(共57张PPT)
4.2 对数
4.2.1 对数的概念
探究点一 对数的概念
探究点二 指数式与对数式的互化
探究点三 求对数值
探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
能够在具体的数学情境中，得出对数的概念.
知识点一 对数的概念
1.定义:一般地,如果,那么就称 是以_________
的对数,记作__________,其中，叫作对数的______, 叫作______.
为底
底数
真数
2.通常将以10为底的对数称为__________.为了方便起见，对数
简记为_____.
在科学技术中，常常使用以 为底的对数,这种对数称为__________
是一个无理数.正数的自然对数 一般简记为
_____.
常用对数
自然对数
3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当,且 时,
_______.
对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.具体对应如
图所示.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）表示与 的乘积.( )
×
（2）可化为 .( )
×
（3）对数式与 的意义一样．( )
×
（4）对数运算的实质是求幂指数.( )
√
2.（1）怎样理解对数式的意义
解：可以从以下三个角度理解对数式的意义.
角度一:对数式可看作一种记号,只有当,,且 时
才有意义.
角度二:对数式也可以看作一种运算,这种运算是在已知
求 的前提下提出的.
角度三: 是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分
开书写,也不可认为是与 的乘积.
（2）在对数概念中,为什么规定,且 呢
解：①若,则取某些数值时,不存在,因此规定 不能小于0.
②若,当时,则不存在,当时,则 有无数个
值,因此规定 .
③若,当时,则不存在,当时,则 有无数个
值,因此规定 .
知识点二 对数的性质与对数恒等式
1.对数的性质：如果,且 ，那么
（1） ___,语言表述为_________________；
（2） ___,语言表述为______________；
（3）_________没有对数.
1
底数的对数等于1
0
1的对数等于0
0和负数
2.对数恒等式为__________________________.
3.___，且 .
，且
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对任意，均有 .( )
×
（2）对任意，均有 .( )
×
（3）对任意，均有 .( )
×
（4）对任意,均有 .( )
√
探究点一 对数的概念
例1（1）使对数有意义的 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 要使对数有意义，只要使真数 即
可，可得，所以的取值范围为 ，故选C.
√
（2）在对数式中,实数 的取值范围是
( )
A.或 B.
C.或 D.
[解析] 由题意,得解得或 ,故选C.
√
（3）（多选题）下列说法中正确的是( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫作常用对数
D.以 为底的对数叫作自然对数
[解析] 由对数的概念知，零和负数没有对数，故A正确；
对于指数式,只有 时该指数式才可以化为对数式，
故B错误；
把以10为底的对数叫作常用对数,以 为底的对数叫作自然对数,故C,D正确，
故选 .
√
√
√
［素养小结］
对数有意义的两个条件：①底数大于0且不等于1；②真数必须大于0．
探究点二 指数式与对数式的互化
例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式.
（1） ；
解： ；
（2） ；
解： ；
（3） ；
解： ；
例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式.
（4） ；
解： ；
（5） ；
解： ；
（6） ；
解： ；
（7） .
解： .
变式（1）已知，则 等于( )
A.4 B. C.256 D.2
[解析] 由题知且，所以 .故选A.
√
（2）（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 当,且时,由 可知,A,B,D都正确;
C中,.故选 .
√
√
√
（3）已知且，,,则 ____.
12
[解析] 由,,得, ,
所以 .
［素养小结］
对数式与指数式的关系：由对数的定义知,对数式与指数式是同一种
数量关系的两种不同表达形式.其关系如表:
式子 名称 意义
底数 指数 幂 底数 对数 真数 探究点三 求对数值
例3 求下列各式的值：
（1） ;
解：, .
（2） ;
解：, .
（3） ;
解：设,则,则, ，
,故 .
例3 求下列各式的值：
（4） .
解：, .
变式 已知,且,若，则___, ___.
2
[解析] ,且，，
， .
［素养小结］
求对数式
的值的步骤：（1）设
;（2）将
写成指数式
;（3）将
写成以
为底的指数幂
,则
,
即
.
