(共72张PPT)
3.3 从函数观点看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 三个二次关系、一元二次
不等式的解法
探究点一 解一元二次不等式
探究点二 解含参数的一元二次不等式
探究点三 三个“二次”的关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.结合具体实例，能够借助二次函数的图象求解一元二次不等式，并
能用集合表示解集，能够从函数观点认识不等式.
2.能够借助二次函数的图象解释二次函数与相应方程、不等式之间的
关系，感悟函数的重要性及数学知识之间的关联性.
知识点一 一元二次不等式的定义
只含有______未知数,并且未知数最高次数是___的整式不等式叫作一
元二次不等式.
一个
2
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是关于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 当 时,该不等式不是一元二次不等式.
（2）不等式是关于 的一元二次不等式.
( )
√
[解析] 因为，所以 的最高次数是2,所以
是关于 的一元二次不等式.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）不等式 是一元二次不等式.( )
√
[解析] 因为的最高次数是2，所以 是一元二次不等式.
（4）不等式是关于 的一元二次不等式.( )
×
[解析] 因为当时，该不等式为 ，
所以 不一定是一元二次不等式.
知识点二 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
没有实数
根
_______________________ ______________________ ______________________
_____________ __________ _____________ _____________ ___
________ ___ ___
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数的图象与 轴有交点.( )
×
[解析] 由,知方程 没有实
数根，即函数的图象与 轴没有交点.
（2）方程 有两个不相等的实根.( )
×
[解析] 由,知方程
没有实数根.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）方程 恒有两个不相等的实数根.( )
×
[解析] 当时，方程 的两根都是1.
（4）若一元二次方程的两根为， ，
则一元二次不等式的解集为 .( )
×
[解析] 当时，其解集为，当 时，其解集
为或 .
探究点一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式：
（1） ；
解：因为，所以方程
有两个不等实根， .
又二次函数 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 .
例1 解下列不等式：
（2） ；
解：原不等式可化为 ，
因为，
所以方程 有两个不相等的实数根，，
又二次函数 的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 .
例1 解下列不等式：
（3） ;
解：由，得方程 无实根，
又函数 的图象开口向上，所以原不等式的解集为
.
（4） .
解：原不等式可化为， ，
所以方程无实根，又二次函数 的
图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
变式（1）［2025·江苏苏州中学高一期中］不等式
的解集为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] 由，得 ，易知方程
的两根分别为,9，
又二次函数 的图象开口向上，
所以不等式 的解集为 .故选A.
√
（2）解不等式： .
解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为
，解得或 .
不等式②可化为，解得 .
故原不等式的解集为或 .
［素养小结］
解一元二次不等式的方法
（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几
个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方
向得到不等式的解集.
（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何
值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得.
（3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解
集的通法，即判别式法.
探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2（1）解关于的不等式 ；
解：原不等式等价于 ,
方程的两根为, .
当时，原不等式的解集是或 ；
当时，原不等式的解集是 ；
当时，原不等式的解集是或 .
（2）解关于的不等式 .
解：①当时，原不等式即为，解得 .
②当时，原不等式化为，解得或 .
③当时，原不等式化为 .
若，即，不等式无解；若，即 ，解不等式
得；若，即，解不等式得 .
综上可知，当时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 ；
当时，不等式的解集为 .
变式 解关于的不等式 .
解：关于的不等式 可化为
，当，即时， 或
；当，即时，或 ；
当，即时， .
所以当时，原不等式的解集为或；当
时，原不等式的解集为或；当 时，原不等
式的解集为 .
［素养小结］
含参一元二次不等式的解法：
探究点三 三个“二次”的关系
例3 ［2025·上海师大附中高一期中］已知关于 的不等式
的解集为，求关于 的不等式
的解集.
解：因为不等式的解集为 ，
所以和是关于的方程的两根，且 ，所
以即
所以可化为，
又 ，所以，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
变式 若不等式的解集是 ，求不等
式 的解集．
解：由的解集是，知 ，且2，
为方程的两个根，所以 ，
，所以，.
