微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题
类型一
例1 (1)D (2)A [解析] (1)当a=2时,原不等式为-4<0,满足题意,则a=2.当a≠2时,需满足
解得-2
(2)由题意得解得0例2 (1)A (2)A [解析] (1)因为0(2)由+≥4,得+≥4-,则原题意等价于+≥4-对任意的x>2恒成立.由a>0,x>2,得>0,>0,所以+≥2=,当且仅当=且x>2,即x=2+时取得等号,所以解得0变式 (1)A (2)[0,12] (3) [解析] (1)因为x>0,y>0,且x+y=5,所以x+1+y+2=8,易知>0,>0,所以+=[(x+1)+(y+2)]=≥=,当且仅当即时取等号,所以+的最小值为,因为+≥2m+1恒成立,所以2m+1≤,解得m≤,所以实数m的取值范围是.故选A.
(2)当m=0时,原不等式为3≥0,满足题意;当m≠0时,应满足解得0(3)因为x>0,所以原不等式等价于a≥=.又≤=,当且仅当x=2时,等号成立,所以a≥,则a的最小值是.
类型二
例3 (1)D (2) [解析] (1)∵不等式x+0,y>0,+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立,∴m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,∴实数m的取值范围是m<-1或m>4.故选D.
(2)设函数y=x2-4x+1-ax=x2-(4+a)x+1,因为二次函数y=x2-(4+a)x+1的图象开口向上,因此y=x2-(4+a)x+1在区间[1,4]内的最大值在区间端点处取得.要使不等式x2-4x+1-ax>0在区间[1,4]内有解,只需y=x2-(4+a)x+1在区间[1,4]内的最大值大于0,因此12-(4+a)×1+1>0或42-(4+a)×4+1>0,解得a<-2或a<,则实数a的取值范围是.
变式 D [解析] 关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1,4]上有解,等价于m+1≥x+在区间[1,4]上有解,又x+≥6,当且仅当x=3时等号成立,故m+1≥6,可得m≥5,则实数m的最小值为5.故选D.
类型三
例4 (1)D (2)C [解析] (1)当m=0时,不等式为-3x+2≤0,即x≥,显然-3x+2≤0在R上有解,符合题意.当m≠0时,若m<0,则函数y=mx2+2(m-3)x+4的图象开口向下,显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解,符合题意;若m>0,则函数y=mx2+2(m-3)x+4的图象开口向上,则需满足[2(m-3)]2-4×4×m≥0,解得m≤1或m≥9,又m>0,所以0(2)由x2+(4-a)x+7-2a≥0,得x2+4x+7≥a(x+2),所以a≤==x+2+(x>-2).又当x∈(-2,+∞)时,x+2+≥2=2,当且仅当x+2=且x>-2,即x=-2时取等号,所以a≤2,则实数a的最大值为2.故选C.
变式 (1)B (2)6 [解析] (1)设函数y=x2-ax+3,则二次函数y=x2-ax+3的图象开口向上,又“ x∈[1,3],x2-ax+3<0”是真命题,所以解得a>4.所以a>4是p为真命题的充要条件,结合选项知,a>3是p为真命题的一个必要且不充分条件.故选B.
(2)因为x>0,y>0,所以6xy≤x2+(3y)2,当且仅当x=3y时等号成立,即12xy≤x2+(3y)2+6xy,整理得12xy≤(x+3y)2,所以+=≥.由x+3y++=8,得x+3y+≤8,整理得(x+3y)2-8(x+3y)+12≤0,即(x+3y-2)(x+3y-6)≤0,所以2≤x+3y≤6.因为m≥x+3y恒成立,所以m≥6,即m的最小值为6.微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题
1.D [解析] 由题可知,“ x∈R,x2+4x+a≥0”为真命题,故Δ=16-4a≤0,解得a≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞).故选D.
2.D [解析] 因为对于任意的0恒成立,所以当0,因为=≤=,当且仅当x=1时取等号,所以m>.故选D.
