(共45张PPT)
4.2 对数
4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
探究点一 利用对数的运算性质化简求值
探究点二 对数运算性质的综合运用
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够利用指数式与对数式的关系证明对数的运算性质.
2.能够利用对数的运算性质进行对数运算.
知识点 对数的运算性质
（1） _______________；
（2） _______________;
（3） ________.
其中,且,,, .
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个正数的积、商的对数可以分别化为它们对数的和、
差．( )
√
（2）两个正数的和的对数等于它们的对数的和.( )
×
（3） .( )
×
（4） .( )
×
2.（1）若,运算法则 还成立吗
解：不一定成立.例如对于 ,
,这是因为 和
没有意义.
（2）对数的运算性质是否可以逆用
解：对数的运算性质只要各字母满足条件即可逆用.
探究点一 利用对数的运算性质化简求值
例1 计算下列各式:
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式 ．
例1 计算下列各式:
（3） .
解：原式 .
变式 计算下列各式:
（1） ;
解：
.
变式 计算下列各式:
（2） ;
解： .
（3） .
解：原式 .
［素养小结］
利用对数的运算性质化简、求值的常见策略
（1）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，
即公式的逆用.
（2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即
公式的正用.
（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用进行
计算或化简.
拓展 已知，且，求实数 的值.
解：因为 ，
所以 .
探究点二 对数运算性质的综合运用
例2（1）［2025·江苏泰州中学高一期中］已知, ,
，则 的值为
( )
（附：若（其中且，， ），
则 ）
A. B.1 C. 或0 D.1或0
√
[解析] 因为，
，
，所以 ，
化简得，即 ，解得
或.
又 ,
所以当时，;
当 时， .故选C.
（2）设，，则 _______.
[解析] 因为 ，
,两式相减可得
，解得 ，则
.
变式（1）［2025·江苏无锡锡山高级中学高一期末］已知正实数,
满足，则 的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由 ，得
，
设,则， ，
，
又因为，所以 ,即,
所以 .故选A.
√
（2）用,,且，，， 表
示下列各式.
① ；
解： .
② ；
解： .
（2）用,,且，，， 表
示下列各式.
③ .
解： .
［素养小结］
当对数问题用对数自身的知识难以解决时，通常将对数化为指数来
解决；反之亦然.通过对数式与指数式的互化，能转化问题，进而解
决问题.
运算法则的注意点:（1）在对数的运算法则中,各个字母都有一定的
取值范围,,,且 ,只有当式子中所有的对数符
号都有意义时,等式才成立.如是存在的,但
与 均不存在,故不能写成
（2）有时逆向运用运算性质,可达到简化的目的，如
.
练习册
1.［2025·江苏宿迁中学高一月考］计算：
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] .故选B.
√
2.若，则 的值为( )
A. B.3 C. D.
[解析] .故选A.
√
3.化简 可得( )
A. B. C. D.3
[解析] .故选D.
√
4.若,，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ,, , ，
，故选D.
√
5. ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析]
.故选B.
√
6.已知，是方程的两根，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，是方程 的两根，
，， ，故选D.
√
7.方程 的解为______.
[解析] ， ，
解得 .
8.已知，那么的计算结果可以用 表示为
______.
[解析]
.
9.（13分）用，， 表示下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
10.（13分）计算下列各式的值：
（1） ；
解：原式
（2） .
解：原式 .
10.（13分）计算下列各式的值：
（3） .
解：原式 .
11.若，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
12.［2025·江苏泰兴高一期中］
( )
A.4 B.2 C. D.
[解析] 因为 ，
，所以 .故选C.
√
13.（多选题）若 ，则下列各式中，一定成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，当， 时，等式右边无意义，A不一定成立；
对于B，当， 时，等式右边无意义，B不一定成立；
对于C，，， ，C一定成立；
对于D，，，D一定成立.
故选 .
√
√
14.若方程 的两根分别是
， ，则 的值是___.
