(共73张PPT)
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
探究点一 函数概念的理解
探究点二 函数的定义域
探究点三 求函数值与简单函数的值域
探究点四 同一个函数的判定
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.会用集合语言和对应关系刻画函数.
2.理解函数的概念，了解构成函数的要素.
3.会求简单函数的定义域与值域.
知识点一 函数的有关概念
函数的 概念
函数的 记法 ________________
非空实数
每一个
唯一
，
定义域
值域
每一个
所有
续表
知识点二 同一个函数
1.函数的三要素:________、__________和______.
2.如果两个函数的______________,____________,那么这两个函数就
是同一个函数.
定义域
对应关系
值域
对应关系相同
定义域相同
【诊断分析】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗
解：不一定.
因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.
如 与,这两个函数的定义域和值域均为实数集 ,但
这两个函数不是同一个函数,原因是对应关系不同.
知识点三 常见函数的值域
1.一次函数 的值域为___.
2.二次函数 .
当_______时,值域为______________;
当_______时,值域为______________.
3.反比例函数 的值域为_________________.
探究点一 函数概念的理解
例1（1）如图所示，不能表示是 的函数的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函数的定义知，每一个的取值，都有且仅有一个 值与之
对应.
由选项B，C和D可知，每一个的取值，都有且仅有一个 值与之对应，
所以选项B，C和D能表示是的函数.
由选项A知，存在 ，使得一个的取值，有两个值与之对应，所以
选项A不能表示是 的函数，故选A.
（2）下列关于，的关系式中，能表示是 的函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，，当时，得，即 ，不
满足函数定义，故A错误；
对于B，，当 时，得，即 ，不满足函数
定义，故B错误；
对于C，即 ，满足函数的定义，故C正确；
对于D，，当时，得，即 ，不满足函数
定义，故D错误.故选C.
√
探究点二 函数的定义域
例2 求下列函数的定义域:
（1） ；
解：要使函数有意义，自变量的取值必须满足 解得
，且 ，所以这个函数的定义域为
.
例2 求下列函数的定义域:
（2） .
解：要使函数有意义，自变量 的取值必须满足
解得则 ，故函数
的定义域为 .
变式（1）［2025·天津第二耀华中学高一期中］函数
的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数有意义，则需满足 解
得且，所以的定义域为 .故选C.
√
（2）［2025·江苏无锡一中高一期中］函数
的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得解得，故 的定义域为
.故选C.
√
（3）［2025·江苏扬州大学附中高一期中］函数 的
定义域为( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 由函数可得，解得 或
，所以函数的定义域为或 .故选B.
√
［素养小结］
求函数的定义域应关注四点.
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的条
件一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；
要求
.
（2）不对解析式化简变形，以免定义域变化.
（3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式
构成时，定义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合.
（4）定义域是一个集合，要用集合或区间表示.
拓展（1）已知函数的定义域为，则 的定
义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知
解得，所以所求定义域为 .故选D.
√
（2）［2025·重庆巴蜀中学高一期中］若函数 的定义域为
，则函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 的定义域为,, ，
的定义域为.
由可得 解得,的定义域为
.故选B.
√
探究点三 求函数值与简单函数的值域
例3 已知， .
（1）求, 的值；
解：， ；
， .
（2）求, 的值；
解：由（1）知 ，
，
.
例3 已知， .
（3）求函数， 的值域.
解：要使函数有意义，则自变量必须满足 ，解得
函数的定义域为，
又当 时，， 函数的值域为
函数，
函数 的值域为 .
例4 求下列函数的值域：
（1） ；
解：对于，由，解得 ，所以函
数的定义域为.
易知当时，函数 取得最大值4，当时，函数
取得最小值0，故函数的值域为 ．
（2） ；
解：令，所以 ，所以
，所以函数的值域是 .
例4 求下列函数的值域：
（3） ；
解： ，
因为，所以 ，即函数
的值域为 .
