本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1 解:(1)由3-3=可得log3=-3.
(2)由=x可得log8x=-.
(3)由ln 13=m可得em=13.
(4)由loga(1+)=-1可得a-1=1+.
变式 解:(1)根据指数式与对数式的关系,由5x=2,得x=log52.
(2)根据指数式与对数式的关系,由logx4=2,得x2=4,又x>0且x≠1,所以x=2.
(3)根据指数式与对数式的关系,由log3x=4,得x=34=81.
题型二
例2 解:(1)+-2=23+1-(33=8+1-3=6.
(2)(·)-3÷=()-3÷(b-4a-1=b-2÷(b-2)=b-2-(-2)=a-1.
(3)lg 25+lg 4-log49×log916=lg 100-log49×log942=2-2log49×log94=0.
(4)lg 500+lg-lg 64+(lg 2+lg 5)2=lg 5+lg 100+lg 8-lg 5-lg 6+1=lg 100+lg 8-lg 8+1=lg 102+1=2+1=3.
变式 解:(1)原式=2lg 2+lg 52+2+·=2(lg 2+lg 5)+2+·=2+2+4=8.
(2)原式=-1-+=-+=.
(3)原式=+log3-5=+-5=×××+-5=+-5=2-5=-3.
题型三
例3 解:由3a=2,得log32=a.
(1)log25====.
(2)lg 2======.
(3)log2045========.
例4 12 [解析] ∵logm2=a,logm3=b,∴ma=2,mb=3,∴m2a+b=m2amb=(ma)2mb=22×3=12.
变式 解:(1)∵log127=m,log123=n,∴log2863====.
(2)∵a2x=2,∴==a2x-1+=2-1+=.
题型四
例5 10 [解析] 设生物组织内原有的碳14含量为x,需要经过n(n∈N)个“半衰期”,用一般的放射性探测器就不能测到碳14了,则x·0.001,≈0.001 95×=0.000 975<0.001,所以n≥10,即死亡生物组织内的碳14至少经过了10个“半衰期”,用一般的放射性探测器就不能测到碳14了.
变式 (1)40 [解析] 由题意可得两式作商可得=,解得可得P=0.05·.令0.05·=50%,解得t=≈40.
(2)解:由题知54=p0e-5000k①,36=p0e-8000k②,
由①÷②得e3000k=,所以3000k=ln③.
当p=72 kPa时,72=p0e-kh④,
由②÷④得ekh-8000k=,所以kh-8000k=ln⑤,
由⑤÷③,得====≈,解得h≈2869 m.本章总结提升
◆ 题型一 指数式与对数式互化
[类型总述] (1)指数式;(2)对数式;(3)ab=N logaN=b(a>0且a≠1).
例1 将下列指数式与对数式互化.
(1)3-3=;
(2)=x;
(3)ln 13=m;
(4)loga(1+)=-1.
变式 求下列式子中x的值:
(1)5x=2;(2)logx4=2;(3)log3x=4.
◆ 题型二 指数与对数运算
[类型总述] (1)指数式;(2)指数的运算性质;(3)对数式;(4)对数的运算性质;(5)对数换底公式.
例2 计算下列各式的值:
(1)+-2;
(2)(·)-3÷(a>0,b>0);
(3) lg 25+lg 4-log49×log916;
(4)lg 500+lg-lg 64+(lg 2+lg 5)2.
变式 计算下列各式的值:
(1)2lg 2+lg 25++log89×log364;
(2)-(-9.6)0-+;
(3)(log43+log83)(log32+log92)+log3-.
◆ 题型三 指数与对数的综合运用
[类型总述] (1)指数的运算性质;(2)对数的运算性质;(3)对数的换底公式.
例3 已知 3a=2,log53=b,试用a,b分别表示下列各式:
(1)log25;(2)lg 2;(3)log2045.
例4 已知logm2=a,logm3=b,则m2a+b的值为 .
变式 (1)已知log127=m,log123=n,试用m,n表示log2863.
(2)若a2x=2(a>0),求.
◆ 题型四 指数与对数的实际应用
[类型总述] (1)指数运算;(2)对数运算;(3)实际应用;(4)数学建模.
