(4)方程x2+bx=0的根为x1=0,x2=-b.当b=0时,x1=x2=0,此时函数y=x2+bx的图象与x轴只有一个交点.
(5)方程x2-4x+7=0的Δ=(-4)2-4×1×7=-12<0,所以方程x2-4x+7=0没有实数根,所以函数y=x2-4x+7没有零点.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由3x2-2x-1=0,解得x=1或x=-,
所以函数y=3x2-2x-1的零点为1和-.
(2)①当a=0时,y=-x-1,由-x-1=0得x=-1,所以函数的零点为-1.
②当a≠0时,由ax2-x-a-1=0得(ax-a-1)(x+1)=0,解得x=或x=-1,又-(-1)=,
所以当a=-时,=-1,函数有唯一的零点-1.
当a≠-且a≠0时,≠-1,函数有两个零点-1和.综上所述,当a=0或a=-时,函数的零点为-1;
当a≠-且a≠0时,函数有两个零点-1和.
(3)由题图可知,函数有两个零点-1和3.
探究点二
例2 (1)D (2)0或 [解析] (1)由题意知,关于x的方程ax2-6x+a2=0(a<0)的两根为1和m,故由根与系数的关系得1+m=,m=a,可得m=a=-3或2,又a<0,所以a=m=-3.故选D.
(2)若函数y=ax2-3x+2只有一个零点,即关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个根或有两个相同的实数根.则当a=0时,方程为-3x+2=0,解得x=,满足题意;当a≠0时,Δ=9-8a=0,解得a=,此时方程有两个相同的实数根,满足题意.综上,a的值是0或.
变式 (1)C (2)-1或5 [解析] (1)由题可知,m,n是方程x2+3x-6=0的两个实数根,所以m+n=-3,mn=-6,故m2+n2=(m+n)2-2mn=9+12=21.故选C.
(2)由题可知,α,β为方程x2+(p-2)x-21=0的两个根,故α+β=2-p,αβ=-21,所以α2+β2=(α+β)2-2αβ=(2-p)2+2×21=51,解得p=-1或p=5.
探究点三
例3 解:(1)设方程x2-2x+m+1=0的两个正根为x1,x2,则即解得-1(2)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个根都大于1,∴Δ=4k-3≥0,>1,12-(2k+1)×1+k2+1>0,解得k≥且k≠1.
变式 解:(1)若函数y=-3x2+2x-m+1有两个零点,则方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4+12(1-m)>0,解得m<.若函数y=-3x2+2x-m+1有一个零点,则方程-3x2+2x-m+1=0有两个相等的实数根,所以Δ=4+12(1-m)=0,解得m=;若函数y=-3x2+2x-m+1没有零点,则方程-3x2+2x-m+1=0没有实数根,所以Δ=4+12(1-m)<0,解得m>.
综上所述,当原函数有两个零点时,m<;当原函数有一个零点时,m=;当原函数没有零点时,m>.
(2)由题意知0是方程-3x2+2x-m+1=0的一个根,则1-m=0,解得m=1.
(3)由题意可得即
解得m<-7.故实数m的取值范围为(-∞,-7).3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
1.D [解析] 令x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,所以y=x2+3x+2的零点是-1,-2.故选D.
2.B [解析] ∵方程x2-mx+m-2=0的判别式Δ=(-m)2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴方程x2-mx+m-2=0有两个不相等的实数根,∴函数y=x2-mx+m-2有两个零点.故选B.
3.C [解析] ∵二次函数y=(a-1)x2-2x+1有零点,∴关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有实数根,则解得a≤2且a≠1.故选C.
4.B [解析] ∵ac<0,∴Δ=b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,故二次函数y=ax2+bx+c有两个零点.故选B.
5.C [解析] 当a=0时,函数y=2x-1只有一个零点;当a≠0时,若函数y=ax2+2x-1只有一个零点,则Δ=4+4a=0,解得a=-1.综上,若函数y=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1只有一个零点”的充分且不必要条件.故选C.
6.A [解析] 由二次函数y=x2-ax+b有两个零点1和4,可得1,4为方程x2-ax+b=0的两个根,所以解得所以函数y=bx2-ax+1=4x2-5x+1,令4x2-5x+1=0,解得x=1或x=,则函数y=bx2-ax+1的零点为1或.
7.1 [解析] 对于函数y=-x2+8x-16,因为Δ=64-64=0,所以该函数的图象与x轴相切,又因为该函数图象的对称轴为直线x=4,所以函数y=-x2+8x-16的图象在区间[3,5]上与x轴只有一个交点,即函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上只有1个零点.
