(共41张PPT)
4.1 指数
4.1.1 根式
探究点一 次方根的概念
探究点二 根式的化简与求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在具体的数学情境中,了解 次方根及根式的含义.
2.理解并掌握 次方根的性质.
3.利用 次方根的性质解决有关问题，并培养学生数学运算的核
心素养.
知识点一 次方根的概念
一般地，如果,那么称为 的_________.
（1）当为奇数时,正数的次方根是__________,负数的 次方根是
__________.
（2）当_________时,正数的 次方根有两个,它们互为相反数.
（3）需要注意的是，0的 次方根等于0.
次方根
一个正数
一个负数
为偶数
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任意实数的奇次方根只有1个． ( )
√
（2）正数的偶次方根有两个，且互为相反数．( )
√
（3）的5次方根为 .( )
×
（4） .( )
×
知识点二 根式的概念及其性质
1.根式的定义:式子____叫作根式,其中叫作根指数, 叫作被开方数.
2.根式的性质：对于，，当为奇数时,___;当 为
偶数时, _ _______________.
【诊断分析】
我们已经知道,若,则,那么等于什么 呢
呢
解：;； .
探究点一 次方根的概念
例1（1）（多选题）若 ，则下列说法中正确的
是( )
A.当为奇数时，的次方根为
B.当为奇数时，的次方根为
C.当为偶数时，的次方根为
D.当为偶数时，的次方根为
[解析] 当为奇数时，的次方根只有；
当 为偶数时，因为，所以的次方根有2个，为．
故选 .
√
√
（2）（多选题）若, ,则下列四个式子中有意义的是
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以为正偶数,则,所以 有意
义,A正确;
取,则,此时 无意义,B错误;
因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确;
对任意 , 恒成立，则有意义,D正确.
故选 .
√
√
√
（3） 的3次方根是__.
[解析] 因为，所以的3次方根是 .
变式（1）计算下列各式的值:____； ___.
-3
[解析] .
.
（2） _______.
[解析] 因为 ,
所以 .
（3）化简： 且为偶数_ ____________；
若，则 _______.
[解析] ①因为为偶数，所以当 时， ，
；当 时， ，
.综上，
②因为，所以 ，所以
.
［素养小结］
（1）方根的个数：正数的偶次方根有两个，且互为相反数，负数没
有偶次方根；0的偶次方根只有一个，为0；任意实数的奇次方根只
有一个.
（2）符号：根式
的符号由根指数
的奇偶性及被开方数
的符号
共同确定.
①当
为偶数，且
时，
为非负实数；
②当
为奇数时，
的符号与
的符号一致.
（3）对于根式
，若存在
，
,
，则
.
探究点二 根式的化简与求值
例2（1）式子 的值为( )
A. B. C. D.1
[解析] .故选A.
√
（2）化简： _____.
[解析] .
（3）化简: .
解： .
变式 化简下列各式:
（1） ；
解：原式
.
（2）（其中 ）;
解： .
因为，所以, .
所以原式 .
变式 化简下列各式:
（3） .
解：因为，所以 ，所以原式
.
［素养小结］
根式化简与求值的思路及注意点
思路：用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶
次根式，其次选用相应公式化简.
注意点：①解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的
根式时要注意字母的取值范围；
②正确区分
与
；
③运算时注意变形与整体代换，以及平方差、立方差、完全平方式
的运用，必要时要进行分类讨论.
理解与的含义：当为大于1的奇数时，对任意 都
有意义，它表示在实数范围内唯一的一个 次方根，
.当为大于1的偶数时，只有当 时才有
意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个 次
方根，另一个是，；对任意 都有意义，
.
练习册
1.［2025·江苏徐州二中高一期中］ ( )
A.2 B. C. D.
[解析] ，故选B.
√
2.［2025·江苏南通通州中学高一期中］已知，则实数
( )
A. B. C. D.
[解析] ，是3的4次方根，又4是偶数， 的4次方根有两
个，且这两个数互为相反数，则 ，故选D.
√
3.［2025·江苏徐州三中高一期中］已知 ，则
( )
A. B.1 C. D.
[解析] ， ，
，故选B.
√
4.若有意义，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知所以 .故选C.
√
5.已知是的小数部分，则 的值为( )
A.2 B.4 C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以 .故选A.
√
6.把代数式中的 移到根号内，那么这个代数式可
化为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知， ，
.故选A.
√
7.［2025·上海延安中学高一期中］当 时，化简：
___.
[解析] 由可得 .
8.化简： _______.
[解析] 原式 .
9.（13分）写出使下列各式成立的 的取值范围.
（1） ；
解： 根指数是3，有意义即可，， .
（2） .
解： ，
.