例4 求下列函数的值域：
（4） .
解：由，得.
当 时，方程无解，不符合题意；
当 时，要使方程有解，只需，
即 ，可得或.
故函数的值域为 .
变式（1）函数 的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 设，，则 ，所以
，所以当时，
取得最大值为，即函数的值域为 .故选D.
√
（2）已知函数 ，则该函数的值域是( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则 解得
，所以函数的定义域为，则 .
因为，所以，所以 ，则
，所以，显然，所以 ，
即该函数的值域为 .故选D.
√
（3）［2025·福建福州二中高一月考］函数， 的
值域为______.
[解析] 由题意得，
因为 ，所以，所以，所以
，即 的值域为 .
［素养小结］
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，即通过配方转
化为能直接看出其值域的形式；
（3）分离常数法：此方法主要针对有理分式，可将有理分式转化为
类似反比例函数的形式，进而求值域；
（4）换元法：对于一些解析式含无理数的函数（如
），可通过换元把解析式转化为有理数的形式，
然后利用此类函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
探究点四 同一个函数的判定
例5 ［2025·广东东莞翰林实验学校高一期中］下列各组函数是同一
函数的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
√
[解析] 对于A，函数的定义为 ，函数
的定义域为 ，两个函数的定义
域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数
的定义域为 ，两个函数的定义域不同，所以不是同
一函数，故B错误；
对于C，函数与 ，两个函数的定义域与对应关
系都相同，所以两个函数是同一函数，故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为 ，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误.故选C.
变式 判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由.
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长的和为 ，其中一条
直角边的长为，面积为，则表示与 关系的函数
和二次函数 .
解：两个函数不是同一函数.
理由：两函数的解析式相同，但是前者的定义域为，后者的定义
域为 ，所以两者不是同一函数.
变式 判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由.
（2）和圆面积关于圆半径 的函数.
解：两个函数是同一函数.
理由：，圆面积 关于圆半径的函数为
，两函数的定义域相同，对应关系相同，所以两者是同一函数.
1.理解函数的概念应关注五点
（1）“,是非空的实数集”,一方面强调了,只能是实数集,即, 中
的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就
是说定义域为空集的函数是不存在的.
（2）理解函数的概念时要注意,函数的定义域是非空数集 ,但函数的
值域不一定是非空数集,而是集合 的子集.
（3）函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.即对于非空
数集中的任意一个（任意性）元素 ,按照某种确定的对应关系，在
非空数集中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 与之对应.这
“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
（4）仅仅是函数符号,不是表示“等于与的乘积”, 也
不一定就有解析式.
（5）除外,有时还用,,, 等符号来表示函数.
2.同一个函数
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才是同一个函数.根据它们
之间的关系,判断两个函数是否为同一个函数,主要看它们的定义域和对
应关系是否相同,只要定义域相同、对应关系相同,则值域就一定相同.
1.整体法
根据函数解析式或实际问题求出函数的自变量的取值范围.
例1 设函数的定义域为 ，要使函数
有定义，则 的取值范围为___________.
[解析] 由题知函数 的定义域为
且.
当时，应满足 ，所以；
当时，应满足，所以 .
故的取值范围是 .
例2 已知三次函数 ,且
,,,则
( )
A.2024 B.2028 C.2032 D.2036
[解析] 设,则 ,所
以 ,所以
,所以 .故
选D.
√
2.求函数值域的方法
（1）代入法
根据函数的定义域结合函数的对应关系求出函数的值域.
例3 求函数, 的值域.
解:当时,;当时,;当时,;当 时,
.
所以函数,的值域为 .
（2）整体换元法
根据函数解析式求出函数的值域.
例4 求函数 的值域.
解:函数的定义域为 ，
，当且仅
当 时取等号，
所以函数的值域为 .