所以, ,所以不等式可化为
，即.
又因为 ,所以不等式可化为,解得 ，
故所求不等式的解集为 .
［素养小结］
三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题
转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函
数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题.
拓展 ［2025·浙江金华一中高一月考］
（1）若关于的不等式的解集为 ，
求 的值.
解：因为关于的不等式的解集为 ，
所以和2是方程 的两个根，
所以解得所以 .
拓展 ［2025·浙江金华一中高一月考］
（2）设关于的方程有两个实数根, .
①若,均大于0，试求 的取值范围；
解： 若,均大于0，则满足 解得
故，即的取值范围为 .
拓展 ［2025·浙江金华一中高一月考］
（2）设关于的方程有两个实数根, .
②若，求实数 的值.
解：由①知因为 ，所以
，即 ，所
以，即，解得或 .
由①知，即或，所以，即实数的值是 .
1.对一元二次不等式概念的理解
一元二次不等式概念中的关键词:一元,即只包含一个未知数,其他元
素均为常数;
二次,即未知数的最高次数必须为2,且最高次项的系数不能为0.
2.关于一元二次不等式的解法
（1）在解一元二次不等式时,需求所对应的一元二次方程的根,可借
用求根公式法或十字相乘法,再结合对应的二次函数的图象写出解集.
（2）解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
①化标准：通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
②判别式：对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判
别式.
③求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有
无实根.
④画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
⑤写解集：根据图象写出不等式的解集.
3.二次函数与一元二次方程、不等式的关系
一元二次方程与一元二次不等式都是二次函数的特例.当二次函数
的函数值 时,得一元二次方程
;当二次函数 的函
数值或时,得一元二次不等式 或
;而是与 的“分水岭”,它们之
间形成不可分割的内在关系.
1.解一元二次不等式常利用数形结合,设相应的二次函数的图象开口
向上,并与 轴相交,则有口诀:大于取两边;小于取中间.
例1（1）［2025·安徽黄山田家炳实验中学高一期中］不等式
的解集为( )
A.或 B.或
C.或 D.
[解析] 由，可得 ，
又，
所以 的解集为空集，故选D.
√
（2）不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，可得 ，
即，解得或 ，
所以不等式的解集为 .故选B.
√
2.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为
三个层次：第一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实
数根的讨论,即判别式,, ;第三层次是根的大小的讨论.
例2 ［2025·福建福州高级中学高一月考］设
.
（1）当时，求关于的不等式 的解集；
解：当时，由，得，解得 ，
所以不等式的解集为 .
例2 ［2025·福建福州高级中学高一月考］设
.
（2）当时，求关于的不等式 的解集；
解：当时，由 ，
整理得 ，
即，令，解得 或
，
令，解得 .
当，即时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为 ；
当，即时，原不等式的解集为 .
例2 ［2025·福建福州高级中学高一月考］设
.
（3）若关于的不等式在上有解，求实数 的取值范围.
解：依题意，关于的不等式在 上有解，
即在 上有解，
因为 ，
所以在区间 上能成立，
当时，（当且仅当 时，取等号），所
以 的最小值为2.
所以，所以的取值范围是 .
例3 ［2025· 贵州遵义一中高一月考］已知函数
.
（1）若,，且是关于 的方程
的一个根，求 的最大值；
解：因为是关于的方程 的一个根，
所以，整理得 ，
因为,，所以（当且仅当 时，取等
号），即，故 ，
故的最大值为 .
例3 ［2025· 贵州遵义一中高一月考］已知函数
.
（2）若，，，求 的取值范围；
解：因为，所以 ，
当时，不等式为 ，恒成立，符合题意；
当时，若， ，则
故故 .
综上所述，的取值范围为 .
例3 ［2025· 贵州遵义一中高一月考］已知函数
.
（3）若，不等式恰有4个整数解，求 的取值范围.
解：因为，所以 ，
要使不等式恰有4个整数解，则 ，
则方程的两根为, ，
因为不等式恰有4个整数解，且 ，
所以，解得，故的取值范围为 .
