(共79张PPT)
5.2 函数的表示方法
探究点一 函数的表示方法
探究点二 函数解析式的求法
探究点三 分段函数
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能够在实际情境中，根据不同的需要，选择恰当的方法（如图象法、
列表法、解析法）表示函数.
2.能够根据给出的实际问题，写出分段函数的表达式，并能简单应用.
知识点一 函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 定 义
解析法 用______来表示两个变量之间函数关系的方法
列表法 用______来表示两个变量之间函数关系的方法
图象法 用______表示两个变量之间函数关系的方法
等式
列表
图象
2.三种表示方法的优缺点比较
优 点 缺 点
解析法 一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过用解 析式求出任意一个自变量所对 应的函数值 不够形象、直观，而且并
不是所有的函数都可以用
解析法表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少
的有限值时的对应关系
图象法 直观形象地表示出函数的变化 情况，有利于通过图形研究函 数的某些性质 只能近似地求出自变量所
对应的函数值，有时误差
较大
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 的图象是一条线段.( )
×
[解析] 函数 的图象是4个离散的点.
（2）函数 的图象是抛物线.( )
×
[解析] 函数 的图象是抛物线的一部分.
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（3）函数 可以用列表法表示.( )
×
[解析] 函数 的定义域是区间，自变量的取值
不能一一列举出来，不能用列表法表示.
（4）函数 可以用列表法与图象法
表示.( )
√
[解析] 函数 的定义域只包含4个实
数，因此可以用列表法与图象法表示.
2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗
解：不一定.
例如,函数的对应关系是:当 为有理数时,函数值等于1,当 为无理数时,
函数值等于0.此函数就无法用图象法表示.
知识点二 分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的____________，像这样的函数，
通常叫作分段函数.
解析表达式
【诊断分析】
分段函数在定义域的不同部分上对应关系不同,那么分段函数是由几
个不同的函数构成的吗
解：不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同部分上
对应关系不同,所以分段函数是一个函数.
探究点一 函数的表示方法
例1 某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错
一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表
示一个参与者的得分与答错题目道数 之间的函
数关系 ．
解：用列表法可将函数 表示为
0 1 2 3 4 5
50 40 30 20 10 0
用图象法可将函数 表示为
用解析法可将函数表示为
， ，1，2，3，4， ．
变式 ［2025·北京通州高一期中］若函数, 用列表法表示如下：
1 2 3
3 2 1
1 3 2
则满足的 值为( )
A.1 B.3 C.1或2 D.2或3
[解析] 根据表格可知，,,；
,,；
,， .
所以满足条件的 是2或3.故选D.
√
探究点二 函数解析式的求法
例2（1）已知二次函数满足且 .
求 的解析式.
解：设二次函数 ，
则，即，则
解得所以，
则 ，解得.
所以 .
（2）已知,求, .
解：，设 ，
所以,，则, .
, .
变式（1）已知函数 是一次函数，且满足
，求 的解析式及定义域.
解：依题意，可设函数 ，则
，
由 ，
可得 ，
所以解得故函数的解析式为 ，
函数定义域为 .
（2）已知函数满足，求函数 的解析
式及定义域.
解：由 ，
令，则,，
将改为 ，即得函数解析式为，函数定义域为 .
［素养小结］
求函数解析式的几种常用方法
（1）待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法.
（2）代入法:已知的解析式,求函数的解析式时,
可直接用替换中的.
（3）换元法:已知的解析式,求的解析式,可用换
元法,即令,反解出,然后代入中,求出,即可得
.
（4）构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为
相反数或者互为倒数关系时,通常构造方程组求解.
拓展（1）已知，求 的解析式.
解：①， ，
用替换，得②， ，
由，得， ，
所以, .
（2）已知函数满足，求函数 的解
析式.
解：①， ，用代替，
得②， ，
由得， ，
即， .
令，，则 .
则， .
所以， .
探究点三 分段函数
角度1 分段函数求值
例3 ［2025·江苏苏州实验学校高一期中］已知函数
（1）求， ；
解：因为所以 ，
，
则 .
例3 ［2025·江苏苏州实验学校高一期中］已知函数
（2）若，求 的值；
解：当时，，所以 ；
当时，，所以 ；
当时，，可得 .