探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值
例4（1）求下列各式的值:
___; ___;
___； ___；
___； ___；
___; ___.
0
1
0
0
0
0
8
[解析] .
② .
③ .
④ .
⑤ .
⑥ .
⑦由对数恒等式且,,得 .
⑧ .
（2）求下列各式中 的值.
①; ;
③ ；
④ ；
⑤ .
解:①因为,所以,又且,所以 .
② .
③因为，所以 ，
所以，解得 .
④因为，所以 ，
所以，解得 .
⑤因为，所以，解得 .
变式（1）有以下四个结论：；②若 ，
则；③若，则 .其中正确的是______（把正确结
论的序号都填上）.
①②
[解析] ，故①正确；
若 ，则，故②正确；
若，则 ，故③错误.
故填①②.
（2）已知,求 的值.
解：因为,所以,所以 ,
所以.同理可求得,所以 .
［素养小结］
运用对数恒等式时的注意事项
（1）对于对数恒等式
，且
，
要注意格
式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
（2）对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等
式的应用.
18世纪，瑞士数学家欧拉 发现指数与对数的互逆
关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用 来定义
．他指出“对数源于指数”.对数的发明先于指数，这成为数
学史上的珍闻.
（1）对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各
部分的“去向”.
（2）对数的简单运算可以利用指数式与对数式的关系或利用对数的
性质解决.
1.（1）指数式化为对数式时，将指数式的幂作为真数，指数作为对
数，底数不变，写出对数式．
（2）对数式化为指数式时，将对数式的真数作为幂，对数作为指数，
底数不变，写出指数式．
例1 ［2025·山东青岛调研］若正数， 满足
，则 ( )
A.128 B.108 C.2 D.1
[解析] 令 ,
则，，，
因为 ，所以，所以 .故选B.
√
2.（1）求多重对数式的值，解题方法是由内到外，如求
的值，先求的值，再求 的值.
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“
”后再求解.
例2 计算： .
解： .
3.，且， 的作用在于能把任意一个正
实数转化成以 为底的指数形式．
例3 求下列各式的值：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
练习册
1.已知,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 ,故选B.
√
2.［2024·福建厦门期末］已知，则 ( )
A.2 B. C.3 D.4
[解析] 因为，所以，且 ，
所以 .故选B.
√
3.已知对数式有意义，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由有意义可知解得 且
，所以的取值范围为 .故选A.
√
4.［2025·江苏宿迁高一期中］计算 ( )
A. B.7 C. D.
[解析] .故选B.
√
5.已知满足，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，
则，即，所以 .故选B.
√
6.（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
[解析] 将指数式化成对数式为 ,故A正确;
将指数式化成对数式为,故B错误;
将指数式 化成对数式为,故C正确;
将指数式化成对数式为 , 故D正确.
故选 .
√
√
√
7.［2025·四川成都玉林中学月考］计算 ___.
6
[解析] .
8.［2025·上海师大附中高一期中］关于的方程 的解集为
________.
{
[解析] 因为，所以，
所以方程 的解集为{ .
9.（13分）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
10.（13分）
（1）求下列各式中 的值．
① ；
解:由，得，所以 .
② .
解:因为，所以，所以 .
（2）已知，，求 的值.
解： 因为，所以 ，
又，所以 .
10.（13分）
（3）已知，求 的值.
解： 由，得，则 ，
所以 .
11.若，，则 的值是( )
A.3 B. C. D.
[解析] 因为，所以，
又因为 ,所以，
所以 .故选A.
√
12.（多选题）以下结论正确的是( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
[解析] ;
;
若 ,则;
若,则.
故选 .
√
√
13.若,,则 __.
[解析] ,,， ，
.
14.若满足，则 ______.
或8
[解析] 设，则原方程可化为，
解得 或，
所以或，解得或 .
15.［2025·江苏扬州中学高一期中］已知,为正实数， ，
，则 __.
[解析] 因为,为正实数， ，所以
，所以 ，故.
因为，所以 .
又，，所以，当且仅当 时，
等号成立.
综上，，则，可得 ，
则 .