练习册
1.［2024·福建厦门高一期中］不等式 的解集为
( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 解可得或 ，
所以不等式的解集为或 .故选C.
√
2.设集合，集合 ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] ， ，
，故选A.
√
3.若，则不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 不等式可化为 ，
因为，所以，
故的解集是 .
√
4.若不等式的解集为，则 等
于( )
A. B.8 C. D.1
[解析] 由题知，和是方程 的两根.
.
√
5.下列不等式的解集为 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，可化为 ,二次函数
的图象开口向上，故A中不等式的解集不为 ；
对于B，二次函数 的图象开口向上，
，故B中不等式的解集不为 ；
对于C，二次函数的图象开口向上，
，故C中不等式的解集为；
对于D，不等式 可化为，
二次函数 的图象开口向上,故D中不等式的解集不为 .
故选C.
6.［2025·江苏扬州红桥高级中学高一期中］已知二次函数
的零点为和1，则关于 的不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为二次函数的零点为和1，所以 和1
是方程 的实数根，
由根与系数的关系知解得
所以不等式 可化为,解得或 ，
所以所求不等式的解集为 .故选A.
7.不等式 的解集为_____________.
[解析] 由不等式，得 ，
解得，故所求解集为 .
8.［2025·陕西西安高一期中］当 时，不等式
的解集为_______________.
[解析] 函数 的图象开口向下，
函数的两个零点为和，
又 ，所以原不等式的解集为 .
9.（13分）［2025·江苏淮安金湖中学高一期末］
（1）已知集合, ，请用列举法表示集合
，并写出集合 的所有真子集；
解：由,得，解得 ，
又，所以 ，则集合的真子集为 ,, .
9.（13分）［2025·江苏淮安金湖中学高一期末］
（2）求关于的不等式组 的解集.
解：由,得 ，
则，解得或 .
由,得，解得 .
所以不等式组的解集为 .
10.（13分）［2025·江苏盐城景山中学高一月考］ 已知一元二次不
等式 .
（1）若该不等式的解集为 ，求不等式
的解集；
解：由题意得，2，3是方程的两根，则
所以所以不等式可化为 ，
解得 ，所以不等式的解集为 .
10.（13分）［2025·江苏盐城景山中学高一月考］ 已知一元二次不
等式 .
（2）当时，求不等式 的解集.
解：当时，原不等式可化为 ，
即 .
当时,不等式的解集为 ；
当时,不等式 的解集为 ；
当时,不等式 的解集为 .
综上，当时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为 .
11.［2025·江西鹰潭一中高一期中］对于实数，规定 表示不大于
的最大整数，如， ，那么不等式
成立的一个充分且不必要条件是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，解得
，因此或或，
又因为 表示不大于的最大整数，所以 .
根据选项，只有是 的一个充分且不必要条件.故选B.
12.［2024·江苏南京田家炳高级中学高一月考］若关于 的不等式
的解集中恰有2个整数，则实数 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由，可得.
若 ，则不等式为，解集为空集；
若 ，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中
恰有2个整数，则；
若，则不等式的解集为 ，此时要使不等式解集中
恰有2个整数，则.
综上， 的取值范围是 .故选A.
13.（多选题）［2025·湖南长沙雅礼中学高一期中］ 已知二次函数
,,为常数,且 的部分图象如图所示,则
( )
A.
B.
C.
D.不等式 的解集为
√
√
√
[解析] 由题图可知,该二次函数的图象开口向上,故,该二次函数的图象与轴的交点为, , 故,则, .
对于A， ,故A正确.
对于B， ,故B错误;
对于C， ,故C正确;
对于D，不等式可化为, 即
,即,其解集为 ,故D正确.
故选 .
14.［2025·江苏盐城高一期中］若“”是“ ”的充
分条件，则 的最小值为___.
2
[解析] 由，解得，
因为“ ”是“”的充分条件，
所以，所以，所以 的最小值为2.