综上所述，的值为或1或 .
例3 ［2025·江苏苏州实验学校高一期中］已知函数
（3）作出函数 的图象.
解：函数 的图象如图所示.
变式 ［2025·河北保定高一期中］已知函数
若，则 ( )
A.2或或 B.2或 C.2或 D.
[解析] 若，则，解得或 （舍去）；
若，则，解得（舍去）.综上， .故选D.
√
［素养小结］
（1）求分段函数的函数值的方法：
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解
析式求值.当出现的形式时，应从内到外依次求值.
（2）求某条件下自变量的值的方法：
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变
量的值，最后检验求得的自变量的值是否在对应区间上，舍去增根.
角度2 分段函数在实际问题中的应用
例4 ［2025·江苏靖江中学高一月考］为减少空气污染，某市鼓励居
民用电（以减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，当每月用
电量不超过100度时，按每度0.57元计算，当每月用电量超过100度时，
其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算.
（1）设月用电量为度时，应交电费元，写出与 的函数解析式；
解：当时，；
当 时，
.
所以所求函数解析式为
例4 ［2025·江苏靖江中学高一月考］为减少空气污染，某市鼓励居
民用电（以减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，当每月用
电量不超过100度时，按每度0.57元计算，当每月用电量超过100度时，
其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算.
（2）小明家第一季度的电费情况如表所示：
月份 一月 二月 三月
交费金额 76元 63元 45.6元
则小明家第一季度共用电多少度？
解：由题意得，当时，；当
时， .
由题表可知小明家只有三月份的用电量小于100度，其他两个月均超过
100度.
一月份的用电量 满足，得（度）.
二月份的用电量 满足，得（度）.
三月份的用电量 满足，得 （度）.
所以第一季度用电量之和为 （度），即小明家
第一季度共用电330度.
变式 某城市出租车计费标准：乘客上车后，行驶 内收费都是10
元，超过,每行驶加收2元，超过，每行驶 加收3
元.假设途中一路顺利，没有停车等候.
（1）求乘客的付费金额（单位：元）与行驶路程（单位： ）
之间的函数关系式.
解：由题可知，所求函数关系式为
变式 某城市出租车计费标准：乘客上车后，行驶 内收费都是10
元，超过,每行驶加收2元，超过，每行驶 加收3
元.假设途中一路顺利，没有停车等候.
（2）若乘客需要行驶，当出租车行驶了 时，乘客中途
换乘一辆出租车和继续乘坐这辆出租车行驶完余下的 路程，哪
一种方式更便宜？
解：当继续乘坐这辆出租车时，付费金额（元）；
当换乘一辆出租车时，付费金额 （元）.
因此，换乘一辆出租车更便宜．
拓展 如图，在梯形中， ， ，
，现有一动点从点出发沿 移动到
点，设点的路程为，，与点 的移动路线，三者围成
的封闭图形的面积为 .
（1）试写出与 之间的函数解析式；
解：由 ， ， ，可得
， .
当点与点重合时， ;
当点在线段（不包括点）上运动时，围成的封闭图形为 ,
此时，其中 ；
当点在线段（不包括点 ）上运动时，围成的封闭图形为四边形
,此时，其中 ；
当点在线段（不包括点 ）上运动时，围成的封闭图形为四边形
,此时，其中 .
综上，与之间的函数解析式为
拓展 如图，在梯形中， ， ，
，现有一动点从点出发沿 移动到
点，设点的路程为，，与点 的移动路线，三者围成
的封闭图形的面积为 .
（2）在给定的坐标系中画出函数图象.
解：由 可得函数图象如图所示.
关于分段函数
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.
（2）研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在
作分段函数的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个
函数的图象.
（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的
并集，写定义域时，区间端点应不重不漏.
（4）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一
段的解析式求解.
1.待定系数法
已知函数解析式的类型求其解析式时,通常利用待定系数法求解.
例1（1）函数是一次函数，且，求 的
解析式；
解：设 ，则
，
所以，则解得或
所以或 .
（2）［2025·北京中央民族大学附属中学高一期中］已知二次函数
满足，且.求函数 的解析式.
解：设，因为，所以 ,
则 ，
又因为 ，所以
，
所以，所以解得 则
.