3.A [解析] 由x2+1-a≤0,得a≥x2+1,因为x∈[1,2],所以x2+1∈[2,5],要使得原命题为真命题,只需满足a≥5.根据选项,只有“a>5”是“a≥5”的充分且不必要条件.故选A.
4.B [解析] 因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时取等号.因为 x>2,x+≥a,所以当x>2时,a≤,即a≤6,所以实数a的最大值6,没有最小值,故B正确.故选B.
5.A [解析] 当函数y=的定义域为R时,ax2-ax+1≠0对任意x∈R恒成立.①当a=0时,1≠0对任意x∈R恒成立,满足题意;②当a≠0时,只需满足Δ=a2-4a<0,解得06.B [解析] 令y=x2-2ax-3a,x∈[1,2],依题意可得, x∈[1,2],y<0,因为函数y=x2-2ax-3a的图象开口向上,所以解得a>,则a的取值范围是.故选B.
7.-1≤a≤3 [解析] 因为不等式x2+(a-1)x+1≥0对任意实数x恒成立,所以Δ=(a-1)2-4≤0,可得-1≤a≤3,所以a的取值范围为-1≤a≤3.
8. [解析] 由x>a,可得x-a>0,则2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立.因为 x>a,2x+≥5,所以当x>a时,4+2a≥5,解得a≥,所以实数a的最小值为.
9.A [解析] 由x+2y>m2-2m恒成立,得m2-2m<(x+2y)min,因为x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,+=1,即x=4,y=2时等号成立,所以x+2y的最小值是8,则m2-2m<8,解得-210.ACD [解析] 当k=0时,不等式可化为-<0,不等式对于一切实数x恒成立,满足题意.当k≠0时,若 x∈R,2kx2+kx-<0,则需满足解得-311.AB [解析] 由+≥4,得+≥4-,则由题意知+≥4-对任意x>2恒成立.由a>0,x>2,得>0,>0,所以+≥2=,当且仅当=,即x=2+时取得等号.所以解得012.[-8,+∞) [解析] 由题意得,“ x∈[-1,2],x2+2x+a≥0”为真命题,即a≥-x2-2x当x∈[-1,2]时有解.令y=-x2-2x,x∈[-1,2],则a≥ymin,又y=-x2-2x=-(x+1)2+1,x∈[-1,2],所以-8≤-(x+1)2+1≤1,则ymin=-8,所以a≥-8,即实数a的取值范围为[-8,+∞).
13.B [解析] 由题意得(ax-1)(x-b)≥0对任意x∈R恒成立.当a=0时,-(x-b)≥0不可能对任意的x∈R恒成立,不满足题意;当a≠0时,令y=(ax-1)(x-b)=ax2-(ab+1)x+b,要使(ax-1)(x-b)≥0对任意x∈R恒成立,则需满足则又(ab-1)2≥0,所以ab=1,a>0,则b>0,所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b,即a=,b=2时,等号成立,所以4a+b的最小值为4.故选B.微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题
高考中经常会考恒成立与能成立问题,一般用这类问题来考查函数与方程、不等式等知识点,也是高中数学的难点之一,理解与掌握这类问题,也是为了更好地掌握与之有关的数学知识点.
类型一 不等式恒成立问题
1.一次函数型不等式恒成立问题,对于函数y=kx+b(k≠0),若y>0在区间[m,n]上恒成立,则若y<0在区间[m,n]上恒成立,则
2.二次函数型不等式恒成立问题,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若y>0恒成立,则若y<0恒成立,则
3.分离参数法:将不等式中的参数与变量分离,转化为m>y或my恒成立,则m>ymax;若m例1 (1)[2025·重庆高一期末] 若关于x的不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪[2,+∞)
C.(-2,2)
D.(-2,2]
(2)若一元二次不等式kx2+3kx+>0对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是 ( )
A.0C.k<0 D.0例2 (1)已知0A. B.
