本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 (1)D [解析] 对于A,由b2>c2,可得(b-c)(b+c)>0,又a>b>0,c
0,故b+c>0,所以A错误;对于B,由-c>-d>0,a>b>0,可得-ac>-bd>0,所以acb>0,所以ab>b2,又b2>c2,所以ab>c2,所以D正确.故选D.
(2)解:因为-2因为-2因为2变式 (1)B (2)(0,18) [解析] (1)对于A,a+-b-=(a-b)+=(a-b)=,因为a>b>0,所以ab>0,a-b>0,所以当ab>1时,a+>b+,当ab<1时,a+b>0,所以b-a<0,ab>0,ab+a+b>0,则b+-a-=(b-a)+=<0,所以b+b>c>0,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,则-==<0,即<,故C错误;对于D,因为a>b>c>0,所以-==<0,即<,故D错误.故选B.
(2)当a≥0时,有0≤a<8,0题型二
例2 (1)C (2)BC (3) [解析] (1)由a>0,结合函数y=ax-2的图象可知,当0时,ax-2>0.因为当x>0时,关于x的不等式(ax-2)(-x2-bx+4)≤0恒成立,所以当x>0时,(ax-2)(x2+bx-4)≥0恒成立,故当0时,x2+bx-4≥0恒成立.故当x=时,+b·-4=0,则b=2a-,因为a>0,所以2a>0,>0,则b+=2a+≥2=2,当且仅当a=时,等号成立.
(2)因为x>0,y>0且3x+2y=10,所以0(3)由8x2+14xy+3y2=3,得(4x+y)(2x+3y)=3,令4x+y=a,2x+3y=b,因为x>0,y>0,所以a>0,b>0,且ab=3,则x=,y=,所以3x+2y=+=(a+b)≥=,当且仅当a=b,即x=y时,取等号,则3x+2y的最小值为.
变式 (1)A (2)AC (3) [解析] (1)由题可知,+=+=4++≥4+2=8,当且仅当=,a+b=9,即a=2b=6时等号成立.故选A.
(2)因为(x+y)2=+3xy,(x+y)2≥4xy,当且仅当x=y时等号成立,所以+3xy≥4xy,所以xy≤,所以A正确,B错误;因为(x+y)2=+3xy,且+3xy≤+3,当且仅当x=y时等号成立,所以(x+y)2≤+3,所以(x+y)2≤3,所以|x+y|≤,所以C正确,D错误.故选AC.
(3)因为4x2+y2≥4xy,当且仅当2x=y时等号成立,所以4x2+y2+xy≥5xy,当且仅当2x=y时等号成立,则1≥5xy,即xy≤,所以(2x+y)2=4x2+4xy+y2=1+3xy≤,所以-≤2x+y≤,即2x+y的最大值为.
例3 证明:∵x,y,z都是正数,且++=1,∴x+y+z=(x+y+z)=1++++4++++9=14++++++≥14+2+2+2=14+4+6+12=36,当且仅当=,=,=,++=1,
即x=6,y=12,z=18时,等号成立,故x+y+z≥36.
变式 解:(1)若m=0,则x+9y-xy=0,∵x>0,y>0,∴+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=16,当且仅当=,即x=12,y=4时等号成立,故x+y的最小值为16.
(2)若m=-16,则x+9y-xy=-16,即x+9y=xy-16,
∵x>0,y>0,∴x+9y=xy-16>0,则xy>16,
又∵x×(9y)≤,当且仅当x=9y时等号成立,
∴9xy≤,整理得(xy)2-68xy+256≥0,解得xy≥64或xy≤4(舍去),故xy的最小值为64.
例4 解:由题意,设新设备生产的产品可获得的年平均利润为y百万元,则y==t∈N*.
当0则y=-2t-+50≤22,所以当t=7时,y取得最大值,且最大值为22;当t≥8时,y=-t2+10t-2=-(t-5)2+23,易知函数y=-(t-5)2+23在[8,+∞)上,y随t的增大而减小,所以当t=8时,y取得最大值,且最大值为14.
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间为7年.
变式 解:(1)依题意,4x·2y=108,则xy=,
设筛网总长度为L米,则L=4x+6y,L=4x+6y≥2=2=36,当且仅当即时,筛网总长度L最小,所以每个小网箱的长为米,宽为3米时,围成的网箱中筛网总长度最小.
(2)方法一:依题意,4x·2y=160,则xy=20,即y=.
设总造价为P元,则P=(8x+4y)×112+(4x+6y)×96=×112+×96=1280·≥1280×2=10 240,
由得解得2≤x≤5.
当且仅当x=,即x=4,y=5时,总造价P最低,
所以小网箱两条相邻边长x,y分别为4米和5米时,可使网衣和筛网的总造价最低.