[解析] 令，则由已知得 ， 是方程
的两根，
则,则，解得 .
15.［2025·江苏南京如皋十校高一期中］已知， ，
用含，的式子表示 ___________.
[解析] 因为 ，
，所以 ，
，所以 .
16.（15分）［2025·江苏徐州三中高一期中］ 我们知道，任何一个
正实数都可以表示成.当 时，
记的整数部分的位数为，例如 ；当
时，记 的非有效数字的个数（即左边第一个不是0的数字之前
0的个数）为，例如 .
（1）求，，并写出 的表达
式（不必写出过程）；
解：， ，
由题意，当时，的整数部分的位数为 ，
当时，的非有效数字的位数为 ，
所以
16.（15分）［2025·江苏徐州三中高一期中］ 我们知道，任何一个
正实数都可以表示成.当 时，
记的整数部分的位数为，例如 ；当
时，记 的非有效数字的个数（即左边第一个不是0的数字之前
0的个数）为，例如 .
（2）若，且取，求, 以及
；
解：由 两边取常用对数，可得
，所以
.故， ，
.
16.（15分）［2025·江苏徐州三中高一期中］ 我们知道，任何一个
正实数都可以表示成.当 时，
记的整数部分的位数为，例如 ；当
时，记 的非有效数字的个数（即左边第一个不是0的数字之前
0的个数）为，例如 .
（3）已知，猜想与 的大小关系，并证明你的结论.
解：猜想： .证明如下：
当时，为正整数且不可能是10的整数倍，所以存在 ，
使得，此时 ，
又 ，
所以，所以 .
快速核答案（导学案）
课前预习（1） （2） （3）
【诊断分析】 1.（1）√ （2）× （3）× （4）× 2.略
课中探究 例1 （1） （2） （3） 变式 （1）3（2） （3）7
拓展 0
例2 （1）C （2） 变式 （1）A
（2）① ② ③
快速核答案（练习册）
1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.D 7. 8.
9.（1） （2） （3）
10.（1） （3）
11.C 12.C 13.CD 14.
15. 16.（1），，
（2），，. （3）猜想：4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
【课前预习】
知识点
(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.解:(1)不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),这是因为loga(-2)和loga(-3)没有意义.
(2)对数的运算性质只要各字母满足条件即可逆用.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)原式=log333+lg(25×4)+2+2=×3+2+2+2=.
(2)原式=lg-lg 4+lg 7=lg=.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
变式 解:(1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20=lg 102+(lg 2)2+lg 5·(lg 2+1)=2+(lg 2)2+lg 5·lg 2+lg 5=2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=2+lg 2·lg 10+lg 5=2+lg 2+lg 5=2+1=3.
(2)2log32+log3-log36-ln=log3-ln e=log3-=log33-2-=-2-=-.
(3)原式=4+log5=4+log553=4+3=7.
拓展 解:因为10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0.
探究点二
例2 (1)C (2) [解析] (1)因为2log2(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),2log2(2m2+n)=log2(2m2+n)2,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),所以9m2n=(2m2+n)2,化简得4m4-5m2n+n2=0,即(4m2-n)(m2-n)=0,解得4m2=n或m2=n.又log2m-log2n=log2m-log2=log2,所以当4m2=n时,log2m-log2n=log2=-1;当m2=n时,log2m-log2n=log21=0.故选C.
(2)因为a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 15=lg 3+lg 5=lg 3+1-lg 2,两式相减可得a-b=2lg 2-1,解得lg 2=,则lg 120=lg(15×8)=lg 15+3lg 2=b+3·=.
变式 (1)A [解析] 由2+log2a=1+log3b=log6(12a+12b),得log2(4a)=log3(3b)=log6(12a+12b),设log2(4a)=log3(3b)=log6(12a+12b)=k,则4a=2k,3b=3k,12a+12b=6k,又因为2k·3k=6k,所以4a×3b=12a+12b,即ab=a+b,所以=1.故选A.