C.(0,2) D.(0,4)
(2)若关于x的不等式+≥4对任意的x>2恒成立,则正实数a的值可能为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
变式 (1)已知x>0,y>0,且x+y=5,若+≥2m+1恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(-∞,4]
(2)若对任意的x∈R,mx2+mx+3≥0恒成立,则实数m的取值范围是 .
(3)[2025·江西抚州高一期末] 若对任意的x∈(0,+∞),不等式≥恒成立,则实数a的最小值是 .
类型二 不等式能成立问题
若不等式m>y有解,则m>ymin;若不等式m例3 (1)若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.-11
C.-44
(2)若关于x的不等式x2-4x+1-ax>0在区间[1,4]内有解,则实数a的取值范围是 .
变式 若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1,4]上有解,则实数m的最小值为 ( )
A.9 B.6 C. D.5
类型三 “存在量词命题”与“全称量词命题”
全称量词命题是真命题,本质就是恒成立问题,存在量词命题是真命题,本质就是能成立问题;全称(存在)量词命题与其否定,真假性相反.
例4 (1)[2025·山东济南高一期末] 若“ x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0”是真命题,则实数m的取值范围为 ( )
A.(1,9)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)∪(9,+∞)
D.(-∞,1]∪[9,+∞)
(2)已知“ x∈(-2,+∞),x2+(4-a)x+7-2a≥0”是真命题,则实数a的最大值为 ( )
A. B.3 C.2 D.6
变式 (1)已知p: x∈[1,3],x2-ax+3<0,则p为真命题的一个必要且不充分条件是 ( )
A.a<5 B.a>3
C.a<4 D.a>4
(2)已知x>0,y>0,且满足x+3y++=8,若m≥x+3y恒成立,则m的最小值为 . 微突破(一) 不等式恒成立、能成立问题
1.已知p: x∈R,x2+4x+a<0,若p是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,4) B.(-∞,4]
C.(-∞,0) D.[4,+∞)
2.[2025·湖南衡阳一中高一月考] 若对于任意的0恒成立,则m的取值范围为 ( )
A.m> B.m>
C.m> D.m>
3.“ x∈[1,2],x2+1-a≤0”为真命题的一个充分且不必要条件是 ( )
A.a>5 B.a≥5
C.a≥3 D.a≥2
4.[2025·山东青岛六中高一期中] 若 x>2,x+≥a,则实数a的 ( )
A.最大值是4 B.最大值是6
C.最小值是4 D.最小值是6
5.[2025·山东济宁一中高一期中] “函数y=的定义域为R”是“a<4”的 ( )
A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.[2025·广东广州六中高一期末] 若 x∈[1,2],x2-2ax-3a<0(a∈R),则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知不等式x2+(a-1)x+1≥0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 .
8.已知 x>a,2x+≥5,则实数a的最小值为 .
9.[2025·江苏无锡南菁高级中学高一期中] 若x>0,y>0,且+=1,x+2y>m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-2,4)
B.(-∞,-2)∪(4,+∞)
C.(-∞,-4)∪(2,+∞)
D.(-4,2)
10.(多选题)[2025·广东广州高一期末] “ x∈R,2kx2+kx-<0”的一个充分条件是 ( )
A.k=0 B.k=1
C.k=-1 D.-311.(多选题)[2025·江苏苏州震泽中学高一月考] 若关于x的不等式+≥4对任意x>2恒成立,则正实数a的可能值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
12.[2025·江苏南通高一期末] 已知“ x∈[-1,2],x2+2x+a<0”为假命题,则实数a的取值范围为 .
13.若“ x∈R,(ax-1)(x-b)≥0”是真命题,则4a+b的最小值为 ( )
A.2 B.4
C.5 D.4(共44张PPT)
微突破（一） 不等式恒成立、能成立
问题
类型一 不等式恒成立问题
类型二 不等式能成立问题
类型三 “存在量词命题”与“全称量词命题”
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
高考中经常会考恒成立与能成立问题，一般用这类问题来考查
函数与方程、不等式等知识点，也是高中数学的难点之一，理解与
掌握这类问题，也是为了更好地掌握与之有关的数学知识点.
