(共72张PPT)
3.3 从函数观点看一元二次方程和
一元二次不等式
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第2课时 一元二次不等式的简单应用
探究点一 分式不等式的解法
探究点二 不等式恒成立问题
探究点三 一元二次不等式的应用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
结合具体实例，能从熟悉的现实情境中抽象出一元二次不等式
模型，初步体会一元二次不等式的现实意义.
知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式（组），或者变形
转化为一元一次不等式组．
____________________；
____________________；
_ ____________________；
_ _____________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则有且 .( )
×
（2）若，则 .( )
√
（3）若，则 .( )
×
（4）若，则 .( )
×
知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况：
恒成立 _ _______；
恒成立 _ _______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是
“一元二次方程的 ”.( )
×
[解析] 若一元二次不等式的解集为,则 所以
“一元二次不等式的解集为”的充要条件是“ ,
一元二次方程的 ”.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（2）若关于的不等式恒成立，则 的取值范围
为 .( )
×
[解析] 由题意得 ，
解得，所以实数的取值范围是 .
知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.审题：理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，
把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
3.求模：解这个一元二次不等式，得出数学结论；
4.还原：将数学结论还原为实际问题的解.
探究点一 分式不等式的解法
例1（1）不等式 的解集是_______________.
[解析] 由得，等价于 ，
解得，所以不等式的解集是 .
（2）不等式 的解集是________________.
[解析] 由得，即，即 ，
等价于且，解得或 .
所以不等式的解集是 .
变式（1） 的解集是__________________.
或
[解析] 不等式可化为，即 ，
则原不等式等价于且，
解得或 .
故的解集是或 .
（2）若关于的不等式的解集为，则关于 的不
等式 的解集为__________________.
或
[解析] 由题意得为方程的根，
，即
的解集为， ，
等价于，解得 或，
不等式的解集为或 .
［素养小结］
（1）对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一
元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分
（不要去分母）,使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
探究点二 不等式恒成立问题
例2（1）若关于的不等式 的解集不为
空集,则实数 的取值范围为( )
A. B.
C.或 D.或
[解析] ①当,即时,若 ,则原不等式为
,解得,则不等式的解集为 ,不是空集;
若,则原不等式为 ,无解,不符合题意.
√
②当,即时,若 的解集
是空集,则有
解得,则当不等式 的解集不
为空集时,有或且.
综上,实数的取值范围为 或 .故选C.
（2）若对于，不等式恒成立，求实数 的
取值范围.
解：当时，不等式为 ，恒成立.
当时，则即 .
综上，，故的取值范围是 .
变式（1）［2025·江苏南通海门中学高一期中］已知对任意的
，恒成立，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由可知，由对任意的 ，
恒成立，可得对任意的 ，
恒成立，
又 ， 当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数 的取值范围为 .故选D.
（2）若关于的不等式在内有解，则 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 关于的不等式即为 ,由
，得，
因为不等式 在内有解，所以必有，
即 ，解得，
则的取值范围为 .故选C.
√
［素养小结］
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁
的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
探究点三 一元二次不等式的应用
例3 ［2025·江苏南京六合高级中学高一月考］某工厂生产商品 ，
每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了研发新产品，经过市场调
查，决定将商品的年产销量减少万件，同时将商品 的销售金
额的作为新产品的研发费（即每销售100元提出 元）.若新产品
的研发费不少于96万元，求实数 的取值范围.（假设：工厂永不停
产，新产品永在研发）
解：由题意得，改变后商品的年产销量为 件，
又商品 每件售价80元，
所以需满足，
即 ，所以，所以，
解得 ，则实数的取值范围为 .
变式 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，
可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增
加1辆，租出的车每辆每月需要维护费300元，未租出的车每辆每月
需要维护费100元，又该租赁公司每个月的固定管理费为14 200元.
（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆？
解：当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为
,所以此时租出了 （辆）.
变式 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，
可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增
加1辆，租出的车每辆每月需要维护费300元，未租出的车每辆每月
需要维护费100元，又该租赁公司每个月的固定管理费为14 200元.
（2）当每辆车的月租金为多少元时，该租赁公司的月收益最大？最
大月收益是多少？（注：公司每月收益 汽车每月租金-车辆月维护
费-公司每月固定管理费）
解：设每辆车的月租金为元，则租赁公司的月收益为
元，则 ，
，当且仅当时，最大， ,
故当每辆车的月租金为4100元时，该租赁公司的月收益最大，最大
月收益是28万元.