2.函数与方程法
在已知函数关系中含有可以对称代换的式子时,常用解方程（组）法
求其解析式.
例2 已知函数满足，求函数 的表达式.
解：在中，用替换 ，得
.
于是有消去 ，得
.
3.分段函数
例3（1）函数 的定义域为_________________，值域
为_______________.
[解析] 函数的定义域为.
当时， ，当时，，所以函数的值域为
.
（2）函数 的图象如图所示，则函数的解析式为
_ ______________________
[解析] 当时,设 ,
由题图得解得 故
;
当 时,设,由题图得 解
得故;
当 时, .
综上所述,
例4 ［2025·湖北宜昌高一期中］设函数
若 ，
则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 当时，由，可得 ，则
，解得，则；
当 时，由，可得，解得，则 .
综上所述，由，解得.
当时，由 ，可得，则
，解得 ，则；
当时，由，可得 ，显然成立，则；
当时，由，可得 ，则
，解得或，则.
综上所述， 的取值范围为 .故选C.
例5 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产 千件，需另
投入的成本（单位：万元）为 .当年产量不足80千件时，
；当年产量不小于80千件时，
.每件产品的售价为0.05万元.通过市场分析，
该厂生产的产品能够全部售完.试写出年利润 （单位：万元）关
于年产量 （单位：千件）的函数解析式.
解：因为每件产品的售价为0.05万元，所以 千件产品的销售额为
（万元）.
由题意可得，当 时，
；
当 时，
.
所以
练习册
1.已知函数由下表给出,则 等于( )
1 2 3 4
4 4 2 1
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] , .
√
2.［2025·江苏淮阴中学高一月考］已知函数 ，
则函数 的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 令，则，且 ，由
，可得
，故 .故选A.
√
3.［2025·河南新乡高一期中］已知一次函数 满足
，则 ( )
A.4 B.2 C.1 D.0
[解析] 设，则由 ，得
，即 ，则
得则，所以 .故选B.
√
4.［2025·重庆巴蜀中学高一期中］已知函数 则
( )
A. B. C.2 D.4
[解析] 因为所以 ，
.故选A.
√
5.某工厂生产零件件，当 时，每生产1件的成本为100元，超
过10件时，每生产1件的成本为150元，当 时，生产成本为
( )
A.1000元 B.1750元 C.1500元 D.1300元
[解析] 设生产零件件的成本为元，当,时， ，
当,时， ，
因此当时， .所以当
时，生产成本为1750元.故选B.
√
6.［2025·江西樟树中学高一月考］已知函数
若，则 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
√
[解析] 因为所以当时， ；当
时，；当 时，
.
令，则由 ，得.
由上述分析可得且，解得 ，即，
所以且，解得 .故选D.
7.某航空公司规定，乘客所携带行李的运费
（元）与其重量 之间的关系由如图的
一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行
李的最大重量为____ .
19
[解析] 设关于的一次函数解析式为 ，代入
与，得解得 即
，
若要免费，则，得 ，即乘客可免费携带行李的最大重量
为 .
8.［2025·江苏南京九中高一月考］已知函数 ，若
，则 ___.
1
[解析] 令，，则， ，
故，得 .
9.（13分）［2025·湖北仙桃田家炳实验高中高一期中］
（1）已知是一次函数，且，求 的解析式；
解：设 ，则
,
解得或
或 .
（2）已知函数，求 的解析式；
解：令，则, ，
，即 .
9.（13分）［2025·湖北仙桃田家炳实验高中高一期中］
（3）已知定义在上的函数满足 ，求
的解析式.
解：因为定义在上的函数满足 ，所以
，
由，得，所以 .
10.（13分）已知函数
（1）求， ；
解：根据可知 ，
, .
（2）若，求实数 的值；
解：若，则，解得；
若 ，则，解得或 （舍去）.
综上，或 .
10.（13分）已知函数
（3）作出函数在区间 内的图象.
解：函数在区间 内的图象如图所示.
11.定义域为的函数的值域为，则函数 的
值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的图象是由函数 的图象向右
或向左平移 个单位长度得到的，所以函数
的值域与函数 的值域相同.故选B.
√
12.已知函数若，则 的
值为( )
A. B.0或1 C.1 D.
[解析] 当时，由可得 ，不合题意；
当时，由可得；
当 时，由可得或,故.