（3）反解法
此种方法适用于求分式型函数的值域.反解法的基本步骤：①反解，
将含的式子用表示；②借助于含的式子的有界性得出关于关于
的不等式；③解关于 的不等式即得原函数的值域.
例5 求函数 的值域.
解：方法一：， 函数的定义域为 ，
，，即 ，
，即原函数的值域为 .
方法二：由，得，进而可得 ，
又，，解得.即原函数的值域为 .
3.函数建模法
在日常生活、生产中,函数就在我们身边,它的应用是非常广泛的,解题
时,应弄清题意,将实际问题中内在的、本质的联系抽象、转化为数学
问题,进而建立函数模型,最后通过对数学问题的求解来解决实际问题.
练习册
1.［2025·山东潍坊高一期中］已知集合,1, ，
，若，，则下列对应关系为从到 的函
数的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函数的定义可知，要使对应关系能构成从到 的函数，须
满足：对集合中的任意一个数，通过对应关系在集合 中都有唯一
的数与之对应.
对于A选项，当时， ，故不能构成函数；
对于B选项，当时， ，故不能构成函数；
对于C选项，当时，，故不能构成函数；
对于D选项，集合 中的任意一个数，通过对应关系在集合 中都有
唯一的数与之对应，故能构成函数.故选D.
2.［2025·江苏宿迁期末］函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数，所以解得 且
，故函数的定义域为且 .故选D.
√
3. 江苏常熟期中］已知函数的定义域为 ，则
函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
[解析] 在函数中，令 ，解得
，所以函数的定义域为 .故选D.
√
4.已知函数,若,则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,得,解得 .故选A.
√
5.［2025·江苏南京期中］下列四组函数中，与 表示同一个
函数的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
[解析] 对于A，， ，两函数的对应关系不
同，不是同一函数；
对于B， 的定义域为的定义域为 ，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，的定义域为， 的定义域为 ，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D，的定义域为，的定义域为 ，两
函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.故选D.
6.（多选题）集合，与对应关系如图所示，则 是从集合
到集合 的函数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 选项A，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个数与之
对应，故是函数；
选项B，集合中存在数3在集合 中没有对应的数，故不是函数；
选项C，集合中任何一个数在集合 中都有唯一一个与之对应，故是
函数；
选项D，集合中存在数5在集合 中有2个数与之对应，故不是函数.
故选 .
√
√
7.已知函数,则 ___.
2
[解析] 由题意知,,故 .
8.［2025·河北石家庄正定中学高一期中］函数 的值域是
_____________________.
[解析] 函数的定义域为 ，且
，
由 ，得
，则函数 的值域是 .
9.（13分）已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
解：由得且，所以函数的定义域为 且
.
（2）求及 的值；
解：因为，所以 ,
.
9.（13分）已知函数 .
（3）求函数 的定义域.
解：方法一：由（1）知，的定义域为且 ，所以
且，解得且，故函数 的定义
域为且 .
方法二：由题知，，故解得
且 ，
故函数的定义域为且 .
10.（13分）求下列函数的值域：
（1） ；
解：令，得 ，
故，所以所求函数的值域为 .
（2） ；
解：,由于 ，故
，故函数的值域为 .
10.（13分）求下列函数的值域：
（3） .
解：要使有意义，只需，即 ，故函数的定义
域为.
设，则 ，
设，
又，所以 ，所以原函数的值域为 .
11.已知函数的定义域为，且对任意 ，
恒成立，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 分别令和，得
解得 ，故选B.
√
12.已知函数的定义域是,则 的
定义域是( )
A. B.
C. D.
[解析] 函数的定义域是 ,
,即函数的定义域是 .
令,得,的定义域是 .
故选C.
√
13.（多选题）［2025·江苏常州高一期中］下列函数中，值域是
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，，由于 ，
故 ，故A正确；
对于B,，当且仅当 ，
即时，取等号，即值域为 ，故B正确；
对于C, 的定义域为，令 ，
则，，当 时，
，所以所求函数值域为 ，故C正确；
对于D，因为，所以函数值域为，故D错误.
