滚动习题(三)
1.A [解析] ∵P-Q=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2≥0,∴P≥Q.故选A.
2.C [解析] 根据基本不等式可得,当x>0时,x-1+≥2-1=3,当且仅当x=,即x=2时取等号,故x-1+的最小值为3.故选C.
3.D [解析] 由≤0,得解得x≥3或x<1,所以A={x|x≥3或x<1},因为B={x|x2≤4x,x∈N}={x|0≤x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4},所以A∩B={0,3,4}.故选D.
4.B [解析] 由二次函数y=x2+x+m有零点,得方程x2+x+m=0在R上有实数根,则满足Δ=1-4m≥0,解得m≤,则二次函数y=x2+x+m有零点的充要条件为m≤.故选B.
5.D [解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],所以a<0且-2,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,所以所以b=-a,c=-6a,a<0,则≥0可转化为≥0,即≤0,可得-1
6.B [解析] 方法一:∵x>0,y>0,x+2y+2xy=8,∴y=>0,∴0方法二:由x+2y+2xy=8得(x+1)(2y+1)=9,则x+2y=x+1+2y+1-2≥2-2=4,当且仅当x+1=2y+1=3,即x=2,y=1时等号成立.
7.ABD [解析] 对于A选项,因为c-d>0,又a>b>0,所以-ac>-bd,则acb>0,所以ab>0,则不等式a>b的两边同时除以ab可得<,因为c<0,所以由不等式的基本性质可得>,B正确;对于C选项,因为1a2,所以由不等式的基本性质可得b-a>0,由不等式的基本性质可得a28.ABD [解析] 由关于x的不等式(a+3m)x2-(2b-3m)x-1<0(a>0,b>0)的解集为,可得a+3m>0,且关于x的方程(a+3m)x2-(2b-3m)x-1=0的两根为-1和,所以解得a+3m=2,2b-3m=-1,所以a+2b=1,所以A正确;因为a>0,b>0,所以1=a+2b≥2,当且仅当a=,b=时取等号,可得ab≤,所以ab的最大值为,所以B正确;+=(a+2b)=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以+的最小值为9,所以C错误;2(a2+4b2)=a2+(2b)2+a2+(2b)2≥a2+(2b)2+2a·(2b)=(a+2b)2=1,当且仅当a=,b=时取等号,则a2+4b2≥,所以a2+4b2的最小值为,所以D正确.故选ABD.
9.[3,8] [解析] 因为1≤x≤2,所以≤≤1,又因为6≤y≤8,所以×6≤≤1×8,即3≤≤8,所以的取值范围是[3,8].
10.低于 [解析] 由题意可得降价后的售价为a(1-p%)元,提价后的售价为a(1-p%)(1+p%)元,因为011.{a|10对任意的x∈R恒成立.当Δ=0时,得a=1或a=4.当a=1时,y=x2+2x+1,取x=-1,则y=0,不符合题意;当a=4时,y=x2-4x+4,对任意的x<1或x>5有y>0恒成立,符合题意.当Δ>0 时,需满足即得412.解:(1)证明:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2).
∵abc=1,∴a,b,c均不为0,∴a2+b2+c2>0,
∴ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)<0.
(2)由a+b+c=0,abc=1,a≥b≥c,可知a>0,b<0,c<0.∴a=-b-c,a=,∴a3=a2·a==≥=4,当且仅当b=c时,取等号,∴a≥.故a的最小值为.
13.解:(1)由题意知ab=12,所以b=,因为b≥3,a≥3,所以b=≥3,得a≤4,所以3≤a≤4,所以S(a)=(36-2a)(24-b)=(36-2a)=-48+888,3≤a≤4.
(2)由(1)知,S(a)=-48+888≤-48×2+888=600,
当且仅当=a,即a=3时取等号,所以当a=3,b=4时,草坪的面积S(a)取得最大值,最大值为600平方米.
14.解:(1)因为关于x的不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},且a>0,
所以关于x的不等式ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3},且关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集为R.
