(共56张PPT)
4.1 指数
4.1.2 指数幂的拓展
探究点一 根式与分数指数幂互化
探究点二 实数指数幂的运算
探究点三 整体代换法求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在具体的数学情境中，了解有理数指数幂 ,且
；,为整数，且和实数指数幂，且 ；
的含义.
2.对给出的具体数学问题，能够运用指数运算的性质进行指数运算.
知识点一 有理数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义
一般地，我们规定______ .
2.正数的负分数指数幂和0的分数指数幂
（1）_ ___ ;
（2）0的正分数指数幂为___;
（3）0的负分数指数幂__________（0的0次幂无意义）.
0
没有意义
3.______,_____,_____,其中,,, .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
（3）用分数指数幂表示 为 .( )
×
（4） .( )
√
（5） .( )
√
2.（1）我们知道，那么 成立吗？
解：成立. ,
，所以
成立.
（2）任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗
解：能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂
的形式,即，,，且 .
知识点二 无理数指数幂
1.无理数指数幂：且是一个无理数 是一个确定的实数.
2.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂,其运算性质与整
数指数幂的运算性质完全一致,即, ,
,其中,,, .
探究点一 根式与分数指数幂互化
例1（1）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，，所以A正确；
对于B， ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D，，所以D错误．
故选 .
√
√
（2）［2025·上海师大第二附中高一期中］代数式 化成
分数指数幂为_____.
[解析] .
（3）［2025·江苏海门中学高一月考］已知，将 化为有
理数指数幂形式，则 __.
[解析] .
变式（1）［2025·江苏常州北郊高级中学高一期中］设 ，则
的分数指数幂形式为( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故选D.
√
（2）（多选题）［2024·江西新余高一期中］ 下列根式与分数指数
幂的互化中正确的有( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于选项A， ，故A错误；
对于选项B， ，故B正确；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，，故D错误.故选 .
［素养小结］
解决根式与分数指数幂互化问题的关键是熟记根式与分数指数幂的
关系式和，其中，，且
．
探究点二 实数指数幂的运算
例2（1）已知，化简： .
解：因为，所以 .
（2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）:
① ；
解：原式 .
（2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）:
② ；
解：原式 .
③ ；
解： 原式
.
（2）化简与计算下列各式（式中字母都为正数）:
④ .
解： 原式 .
变式 化简与求值.
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
变式 化简与求值.
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
［素养小结］
指数幂运算的基本原则与常用方法
（1）基本原则:式子中既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一
化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简．
（2）常用方法:①有括号先算括号内的，无括号先做指数运算；②
化负指数幂为正指数幂;③化根式为分数指数幂;④化小数为分数；⑤
底数是带分数，先要化成假分数.
探究点三 整体代换法求值
例3（1）［2025·江苏南京六校高一期中］已知 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由得 ，即
，则 ，
所以 ，故
.故选C.
√
（2）［2025·苏州高一检测］若，则 ____.
[解析] 因为，所以， ，即
，两边平方整理得，即 .
因为，所以 ，则
.
（3）已知,,且,求 的值.
解： .
因为， ，所以
，
又 ，所以，所以 .
变式（1）［2025·天津河西区期中］已知， ，则
( )
A.25 B.5 C. D.
[解析] 由可得，所以 ，故选C.
√
（2）（多选题）［2025·重庆巴蜀中学高一期中］ 已知 ，
则 的值可能为( )
A.2 B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以，所以或.故选 .
√
√
（3）［2025·湖北荆州中学高一期中］已知 ，计算
__.
[解析] 将两边平方得，则 ，
所以 .
［素养小结］
利用整体代换法求分数指数幂的关键点
（1）整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧，观察分析条件与
结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键之一.
（2）利用整体代换法解决分数指数幂计算问题的另一个关键是掌握
好完全平方公式及其变形公式：，
，.
拓展 设,则 ( )
A.7 B. C.5 D.45
[解析] 由,得 .
√
1.分数指数幂
分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数
指数幂与根式可以相互转化，在把偶数次根式化成分数指数幂时，
要注意使底数大于0.同时，负数开奇数次方根是有意义的，所以当奇
数次根式化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再
按规定化成分数指数幂．
2.分数指数幂与整数指数幂的区别与联系
分数指数幂,,,且和整数指数幂 都是有理数
指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进行运算，这是相同
的部分．整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂
不可以理解为个 相乘．
3.实数指数幂
引入了分数指数幂后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指
数幂的扩充．当，是一个无理数时，规定 表示一个确定的
实数，而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用，这
样，指数概念就扩充到了整个实数范围．
1.指数式的化简与求值
（1）一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数、化根式为分数
指数幂、化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可
以达到化繁为简的目的.