故选 .
14.已知函数的定义域是，则 的取值范围是______.
[解析] 由函数的定义域是，可知
在上恒成立.
当时，，符合题意；
当 时，，解得.
综上，的取值范围是 .
15.[ 山东菏泽高一期中］高斯是德国著名的数学家，近代数
学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数 称为高斯函数，
其中，表示不超过的最大整数，例如： ，
.已知函数，则函数 的值域是
_________.
,0,
[解析] 令，易知，则有 .
当时，有；
当 时，有
，解得，又，所以
或 .
综上可得，则，故
的值域是,0, .
16.（15分）［2025·江苏宿迁高一期中］ 若函数 的定义域为
，值域为，则称为的“ 倍区间”，特别地，当
时，称为 的“特别区间”.
（1）若为函数的“特别区间”，求实数 的值；
解：因为为函数的“特别区间”，所以函数 的定义域和
值域都是，
因为 ，当时，
，所以，所以 .
16.（15分）［2025·江苏宿迁高一期中］ 若函数 的定义域为
，值域为，则称为的“ 倍区间”，特别地，当
时，称为 的“特别区间”.
（2）证明：函数 存在“3倍区间”；
证明：假设函数存在“3倍区间”，则 的值
域为，
当时，易得在区间 上函数值随自变量
的增大而增大，则所以,为方程 的
两根，解得或 ，
故的定义域为，值域为 ，
所以函数 存在“3倍区间”，得证.
16.（15分）［2025·江苏宿迁高一期中］ 若函数 的定义域为
，值域为，则称为的“ 倍区间”，特别地，当
时，称为 的“特别区间”.
（3）设为实数，函数 存在“特别区间”，求实数
的取值范围.
解：设函数存在“特别区间” ，
因为的函数值随自变量 的增大而减小，所以由
“特别区间”的定义可知
所以 ，
即 ，
因为，所以 ，
易得 ，所以
，
，
令，代入化简得 ，
令，代入化简得 ，
即关于的方程在区间 上有两个不相等的实数根，
故解得 ，
即实数的取值范围为 .
快速核答案(导学案）
课前预习 知识点一 非空实数 每一个 唯一
，
每一个
所有
知识点二 1.定义域 对应关系 值域 2.对应关系相同 定义域相同
【诊断分析】 不一定.理由略
知识点三 1.
2.
3.
课中探究 探究点一 例1 （1）A （2）C
探究点二 例2 （1）
（2）
变式 （1）C （2）C （3）B 拓展 （1）D （2）B
探究点三 例3 （1），（2），
（3）函数
的值域为
，
函数的值域为
例4 （1） （2） （3）（4）
变式 （1）D （2）D （3）
探究点四 例5 C 变式 （1）两个函数不是同一函数.理由略（2）两个函数是同一函数.理由略
练习册
基础巩固
1.D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.AC 7.2 8.
9.（1）且 （2）,
（3）且
10.（1） （2） （3）
综合提升
11.B 12.C 13.ABC 14.
思维探索
15.,0, 16.（1）（2）证明略（3）第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
【课前预习】
知识点一
非空实数 每一个 唯一 y=f(x),x∈A 每一个x
所有
知识点二
1.定义域 对应关系 值域 2.对应关系相同 定义域相同
诊断分析
解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1,这两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,原因是对应关系不同.
知识点三
1.R 2.a>0 a<0
3.(-∞,0)∪(0,+∞)
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)C [解析] (1)由函数的定义知,每一个x的取值,都有且仅有一个y值与之对应.由选项B,C和D可知,每一个x的取值,都有且仅有一个y值与之对应,所以选项B,C和D能表示y是x的函数.由选项A知,存在x,使得一个x的取值,有两个y值与之对应,所以选项A不能表示y是x的函数,故选A.