当 时，；
当 时， .故选B.
√
13.（多选题）已知函数 则 ( )
A.
B.的值域为
C.的解集为
D.若，则 或1
√
√
[解析] 对于A，，A错误.
对于B，当 时，；当 时，
的值域为 ，B正确.
对于C，当时，由，得；当
时，由，得 的解集为
，C正确.
对于D，当 时，由，解得（舍）；
当 时，由，解得（舍）或.
若 ，则，D错误.故选 .
14.已知，函数若 ，则
___；若的值域是，则实数 的取值范围是______.
[解析] 当时， 所以.
函数的定义域为 ，
值域为，显然，且，当时，在
上的取值范围是，与题设矛盾，因此 ，
函数在上随着的增大而减少，在上的取值范围是 ，
于是，则，从而.
当 时，，当且仅当 时取等号，
又，因此，解得 ，于是
，所以实数的取值范围是 .
15.［2025·江苏徐州三中高一月考］已知函数
，则不等式 的解集为
________.
[解析] 令，则，即 ，则
，，
结合的图象可知随 的增大而增大，所以
，解得 ，所以不等式的
解集为 .
16.（15分）［2025·重庆鲁能巴蜀中学高一期中］ 注意力集中程度
的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的
不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算
法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注
意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在
上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计
时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生
的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中
指数与时间（分钟）的关系为：当时，是 的一次函数，
其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；
当时，是 的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数
达到最大值，最大值为100.
（1）求关于 的解析式；
解：当时，设 ，
依题意得解得,，所以 .
当时， .
当时，设 ，
将代入上式得,解得 ，所以
.
综上所述，
16.（15分）［2025·重庆鲁能巴蜀中学高一期中］ 注意力集中程度
的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的
不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算
法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注
意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在
上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计
时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生
的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中
指数与时间（分钟）的关系为：当时，是 的一次函数，
其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；
当时，是 的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数
达到最大值，最大值为100.
（2）如果学生的注意力集中指数不低于80，称为“理想听课状态”，
那么在一节40分钟的课中，学生处于“理想听课状态”所持续的时间
有多长？（精确到1分钟.参考数据： ）
解：由解得 ，
由得
即所以 .
综上所述， ，在一节40分钟的课中，学生处于“理想听课
状态”所持续的时间共 （分钟）.
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点一 1.等式 列表 图象 【诊断分析】1.（1）× （2）× （3）× （4）√ 2. 不一定
知识点二 解析表达式 【诊断分析】 不是
课中探究 探究点一 例1 略 变式 D
探究点二 例2 （1）（2）,，,
变式 （1），函数定义域为（2），函数定义域为
拓展 （1）,（2），
探究点三 角度1 例3 （1），（2）的值为或1或（3）图略 . . 变式 D
角度2 例4 （1） （2）330度
变式 （1） （2）换乘一辆出租车更便宜
拓展 （1）（2）图略
练习册
基础巩固
1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.19 8.1
9.（1）或（2） （3）
10.（1）， （2） m>或（3）图略.
综合提升
11.B 12.B 13.BC 14.
思维探索
15. 16.（1）m>（2）分钟5.2 函数的表示方法
【课前预习】
知识点一
1.等式 列表 图象
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)函数f(x)=3x-2(x∈{1,2,3,4})的图象是4个离散的点.
(2)函数f(x)=x2-2(x∈[-2,3])的图象是抛物线的一部分.
(3)函数f(x)=x+1(x∈[0,3])的定义域是区间,自变量的取值不能一一列举出来,不能用列表法表示.
(4)函数f(x)=2x2+1(x∈{-2,-1,0,1})的定义域只包含4个实数,因此可以用列表法与图象法表示.
2.解:不一定.例如,函数的对应关系是:当x为有理数时,函数值等于1,当x为无理数时,函数值等于0.此函数就无法用图象法表示.
知识点二
解析表达式
诊断分析
解:不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同部分上对应关系不同,所以分段函数是一个函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:用列表法可将函数y=f(x)表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
用图象法可将函数y=f(x)表示为
用解析法可将函数y=f(x)表示为y=50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.