类型一 不等式恒成立问题
1.一次函数型不等式恒成立问题，对于函数 ，若
在区间上恒成立，则若在区间
上恒成立，则
2.二次函数型不等式恒成立问题，对于二次函数
，若恒成立，则 若
恒成立，则
3.分离参数法：将不等式中的参数与变量分离，转化为 或
恒成立的形式，然后求的最值.若恒成立，则 ；
若恒成立，则 .
例1（1）［2025·重庆高一期末］若关于 的不等式
对任意的恒成立，则实数 的取
值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，原不等式为，满足题意，则 .
当时，需满足 解得.
综上，实数的取值范围为 .故选D.
√
（2）若一元二次不等式对任意的 恒成立，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得 ，故选A.
√
例2（1）已知，若恒成立，则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以恒成立等价于
恒成立，
又，当且仅当 时取等号，故 .
故选A.
√
（2）若关于的不等式对任意的 恒成立，则正实
数 的值可能为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 由，得 ，则原题意等价于
对任意的恒成立.
由, ,得,,所以
，当且仅当且，即 时取得等号，
√
所以解得.故正实数的取值范围为 .
结合选项可知只有A正确，故选A.
变式（1）已知,，且，若 恒
成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，且，所以 ，
易知, ，所以
，
√
当且仅当即时取等号，所以 的
最小值为，
因为恒成立，所以 ，解得，
所以实数的取值范围是 .故选A.
（2）若对任意的，恒成立，则实数 的取
值范围是_______.
[解析] 当时，原不等式为，满足题意；
当 时，应满足解得.
综上，实数 的取值范围是 .
（3）［2025·江西抚州高一期末］若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的最小值是__.
[解析] 因为，所以原不等式等价于 .
又，当且仅当时，等号成立，所以，
则 的最小值是 .
类型二 不等式能成立问题
若不等式有解，则；若不等式 有解，则
.
例3（1）若两个正实数，满足 ，且不等式
有解，则实数 的取值范围是( )
A. B.或
C. D.或
√
[解析] 不等式有解， ，
，， ，
，当且仅
当，即，时，等号成立，
，即，解得或，
实数 的取值范围是或 .故选D.
（2）若关于的不等式在区间 内有解，则
实数 的取值范围是_ _______.
[解析] 设函数 ，因为二次
函数 的图象开口向上，因此
在区间 内的最大值在区间端点处取得.
要使不等式在区间 内有解，只需
在区间 内的最大值大于0，因此
或，解得 或
，则实数的取值范围是 .
变式 若关于的不等式在区间 上有解，
则实数 的最小值为( )
A.9 B.6 C. D.5
[解析] 关于的不等式在区间 上有解，等
价于在区间上有解，
又，当且仅当 时等号成立，故，可得，
则实数 的最小值为5.故选D.
√
类型三 “存在量词命题”与“全称量词命题”
全称量词命题是真命题，本质就是恒成立问题，存在量词命题
是真命题，本质就是能成立问题；全称（存在）量词命题与其否定，
真假性相反.
例4（1）［2025·山东济南高一期末］若“ ,
”是真命题，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，不等式为，即 ，显然
在上有解，符合题意.
当时，若 ，则函数 的图象开口
向下，显然在上有解，符合题意；
若 ，则函数 的图象开口向上，则需满足
，解得或，又 ，所以
或.
综上，实数的取值范围是 .故选D.
（2）已知“， ”是真命题，
则实数 的最大值为( )
A. B.3 C. D.6
[解析] 由，得 ，
所以 .
又当时， ，当且仅当
且，即时取等号，所以 ，则实
数的最大值为 .故选C.
√
变式（1）已知,，则 为真命题的一个必
要且不充分条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 设函数，则二次函数 的图象
开口向上，又“, ”是真命题，所以
解得.
所以是 为真命题的充要条件，
结合选项知，是 为真命题的一个必要且不充分条件.故选B.
√
（2）已知，，且满足，若
恒成立，则 的最小值为___.