(2)解:①loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay.
②loga(x)=logax+loga=logax+logay.
③loga=loga=[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)=logax-logay-logaz.4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
1.B [解析] log20.5+lg 2+lg 5=log22-1+lg 10=-1+1=0.故选B.
2.A [解析] log62=log6=log66-log63=1-m.故选A.
3.D [解析] ===3.故选D.
4.D [解析] ∵10m=,10n=6,∴m=lg ,n=lg 6,∴n-2m=lg 6-2lg =lg 6-lg 2=lg =lg 3,故选D.
5.B [解析] lo(+)=
lo=-lo(-)=-1.故选B.
6.D [解析] ∵lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,∴lg a+lg b=,lg a·lg b=-,∴=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=-4×=,故选D.
7.x=1 [解析] ∵lg x+lg=lg(1+9x)=1,∴1+9x=10,解得x=1.
8.a-2 [解析] log38-2log36=3log32-2×(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.
9.解:(1)ln =ln x+ln y-ln z.
(2)ln(x2y4z3)=ln x2+ln y4+ln z3=2ln x+4ln y+3ln z.
(3)ln(×)=ln +ln =ln x+ln y+ln z.
10.解:(1)原式=(lg 5+lg 20)+(log36-log32)=lg 100+log33=2+1=3.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2+lg 2·lg 5-2=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2-2=lg 5+lg 2-2=-1.
(3)原式==
=-.
11.C [解析] ===.
12.C [解析] 因为==1+,==-1,所以log4(-)=log4[(1+)-(-1)]=log42=log4=.故选C.
13.CD [解析] 对于A,当a<0,b<0时,等式右边无意义,A不一定成立;对于B,当a<0,b<0时,等式右边无意义,B不一定成立;对于C,∵ab>0,∴>0,∴lg=lg,C一定成立;对于D,∵ab>0,∴lg=lg(ab=lg(ab),D一定成立.故选CD.
14. [解析] 令t=lg x,则由已知得lg α,lg β是方程t2+(lg 5+lg 7)t+lg 5·lg 7=0的两根,则lg α+lg β=-(lg 5+lg 7),则lg(αβ)=lg ,解得αβ=.
15.2a+b-1 [解析] 因为lg 6=lg(2×3)=lg 2+lg 3=a,lg 15=lg=lg 30-lg 2=lg(3×10)-lg 2=(lg 3+lg 10)-lg 2=(lg 3+1)-lg 2=b,所以lg 2=,lg 3=a-=,所以lg 54=lg(2×27)=lg 2+lg 27=lg 2+3lg 3=+3×=2a+b-1.
16.解:(1)f(1.02×102)=3,f(1.02×10-1)=1,
由题意,当n≥0时,a×10n的整数部分的位数为n+1,
当n<0时,a×10n的非有效数字的位数为-n,所以f(a×10n)=
(2)由x=2100两边取常用对数,可得lg x=100lg 2=100×0.301=30+0.1,所以x=1030+0.1=100.1×1030.故a=100.1,n=30,f(a×1030)=31.
(3)猜想:f(2k)=f(2-k).证明如下:
当k∈N*时,2k为正整数且不可能是10的整数倍,所以存在m∈N,使得10m<2k<10m+1,此时f(2k)=m+1,又10-(m+1)<2-k<10-m,
所以f(2-k)=m+1,所以f(2k)=f(2-k).4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
【学习目标】
1.能够利用指数式与对数式的关系证明对数的运算性质.
2.能够利用对数的运算性质进行对数运算.
◆ 知识点 对数的运算性质
(1)loga(M·N)= ;
(2)loga= ;
(3)logaMn= .