15.［2025·江苏泰州二中高一月考］已知关于 的不等式
，下列结论正确的是( )
A.当时，不等式的解集为
B.当时，不等式的解集为
的形式
C.当时，不等式的解集为
D.若不等式的解集为 ，那么
√
√
√
[解析] 由 ，得，当 时，
，从而不等式的解集为 ，
故A正确.
在同一平面直角坐标系中作出函数的
图象及直线和 ，如图所示，由图可知，当时，
不等式 的 解集为
的形式，故B错误.
由图可知，当 时，不等式
的解集为 ，C正确；
若不等式 的解集恰好为，
则，即 ，因此当，时函数值都是 ，当时
函数值是，得 ，解得或.
当 时，由，解得或 .
当时，不满足，舍去；
当 时，满足，所以 ，此时.
当 时，由，
解得或 ，不满足，舍去,故D正确.
故选 .
16.（15分）［2025·湖南长沙师大附中高一期中］ 已知函数
, .
（1）求集合 ；
解：，由 ，得
.由,解得 或
. 当时，恒成立，故 ；
当时，，故或 ；
当时，，故或 .
综上所述，当时，；当时， 或
；当时，或 .
16.（15分）［2025·湖南长沙师大附中高一期中］ 已知函数
, .
（2）设,，若中恰好有2个元素，求实数 的
取值范围.
解：当时，，则 ，不符合要求；
当时，或，则 ,
，由中恰好有2个元素，得，则 ，解
得 .
当时，或，则 ,
，由中恰好有2个元素，得,，则 ，
解得 .
综上所述，实数的取值范围是或 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 一个 2 【诊断分析】(1)× （2）√ （3）√ （4）×
知识点二
【诊断分析】 （1）× （2）× （3）× （4）×
课中探究 例1 (1)
（2）
（3）
（4）
变式 （1）A （2）
或
例2 （1）当
时，原不等式的解集是
或
；
当
时，原不等式的解集是
；当
时，原不等式的解集是
或
.
（2）当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
变式 所以当
时，原不等式的解集为
或
；当
时，原不等
式的解集为
或
；当
时，原不等式的解集为
.
例3
变式
拓展 （1）（2）①
②
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.
8.
9.（1）
,
,
（2）
10.（1）
（2）当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
11.B 12.A 13.ABD 14.2 15.ACD
16.（1）当
时，
；当
时，
或
；当
时，
或
.
（2）
或
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法
【课前预习】
知识点一
一个 2
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)当a=0时,该不等式不是一元二次不等式.
(2)因为m2+1≠0,所以x的最高次数是2,所以(m2+1)x2-2x+1<0是关于x的一元二次不等式.
(3)因为x的最高次数是2,所以x2+5≤0是一元二次不等式.
(4)因为当m=0时,该不等式为2>0,所以m2x2-3mx+2>0不一定是一元二次不等式.
知识点二
(-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ R
(x1,x2)
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)由(-2)2-4×1×2=-4<0,知方程x2-2x+2=0没有实数根,即函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点.
(2)由Δ=(-4)2-4×2×5=-24<0,知方程2x2-4x+5=0没有实数根.
(3)当m=1时,方程x2-(m+1)x+m=0的两根都是1.
(4)当a>0时,其解集为{x|x1
x2}.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.
又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2x2-x-3≥0,因为Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0,所以方程2x2-x-3=0有两个不相等的实数根x1=-1,x2=,又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上,所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪.
(3)由Δ=(-3)2-4×4=-7<0,得方程x2-3x+4=0无实根,又函数y=x2-3x+4的图象开口向上,所以原不等式的解集为(-∞,+∞).
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,所以原不等式的解集为 .
变式 (1)A [解析] 由-x2+6x+27>0,得x2-6x-27<0,易知方程x2-6x-27=0的两根分别为-3,9,又二次函数y=x2-6x-27的图象开口向上,所以不等式-x2+6x+27>0的解集为{x|-3(2)解:原不等式等价于不等式组不等式①可化为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2探究点二
例2 解:(1)原不等式等价于(x-3a)(x+a)≥0,
方程(x-3a)(x+a)=0的两根为x1=3a,x2=-a.