［素养小结］
解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;
②引进数学符号,用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）;③解
不等式（或求函数最值）;④回到实际问题.
1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步
代换,最后转化到可解的常见不等式上来.
2.解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二
次函数的图象求解.
（1）三个“二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还
可以确定参数的值或范围.
（2）与一元二次不等式有关的恒成立问题,要注意数形结合、三个
“二次”的关系,特别是二次函数的六个基本图象的运用.
3.解一元二次不等式应用题的关键是构造一元二次不等式模型，选择
其中起关键作用的未知量为，用 来表示其他未知量，根据题意，
列出不等关系再求解.
1.分式不等式的解法
（1）分式不等式或 的求解可应用同解原理,转化为
整式不等式求解.
（2）简单的分式不等式在求解时多化为或 的形式,
在变形的过程中,要注意等价性,如 或
但不等价于 ,要注意这一点.
例1 ［2025·福建三明永安九中高一期中］不等式 的解集是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由得解得
所以原不等式的解集为 .故选B.
√
2.不等式恒成立与能成立问题
含参数的一元二次不等式在某区间上恒成立,常有两种处理方法:一是
利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离出参数再去求函数的
最值.
含参数的一元二次不等式在某区间上能成立，常用的处理方法有：
若在给定区间上存在实数，使 成立，则只需在给定区间上
；
若在给定区间上存在实数，使 成立，则只需在给定区间上
.
例2（1）［2025·重庆一中高一月考］若正实数,满足 ，
且不等式恒成立，则实数 的取值范围是
( )
A. B.或
C. D.或
√
[解析] 因为 ，所以
，
当且仅当，即,时取等号，故 的最小值为6.
因为不等式恒成立，所以 ，即
，解得 .故选C.
（2）［2025·河北保定高一期中］已知， ，
，则实数 的取值范围是___________
____.
或
[解析] 因为，， ，
所以只需 ,其中,，
当 时，，关于 的函数
，当且仅当
时，等号成立，所以，解得或 ，所
以实数的取值范围是或 .
例3 ［2025·江苏南通高一期中］如图，某小区有
一个直角梯形形状的休闲广场 ，其中
， ，百米，
百米.规划修建两条直道， 将广场分割为3个
（1）试确定道路修建方案，使得 ;
区域：Ⅰ，Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为， ；
Ⅲ为休闲区域，面积记为.其中，区域Ⅲ是以 为底的梯形，点
，分别在， 上.（道路宽度忽略不计）
3.一元二次不等式的应用题
解：如图，延长，，使之交于点 ，
因为，所以 ，又
， ，
所以，则为 的中点，所以
.
由区域Ⅲ是以为底的梯形，可得 ，
于是，则 .
设，，所以 ，故
，
由图可知，所以 ，
所以 ，
.
因为，所以 ，即
，又，所以 ，
所以当道路米时， .
例3 ［2025·江苏南通高一期中］如图，某小区有
一个直角梯形形状的休闲广场 ，其中
， ，百米，
百米.规划修建两条直道， 将广场分割为3个
（2）记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划
下该广场“效能比”的最大值.
区域：Ⅰ，Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为， ；
Ⅲ为休闲区域，面积记为.其中，区域Ⅲ是以 为底的梯形，点
，分别在， 上.（道路宽度忽略不计）
设 ，则二次函数
的图象开口向上，
当时，函数取得最小值，即 ，
所以 ，
所以此规划下该广场“效能比”的最大值为3.
解：因为 ，
所以该广场“效能比”为
.
练习册
1.不等式 的解集是( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 不等式等价于解得 ，
所以不等式的解集是 .故选C.
√
2.已知集合,集合 ,则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为集合 ,
集合或,
所以 , 故选A.
√
3.［2024·山东泰安一中高一期中］关于的不等式 的解集为
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由,得,即 ,
解得,所以不等式的解集为 .故选D.
√
4.若关于的不等式的解集为，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为关于的不等式的解集为 ，
所以，解得 .故选A.
√
5.若关于的不等式有解，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
[解析] 若关于的不等式 有解，
则，解得 .故选C.
√
6.［2025·广东肇庆广信中学高一月考］某网店销售一批新款削笔器，
每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，
一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔
器每天获得400元以上的销售收入，则每个削笔器的售价
（单位：元）的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设每个削笔器的售价为 元，
由题意得，即
方程的两个实数根为,，
不等式的解集为，
又 ， .故选B.