6
[解析] 因为，，所以，当且仅当
时等号成立，即 ，整理得
，所以.
由 ，得，整理得
,即,所以.
因为 恒成立，所以，即 的最小值为6.
练习册
1.已知，，若是假命题，则实数 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，“， ”为真命题，
故，解得，故实数的取值范围是 .故选D.
√
2.[ 湖南衡阳一中高一月考］若对于任意的 ，
恒成立，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为对于任意的， 恒成立，
所以当时，，因为 ，
当且仅当时取等号，所以 .故选D.
√
3.“, ”为真命题的一个充分且不必要条件是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
因为 ，所以，要使得原命题为真命题，
只需满足 .
根据选项，只有“”是“ ”的充分且不必要条件.故选A.
√
4.［2025·山东青岛六中高一期中］若， ，则实数
的( )
A.最大值是4 B.最大值是6 C.最小值是4 D.最小值是6
[解析] 因为，所以 ,所以
，当且仅当
，即时取等号.
因为， ，所以当时，，
即，所以实数 的最大值6，没有最小值，故B正确.故选B.
√
5.［2025·山东济宁一中高一期中］“函数的定义域为 ”
是“ ”的( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 当函数的定义域为时， 对任
意恒成立.
①当时，对任意 恒成立，满足题意；
②当时，只需满足，解得 .
综上，.易知“”是“ ”的充分且不必要条件，
所以“函数的定义域为”是“ ”的充分且不必要条件.
故选A.
√
6.［2025·广东广州六中高一期末］若 ，
，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，，依题意可得， ，
，
因为函数 的图象开口向上，所以
解得，则的取值范围是 .故选B.
√
7.已知不等式对任意实数恒成立，则实数 的
取值范围为____________.
[解析] 因为不等式对任意实数 恒成立，
所以，可得，
所以 的取值范围为 .
8.已知，，则实数 的最小值为__.
[解析] 由，可得 ，则
，
当且仅当，即时，等号成立.
因为 ，，所以当时，，解得，
所以实数 的最小值为 .
9.［2025·江苏无锡南菁高级中学高一期中］若, ，且
,恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由恒成立，得 ，因
为 ，当且
仅当，，即,时等号成立，所以 的最
小值是8，则，解得 .故选A.
10.（多选题）［2025·广东广州高一期末］ “ ，
”的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，不等式可化为，不等式对于一切实数 恒
成立，满足题意.
当时，若， ，则需满
足解得.
综上， .
√
√
√
对于A，满足，所以A满足题意.
对于B， 不满足，所以B不满足题意.
对于C，满足 ，所以C满足题意.
对于D，满足 ，所以D满足题意.
故选 .
11.（多选题）［2025·江苏苏州震泽中学高一月考］ 若关于 的不等
式对任意恒成立，则正实数 的可能值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
√
√
[解析] 由，得 ，则由题意知
对任意恒成立.
由， ，得,，
所以 ，当且仅当，
即时取得等号.
所以 解得，故正实数的取值范围为.
故选 .
12.［2025·江苏南通高一期末］已知“， ”
为假命题，则实数 的取值范围为__________.
[解析] 由题意得，“， ”为真命题，即
当时有解.
令， ，则，
又， ，
所以，则，所以，
即实数 的取值范围为 .
13.若“，”是真命题，则 的最小值
为( )
A. B.4 C.5 D.
√
[解析] 由题意得对任意恒成立.当
时，不可能对任意的 恒成立，不满足题意；
当时，令 ，要使
对任意 恒成立，则需满足
则
又 ，所以，,则，所以
，当且仅当，即,时，等号成立，
所以 的最小值为4.故选B.
快速核答案（导学案）
例1 （1）D （2）A 例2 （1）A （2）A
变式 （1）A （2） （3）
例3 （1）D （2） 变式 D
例4 （1）D （2）C 变式 （1）B （2）6
快速核答案（练习册）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7. 8.
9.A 10.ACD 11.AB 12. 13.B