当a<0时,原不等式的解集是{x|x≤3a或x≥-a};
当a=0时,原不等式的解集是R;
当a>0时,原不等式的解集是{x|x≤-a或x≥3a}.
(2)①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,解得x<或x>1.
③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0(*).
若a=1,即=1,不等式(*)无解;若a>1,即<1,解不等式(*)得1,解不等式(*)得11};
当0当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为.
变式 解:关于x的不等式x2+x-a(a-1)>0可化为(x+a)(x+1-a)>0,当-a>a-1,即a<时,x-a;当a-1>-a,即a>时,x<-a或x>a-1;
当a-1=-a,即a=时,x≠-.
所以当a<时,原不等式的解集为{x|x-a};当a>时,原不等式的解集为{x|x<-a或x>a-1};当a=时,原不等式的解集为.
探究点三
例3 解:因为不等式ax2-bx+c<0的解集为(-∞,-4)∪(-3,+∞),所以-3和-4是关于x的方程ax2-bx+c=0的两根,且a<0,所以即
所以cx2+bx+a>0可化为12ax2-7ax+a>0,又a<0,
所以12x2-7x+1<0,解得变式 解:由ax2+bx+c≥0的解集是,知a<0,且2,-为方程ax2+bx+c=0的两个根,所以2×=,2+=-,所以=-,=-.所以b=-a,c=-a,所以不等式cx2+bx+a<0可化为x2+x+a<0,即2ax2+5ax-3a>0.又因为a<0,所以不等式可化为2x2+5x-3<0,解得-3拓展 解:(1)因为关于x的不等式x2-2ax+b<0的解集为{x|-1所以解得所以a+b=-2=-.
(2)①若x1,x2均大于0,则满足解得故a≥1,即a的取值范围为[1,+∞).
②由①知因为+=6x1x2-3,所以(x1+x2)2-2x1x2=6x1x2-3,即(x1+x2)2-8x1x2+3=0,所以4a2-8a+3=0,即(2a-1)(2a-3)=0,解得a=或a=.由①知Δ≥0,即a≥1或a≤0,所以a=,即实数a的值是.3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法
1.C [解析] 解(x-1)(x+3)=0可得x=-3或x=1,所以不等式(x-1)(x+3)>0的解集为{x|x>1或x<-3}.故选C.
2.A [解析] ∵A={x|-13.A [解析] 不等式(a-x)>0可化为(x-a)<0,因为00的解集是.
4.C [解析] 由题知a<0,-2和-是方程ax2+bx-2=0的两根.∴∴∴a+b=-13.
5.C [解析] 对于A,-x2+x+1≥0可化为x2-x-1≤0,二次函数y=x2-x-1的图象开口向上,故A中不等式的解集不为R;对于B,二次函数y=x2-2x+的图象开口向上,Δ1=(-2)2-4×>0,故B中不等式的解集不为R;对于C,二次函数y=x2+6x+10的图象开口向上,Δ2=62-4×10<0,故C中不等式的解集为R;对于D,不等式2x2-3x+4<1可化为2x2-3x+3<0,二次函数y=2x2-3x+3的图象开口向上,故D中不等式的解集不为R.故选C.
6.A [解析] 因为二次函数y=-x2+bx+c的零点为-2和1,所以-2和1是方程-x2+bx+c=0的实数根,由根与系数的关系知解得所以不等式x2+bx-c>0可化为x2-x-2>0,解得x<-1或x>2,所以所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
7. [解析] 由不等式-3x2+5x-2>0,得(3x-2)(x-1)<0,解得8.{x|a9.解:(1)由x2-5x+4<0,得(x-1)(x-4)<0,解得1则集合A的真子集为 ,{2},{3}.
(2)由9x-9-2x2≤0,得2x2-9x+9≥0,则(x-3)(2x-3)≥0,解得x≤或x≥3.
由x2-5x+4<0,得(x-1)(x-4)<0,解得1所以不等式组的解集为∪[3,4).