方法二:依题意4x·2y=160,则xy=20,
设总造价为P元,则P=(8x+4y)×112+(4x+6y)×96=1280x+1024y=256(5x+4y)≥256×2=10 240,
由得所以当且仅当5x=4y且xy=20,即x=4,y=5时,总造价P最低.
所以小网箱两条相邻边长x,y分别为4米和5米时,可使网衣和筛网的总造价最低.
题型三
例5 (1)D (2)AD [解析] (1)因为x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2(2)当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确.由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0.当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为;若即-变式1 (1)C (2)B (3)-2≤m<-1或3[解析] (1)依题意可得a>0且Δ=(-a)2-120a≤0,解得0(2)当k=0时,不等式为-2x≥0,解得x≤0,所以不等式kx2-2x+k≥0对x∈R不恒成立;当k≠0时,由不等式kx2-2x+k≥0恒成立,得解得k≥1.所以k的取值范围为[1,+∞).故选B.
(3)不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1.当m>1时,-m<-1,解不等式得-m-1,解不等式得-1变式2 解:(1)当v0=20 m/s时,h=-5t2+20t,则由-5t2+20t-15≤0,解得t≤1或t≥3,由-5t2+20t-10≥0,解得2-≤t≤2+,综上,满足要求的t的取值范围为2-≤t≤1或3≤t≤2+,
即排球在离抛出点不少于10 m且不超过15 m的位置的停留时间为1-(2-)+2+-3=2-2(s).
(2)由题意得,v0t-5t2≥5,即5t2-v0t+5≤0,
在关于t的方程5t2-v0t+5=0中,令Δ=-4×5×5>0,可得v0>10,则方程的两个实数根为t1=,t2=,所以不等式5t2-v0t+5≤0的解集为,
因为要使排球能够在离抛出点不少于5 m的位置至少停留2 s,所以t2-t1≥2,即≥10,可得v0≥10,所以v0的最小值为10 m/s.本章总结提升
◆ 题型一 不等式的性质与应用
[类型总述] (1)不等式性质的应用;(2)作差法比较两个数的大小.
例1 (1)已知a>b>0,cc2,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.b+c<0 B.ac>bd
C.> D.ab>c2
(2)已知2变式 (1)[2025·湖南株洲二中高一月考] 已知a>b>c>0,则下列结论正确的是 ( )
A.a+>b+
B.b+C.>
D.>
(2)若-10◆ 题型二 基本不等式及其应用
[类型总述] (1)利用基本不等式求最值;(2)利用基本不等式证明不等式;(3)基本不等式的实际应用.
例2 (1)[2025·江苏江阴一中高一期中] 已知a>0,b∈R,当x>0时,关于x的不等式(ax-2)(-x2-bx+4)≤0恒成立,则b+的最小值为 ( )
A. B.
C.2 D.
(2)(多选题)[2025·湖南长沙长郡中学高一期中] 已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是 ( )
A.xy的最大值为
B.+的最大值为2
C.+的最小值为
D.x2+y2的最大值为
(3)[2025·江苏盐城一中高一期中] 已知x>0,y>0,8x2+14xy+3y2=3,则3x+2y的最小值为 .
变式 (1)已知a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为 ( )
A.8 B.9
C.12 D.16
(2)(多选题)若实数x,y满足(x+y)2=+3xy,则下列结论正确的是 ( )
A.xy≤ B.xy≥1
C.|x+y|≤ D.|x+y|≥2
(3)已知x,y为实数,若4x2+xy+y2=1,则2x+y的最大值为 .
例3 已知x,y,z都是正数,且++=1,求证:x+y+z≥36.
变式 已知x>0,y>0,x+9y-xy=m.
(1)若m=0,求x+y的最小值;
(2)若m=-16,求xy的最小值.
例4 某公司引进新的生产设备投入生产,新设备生产的产品可获得的总利润s(单位:百万元)与新设备运行的时间t(单位:年,t∈N*)满足关系式s=当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间为多少
变式 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图,四周的实线为网衣,为避免混养,用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
(1)若大网箱的面积为108平方米,每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小
(2)若大网箱的面积为160平方米,网衣的造价为112元/米,筛网的造价为96元/米,且大网箱的长与宽都不超过20米,则小网箱两相邻边长x,y分别为多少米时,可使网衣和筛网的总造价最低
◆ 题型三 一元二次不等式及其应用
[类型总述] (1)一元二次不等式的解法;(2)一元二次不等式恒成立的问题;(3)一元二次不等式的应用.