（2）对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整
体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
2.“凑公式”法
在本节的试题中,有些式子直接计算比较麻烦,此时我们要善于观察所
求式子的结构特征,“凑”出乘法公式或因式分解公式的形式,充分利用
这些公式进行幂的综合运算.
例1
（1）［2025·三晋联盟山西名校高一期中］若， ，则
( )
A.12 B.24 C. D.
√
[解析] .故选B.
（2）已知，求 .
解：, ，
.
, ，
.
例2 化简 的结果是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 原式
.
练习册
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
√
2. 等于( )
A. B. C. D.
[解析]
.
√
3.［2025·河北沧州四校联考高一期中］若，则 的分数指
数幂形式为 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
4.［2025·天津一中高一期中］下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选B.
√
5.计算 的结果为( )
A. B. C. D.
[解析] 原式 .故选D.
√
6.化简 的结果为( )
A.1 B. C. D.
[解析] .故选C.
√
7.，化简: ___.
1
[解析] .
8.若，则___； __.
[解析] 因为 ，
所以 .
所以 .
9.（13分）计算下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2），其中， .
解： .
10.已知且，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，故选C.
√
11.（多选题）［2025·福建厦门英才学校高一期中］ 已知 ，则
下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ,故D正确.
故选 .
12.（多选题）［2025·陕西榆林八校高一期中］ 已知正数， 满足
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，因为， ，当且仅当
时等号成立，所以，即 ，则A正确；
对于B，，
当且仅当 时等号成立，所以 ，则B正确；
√
√
√
对于C，，当且仅当
时等号成立,所以,所以 ,则C错误；
对于D，，当且仅当 时等号成立，
所以，则D正确.
故选 .
13.已知，，，则 的值是__.
[解析] 因为，，，，
所以 ，，所以 .
14.（15分）
（1）［2025·江苏东海高级中学月考］①若已知， ，
求 的值；
②已知，求 的值.
解：①由， ，可得 .
②因为，所以
.
14.（15分）
（2）已知,是方程的两个根,求 的值.
解：由根与系数的关系得, ,
所以 .
15.已知，且，则 的值为__.
[解析] 因为，且，所以 .
16.（15分）对于正整数，，和非零实数，， ，
， 有 ，，求，， 的值．
解： ，且， 为非零实数， .
同理，可得， .
，即 .
又，，， 为正整数，
，，， .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1. 2.(1) (2)0 (3)没有意义 3.
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）√ 2.略
课中探究 例1 （1）AC （2） （3） 变式 （1）D （2）BC
例2 （1） （2）① ② ③ ④
变式 （1） （2）
快速核答案（练习册）
1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.1 8. 9.（1） （2）
10.C 11.CD 12.ABD 13.
14.（1）① ② （2）22
15. 16. ，，4.1.2 指数幂的拓展
【课前预习】
知识点一
1. 2.(1) (2)0 (3)没有意义
3.as+t ast atbt
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.解:(1)成立.×=×=×=8×4=32, ====25=32,所以6×6=6成立.
(2)能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
【课中探究】
探究点一
例1 (1)AC (2) (3) [解析] (1)对于A,-=-,所以A正确;对于B,=,所以B错误;对于C,=(xy>0),所以C正确;对于D,=,所以D错误.故选AC.
(2)==.
(3)===.
变式 (1)D (2)BC [解析] (1)原式==(=.故选D.
(2)对于选项A,=(x>0),故A错误;对于选项B,=(=(a>0),故B正确;对于选项C,==(x>0,y>0),故C正确;对于选项D,[=(=(x>0),故D错误.故选BC.
探究点二
例2 解:(1)因为a>0,所以===a.
(2)①原式=+-(+1=+-2+1=.
②原式=8×=-6b=-6b.
③原式=(-2)·(a3b-2)÷(4)=-=-.
④原式=++-3+=+100+-3+=100.
变式 解:(1)原式=1-+×=-+25×=12.
(2)原式=+(×)6+(-1)0+(22=+()6×()6+1+23=2+23×32+1+8=2+72+9=83.
(3)原式=÷÷=÷÷=÷(÷(a-2=÷÷=÷===.
(4)原式==·=ab-1=.