10.（13分）设，求 的值．
解：， ，
当时，原式 ，
当时，原式 ．
11.给出下列式子其中，，，
， .其中一定有意义的是( )
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
[解析] 显然，故①有意义；
显然 ，故②无意义；
③显然有意义；
当时，，此时 无意义，故④不一定有意义．
故选B.
√
12.（多选题）给出下列等式：
; ;
; .
其中成立的有( )
A.① B.② C.③ D.④
[解析] ，则①不成立；
, ,则②成立;
,则③成立；
,则④成立.
故选 .
√
√
√
13.（多选题）下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.若，则
[解析] ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
， ，则
.故D正确.
故选 .
√
√
14.若代数式 有意义，则
___.
1
[解析] 由题意可知，
.
15.已知2,5,是某三角形三边的长，则 ___.
4
[解析] 因为2，5，是某三角形三边的长，所以 ，
即 ，所以
.
16.（15分）对于根式 ，如果存在
，,，则 .利用这个结
论化简下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
16.（15分）对于根式 ，如果存在
，,，则 .利用这个结
论化简下列各式：
（3） .
解： .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一
次方根 一个正数 一个负数 为偶数
【诊断分析】 （1）√ （2）√ （3）× （4）×
知识点二 1. 2.
【诊断分析】 ;；.
课中探究 例1 （1）BD （2）ACD （3）
变式 （1） -3 （2）
（3）
例2 （1）A （2） （3）变式 （1）（3）
快速核答案（练习册）
1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.
8.
9.（1） （2）
10.
11.B 12.BCD 13.CD 14.1 15.4
16.（1） （2） （3）第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式
【课前预习】
知识点一
n次方根 (1)一个正数 一个负数 (2)n为偶数
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
知识点二
1. 2.a |a|=
诊断分析
解:()2=3;==3;==3.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BD (2)ACD (3) [解析] (1)当n为奇数时,a的n次方根只有x;当n为偶数时,因为(±x)n=xn=a,所以a的n次方根有2个,为±x.故选BD.
(2)因为n∈N*,所以4n为正偶数,则(-5)4n>0,所以有意义,A正确;取n=1,则(-5)3<0,此时无意义,B错误;因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确;对任意a∈R,a2+1>0恒成立,则有意义,D正确.故选ACD.
(3)因为=,所以的3次方根是.
变式 (1)① ②-3 (2)-1
(3)① ②3-2a [解析] (1)①==.
②=-3.
(2)因为3-2=2-2+1=()2-2+1=(-1)2,所以++=++=-1+1-+-1=-1.
(3)①因为n为偶数,所以当x<π时,x-π<0,=|x-π|=π-x;当x≥π时,x-π≥0,=x-π.综上,=
②因为1
0,所以+=1-a+|2-a|=1-a+2-a=3-2a.
探究点二
例2 (1)A (2)2 [解析] (1)+=|π-4|+3-π=4-π+3-π=7-2π.故选A.
(2)+=1++-1=2.
(3)解:=|a-b|=a-b.
变式 解:(1)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+(2-)-(2-)=-8.
(2)-=|m-n|-|m+n|.
因为m所以原式=n-m+m+n=2n.
(3)因为a<1,所以a-1<0,所以原式=·=-(a+1)3·(a-1)3=-(a2-1)3.第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式
1.B [解析] ==-2,故选B.
2.D [解析] ∵x4=3,∴x是3的4次方根,又4是偶数,∴3的4次方根有两个,且这两个数互为相反数,则x=±,故选D.
3.B [解析] ∵a<1,∴a-1<0,∴+=|a-1|+a=1-a+a=1,故选B.
4.C [解析] 由题意知所以2≤x≤3.故选C.
5.A [解析] 因为3<<4,所以a=-3,所以a(a+6)=(-3)×(-3+6)=11-9=2.故选A.
6.A [解析] 由题知1-a>0,∴a-1<0,∴(a-1)·=-(1-a)·=-×=-=-.故选A.
7.x [解析] 由x<0可得3++|x|=3x+(-x)+(-x)=x.
8.+1 [解析] 原式=+--|1-|=+--(-1)=|+|+|2-|-|2-|-(-1)=++2-+-2+1-=+1.
9.解:(1)∵根指数是3,∴有意义即可,∴x-3≠0,∴x≠3.
(2)∵==(5-x),∴∴-5≤x≤5.
10.解:-=-=|x-1|-|x+2|,∵-2∴当-2当1≤x<2时,原式=x-1-(x+2)=-3.
11.B [解析] 显然(-4)2n>0,故①有意义;显然(-4)2n+1<0,故②无意义;③显然有意义;当a<0时,a5<0,此时无意义,故④不一定有意义.故选B.