(2)对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数的定义,故C正确;对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
探究点二
例2 解:(1)要使函数f(x)有意义,自变量x的取值必须满足解得-1(2)要使函数f(x)有意义,自变量x的取值必须满足解得则x∈[-1,1)∪,故函数f(x)的定义域为[-1,1)∪.
变式 (1)C (2)C (3)B [解析] (1)函数f(x)=+有意义,则需满足解得x≥且x≠3,所以f(x)的定义域为∪(3,+∞).故选C.
(2)由题意得解得-2≤x<4,故f(x)的定义域为[-2,4).故选C.
(3)由函数f(x)=可得x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,所以函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<1}.故选B.
拓展 (1)D (2)B [解析] (1)由题意可知
解得1(2)∵f(2x-1)的定义域为[1,5],∴1≤x≤5,∴1≤2x-1≤9,∴f(x)的定义域为[1,9].由可得解得0≤x<2,∴g(x)的定义域为[0,2).故选B.
探究点三
例3 解:(1)∵f(x)=,∴f(5)==1;
∵g(x)=2x2-3x+1,∴g(5)=2×52-3×5+1=36.
(2)由(1)知f(5)=1,g(5)=36.∴g[f(5)]=g(1)=2×12-3×1+1=0,f[g(5)]=f(36)==.
(3)要使函数f(x)有意义,则自变量x必须满足x-4>0,解得x>4.∴函数f(x)的定义域为(4,+∞),又当x∈(4,+∞)时,f(x)=>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).∵函数g(x)=2x2-3x+1=2-≥-,∴函数g(x)的值域为.
例4 解: (1)对于y=,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4,所以函数的定义域为[-4,4].易知当x=0时,函数y=取得最大值4,当x=±4时,函数y=取得最小值0,故函数y=的值域为[0,4].
(2)令t=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,所以t≤9,所以y=∈[0,3],所以函数f(x)的值域是[0,3].
(3)f(x)=x-=-,
因为≥0,所以-≥-,即函数f(x)=x-的值域为.
(4)由y=,得(y-3)x2+(y-3)x-(y+1)=0.当y=3时,方程无解,不符合题意;当y≠3时,要使方程有解,只需Δ=(y-3)2+4(y-3)(y+1)≥0,即5y2-14y-3≥0,可得y≤-或y>3.故函数y=的值域为 ∪(3,+∞).
变式 (1)D (2)D (3) [解析] (1)设t=,t≥0,则x=,所以y=+t=-t2+t+=-+,所以当t=时,y取得最大值为,即函数的值域为.故选D.
(2)令y=f(x)=+,则解得-2≤x≤2,所以函数的定义域为[-2,2],则y2=4+2.因为-2≤x≤2,所以0≤x2≤4,所以0≤4-x2≤4,则0≤≤2,所以4≤y2≤8,显然y>0,所以2≤y≤2,即该函数的值域为[2,2].故选D.
(3)由题意得f(x)===2-,因为x∈[1,2],所以x+1∈[2,3],所以∈,所以2-∈,即f(x)的值域为.
探究点四
例5 C [解析] 对于A,函数y=的定义为(-∞,1)∪(1,+∞),函数y=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一函数,故A错误;对于B,函数y=|x+1|+|x|的定义域为R,函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一函数,故B错误;对于C,函数y=|x|与y==|x|,两个函数的定义域与对应关系都相同,所以两个函数是同一函数,故C正确;对于D,函数y=|x|的定义域为R,函数y=()2的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一函数,故D错误.故选C.
变式 解:(1)两个函数不是同一函数.理由:两函数的解析式相同,但是前者的定义域为(0,20),后者的定义域为R,所以两者不是同一函数.