其中a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个正数的积、商的对数可以分别化为它们对数的和、差. ( )
(2)两个正数的和的对数等于它们的对数的和. ( )
(3)loga(xy)=logax·logay. ( )
(4)log5x4=4log5x. ( )
2.(1)若MN>0,运算法则loga(M·N)=logaM+logaN还成立吗
(2)对数的运算性质是否可以逆用
◆ 探究点一 利用对数的运算性质化简求值
例1 计算下列各式:
(1)log3+lg 25+lg 4++ln e2;
(2)lg-lg+lg;
(3)log535-2log5+log57-log51.8.
变式 计算下列各式:
(1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20;
(2)2log32+log3-log36-ln;
(3)log216+log535-log514-log5.
[素养小结]
利用对数的运算性质化简、求值的常见策略
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简.
拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求实数x的值.
◆ 探究点二 对数运算性质的综合运用
例2 (1)[2025·江苏泰州中学高一期中] 已知m>0,n>0,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),则log2m-log2n的值为 ( )
(附:若logaM=logaN(其中a>0且a≠1,M>0,N>0),则M=N)
A.-1 B.1
C.-1或0 D.1或0
(2)设a=lg 6,b=lg 15,则lg 120= .
变式 (1)[2025·江苏无锡锡山高级中学高一期末] 已知正实数a,b满足2+log2a=1+log3b=log6(12a+12b),则的值是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)用logax,logay,logaz(a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0)表示下列各式.
①loga(xy2);②loga(x);③loga.
[素养小结]
当对数问题用对数自身的知识难以解决时,通常将对数化为指数来解决;反之亦然.通过对数式与指数式的互化,能转化问题,进而解决问题.4.2.2 对数的运算性质
第1课时 对数的运算性质
1.[2025·江苏宿迁中学高一月考] 计算:log20.5+lg 2+lg 5= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若log63=m,则log62的值为 ( )
A.1-m B.3
C.m+1 D.log6(1+m)
3.化简可得 ( )
A.log54 B.3log52
C.log36 D.3
4.若10m=,10n=6,则n-2m= ( )
A.-lg 2 B.lg 2
C.-lg 3 D.lg 3
5.lo(+)= ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
6.已知lg a,lg b是方程6x2-4x-3=0的两根,则= ( )
A. B.
C. D.
7.方程lg x+lg=1的解为 .
8.已知a=log32,那么log38-2log36的计算结果可以用a表示为 .
9.(13分)用ln x,ln y,ln z表示下列各式:
(1)ln ;(2)ln(x2y4z3);(3)ln(×).
10.(13分)计算下列各式的值:
(1)lg 5+log36+lg 20-log32;
(2)(lg 5)2+lg 2·(1+lg 5)-eln 2.
(3).
11.若lg 2=m,lg 3=n,则= ( )
A. B.
C. D.
12.[2025·江苏泰兴高一期中] log4(-)= ( )
A.4 B.2
C. D.
13.(多选题)若ab>0,则下列各式中,一定成立的是 ( )
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg =lg a-lg b
C.lg=lg
D.lg=lg(ab)
14.若方程(lg x)2+(lg 5+lg 7)lg x+lg 5·lg 7=0的两根分别是α,β,则αβ的值是 .
15.[2025·江苏南京如皋十校高一期中] 已知lg 6=a,lg 15=b,用含a,b的式子表示lg 54= .
16.(15分)[2025·江苏徐州三中高一期中] 我们知道,任何一个正实数x都可以表示成x=a×10n(1≤a<10,n∈Z).当n≥0时,记x的整数部分的位数为f(a×10n),例如f(1.02×10)=2;当n<0时,记x的非有效数字的个数(即左边第一个不是0的数字之前0的个数)为f(a×10n),例如f(1.02×10-2)=2.
(1)求f(1.02×102),f(1.02×10-1),并写出f(a×10n)的表达式(不必写出过程);
(2)若x=2100=a×10n,且取lg 2=0.301,求n,a以及f(a×10n);
(3)已知k∈N*,猜想f(2k)与f(2-k)的大小关系,并证明你的结论.