7.已知关于的不等式，若此不等式的解集为 ，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 当时，不等式可化为，解集为 ，符合题意；
当时，需满足解得 .
综上所述，实数的取值范围是 .
8.限速 的盘山公路上两车相撞.经测量，甲车的刹车距离略大
于，乙车的刹车距离略小于 .经查询，甲、乙车的刹车距离
，单位：与行驶速度，单位： 分别满足
和 ，则____车应负主要
责任.（填“甲”或“乙”）
甲
[解析] 由题意得，可得
所以.
由题意得， 即所以.
因为行驶路段限速 ，所以甲车超速了，所以甲车应负主要责任.
9.（13分）解下列不等式:
（1） ;
解：因为,所以 ,
所以,即 ,
该不等式等价于且,解得或 ,
所以原不等式的解集为 .
9.（13分）解下列不等式:
（2） .
解：不等式可化为 ，
即，于是或解得 或
，
所以原不等式的解集为 .
10.（13分）[ 河南南阳高一期中］ 有一家企业生产制造智能
机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本为
1000万元；②材料成本为万元， 为每月生产机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个机器人的成本最低，最
低为多少万元？
解：设平均每个机器人的成本为 万元，根据题意得
，当且仅当
，即 时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个机器人的成本最低，最
低为30万元.
10.（13分）[ 河南南阳高一期中］ 有一家企业生产制造智能
机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本为
1000万元；②材料成本为万元， 为每月生产机器人的个数.
（2）若每个机器人的售价为 万元，假设生产出来的机器人
都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润
不低于400万元？附：利润 售价×销量-成本.
解：设每月的利润为 万元，则
，由题知
，整理得 ，可得
.
所以该企业应每月生产不小于70个机器人，才能确保每月的利润不
低于400万元.
11.已知命题“,”是假命题,则实数 的取
值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为“， ”是假命题,
所以“, ”是真命题,
所以,解得 .故选D.
√
12.［2025·江苏苏州实验中学高一月考］已知, ，且
，若恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，，且 ，所以
，当且仅当
，即时，等号成立.
又 恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是 . 故选C.
13.（多选题）［2025·江苏苏州木渎高级中学高一月考］ 已知不等
式 ，则下列说法正确的是( )
A.若，则不等式的解集为
B.若不等式对任意的恒成立，则整数的取值集合为 ，
，
C.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
D.若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A，当时， 可化为
，解得 ，故A错误.
对于B,不等式对任意的恒成立,则当时,不等式为 ，
显然恒成立，符合题意；
当时,需满足, ,解得.
综上可得.
又,所以 的取值集合为，，，故B正确.
对于C， 可转化为，因为不等式对
恒成立，所以，，
可得 ，故C正确.
对于D，令，因为当时， ，
所以符合题意，又恰有一个整数使得不等式成立，所以 ，
且解得，故D正确.
故选 .
14.若关于的不等式在上有解，则实数 的取
值范围是________.
[解析] 由不等式以及，可得 ，依
题意可知，.
令， ，则，
令，由 ，可得，
令， ，
则函数的图象开口向下，且图象所在抛物线的对称轴为直线 ，
又，所以当时，取得最大值1，可得,即实数
的取值范围是 .
15.［2025·江苏泰州高一期末］若关于 的不等式
的解集为，且，则 的取值范
围为_________， 的最小值是___.
[解析] 令，则函数 的图象开口向上.由关于
的不等式的解集为，且 ，可
得 解得,故的取值范围为.
由题意知, 是方程的两根,则，
.
因为是方程 的根,所以，可得，因为 ，所以
，即，即，即 ，
，且，所以，且.则 ，
令，则 ，
，利用基本不等式，可得
，当且仅当，即 时等号成立，所
以，即的最小值是 .
16.（15分）［2025·河南实验中学高一月考］ 已知二次函数
的图象经过点，，是否存在常数 ，
，，使得不等式对一切实数 都成立？若存在，
求出实数，， 的值；若不存在，请说明理由.
解： 二次函数的图象经过点， ，
解得 则 .
假设存在常数,,,使得不等式对一切实数 都成立,
则对一切实数 都成立，
化简得 恒成立，则
解得，可得. 存在常数，，，
使得不等式对一切实数 都成立.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
【诊断分析】 （1）× （2）√ （3）× （4）×
知识点二
【诊断分析】 （1）× （2）×
课中探究 例1 （1）
（2）
变式 （1）
或
（2）
或
例2 （1）C （2）
变式 （1）D （2）C 例3
变式 （1）最大月收益是28万元.