(2)两个函数是同一函数.理由:f(x)=πx2(x>0),圆面积S关于圆半径r的函数为S=πr2(r>0),两函数的定义域相同,对应关系相同,所以两者是同一函数.第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
1.D [解析] 由函数的定义可知,要使对应关系能构成从A到B的函数,须满足:对集合A中的任意一个数,通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应.对于A选项,当x=2时,y=3 B,故不能构成函数;对于B选项,当x=1时,y=-2 B,故不能构成函数;对于C选项,当x=2时,y=5 B,故不能构成函数;对于D选项,集合A中的任意一个数,通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应,故能构成函数.故选D.
2.D [解析] 因为函数y=+,所以解得x≥-4且x≠1,故函数的定义域为{x|x≥-4且x≠1}.故选D.
3.D [解析] 在函数y=f(2x+1)中,令-2≤2x+1≤1,解得-≤x≤0,所以函数y=f(2x+1)的定义域为.故选D.
4.A [解析] 由f(a)=2,得=2,解得a=.故选A.
5.D [解析] 对于A,f(x)==|x|,g(x)=x,两函数的对应关系不同,不是同一函数;对于B,f(x)=()2=x的定义域为[0,+∞),g(x)=|x|的定义域为R,两函数的定义域不同,不是同一函数;对于C,f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为R,两函数的定义域不同,不是同一函数;对于D,f(x)=()3=x的定义域为R,g(x)=x的定义域为R,两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数.故选D.
6.AC [解析] 选项A,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应,故是函数;选项B,集合A中存在数3在集合B中没有对应的数,故不是函数;选项C,集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个与之对应,故是函数;选项D,集合A中存在数5在集合B中有2个数与之对应,故不是函数.故选AC.
7.2 [解析] 由题意知,f(16)==4,故f[f(16)]=f(4)==2.
8.∪ [解析] 函数y=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),且y==·=--,由∈(-∞,0)∪(0,+∞),得y=--∈∪,则函数y=的值域是∪.
9.解:(1)由得x≥0且x≠1,所以函数的定义域为{x|x≥0且x≠1}.
(2)因为f(x)=+,所以f(2)=+=1+,f(6)=+=+.
(3)方法一:由(1)知,f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1},所以x+1≥0且x+1≠1,解得x≥-1且x≠0,故函数f(x+1)的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.
方法二:由题知,f(x+1)=+,故解得x≥-1且x≠0,
故函数f(x+1)的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.
10.解:(1)令t=x2-4x+6,得t=(x-2)2+2,
故t∈[2,+∞),所以所求函数的值域为[,+∞).
(2)f(x)===2+,由于≠0,故f(x)=2+≠2,故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(3)要使有意义,只需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域为{x|x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),设f(t)=t2-1-t=-,又t≥0,所以f(t)≥-,所以原函数的值域为.
11.B [解析] 分别令x=3和x=-3,得
解得f(3)=-,故选B.
12.C [解析] ∵函数y=f(x+1)的定义域是{x|-2≤x≤3},∴-1≤x+1≤4,即函数y=f(x)的定义域是{x|-1≤x≤4}.令-1≤x2≤4,得-2≤x≤2,∴y=f(x2)的定义域是{x|-2≤x≤2}.故选C.
13.ABC [解析] 对于A,y=,由于x2-4x+4=(x-2)2≥0,故y≥0,故A正确;对于B,y=x2+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x2=,即x=±1时,取等号,即值域为[0,+∞),故B正确;对于C,y=x++3的定义域为{x|x≥-3},令t=,则t≥0,y=x++3=t2+t=-,当t=0时,ymin=0,所以所求函数值域为[0,+∞),故C正确;对于D,因为y=>0,所以函数值域为(0,+∞),故D错误.故选ABC.