所以2和3是关于x的方程ax2+bx+c=3的两个实数根,
所以解得b=-5a,c=6a+3,
所以6b+5c=6×(-5a)+5×(6a+3)=15.
因为b=-5a,c=6a+3,所以关于x的不等式ax2+bx+c≥2可化为ax2-5ax+6a+1≥0,
又该不等式的解集为R,所以解得0(2)由(1)知b=-5a,c=6a+3,则关于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0等价于ax2-(5a+3)x-(6a+3)≤0,
即[ax-(6a+3)](x+1)≤0,解得-1≤x≤6+.
因为关于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解,
所以7≤6+<8,解得综上,a的取值范围是.
(3)若a>0,则由(1)可知,ax2+(b-1)x+5<0可化为ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0.
当05,则所求不等式的解集为;
当a=时,不等式为(x-5)2<0,所求不等式的解集为 ;
当若a<0,则关于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集为{x|2≤x≤3},且ax2+bx+c≤3的解集为R.
所以2和3是关于x的方程ax2+bx+c=2的两个实数根,
所以解得b=-5a,c=6a+2.
所以不等式ax2+bx+c≤3可化为ax2-5ax+6a-1≤0,且该不等式的解集为R,
所以解得-4≤a<0.
所以不等式ax2+(b-1)x+5<0,可化为ax2-(5a+1)x+5<0,即(ax-1)(x-5)<0,解得x<或x>5,所以不等式的解集为∪(5,+∞).综上,当-4≤a<0时,不等式的解集为∪(5,+∞);当0(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有 ( )
A.P≥Q B.P>Q
C.P2.[2025·江苏常熟高一期中] 已知x>0,则x-1+的最小值为 ( )
A.4 B.5
C.3 D.2
3.[2025·江苏徐州月考] 已知集合A=,B=,则A∩B= ( )
A.[0,1]∪[3,4]
B.[0,1)∪[3,4]
C.{2,3}
D.{0,3,4}
4.[2025·江苏南通高一月考] 二次函数y=x2+x+m有零点的充要条件的是 ( )
A.m≥ B.m≤
C.m> D.m<
5.[2025·广州一中高一月考] 已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为[-2,3],则≥0的解集为 ( )
A.
B.[-3,2]
C.(-∞,-1)∪
D.
6.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8, 则x+2y的最小值是 ( )
A.3 B.4
C. D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2025·江苏无锡期中] 下列说法中正确的有 ( )
A.若a>b>0,cB.若a>b>0,c<0,则>
C.若1D.若a<0,ab>a2,则b2>a2
8.[2024·石家庄二中高一期中] 已知关于x的不等式(a+3m)x2-(2b-3m)x-1<0(a>0,b>0)的解集为,则下列结论正确的是 ( )
A.a+2b=1
B.ab的最大值为
C.+的最小值为8
D.a2+4b2的最小值为
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.设实数x,y满足1≤x≤2,6≤y≤8,则的取值范围是 .
10.已知某商品的原价为a元,由于市场原因,先降价p%(011.已知对于任意的x<1或x>5,都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2025·浙江学军中学高一期中] 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)若a≥b≥c,求a的最小值.
注:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
13.(15分)[2024·江苏连云港高级中学高一期中] 如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD,其长为36米,宽为24米,现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,上、下边人行道的宽度为a米,左边人行道的宽度为b米,且a,b均不小于3,要求“转角处(图中矩形AEFG)”的面积为12平方米.
(1)试用a表示草坪的面积S(a),并指出a的取值范围;
(2)a,b取何值时才能使草坪的面积最大 并求出草坪面积的最大值.
14.(15分)已知不等式2≤ax2+bx+c≤3的解集为{x|2≤x≤3}.
(1)若a>0,求6b+5c的值及a的取值范围;
(2)若a>0,且关于x的不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有9个整数解,求a的取值范围;
(3)若a≠0,解关于x的不等式ax2+(b-1)x+5<0.