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.
8.甲
9.（1）
（2）
10.(1)该企业每月的产量为100个时，平均每个机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)该企业应每月生产不小于70个机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.
11.D 12.C 13.BCD 14.
15.
16. ，
，
第2课时 一元二次不等式的简单应用
【课前预习】
知识点一
(ax+b)(cx+d)>0 (ax+b)(cx+d)<0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点二
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)若一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则所以“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“a>0,一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ<0”.
(2)由题意得Δ=a2-4××(-7)≤0,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围是[-,].
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2)
[解析] (1)由>0得<0,等价于(x-3)(2x+5)<0,解得-
0的解集是.
(2)由≤3得-3≤0,即≤0,即≥0,等价于(x-2)(2x-7)≥0且x-2≠0,解得x<2或x≥.所以不等式≤3的解集是.
变式 (1){x|x<5或x≥11} (2){x|x<-1或x>2}
[解析] (1)不等式≥-2可化为+2≥0,即≥0,则原不等式等价于(x-11)(x-5)≥0且x-5≠0,解得x<5或x≥11.故≥-2的解集是{x|x<5或x≥11}.
(2)由题意得x=1为方程ax-b=0的根,∴a-b=0,即a=b.∵ax-b>0的解集为{x|x>1},∴a>0,∴=>0等价于(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1,∴不等式的解集为{x|x<-1或x>2}.
探究点二
例2 (1)C [解析] ①当a2-4=0,即a=±2时,若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,不是空集;若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意.②当a2-4≠0,即a≠±2时,若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有
解得-2(2)解:当m=0时,不等式为-1<0,恒成立.
当m≠0时,则即-4综上,-4变式 (1)D (2)C [解析] (1)由x>-1可知x+1>0,由对任意的x∈(-1,+∞),x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,可得对任意的x∈(-1,+∞),k≤恒成立,又==x+1+-1≥2-1=1(x>-1),当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,所以k≤1,即实数k的取值范围为(-∞,1].故选D.
(2)关于x的不等式x2-4x+4a≥a2即为x2-4x≥a2-4a,由x∈[1,6],得(x2-4x)max=12,因为不等式x2-4x+4a≥a2在[1,6]内有解,所以必有a2-4a≤12,即a2-4a-12≤0,解得-2≤a≤6,则a的取值范围为-2≤a≤6.故选C.
探究点三
例3 解:由题意得,改变后商品A的年产销量为(800 000-100 000p)件,又商品A每件售价80元,所以需满足(800 000-100 000p)·80·p%≥960 000,即≥96,
所以(8-p)8p≥96,所以p2-8p+12≤0,解得2≤p≤6,则实数p的取值范围为[2,6].
变式 解:(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为=12,所以此时租出了100-12=88(辆).
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3000)元,则租赁公司的月收益为y元,则y=(x-300)-×100-14 200=-x2+164x-56 200=-(x-4100)2+28×104,3000≤x≤8000,当且仅当x=4100时,y最大,ymax=28×104,故当每辆车的月租金为4100元时,该租赁公司的月收益最大,最大月收益是28万元.第2课时 一元二次不等式的简单应用
1.C [解析] 不等式≤0等价于解得1≤x<3,所以不等式的解集是{x|1≤x<3}.故选C.
2.A [解析] 因为集合A={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-21},所以A∩B={x|-23.D [解析] 由<2,得-2=<0,即(x-1)(x-2)<0,解得14.A [解析] 因为关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,所以Δ=(-4)2-4(-a-1)≤0,解得a≤-5.故选A.
5.C [解析] 若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0,解得a≥-6.故选C.
6.B [解析] 设每个削笔器的售价为x(x≥15)元,由题意得[30-(x-15)×2]·x>400,即x2-30x+200<0.∵方程x2-30x+200=0的两个实数根为x1=10,x2=20,∴不等式x2-30x+200<0的解集为{x|107.[0,4) [解析] 当m=0时,不等式可化为1≤0,解集为 ,符合题意;当m≠0时,需满足解得08.甲 [解析] 由题意得,可得所以v1>45.由题意得,
即所以09.解:(1)因为≤1,所以-1≤0,
所以≤0,即≥0,
该不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,
所以原不等式的解集为.