10.解:(1)由题意得,2,3是方程x2-ax+b=0的两根,则所以所以不等式ax2-bx+1<0可化为5x2-6x+1<0,解得所以不等式ax2-bx+1<0的解集为.
(2)当b=a-1时,原不等式可化为x2-ax+a-1>0,即(x-1)[x-(a-1)]>0.
当a=2时,不等式x2-ax+a-1>0的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);当a>2时,不等式x2-ax+a-1>0的解集为(-∞,1)∪(a-1,+∞);
当a<2时,不等式x2-ax+a-1>0的解集为(-∞,a-1)∪(1,+∞).
综上,当a=2时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
当a>2时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(a-1,+∞);
当a<2时,原不等式的解集为(-∞,a-1)∪(1,+∞).
11.B [解析] 由4[x]2-16[x]+7<0,得(2[x]-1)(2[x]-7)<0,解得<[x]<,因此[x]=1或[x]=2或[x]=3,又因为[x]表示不大于x的最大整数,所以1≤x<4.根
据选项,只有x∈[2,3]是x∈[1,4)的一个充分且不必要条件.故选B.
12.A [解析] 由x2-(a+1)x+a<0,可得(x-1)(x-a)<0.若a=1,则不等式为(x-1)2<0,解集为空集;若a>1,则不等式的解集为{x|113.ABD [解析] 由题图可知,该二次函数的图象开口向上,故a>0,该二次函数的图象与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a,则b=-a,c=-2a.对于A,abc=a·(-a)·(-2a)=2a3>0,故A正确.对于B,a+b=a-a=0,故B错误;对于C,a+b+c=a-a-2a=-2a<0,故C正确;对于D,不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0,即2x2-x-1<0,即(2x+1)(x-1)<0,其解集为,故D正确.故选ABD.
14.2 [解析] 由x2-3x+2<0,解得115.ACD [解析] 由x2-3x+4≤b,得3x2-12x+16-4b≤0,当b<1时,Δ=48(b-1)<0,从而不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为 ,故A正确.在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象及直线y=a和y=b,如图所示,由图可知,当116.解:(1)y=x2-bx+b-1=(x-1)[x-(b-1)],由y≥0,得(x-1)[x-(b-1)]≥0.由(x-1)[x-(b-1)]=0,解得x1=1或x2=b-1.
当b=2时,(x-1)2≥0恒成立,故M=R;
当b>2时,1当b<2时,b-1<1,故M={x|x≤b-1或x≥1}.
综上所述,当b=2时,M=R;当b>2时,M={x|x≤1或x≥b-1};当b<2时,M={x|x≤b-1或x≥1}.
(2)当b=2时,M=R,则N= ,不符合要求;
当b>2时,M={x|x≤1或x≥b-1},则N={x|1当b<2时,M={x|x≤b-1或x≥1},则N={x|b-1综上所述,实数b的取值范围是-1≤b<0或4第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法
【学习目标】
1.结合具体实例,能够借助二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示解集,能够从函数观点认识不等式.
2.能够借助二次函数的图象解释二次函数与相应方程、不等式之间的关系,感悟函数的重要性及数学知识之间的关联性.
◆ 知识点一 一元二次不等式的定义
只含有 未知数,并且未知数最高次数是 的整式不等式叫作一元二次不等式.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)ax2+bx+c>0是关于x的一元二次不等式. ( )
(2)不等式(m2+1)x2-2x+1<0是关于x的一元二次不等式. ( )
(3)不等式x2+5≤0是一元二次不等式. ( )
(4)不等式m2x2-3mx+2>0是关于x的一元二次不等式. ( )
◆ 知识点二 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的关系
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异的实数根x1,x2 (x1二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
(续表)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0(a>0)的解集
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2-2x+2的图象与x轴有交点. ( )
(2)方程2x2-4x+5=0有两个不相等的实根. ( )
(3)方程x2-(m+1)x+m=0恒有两个不相等的实数根. ( )
(4)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1◆ 探究点一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-2x2+x≤-3;
(3)x2-3x+4>0;
(4)-x2+3x-5>0.