例5 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例,人们将每克组织的碳14含量作为一个单位.大约每经过5730年,一个单位的碳14衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14,那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”.
变式 (1)已知某种科技产品的利润率为P,预计5年内与时间t(单位:月)满足函数关系式P=abt(其中a,b为非零常数).若经过12个月,利润率为10%,经过24个月,利润率为20%,那么当利润率达到50%,大约需要经过 个月(精确到整数,参考数据:lg 2≈0.301 0)
(2)[2025·上海实验学校高一期中] 大气压强p(单位:kPa)与海拔h(单位:m)之间的关系可以由p=p0e-kh近似描述,其中p0为标准大气压强,k为常数.已知海拔为5000 m,8000 m两地的大气压强分别为54 kPa,36 kPa.若测得某地的大气压强为72 kPa,求该地的海拔的近似值.(精确到整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(共21张PPT)
本章总结提升
题型一 指数式与对数式互化
题型二 指数与对数运算
题型三 指数与对数的综合运用
题型四 指数与对数的实际应用
答案核查
题型一 指数式与对数式互化
［类型总述］（1）指数式;（2）对数式;（3）
且 .
例1 将下列指数式与对数式互化.
（1） ；
解：由可得 .
（2） ；
解：由可得 .
例1 将下列指数式与对数式互化.
（3） ；
解：由可得 .
（4） .
解：由可得 .
变式 求下列式子中 的值：
（1） ；
解：根据指数式与对数式的关系，由，得 .
（2） ；
解：根据指数式与对数式的关系，由，得，
又 且，所以 .
（3） .
解：根据指数式与对数式的关系，由，得 .
题型二 指数与对数运算
［类型总述］（1）指数式；（2）指数的运算性质；（3）对数式；
（4）对数的运算性质；（5）对数换底公式.
例2 计算下列各式的值：
（1） ；
解： .
例2 计算下列各式的值：
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
例2 计算下列各式的值：
（4） .
解： .
变式 计算下列各式的值：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
变式 计算下列各式的值：
（3） .
解：原式 .
题型三 指数与对数的综合运用
［类型总述］（1）指数的运算性质；（2）对数的运算性质；（3）
对数的换底公式.
例3 已知，，试用， 分别表示下列各式：
（1） ；
解：由，得 .
.
（2） ；
解： .
例3 已知，，试用， 分别表示下列各式：
（3） .
解： .
例4 已知,,则 的值为____.
12
[解析] ,，, ，
.
变式（1）已知,，试用，表示 .
解：, ，
.
（2）若，求 .
解： ，
.
题型四 指数与对数的实际应用
［类型总述］（1）指数运算；（2）对数运算；（3）实际应用；
（4）数学建模.
例5 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照
惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位.大约每经过5730年，
一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡
生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射
性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，
那么死亡生物组织内的碳14至少经过了____个“半衰期”.（结果取整
数，参考数据： ）
10
[解析] 设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过 个“半
衰期”，用一般的放射性探测器就不能测到碳14了，则 ，
即，
由参考数据可知， ，
，所以 ，即死亡生物
组织内的碳14至少经过了10个“半衰期”，用一般的放射性探测器就
不能测到碳14了.
变式（1）已知某种科技产品的利润率为，预计5年内与时间
（单位：月）满足函数关系式（其中， 为非零常数）.若
经过12个月，利润率为，经过24个月，利润率为 ，那么当
利润率达到 ，大约需要经过____个月（精确到整数，参考数
据： ）
40
[解析] 由题意可得两式作商可得 ，解得
可得.令，解得 .
（2）［2025·上海实验学校高一期中］大气压强（单位： ）与
海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中
为标准大气压强，为常数.已知海拔为， 两地的大气
压强分别为，.若测得某地的大气压强为 ，求该
地的海拔的近似值.（精确到整数，参考数据: ，
）
解：由题知①， ，
由得，所以 .
当时， ，
由得，所以 ，
由，得 ，解得
.
快速核答案
例1 （1） （2） （4）
变式 （1） （2） （3）
例2 （1） （2） （3）0（4）