(2)不等式≤x-2可化为-(x-2)≤0,
即≤0,于是或解得0≤x<2或x≥4,
所以原不等式的解集为[0,2)∪[4,+∞).
10.解:(1)设平均每个机器人的成本为y万元,根据题意得y==++10≥2+10=30,当且仅当=,即x=100时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时,平均每个机器人的成本最低,最低为30万元.
(2)设每月的利润为W万元,则W=x-1000-10x-=+13x-1000,由题知+13x-1000≥400,整理得x2+130x-14000≥0,可得x≥70.
所以该企业应每月生产不小于70个机器人,才能确保每月的利润不低于400万元.
11.D [解析] 因为“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以“ x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,所以Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得012.C [解析] 因为x>0,y>0,且+=1,所以x+y=(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=y=2时,等号成立.又x+y>m2+3m恒成立,所以m2+3m<4,解得-413.BCD [解析] 对于A,当k=1时,2kx2+kx-<0可化为2x2+x-<0,解得-0,且解得k≥,故D正确.故选BCD.
14.(-∞,1] [解析] 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈(0,2],可得a≤,依题意可知a≤,x∈(0,2].令y=,x∈(0,2],则y==-+1,令t=,由x∈(0,2],可得t=∈,令g=-(t-1)2+1,t∈,则函数g的图象开口向下,且图象所在抛物线的对称轴为直线t=1,又t∈,所以当t=1时,g取得最大值1,可得a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].
15.(2,+∞) [解析] 令y=x2-2mx+3m-2,则函数y的图象开口向上.由关于x的不等式x2-2mx+3m-2<0的解集为(x1,x2),且x1>1,可得
解得m>2,故m的取值范围为(2,+∞).由题意知x1,x2是方程x2-2mx+3m-2=0的两根,则x1+x2=2m,x1x2=3m-2.因为x1是方程x2-2mx+3m-2=0的根,所以-2mx1+3m-2=0,可得m=,因为m>2,所以>2,即-2>0,即>0,即>0,因为(x1-2)2≥0,且x1>1,所以x1>,且x1≠2.则4x1+x2=4x1+=4x1+=4x1+=4x1+,令t=2x1-3(t>0,t≠1),则x1=,4x1+x2=4×+=2(t+3)+=2t+6+=2t+++6=2t++,利用基本不等式,可得2t+≥2=2,当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以4x1+x2=2t++≥2+=,即4x1+x2的最小值是.
16.解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,1),∴解得
则y=ax2+bx+c=ax2+x+-a.
假设存在常数a,b,c,使得不等式x≤y≤(x2+1)对一切实数x都成立,则x≤ax2+x+-a≤(x2+1)对一切实数x都成立,化简得恒成立,
则解得a=,可得c=-=.∴存在常数a=,b=,c=,使得不等式x≤y≤(x2+1)对一切实数x都成立.第2课时 一元二次不等式的简单应用
【学习目标】
结合具体实例,能从熟悉的现实情境中抽象出一元二次不等式模型,初步体会一元二次不等式的现实意义.
◆ 知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式
简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式(组),或者变形转化为一元一次不等式组.
>0 ;
<0 ;
≥0 ;
≤0 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若>0,则有x>0且x-1>0. ( )
(2)若<0,则(x-1)(2x+3)<0. ( )
(3)若>1,则2x+1>1-x. ( )
(4)若≤1,则x≥1. ( )
◆ 知识点二 不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立的情况:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立 ;
ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R”的充要条件是“一元二次方程ax2+bx+c=0的Δ<0”. ( )
(2)若关于x的不等式-x2+ax-7≤0恒成立,则a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞). ( )
◆ 知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤
1.审题:理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
2.建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;
3.求模:解这个一元二次不等式,得出数学结论;
4.还原:将数学结论还原为实际问题的解.
◆ 探究点一 分式不等式的解法
例1 (1)不等式>0的解集是 .
(2)不等式≤3的解集是 .
变式 (1)≥-2的解集是 .
(2)若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1},则关于x的不等式>0的解集为 .
[素养小结]
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
◆ 探究点二 不等式恒成立问题
例2 (1)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为 ( )
A.-2B.2≤a≤
C.a<-2或a≥
D.a≤-2或a≥
(2)若对于x∈R,不等式mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.