8.9.解:(1)方法一:由题意知解得a<4,即a的取值范围为(-∞,4).
方法二:由题意得02-3×0+a-4<0,解得a<4,即a的取值范围为(-∞,4).
(2)由题意知22-3×2+a-4<0,解得a<6,即a的取值范围为(-∞,6).
(3)由题意知可得a≤4,即a的取值范围为(-∞,4].
10.C [解析] 由题意得解得111.BCD [解析] 依题意知,函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象开口向上,与x轴有两个交点,所以Δ=b2-4ac>0,故4ac-b2<0,故B正确;因为方程ax2+bx+c=0的一个根大于3,另一个根小于2,且a>0,所以当x=2时,y<0,当x=3时,y<0,故C,D正确;-的取值范围不确定,故A不正确.故选BCD.
12.C [解析] 由题知α,β是函数y=(x-a)(x-b)-2的图象与x轴交点的横坐标,且α<β.设y1=(x-a)(x-b),则a,b是y1=(x-a)(x-b)的图象与x轴交点的横坐标,且a13.[8,9) [解析] 因为二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,所以解得8≤m<9,故实数m的取值范围是[8,9).
14.解:(1)证明:由题可得,Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=16>0,故对任意实数m,该二次函数有两个不同的零点.
(2)因为该二次函数在(0,+∞)上有两个不同的零点x1,x2,所以因为+=,所以=,可得m=0或m=5.
当m=0时,二次函数的解析式为y=x2+2x-3,此时二次函数的两个零点为-3和1,不满足题意,舍去;当m=5时,二次函数的解析式为y=x2-8x+12,此时二次函数的两个零点为2,6,满足题意.所以所求二次函数的解析式为y=x2-8x+12.
15.BCD [解析] 对于A,由x2+x-2=0,得(x+2)(x-1)=0,则方程的两根为-2,1,又-2≠2×1,-2×2≠1,所以方程x2+x-2=0不是“和谐方程”,故A错误.对于B,因为关于x的方程x2+ax+8=0是“和谐方程”,所以不妨设2x1=x2,则所以=4,解得x1=2,x2=4,或x1=-2,x2=-4,所以a=±6,故B正确.对于C,关于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和谐方程”,可设该方程的两根为x3,x4,且2x3=x4,又所以x3=1,x4=2,则x3·x4==2,即c=2b,则y=bx2+3bx+c=bx2+3bx+2b(b≠0),令bx2+3bx+2b=0,解得方程的两根为-1,-2,即函数y=bx2+3bx+c的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)和(-2,0),故C正确.对于D,因为mn=4,所以n=,m≠0,n≠0,则关于x的方程mx2+3x+n=0可化为mx2+3x+=0,则(mx+)=0,解得方程的两根为-,-,又-×2=-,所以关于x的方程mx2+3x+n=0是“和谐方程”,故D正确.故选BCD.
16.解:(1)设y=x2-x-3的不动点为x0,则-x0-3=x0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3,所以y=x2-x-3的不动点为-1和3.
(2)依题意得,2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根,所以解得a>1.
所以+===-2=-2=-2=-2=-2=++3,
因为a>1,所以a-1>0,所以++3≥2+3=8,当且仅当=,
即a=6时等号成立,所以+的最小值为8.3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
【学习目标】
结合具体实例,能够借助一元二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,知道函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根,能够从函数观点认识方程.
◆ 知识点一 二次函数的零点
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时 的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的 ,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2-5x+6的零点是(2,0)和(3,0). ( )
(2)函数y=x2-2x+2的零点是(1,1). ( )
(3)函数y=x2-3x-4的零点是-4和1. ( )
(4)方程x2-2x-5=0的根就是函数y=x2-2x-5的零点. ( )
◆ 知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图
象、二次函数的零点之间的关系
当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系:
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0 的根
二次函数y=ax2+ bx+c的图象
(续表)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+ bx+c的零点
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2-2x+1有两个零点. ( )
(2)方程x2-mx-1=0可能没有实数根. ( )
(3)函数y=3x2-4x+1有两个零点. ( )
(4)函数y=x2+bx的图象与x轴有两个交点. ( )
(5)函数y=x2-4x+7没有零点. ( )
◆ 探究点一 二次函数的零点
例1 求下列函数的零点:
(1)y=3x2-2x-1;
(2)y=ax2-x-a-1(a∈R);
(3)y=ax2+bx+c,其图象如图所示.