探究点三
例3 (1)C (2) [解析] (1)由-=得(-)2=a-2+a-1=5,即a+a-1=7,则+====3,所以a-a-1=(+)(-)=3,故a2-a-2=(a+a-1)(a-a-1)=21.故选C.
(2)因为x2-3x+1=0,所以x≠0,x+=3,即x+x-1=3,两边平方整理得x2+=7,即x2+x-2=7.因为(+)2=x+x-1+2=3+2=5,所以+=,则==.
(3)解:==.
因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x变式 (1)C (2)BC (3) [解析] (1)由8b=3可得23b=3,所以4a-3b===,故选C.
(2)因为a+=a+a-1=(-)2+2=4,所以(-)2=2,所以-=或-=-.故选BC.
(3)将-=1两边平方得a+a-1-2=1,则a+a-1=3,所以===.
拓展 B [解析] 由+=3,得=()2+()-2=+===.4.1.2 指数幂的拓展
1.C [解析] ====.故选C.
2.A [解析] ·=·(-a) =-(-a) ·(-a) =-(-a) =-.
3.D [解析] =()-1=[(]-1=.故选D.
4.B [解析] 对于A,(-a)2·(-a)3=a2·(-a3)=-a5,故A错误;对于B,=a(a≥0),故B正确;对于C,=a5b-5,故C错误;对于D,==,故D错误.故选B.
5.D [解析] 原式===27-2n=.故选D.
6.C [解析] (a2-2+a-2)÷(a2-a-2)=(a-a-1)2÷[(a+a-1)(a-a-1)]===.故选C.
7.1 [解析] ====1.
8.7 [解析] 因为+=3,所以a+a-1=(+)2-2=32-2=7.所以====.
9.解:(1)+--=(33+(42--=9+-4-=3.
(2)4÷=4×··=-6a.
10.C [解析] ∵a2x=3,∴a-2x=,∴(ax+a-x)2=a2x+2+a-2x=3+2+=,故选C.
11.CD [解析] 对于A,=a2,故A错误;对于B,2-2==,故B错误;对于C,(·)÷=(·)÷==a,故C正确;对于D,=(-1=(-1=,故D正确.故选CD.
12.ABD [解析] 对于A,因为a2+b2=2,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b=1时等号成立,所以2≥2ab,即ab≤1,则A正确;对于B,(a+b)2=a2+b2+2ab=2+2ab≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以a+b≤2,则B正确;对于C,(+)2=a+b+2≤2+2=4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以+≤2,所以·=≤16,则C错误;对于D,+≥2≥2,当且仅当a=b=1时等号成立,所以+≥2=2≥2=4,则D正确.故选ABD.
13. [解析] 因为a>0,b>0,4a=b2=16,16=42,所以a=2,b=4,所以2a-b=22-4=.
14.解:(1)①由10m=2,10n=3,可得1====.
②因为-=1,所以=
=a-1+a-1=(-)2+1=12+1=2.
(2)由根与系数的关系得+=5,=3,
所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
15. [解析] 因为m2x=2,且m>0,所以===m2x-1+m-2x=m2x-1+=2-1+=.
16.解:∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴=7.
同理,可得=7,=7.
∴··=7·7·7,即(abc=7.
又++=,a,b,c为正整数,∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.4.1.2 指数幂的拓展
【学习目标】
1.能够在具体的数学情境中,了解有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)和实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)的含义.
2.对给出的具体数学问题,能够运用指数运算的性质进行指数运算.
◆ 知识点一 有理数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义
一般地,我们规定= (a>0,m,n∈N*,n>1).
2.正数的负分数指数幂和0的分数指数幂
(1)= (a>0,m,n∈N*,n>1);
(2)0的正分数指数幂为 ;
(3)0的负分数指数幂 (0的0次幂无意义).
3.asat= ,(as)t= ,(ab)t= ,其中s,t∈Q,a>0,b>0.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)=. ( )
(2)=(a>0). ( )
(3)用分数指数幂表示 (a>b)为(a-b. ( )
(4)(-a4b2)·(-ab2)3=a7b8. ( )
(5)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3. ( )
2.(1)我们知道32×33=32+3,那么×=成立吗
(2)任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗
◆ 知识点二 无理数指数幂
1.无理数指数幂:ax(a>0且x是一个无理数)是一个确定的实数.
2.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂,其运算性质与整数指数幂的运算性质完全一致,即asat=as+t,(as)t=as t,(ab)t=atbt,其中s,t∈R,a>0,b>0.