14.[0,4) [解析] 由函数f(x)=的定义域是R,可知ax2-ax+1≠0在R上恒成立.当a=0时,1≠0,符合题意;当a≠0时,Δ=(-a)2-4a<0,解得015.{-1,0,1} [解析] 令u=,易知x∈R,则有ux2+(3u-1)x+4u=0.当u=0时,有x=0;当u≠0时,有Δ=(3u-1)2-16u2=-7u2-6u+1=-(7u-1)(u+1)≥0,解得-1≤u≤,又u≠0,所以-1≤u<0或016.解:(1)因为[1,a]为函数f(x)的“特别区间”,所以函数f(x)的定义域和值域都是[1,a],因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,当x∈[1,a]时,f(x)∈[1,a2-2a+2],
所以a2-2a+2=a(a>1),所以a=2.
(2)证明:假设函数g(x)=-x2+2x存在“3倍区间”[a,b],则g(x)的值域为[3a,3b],当a则所以a,b为方程3x=-x2+2x的两根,解得x=-1或x=0,
故g(x)的定义域为[-1,0],值域为[-3,0],
所以函数g(x)=-x2+2x存在“3倍区间”,得证.
(3)设函数h(x)=m-存在“特别区间”[a,b],
因为h(x)=m-的函数值随自变量x的增大而减小,所以由“特别区间”的定义可知
所以a-b=-,
即(a-b)(+)=(a+1)-(b+1)=a-b,
因为a易得0≤<≤1,所以a=m-=m-(1-),b=m-=m-(1-),
令t=,代入化简得t2-t-m=0,
令s=,代入化简得s2-s-m=0,
即关于x的方程x2-x-m=0在区间[0,1]上有两个不相等的实数根,故解得-即实数m的取值范围为.第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
【学习目标】
1.会用集合语言和对应关系刻画函数.
2.理解函数的概念,了解构成函数的要素.
3.会求简单函数的定义域与值域.
◆ 知识点一 函数的有关概念
函数的概念 给定两个 集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的 实数x,在集合B中都有 的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
定义域 x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域
值域 若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的 (输入值),都有一个y(输出值)与之对应,我们将 输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域
◆ 知识点二 同一个函数
1.函数的三要素: 、 和 .
2.如果两个函数的 , ,那么这两个函数就是同一个函数.
【诊断分析】 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗
◆ 知识点三 常见函数的值域
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为 .
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
当 时,值域为 ;
当 时,值域为 .
3.反比例函数y=(k≠0)的值域为 .
◆ 探究点一 函数概念的理解
例1 (1)如图所示,不能表示y是x的函数的是 ( )
A B C D
(2)下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是 ( )
A.x+|y|=1
B.x2+y2=1
C.2x2+y=1
D.2x+y2=1
◆ 探究点二 函数的定义域
例2 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=(x-1)0+;
(2)f(x)=+.
变式 (1)[2025·天津第二耀华中学高一期中] 函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.
B.(-∞,3)∪(3,+∞)
C.∪(3,+∞)
D.∪(3,+∞)
(2)[2025·江苏无锡一中高一期中] 函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.(-2,4] B.(-4,-2]
C.[-2,4) D.[-4,-2]
(3)[2025·江苏扬州大学附中高一期中] 函数f(x)=的定义域为 ( )
A.{x|x≥2或x≤1}
B.{x|x>2或x<1}
C.{x|1≤x≤2}
D.{x|1[素养小结]
求函数的定义域应关注四点.
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的条件一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形,以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各个式子都有意义的公共部分的集合.
(4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示.
拓展 (1)已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],则y=的定义域为 ( )
A.[-1,2) B.[1,2)
C.(1,11] D.(1,2]
(2)[2025·重庆巴蜀中学高一期中] 若函数f(2x-1)的定义域为[1,5],则函数g(x)=的定义域为 ( )
A.(0,2] B.[0,2)
C.(0,2) D.[0,2]
◆ 探究点三 求函数值与简单函数的值域
例3 已知f(x)=,g(x)=2x2-3x+1.
(1)求f(5),g(5)的值;
(2)求g[f(5)],f[g(5)]的值;
(3)求函数f(x),g(x)的值域.
例4 求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x-;
(4)y=.