变式 (1)[2025·江苏苏州中学高一期中] 不等式-x2+6x+27>0的解集为 ( )
A.{x|-3B.{x|-9C.{x|x<-3或x>9}
D.{x|x<-9或x>3}
(2)解不等式:-2[素养小结]
解一元二次不等式的方法
(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得.
(3)若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.
◆ 探究点二 解含参数的一元二次不等式
例2 (1)解关于x的不等式x2-2ax-3a2≥0;
(2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
变式 解关于x的不等式x2+x-a(a-1)>0(a∈R).
[素养小结]
含参一元二次不等式的解法:
◆ 探究点三 三个“二次”的关系
例3 [2025·上海师大附中高一期中] 已知关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为(-∞,-4)∪(-3,+∞),求关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集.
变式 若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
[素养小结]
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系,通过二次函数的图象及性质来解决问题.
拓展 [2025·浙江金华一中高一月考] (1)若关于x的不等式x2-2ax+b<0的解集为{x|-1(2)设关于x的方程x2-2ax+a=0有两个实数根x1,x2.
①若x1,x2均大于0,试求a的取值范围;
②若+=6x1x2-3,求实数a的值.3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 三个二次关系、一元二次不等式的解法
1.[2024·福建厦门高一期中] 不等式(x-1)(x+3)>0的解集为 ( )
A.{x|x>6或x<-3}
B.{x|-3C.{x|x>1或x<-3}
D.{x|-62.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|1A.{x|-1B.{x|-1C.{x|1D.{x|23.若00的解集是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.若不等式ax2+bx-2>0的解集为,则a+b等于 ( )
A.-18 B.8
C.-13 D.1
5.下列不等式的解集为R的是 ( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.x2+6x+10>0
D.2x2-3x+4<1
6.[2025·江苏扬州红桥高级中学高一期中] 已知二次函数y=-x2+bx+c的零点为-2和1,则关于x的不等式x2+bx-c>0的解集为 ( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
7.不等式-3x2+5x-2>0的解集为 .
8.[2025·陕西西安高一期中] 当a<-1时,不等式(a-x)(x+1)>0的解集为 .
9.(13分)[2025·江苏淮安金湖中学高一期末] (1)已知集合A={x|x2-5x+4<0,x∈N},请用列举法表示集合A,并写出集合A的所有真子集;
(2)求关于x的不等式组的解集.
10.(13分)[2025·江苏盐城景山中学高一月考] 已知一元二次不等式x2-ax+b>0.
(1)若该不等式的解集为(-∞,2)∪(3,+∞),求不等式ax2-bx+1<0的解集;
(2)当b=a-1时,求不等式x2-ax+b>0的解集.
11.[2025·江西鹰潭一中高一期中] 对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,如[π]=3,[-2.1]=-3,那么不等式4[x]2-16[x]+7<0成立的一个充分且不必要条件是 ( )
A.x∈ B.x∈[2,3]
C.x∈[1,4) D.x∈[0,4]
12.[2024·江苏南京田家炳高级中学高一月考] 若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-2,-1)∪(3,4]
B.[-2,-1]∪[3,4]
C.(-1,0)∪(2,3)
D.[-1,0]∪[2,3]
13.(多选题)[2025·湖南长沙雅礼中学高一期中] 已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的部分图象如图所示,则 ( )
A.abc>0
B.a+b>0
C.a+b+c<0
D.不等式cx2-bx+a>0的解集为
14.[2025·江苏盐城高一期中] 若“x2-3x+2<0”是“x15.[2025·江苏泰州二中高一月考] 已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b,下列结论正确的是 ( )
A.当aB.当1C.当aD.若不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
16.(15分)[2025·湖南长沙师大附中高一期中] 已知函数y=x2-bx+b-1,b∈R.
(1)求集合M={x|y≥0};
(2)设N={x|x∈ RM,x∈Z},若N中恰好有2个元素,求实数b的取值范围.