例5 (1)[2025·厦门一中高一月考] 若x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2A.-2C.-4 D.-(2)(多选题)已知关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是 ( )
A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.当a<0时,不等式的解集为
C.当a<0时,不等式的解集为
D.当a=-时,不等式的解集为
变式1 (1)若一元二次不等式ax2-ax+30≥0对一切实数x都成立,则整数a的个数为 ( )
A.118 B.119
C.120 D.121
(2)[2025·江苏连云港高一期中] 设k为实数,若关于x的不等式kx2-2x+k≥0恒成立,则k的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.[1,+∞)
C.[-1,0)∪(0,1]
D.(-1,1)
(3)若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是 .
变式2 若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h和时间t满足关系h=v0t-gt2,其中g≈10 m/s2,v0为初速度.一名同学以初速度v0 m/s竖直上抛一个排球.
(1)若v0=20 m/s,求排球在离抛出点不少于10 m且不超过15 m的位置的停留时间;
(2)若要使排球能够在离抛出点不少于5 m的位置至少停留2 s,求v0的最小值.(共40张PPT)
本章总结提升
题型一 不等式的性质与应用
题型二 基本不等式及其应用
题型三 一元二次不等式及其应用
答案核查
题型一 不等式的性质与应用
［类型总述］（1）不等式性质的应用;（2）作差法比较两个数的大小.
例1（1）已知，， ，则下列不等式一定
成立的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对于A，由，可得，又 ，
，所以，故 ，所以A错误；
对于B，由，，可得，
所以 ，所以B错误；
对于C，不妨取，，， ，显然满足条件，
但，所以C错误；
对于D，因为 ，所以，又，所以 ，
所以D正确.
故选D.
（2）已知，，求， 的取值范围.
解：因为，所以，
又因为 ，所以，所以 .
因为，所以 ，
因为，所以，所以 .
变式（1）［2025·湖南株洲二中高一月考］已知 ，则
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，
,因为,所以,,所以当 时，
，当时，，
当 时， ，A错误；
√
对于B，因为，所以 ，， ，
则 ，
所以，B正确；
对于C，因为 ，所以，， ，
则，即 ，故C错误；
对于D,因为 ,所以，
即 ，故D错误.
故选B.
（2）若，则 的取值范围是_______．
[解析] 当时，有，，故 ，
即；
当时，，故 ，
因为，所以，
又 ，所以，即.
综上， .
题型二 基本不等式及其应用
［类型总述］（1）利用基本不等式求最值;（2）利用基本不等式证
明不等式;（3）基本不等式的实际应用.
例2（1）［2025·江苏江阴一中高一期中］已知， ，当
时，关于的不等式 恒成立，则
的最小值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，结合函数的图象可知，当 时，
；当时，.
因为当时，关于 的不等式恒成立，
所以当 时，恒成立，故当 时，
恒成立；当时， 恒成立.
故当时，，则，因为 ，所以
，，则 ，当且仅当
时，等号成立.
（2）（多选题）［2025·湖南长沙长郡中学高一期中］ 已知
，且 ，则下列结论正确的是( )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
[解析] 因为,且,所以 ，.
对于A，利用基本不等式得 ，
化简得，当且仅当，即, 时，等号成立，
所以的最大值为 ，故A错误；
√
√
对于B，
，当且仅当，即,时，等号成立，所以
的最大值为 ，故B正确；
，当且仅当，即 时，等号成立， 所以的最小值为 ，故C正确；
对于D， ,
利用二次函数的性质知，当时， 取得最小值，
所以 ，且
，故D错误.
故选 .
（3）［2025·江苏盐城一中高一期中］已知， ，
，则 的最小值为____.
[解析] 由，得 ，
令,，因为，，所以, ,且
，则, ，
所以 ，当且仅当
，即时，取等号，则的最小值为 .
变式（1）已知，，，则 的最小值为
( )
A.8 B.9 C.12 D.16
[解析] 由题可知， ，
当且仅当，，即 时等号成立.故选A.
√
（2）（多选题）若实数，满足 ，则下列结论
正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，当且仅当 时
等号成立，所以，所以 ，所以A正确，B错误；
因为，且，当且仅当
时等号成立，所以，所以 ，所以
，所以C正确，D错误.
故选 .
√
√
（3）已知,为实数，若，则 的最大值为
_____.
[解析] 因为,当且仅当 时等号成立，所以
,当且仅当时等号成立，则 ,即
,
所以 ,
所以,即的最大值为 .
例3 已知，，都是正数，且，求证： .
证明：,,都是正数，且 ，
，当且仅当,, ,
，即,,时，等号成立，故 .
变式 已知,, ．
（1）若，求 的最小值；
解：若，则，,, ，
，当且
仅当，即,时等号成立，故 的最小值为16.