16.（15分）已知，且； ，且
．求证：或 .
证明：设，则， ，
，且，，即 .
当时，；当时，.故或 ．
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.
为底
底数 真数
2.常用对数
自然对数
3.
【诊断分析】 1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2.略
知识点二 1.（1）1 底数的对数等于1 （2）0 1的对数等于0 （3）0和负数
2.
，且
3.
【诊断分析】（1）×（2）×（3）×（4）√
课中探究 例1 （1）C （2）C （3）ACD
例2 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
m> （7）
变式 （1）A （2）ABD （3）12
例3 （1） （2）（3）（4） 变式
2
例4 （1）0 1 0 0 0 0 8
（2）① ②
③ ④ ⑤
变式 （1）①② （2）
快速核答案（练习册）
1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.ACD 7.6 8.{
9.（1）
（2）
/m> （3） （4）
10.（1）① ② （2）（3）
11.A 12.AB 13.
14.
或8 15.
16.略4.2 对数
4.2.1 对数的概念
【课前预习】
知识点一
1.a为底N logaN=b 底数 真数
2.常用对数 lg N 自然对数 ln N 3.logaN
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.解:(1)可以从以下三个角度理解对数式的意义.
角度一:对数式logaN可看作一种记号,只有当a>0,a≠1,且N>0时才有意义.
角度二:对数式logaN也可以看作一种运算,这种运算是在已知ab=N求b的前提下提出的.
角度三:logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积.
(2)①若a<0,则N取某些数值时,logaN不存在,因此规定a不能小于0.
②若a=0,当N≠0时,则logaN不存在,当N=0时,则logaN有无数个值,因此规定a≠0.
③若a=1,当N≠1时,则logaN不存在,当N=1时,则logaN有无数个值,因此规定a≠1.
知识点二
1.(1)1 底数的对数等于1 (2)0 1的对数等于0
(3)0和负数
2.=b(a>0,且a≠1) 3.b
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C (3)ACD [解析] (1)要使对数log2(-2x+3)有意义,只要使真数-2x+3>0即可,可得x<,所以x的取值范围为,故选C.
(2)由题意,得解得4
5,故选C.
(3)由对数的概念知,零和负数没有对数,故A正确;对于指数式ax=N(a>0),只有a≠1时该指数式才可以化为对数式,故B错误;把以10为底的对数叫作常用对数,以e为底的对数叫作自然对数,故C,D正确,故选ACD.
探究点二
例2 解:(1)log3=-4;(2)log520=x;(3)log71=b;
(4)log2=-;(5)2b=10;(6)ex=5;(7)104=x.
变式 (1)A (2)ABD (3)12 [解析] (1)由题知x2=16(x>0且x≠1),所以x=4.故选A.
(2)当a>0,且a≠1时,由ax=N x=logaN可知,A,B,D都正确;C中,log39=2 9=32.故选ABD.
(3)由loga2=p,loga3=q,得ap=2,aq=3,所以a2p+q=a2p·aq=(ap)2·aq=22×3=12.
探究点三
例3 解:(1)∵25=32,∴log232=5.
(2)∵103=1000,∴lg 1000=3.
(3)设x=log4,则4x=,则22x=2-5,∴2x=-5,
∴x=-,故log4=-.
(4)∵(-1)2=3-2,∴lo(3-2)=2.
变式 2 [解析] ∵a>0,且a≠1,=,∴a===,loa=lo=2.
探究点四
例4 (1)①0 ②1 ③0 ④0 ⑤0 ⑥0 ⑦8 ⑧
[解析] ①log330=log31=0.
②log77=1.
③lg(lg 10)=lg 1=0.
④lg(ln e)=lg 1=0.
⑤ln(lg 10)=ln 1=0.
⑥ln(ln e)=ln 1=0.
⑦由对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0),得0.=8.
⑧+e2ln 4=()-1+(eln 4)2=3-1+42=+16=.
(2)解:①因为logx81=4,所以x4=81=34,又x>0且x≠1,所以x=3.
②x==(==5.