[素养小结]
(1)判断二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)零点的情况,可以转化为判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,也就是该函数图象与x轴交点的横坐标.
◆ 探究点二 由二次函数的零点求参数的值
例2 (1)若二次函数y=ax2-6x+a2(a<0)的两个零点为1和m,则实数m的值为 ( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
(2)[2025·江苏盐城南阳中学高一期中] 已知函数y=ax2-3x+2,若函数只有一个零点,则a的值是 .
变式 (1)若m,n是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则m2+n2的值是 ( )
A.3 B.9
C.21 D.33
(2)已知二次函数y=x2+(p-2)x-21的图象与x轴的交点为A(α,0),B(β,0),若α2+β2=51,则p的值为 .
[素养小结]
由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系,解题的关键是正确运用判别式及根与系数的关系.
◆ 探究点三 由二次函数的零点求参数的取值范围
例3 (1)若关于x的方程x2-2x+m+1=0有两个正根,求实数m的取值范围;
(2)若x1,x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0的两个实数根,且x1,x2都大于1,求实数k的取值范围.
变式 已知函数y=-3x2+2x-m+1.
(1)分别求该函数有两个零点、一个零点、没有零点时m的值或取值范围;
(2)若该函数有一个零点为0,求m的值;
(3)若关于x的方程-3x2+2x-m+1=0有两个根,且一个根大于2,另一个根小于2,求实数m的取值范围.
[素养小结]
由二次函数的零点分布求参数范围的问题时,一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系,列出不等式(组)进行求解,或者结合二次函数图象,得出开口方向、对称轴以及图象与x轴的交点情况,列出不等式(组)进行求解,函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点.3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
1.[2025·湖南长沙明德中学高一月考] 函数y=x2+3x+2的零点是 ( )
A.(1,0),(2,0) B.1,2
C.(-1,0),(-2,0) D.-1,-2
2.函数y=x2-mx+m-2的零点的情况是 ( )
A.有一个零点
B.有两个零点
C.没有零点
D.m不确定,所以无法判断
3.已知二次函数y=(a-1)x2-2x+1有零点,则a的取值范围是 ( )
A.a≤2
B.a>2
C.a≤2且a≠1
D.a<2且a≠1
4.已知二次函数y=ax2+bx+c,若ac<0,则该函数的零点个数是 ( )
A.1 B.2
C.0 D.无法确定
5.[2025·江苏常熟中学高一期中] “a=-1”是“函数y=ax2+2x-1只有一个零点”的 ( )
A.充要条件
B.必要且不充分条件
C.充分且不必要条件
D.既不充分又不必要条件
6.若二次函数y=x2-ax+b有两个零点1和4,则函数y=bx2-ax+1的零点为 ( )
A.1或 B.1或4
C.-1或- D.-1或-4
7.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上的零点个数是 .
8.若二次函数y=x2+3x+2m-1的两个零点都小于0,则实数m的取值范围是 .
9.(13分)已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-4=0.
(1)若该方程有一个正根,一个负根,求实数a的取值范围;
(2)若该方程有一个根大于2,另一个根小于2,求实数a的取值范围;
(3)若该方程有一个根大于2,另一个根不大于0,求实数a的取值范围.
10.[2025·北京师大附中高一期中] 已知关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根为x1,x2,且满足0A.(0,1) B.(1,+∞)
C. D.
11.(多选题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0),若方程ax2+bx+c=0的一个根大于3,另一个根小于2,则下列结论正确的是 ( )
A.2<-<3
B.4ac-b2<0
C.当x=2时,y<0
D.当x=3时,y<0
12.已知函数y=(x-a)(x-b)-2(aA.a<αB.a<α<βC.αD.α13.已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是 .
14.(15分)[2025·江苏南通高一期中] 已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数.
(1)求证:对任意实数m,该二次函数有两个零点;
(2)设该二次函数在(0,+∞)上有两个不同的零点x1,x2,且+=,求此二次函数的解析式.
15.(多选题)[2025·浙江衢州高一期中] 定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“和谐方程”,下列说法正确的是 ( )
A.方程x2+x-2=0是“和谐方程”
B.若关于x的方程x2+ax+8=0是“和谐方程”,则a=±6
C.若关于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和谐方程”,则函数y=bx2+3bx+c的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)和(-2,0)
D.若mn=4,则关于x的方程mx2+3x+n=0是“和谐方程”
16.(15分)[2025·江苏徐州三中高一期中] 对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点.
(1)求二次函数y=x2-x-3的不动点;
(2)若二次函数y=2x2-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1>0,x2>0,求+的最小值.