变式 已知,, ．
（2）若，求 的最小值．
解：若，则，即 ，
,,，则 ，
又，当且仅当 时等号成立，
，整理得，解得 或
（舍去），故 的最小值为64.
例4 某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得
的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间 （单位：年，
）满足关系式 当新设备生产的产
品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间为多少？
解：由题意，设新设备生产的产品可获得的年平均利润为 百万元，
则 .
当时，，当且仅当 时，等号成立，
则，所以当时， 取得最大值，且最大
值为22；当时， ，易知函
数在上，随 的增大而减小，所以当
时， 取得最大值，且最大值为14.
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的
时间为7年.
变式 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为
避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽 设计为
多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小？
解：依题意，，则 ，
设筛网总长度为米，则 ，
，当且仅当 即
时，筛网总长度最小，所以每个小网箱的长为 米，宽为3米
时，围成的网箱中筛网总长度最小.
变式 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为
避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的
造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过20米，则小网箱两相邻
边长， 分别为多少米时，可使网衣和筛网的总造价最低？
解：方法一：依题意，，则，即 .
设总造价为 元，则
，
由得解得 .
当且仅当，即,时，总造价 最低，
所以小网箱两条相邻边长， 分别为4米和5米时，可使网衣和筛网
的总造价最低.
方法二：依题意，则 ，
设总造价为 元，则
，
由得所以当且仅当且 ，即
,时，总造价 最低.
所以小网箱两条相邻边长， 分别为4米和5米时，可使网衣和筛网
的总造价最低.
题型三 一元二次不等式及其应用
［类型总述］（1）一元二次不等式的解法;（2）一元二次不等式恒
成立的问题;（3）一元二次不等式的应用.
例5（1）［2025·厦门一中高一月考］若，是关于 的方程
的解，且满足，则 的取值范围是
( )
A. B.
C.或 D.
√
[解析] 因为，是关于的方程 的解，且满足
，所以在 上有两个零点，
所以解得则，所以
的取值范围是 .故选D.
（2）（多选题）已知关于的不等式 ,下列
说法正确的是( )
A.当时,不等式的解集为
B.当时,不等式的解集为
C.当时,不等式的解集为
D.当时,不等式的解集为
√
√
[解析] 当时,不等式为,解得 ,所以不等式的解集
为,故A正确.
由 可得.当时,对应
方程 的两根为,4,
若即,则原不等式的解集为 ;
若即,则原不等式的解集为 ;
若,即,则原不等式的解集为 ,故B，C不正确,D正确.
故选 .
变式1（1）若一元二次不等式对一切实数 都成立，
则整数 的个数为( )
A.118 B.119 C.120 D.121
[解析] 依题意可得且 ，
解得，则整数的值可能为1,2, ，120，共120个.故选C.
√
（2）［2025·江苏连云港高一期中］设为实数，若关于 的不等式
恒成立，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，不等式为，解得 ，所以不等式
对不恒成立；
当 时，由不等式恒成立，
得解得 .
所以的取值范围为 .故选B.
√
（3）若关于的不等式 的解集中恰有两个整
数,则实数 的取值范围是_________________________.
或
[解析] 不等式可化为 ,由
已知得.当时,,解不等式得 ；
当时,,解不等式得 .
由不等式的解集中恰有两个整数可得或,
解得 或 .
变式2 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 和时
间满足关系，其中， 为初速度.一名
同学以初速度 竖直上抛一个排球.
（1）若，求排球在离抛出点不少于且不超过
的位置的停留时间；
解：当时，，则由 ，
解得或，由 ，解得
，
综上，满足要求的 的取值范围为或 ，
即排球在离抛出点不少于且不超过 的位置的停留时间为
.
变式2 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 和时
间满足关系，其中， 为初速度.一名
同学以初速度 竖直上抛一个排球.
（2）若要使排球能够在离抛出点不少于的位置至少停留 ，求
的最小值.
解：由题意得，，即 ，
在关于的方程中，令 ，可
得，则方程的两个实数根为， ，
所以不等式 的解集为
，
因为要使排球能够在离抛出点不少于的位置至少停留 ，所以
，即，可得，所以 的最小值
为 .
快速核答案
例1 （1）D （2）,
变式 （1）B （2）
例2 （1）C （2）BC （3） 变式 （1）A （2）AC （3）
例3 略 变式 （1）16 （2）64
例4 当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时,新设备运行的时间为7年.
变式 （1）每个小网箱的长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小.
(2) 小网箱两条相邻边长，分别为4米和5米时，可使网衣和筛网的总造价最低
例5 （1）D （2）AD 变式1 （1）C （2）B （3）或
变式2 （1）（2）