◆ 探究点一 根式与分数指数幂互化
例1 (1)(多选题)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 ( )
A.-=-(x>0)
B.=-(x>0)
C.=(xy>0)
D.=
(2)[2025·上海师大第二附中高一期中] 代数式(a>0)化成分数指数幂为 .
(3)[2025·江苏海门中学高一月考] 已知a>0,将化为有理数指数幂ak形式,则k= .
变式 (1)[2025·江苏常州北郊高级中学高一期中] 设a>0,则的分数指数幂形式为 ( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)[2024·江西新余高一期中] 下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 ( )
A.=-(x>0)
B.=(a>0)
C.=(x>0,y>0)
D.[=-(x>0)
[素养小结]
解决根式与分数指数幂互化问题的关键是熟记根式与分数指数幂的关系式=和==,其中a>0,m,n∈N*且n>1.
◆ 探究点二 实数指数幂的运算
例2 (1)已知a>0,化简:.
(2)化简与计算下列各式(式中字母都为正数):
①+-(+;
②;
③(-2)·(-)6÷(-2)2;
④+(0.1)-2+-3π0+.
变式 化简与求值.
(1)(3-π)0++(0.008×;
(2)(0.125+(×)6+(-1)0+[(-2)2;
(3)÷÷(a>0);
(4)(a>0,b>0).
[素养小结]
指数幂运算的基本原则与常用方法
(1)基本原则:式子中既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简.
(2)常用方法:①有括号先算括号内的,无括号先做指数运算;②化负指数幂为正指数幂;③化根式为分数指数幂;④化小数为分数;⑤底数是带分数,先要化成假分数.
◆ 探究点三 整体代换法求值
例3 (1)[2025·江苏南京六校高一期中] 已知-=,则a2-a-2= ( )
A.3 B.±3
C.21 D.±21
(2)[2025·苏州高一检测] 若x2-3x+1=0,则= .
(3)已知x+y=12,xy=9,且x变式 (1)[2025·天津河西区期中] 已知2a=5,8b=3,则4a-3b= ( )
A.25 B.5
C. D.
(2)(多选题)[2025·重庆巴蜀中学高一期中] 已知a+=4,则-的值可能为 ( )
A.2 B.
C.- D.-2
(3)[2025·湖北荆州中学高一期中] 已知-=1,计算= .
[素养小结]
利用整体代换法求分数指数幂的关键点
(1)整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧,观察分析条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键之一.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂计算问题的另一个关键是掌握好完全平方公式及其变形公式:x2+x-2=(x±x-1)2 2,x+x-1=(±)2 2,+=(±)2 2.
拓展 设+=3(a>0),则= ( )
A.7 B. C.5 D.454.1.2 指数幂的拓展
1.= ( )
A. B.
C. D.
2.·(a<0)等于 ( )
A.- B.±
C. D.
3.[2025·河北沧州四校联考高一期中] 若a>0,则的分数指数幂形式为 ( )
A. B. C. D.
4.[2025·天津一中高一期中] 下列计算正确的是 ( )
A.(-a)2·(-a)3=a5
B.=a(a≥0)
C.=a5(a,b>0)
D.=(-2
5.计算(n∈N*)(a>0)的结果为 ( )
A. B.22n+5
C.2n2-2n+6 D.
6.化简(a2-2+a-2)÷(a2-a-2)(a>1)的结果为 ( )
A.1 B.-1
C. D.
7.m>0,化简:= .
8.若+=3,则a+a-1= ;= .
9.(13分)计算下列各式的值:
(1)+--;
(2)4÷,其中a,b>0.
10.已知a>0且a2x=3,则(ax+a-x)2= ( )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2025·福建厦门英才学校高一期中] 已知a>0,则下列各式中正确的是 ( )
A.=|a|
B.2-2=-4
C.(·)÷=a
D.=
12.(多选题)[2025·陕西榆林八校高一期中] 已知正数a,b满足a2+b2=2,则 ( )
A.ab≤1 B.a+b≤2
C.·≤4 D.+≥4
13.已知a>0,b>0,4a=b2=16,则2a-b的值是 .
14.(15分)(1)[2025·江苏东海高级中学月考] ①若已知10m=2,10n=3,求1的值;
②已知-=1,求的值.
(2)已知,是方程x2-5x+3=0的两个根,求的值.
15.已知m2x=2,且m>0,则的值为 .
16.(15分)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.