12.BCD [解析] =·a≠2a,则①不成立;||=,==,则②成立;=×=-3,则③成立;④==,则④成立.故选BCD.
13.CD [解析] =-3,故A错误;=3,故B错误;=|x+y|,故C正确;∵x<3,∴3-x>0,则+()5=3-x+x-=3-.故D正确.故选CD.
14.1 [解析] 由题意可知∴1≤x≤2,∴x-2≤0.∴+=+=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1.
15.4 [解析] 因为2,5,m是某三角形三边的长,所以5-216.解:(1)==-.
(2)===+2.
(3)====.第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式
【学习目标】
1.能够在具体的数学情境中,了解n次方根及根式的含义.
2.理解并掌握n次方根的性质.
3.利用n次方根的性质解决有关问题,并培养学生数学运算的核心素养.
◆ 知识点一 n次方根的概念
一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的 .
(1)当n为奇数时,正数的n次方根是 ,负数的n次方根是 .
(2)当 时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数.
(3)需要注意的是,0的n次方根等于0.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有1个. ( )
(2)正数的偶次方根有两个,且互为相反数. ( )
(3)-32的5次方根为±2. ( )
(4)=π-4. ( )
◆ 知识点二 根式的概念及其性质
1.根式的定义:式子 叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.
2.根式的性质:对于n∈N*,n>1,当n为奇数时,= ;当n为偶数时,= .
【诊断分析】
我们已经知道,若x2=3,则x=±,那么()2等于什么 呢 呢
◆ 探究点一 n次方根的概念
例1 (1)(多选题)若xn=a(x≠0,n>1),则下列说法中正确的是 ( )
A.当n为奇数时,x的n次方根为a
B.当n为奇数时,a的n次方根为x
C.当n为偶数时,x的n次方根为±a
D.当n为偶数时,a的n次方根为±x
(2)(多选题)若n∈N*,a∈R,则下列四个式子中有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
(3)的3次方根是 .
变式 (1)计算下列各式的值:①= ;②= .
(2)++= .
(3)化简: ①(n∈N*且n为偶数)= ;②若1[素养小结]
(1)方根的个数:正数的偶次方根有两个,且互为相反数,负数没有偶次方根;0的偶次方根只有一个,为0;任意实数的奇次方根只有一个.
(2)符号:根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
①当n为偶数,且a≥0时,为非负实数;
②当n为奇数时,的符号与a的符号一致.
(3)对于根式(a>0,b>0),若存在x>y>0,xy=b,x+y=a,则=±.
◆ 探究点二 根式的化简与求值
例2 (1)式子+的值为 ( )
A.7-2π B.2π-7
C.-1 D.1
(2)化简:+= .
(3)化简:(a>b).
变式 化简下列各式:
(1)+-;
(2)-(其中m(3)·(a<1).
[素养小结]
根式化简与求值的思路及注意点
思路:用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,其次选用相应公式化简.
注意点:①解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围;
②正确区分()n与;
③运算时注意变形与整体代换,以及平方差、立方差、完全平方式的运用,必要时要进行分类讨论.第4章 指数与对数
4.1 指数
4.1.1 根式
1.[2025·江苏徐州二中高一期中] = ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.-32
2.[2025·江苏南通通州中学高一期中] 已知x4=3,则实数x= ( )
A. B.-
C.34 D.±
3.[2025·江苏徐州三中高一期中] 已知a<1,则+= ( )
A.-1 B.1
C.2a-1 D.1-2a
4.若·有意义,则x的取值范围是 ( )
A.[2,+∞) B.(-∞,3]
C.[2,3] D.R
5.已知a是的小数部分,则a(a+6)的值为 ( )
A.2 B.4
C.-2 D.4-
6.把代数式(a-1)·中的a-1移到根号内,那么这个代数式可化为 ( )
A.- B.
C. D.-
7.[2025·上海延安中学高一期中] 当x<0时,化简:3++|x|= .
8.化简:+--= .
9.(13分)写出使下列各式成立的x的取值范围.
(1)=;
(2)=(5-x).
10.(13分)设-211.给出下列式子(其中n∈N,a∈R):①,②,③,④.其中一定有意义的是 ( )
A.①② B.①③
C.①②③④ D.①③④
12.(多选题)给出下列等式:
①=2a;②||=;
③-3=;④=.
其中成立的有 ( )
A.① B.②
C.③ D.④
13.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.=3
B.=±3
C.=|x+y|
D.若x<3,则+()5=3-
14.若代数式+有意义,则+= .
15.已知2,5,m是某三角形三边的长,则+= .
16.(15分)对于根式(a>0,b>0),如果存在x>y>0,xy=b,x+y=a,则=±.利用这个结论化简下列各式:
(1);
(2);
(3).