变式 (1)[2025·江苏南通海门中学高一期中] 已知对任意的x∈(-1,+∞),x2+(1-k)x+1-k≥0恒成立,则实数k的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0]
C.(-3,1] D.(-∞,1]
(2)若关于x的不等式x2-4x+4a≥a2在[1,6]内有解,则a的取值范围为 ( )
A.-2≤a≤3 B.2≤a≤3
C.-2≤a≤6 D.3≤a≤6
[素养小结]
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.
◆ 探究点三 一元二次不等式的应用
例3 [2025·江苏南京六合高级中学高一月考] 某工厂生产商品A,每件售价80元,每年产销80万件.工厂为了研发新产品,经过市场调查,决定将商品A的年产销量减少10p万件,同时将商品A的销售金额的p%作为新产品的研发费(即每销售100元提出p元).若新产品的研发费不少于96万元,求实数p的取值范围.(假设:工厂永不停产,新产品永在研发)
变式 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加1辆,租出的车每辆每月需要维护费300元,未租出的车每辆每月需要维护费100元,又该租赁公司每个月的固定管理费为14 200元.
(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆
(2)当每辆车的月租金为多少元时,该租赁公司的月收益最大 最大月收益是多少 (注:公司每月收益=汽车每月租金-车辆月维护费-公司每月固定管理费)
[素养小结]
解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系);③解不等式(或求函数最值);④回到实际问题.第2课时 一元二次不等式的简单应用
1.不等式≤0的解集是 ( )
A.{x|x<1或x≥3}
B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|1≤x<3}
D.{x|1≤x≤3}
2.已知集合A={x|(x-1)(x+2)<0},集合B=,则A∩B= ( )
A.{x|-2B.{x|1C.{x|0D.R
3.[2024·山东泰安一中高一期中] 关于x的不等式<2的解集为 ( )
A.{x|x<2} B.{x|x>2}
C.{x|04.若关于x的不等式x2-4x-a-1≥0的解集为R,则实数a的取值范围为 ( )
A.a≤-5 B.a≤-2
C.a>-5 D.a≥-5
5.若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≥-2 B.a≤-2
C.a≥-6 D.a≤-6
6.[2025·广东肇庆广信中学高一月考] 某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个,一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,则每个削笔器的售价x(单位:元)的取值范围是 ( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
7.已知关于x的不等式mx2-mx+1≤0,若此不等式的解集为 ,则实数m的取值范围是 .
8.限速40 km/h的盘山公路上两车相撞.经测量,甲车的刹车距离略大于9 m,乙车的刹车距离略小于10 m.经查询,甲、乙车的刹车距离s1,s2(单位:m)与行驶速度v1,v2(单位:km/h)分别满足s1=0.01-0.25v1和s2=0.005+0.05v2,则 车应负主要责任.(填“甲”或“乙”)
9.(13分)解下列不等式:
(1)≤1;
(2)≤x-2.
10.(13分)[2025·河南南阳高一期中] 有一家企业生产制造智能机器人,每月的成本t(单位:万元)由两部分构成:①固定成本为1000万元;②材料成本为万元,x为每月生产机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时,平均每个机器人的成本最低,最低为多少万元
(2)若每个机器人的售价为万元,假设生产出来的机器人都能够售出,则该企业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元 附:利润=售价×销量-成本.
11.已知命题“ x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为 ( )
A.a<0 B.0≤a≤4
C.a≥4 D.012.[2025·江苏苏州实验中学高一月考] 已知x>0,y>0,且+=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.-4C.-413.(多选题)[2025·江苏苏州木渎高级中学高一月考] 已知不等式2kx2+kx-<0,则下列说法正确的是 ( )
A.若k=1,则不等式的解集为
B.若不等式对任意的x∈R恒成立,则整数k的取值集合为{-2,-1,0}
C.若不等式对0≤k≤1恒成立,则实数x的取值范围是-D.若恰有一个整数x使得不等式成立,则实数k的取值范围是k≥
14.若关于x的不等式ax2-2x+1≤0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是 .
15.[2025·江苏泰州高一期末] 若关于x的不等式x2-2mx+3m-2<0的解集为(x1,x2),且x1>1,则m的取值范围为 ,4x1+x2的最小值是 .
16.(15分)[2025·河南实验中学高一月考] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,1),是否存在常数a,b,c,使得不等式x≤y≤(x2+1)对一切实数x都成立 若存在,求出实数a,b,c的值;若不存在,请说明理由.