③因为log8[log7(log2x)]=0,所以log7(log2x)=1,
所以log2x=7,解得x=27=128.
④因为log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,
所以log2x=9,解得x=29=512.
⑤因为=27,所以2x+1=27,解得x=13.
变式 (1)①② [解析] log2(log216)=log24=2,故①正确;若1=log5M,则M=5,故②正确;若e=ln x,则x=ee,故③错误.故填①②.
(2)解:因为log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可求得y=16,所以x+y=80.4.2 对数
4.2.1 对数的概念
1.B [解析] 因为3x=2,所以x=log32,故选B.
2.B [解析] 因为logx8=2,所以x2=8,且x∈(0,1)∪(1,+∞),所以x=2.故选B.
3.A [解析] 由log(a+1)有意义可知解得-14.B [解析] =(2-1==7.故选B.
5.B [解析] 由=43,得23×=43,则8(3x+5)=43,即24x+40=43,所以x=.故选B.
6.ACD [解析] 将指数式e0=1化成对数式为ln 1=0,故A正确;将指数式=2化成对数式为log42=,故B错误;将指数式2=化成对数式为log25=-,故C正确;将指数式31=3化成对数式为log33=1,故D正确.故选ACD.
7.6 [解析] +lg 0.1+ln=8-1-1=6.
8.{log35} [解析] 因为3x==5,所以x=log35,所以方程3x=的解集为{log35}.
9.解:(1)log216=4.
(2)lo0.45=b.
(3)53=125.
(4)10-1.5=a.
10.解:(1)①由logx27=,得=27,所以x=2=(33=9.
②因为log5(log2x)=0,所以log2x=1,所以x=2.
(2)因为a=log23,所以2a=3,
又2b=5,所以2a-2b=2a÷(2b)2=3÷52=.
(3)由x=log23,得2x=3,则2-x=,
所以==.
11.A [解析] 因为log4=y,所以4y=22y=,又因为2x=6,所以2x+2y=2x·22y=6×=8=23,所以x+2y=3.故选A.
12.AB [解析] log5(lg 10)=log5 1=0;log3(ln e)=log3 1=0;若lg x=10,则x=1010;若ln x=e,则x=ee.故选AB.
13. [解析] ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,∴a2m-n=(am)2÷an=22÷3=.
14.或8 [解析] 设t=log2x,则原方程可化为t2+t-12=0,解得t=-4或t=3,所以log2x=-4或log2x=3,解得x=或x=8.
15. [解析] 因为a,b为正实数,(a-b)2=(ab)3,所以===ab,所以-=ab,故ab+=.因为+≤2,所以ab+=≤4.又ab>0,>0,所以ab+≥2=4,当且仅当ab=2时,等号成立.综上,4≤ab+≤4,则ab+=4,可得ab=2,则log4(ab)=log42=log4=.
16.证明:设logab=logba=k,则b=ak,a=bk,∴b=(bk)k=.∵b>0,且b≠1,∴k2=1,即k=±1.
当k=1时,a=b;当k=-1时,a=.故a=b或a=.4.2 对数
4.2.1 对数的概念
【学习目标】
能够在具体的数学情境中,得出对数的概念.
◆ 知识点一 对数的概念
1.定义:一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以 的对数,记作 ,其中,a叫作对数的 ,N叫作 .
2.通常将以10为底的对数称为 .为了方便起见,对数log10N简记为 .
在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为 .e=2.718 28…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为 .
3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,ab=N b= .
对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.具体对应如图所示.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)logaN表示loga与N的乘积. ( )
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. ( )
(3)对数式log32与log23的意义一样. ( )
(4)对数运算的实质是求幂指数. ( )
2.(1)怎样理解对数式的意义
(2)在对数概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢
◆ 知识点二 对数的性质与对数恒等式
1.对数的性质:如果a>0,且a≠1,那么
(1)logaa= ,语言表述为 ;
(2)loga1= ,语言表述为 ;
(3) 没有对数.
2.对数恒等式为 .