变式 (1)函数y=2x+的值域是 ( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=+,则该函数的值域是 ( )
A.[1,2] B.[1,2]
C.[4,8] D.[2,2]
(3)[2025·福建福州二中高一月考] 函数f(x)=,x∈[1,2]的值域为 .
[素养小结]
求函数值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法:
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;
(2)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,即通过配方转化为能直接看出其值域的形式;
(3)分离常数法:此方法主要针对有理分式,可将有理分式转化为类似反比例函数的形式,进而求值域;
(4)换元法:对于一些解析式含无理数的函数(如y=ax±b±),可通过换元把解析式转化为有理数的形式,然后利用此类函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.
◆ 探究点四 同一个函数的判定
例5 [2025·广东东莞翰林实验学校高一期中] 下列各组函数是同一函数的是 ( )
A.y=与y=
B.y=|x+1|+|x|与y=
C.y=|x|与y=
D.y=|x|与y=()2
变式 判断下列各组中的函数是否为同一函数,并说明理由.
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一条直角边的长为x cm,面积为y cm2,则表示y与x关系的函数y=x(20-x)和二次函数y=-x2+10x.
(2)f(x)=πx2(x>0)和圆面积S关于圆半径r的函数.第5章 函数概念与性质
5.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
1.[2025·山东潍坊高一期中] 已知集合A={-1,1,2},B=,若x∈A,y∈B,则下列对应关系为从A到B的函数的是 ( )
A.y=x+1 B.y=-
C.y=x2+1 D.y=2x
2.[2025·江苏宿迁期末] 函数y=+的定义域为 ( )
A.(-∞,1)∪(1,4)
B.(-∞,-1)∪(-1,4)
C.[-4,-1)∪(-1,+∞)
D.[-4,1)∪(1,+∞)
3.[2025·江苏常熟期中] 已知函数y=f(x)的定义域为[-2,1],则函数y=f(2x+1)的定义域为 ( )
A.R B.[-2,1]
C.[-3,3] D.
4.已知函数f(x)=,若f(a)=2,则a的值为 ( )
A. B. C. D.-
5.[2025·江苏南京期中] 下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是 ( )
A.f(x)=,g(x)=x
B.f(x)=()2,g(x)=|x|
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=()3,g(x)=x
6.(多选题)集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是( )
A B C D
7.已知函数f(x)=,则f[f(16)]= .
8.[2025·河北石家庄正定中学高一期中] 函数y=的值域是 .
9.(13分)已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求f(2)及f(6)的值;
(3)求函数f(x+1)的定义域.
10.(13分)求下列函数的值域:
(1)y=;(2)f(x)=;
(3)y=x-.
11.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,f(x)+xf(-x)=x2恒成立,则f(3)= ( )
A.- B.-
C.- D.2
12.已知函数y=f(x+1)的定义域是{x|-2≤x≤3},则y=f(x2)的定义域是 ( )
A.{x|-1≤x≤4} B.{x|0≤x≤16}
C.{x|-2≤x≤2} D.{x|1≤x≤4}
13.(多选题)[2025·江苏常州高一期中] 下列函数中,值域是[0,+∞)的是 ( )
A.y=
B.y=x2+-2
C.y=x++3
D.y=
14.已知函数f(x)=的定义域是R,则a的取值范围是 .
15.[2025·山东菏泽高一期中] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉.函数y=[x]称为高斯函数,其中x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=+,则函数y=[f(x)]的值域是 .
16.(15分)[2025·江苏宿迁高一期中] 若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],则称[a,b]为f(x)的“k倍区间”,特别地,当k=1时,称[a,b]为f(x)的“特别区间”.
(1)若[1,a]为函数f(x)=x2-2x+2的“特别区间”,求实数a的值;
(2)证明:函数g(x)=-x2+2x存在“3倍区间”;
(3)设m为实数,函数h(x)=m-存在“特别区间”,求实数m的取值范围.