3.logaab= (a>0,且a≠1).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对任意a∈R,均有logaa=1. ( )
(2)对任意a>0,均有loga1=0. ( )
(3)对任意b∈R,均有=b. ( )
(4)对任意b∈R,均有log22b=b. ( )
◆ 探究点一 对数的概念
例1 (1)使对数log2(-2x+3)有意义的x的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在对数式b=log(a-4)(a2-2a-8)中,实数a的取值范围是 ( )
A.a<-2或a>4 B.-2C.45 D.4(3)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫作常用对数
D.以e为底的对数叫作自然对数
[素养小结]
对数有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0.
◆ 探究点二 指数式与对数式的互化
例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式.
(1)3-4=;(2)5x=20;(3)7b=1;
(4)=;(5)b=log210;
(6)x=ln 5;(7)4=lg x.
变式 (1)已知logx16=2,则x等于 ( )
A.4 B.±4
C.256 D.2
(2)(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是 ( )
A.100=1与lg 1=0
B.2=与log27=-
C.log39=2与=3
D.log55=1与51=5
(3)已知a>0且a≠1,loga2=p,loga3=q,则a2p+q= .
[素养小结]
对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如表:
式子 名称 意义
a x N
指数式ax=N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N
对数式logaN=x 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x
◆ 探究点三 求对数值
例3 求下列各式的值:
(1)log232;(2)lg 1000;
(3)log4;(4)lo(3-2).
变式 已知a>0,且a≠1,若=,则a= ,loa= .
[素养小结]
求对数式logaN的值的步骤:(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
◆ 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值
例4 (1)求下列各式的值:
①log330= ;②log77= ;
③lg(lg 10)= ;④lg(ln e)= ;
⑤ln(lg 10)= ;⑥ln(ln e)= ;
⑦0.= ;⑧+e2ln 4= .
(2)求下列各式中x的值.
①logx81=4;②=x;
③log8[log7(log2x)]=0;
④log2[log3(log2x)]=1;
⑤=27.
变式 (1)有以下四个结论:①log2(log216)=2;②若1=log5M,则M=5;③若e=ln x,则x=e2.其中正确的是 (把正确结论的序号都填上).
(2)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.
[素养小结]
运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.4.2 对数
4.2.1 对数的概念
1.已知3x=2,则x= ( )
A.log23 B.log32
C. D.
2.[2024·福建厦门期末] 已知logx8=2,则x= ( )
A.2 B.2
C.3 D.4
3.已知对数式log(a+1)有意义,则a的取值范围为 ( )
A.(-1,0)∪(0,4)
B.(-1,4)
C.(-4,0)∪(0,1)
D.(-4,1)
4.[2025·江苏宿迁高一期中] 计算= ( )
A.7-1 B.7
C.27 D.2-7
5.已知x满足=43,则x的值为 ( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是 ( )
A.e0=1与ln 1=0
B.log24=2与=2
C.log25=-与2=
D.31=3与log33=1
7.[2025·四川成都玉林中学月考] 计算+lg 0.1+ln= .
8.[2025·上海师大附中高一期中] 关于x的方程3x=的解集为 .
9.(13分)将下列指数式改写成对数式,对数式改写成指数式:
(1)24=16;(2)=0.45;(3)log5125=3;(4)lg a=-1.5.
10.(13分)(1)求下列各式中x的值.
①logx27=;②log5(log2x)=0.
(2)已知a=log23,2b=5,求2a-2b的值.
(3)已知x=log23,求的值.
11.若2x=6,log4=y,则x+2y的值是 ( )
A.3 B.
C.log23 D.-3
12.(多选题)以下结论正确的是 ( )
A.log5(lg 10)=0
B.log3(ln e)=0
C.若lg x=10,则x=10
D.若ln x=e,则x=e2
13.若loga2=m,loga3=n,则a2m-n= .
14.若x满足(log2x)2+log2x-12=0,则x= .
15.[2025·江苏扬州中学高一期中] 已知a,b为正实数,+≤2,(a-b)2=(ab)3,则log4(ab)= .
16.(15分)已知logab=logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).求证:a=b或a=.