变式 D [解析] 根据表格可知,f(1)=3,g(1)=1,f(1)>g(1);f(2)=2,g(2)=3,f(2)探究点二
例2 解:(1)设二次函数g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x,即4ax+4a+2b=4x,则
解得所以g(x)=x2-2x+c,则g(1)=1-2+c=-4,解得c=-3.所以g(x)=x2-2x-3.
(2)f(-1)=x-2=(-1)2-1,设t=-1≥-1,所以f(t)=t2-1,t≥-1,则f(x)=x2-1,x≥-1.
f(x+2)=(x+2)2-1=x2+4x+3,x≥-3.
变式 解:(1)依题意,可设函数f(x)=kx+b(k≠0),则f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b,由3f(x+1)-f(x)=2x+9,
可得3(kx+k+b)-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9,
所以解得故函数f(x)的解析式为f(x)=x+3,函数定义域为R.
(2)由g(+2)=x+2=()2+2=()2+4+4-2-4=(+2)2-2(+2),
令t=+2≥2,则g(t)=t2-2t,t≥2,将t改为x,即得函数解析式为g(x)=x2-2x,函数定义域为[2,+∞).
拓展 解:(1)g(x)-3g=x+2①,x≠0,
用替换x,得g-3g(x)=+2②,x≠0,
由①+3×②,得-8g(x)=x++8,x≠0,
所以g(x)=---1,x≠0.
(2)f(2-x)+2f=x①,x≠0,
用-代替x,得f+2f(2-x)=-②,x≠0,
由①-②×2得-3f(2-x)=x+,x≠0,
即f(2-x)=-,x≠0.
令t=2-x,t≠2,则x=2-t.
则f(t)=-=,t≠2.
所以f(x)=,x≠2.
探究点三
例3 解:(1)因为f(x)=所以f(0)=0,f(2)=×22-3×2=-4,
则f[f(2)]=f(-4)==-.
(2)当m<0时,f(m)==-1,所以m=-2;
当0≤m<2时,f(m)=-m=-1,所以m=1;
当m≥2时,f(m)=m2-3m=-1,可得m=3+.
综上所述,m的值为-2或1或3+.
(3)函数f(x)的图象如图所示.
变式 D [解析] 若a≤0,则2a2+1=9,解得a=-2或a=2(舍去);若a>0,则-3a+6=9,解得a=-1(舍去).综上,a=-2.故选D.
例4 解:(1)当0≤x≤100时,y=0.57x;当x>100时,y=0.5×(x-100)+0.57×100=0.5x-50+57=0.5x+7.
所以所求函数解析式为y=
(2)由题意得,当0≤x≤100时,y=0.57x∈[0,57];当x>100时,y=0.5x+7>57.由题表可知小明家只有三月份的用电量小于100度,其他两个月均超过100度.一月份的用电量x满足0.5x+7=76,得x=138(度).二月份的用电量x满足0.5x+7=63,得x=112(度).三月份的用电量x满足0.57x=45.6,得x=80(度).所以第一季度用电量之和为138+112+80=330(度),即小明家第一季度共用电330度.
变式 解:(1)由题可知,所求函数关系式为y=
(2)当继续乘坐这辆出租车时,付费金额y=34+5×3=49(元);当换乘一辆出租车时,付费金额y=34+10+2×(5-3)=48(元).因此,换乘一辆出租车更便宜.
拓展 解:(1)由∠B=∠C=90°,∠D=45°,AB=BC=2 cm,可得CD=2+2=4(cm),AD=2 cm.
当点Q与点B重合时,y=0;
当点Q在线段BC(不包括点B)上运动时,围成的封闭图形为△ABQ,此时y=S△ABQ=×2x=x,其中0当点Q在线段CD(不包括点C)上运动时,围成的封闭图形为四边形ABCQ,此时 y=S四边形ABCQ=×2=x,其中2综上,y与x之间的函数解析式为y=
(2)由y=可得函数图象如图所示.5.2 函数的表示方法
1.D [解析] ∵f(3)=2,∴f[f(3)]=f(2)=4.
2.A [解析] 令t=x-2,则x=t+2,且t∈R,由f(x-2)=x2-4x+5,可得f(t)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1,故f(x)=x2+1.故选A.
3.B [解析] 设f(x)=kx+b(k≠0),则由f(x+1)=2f(x)-x,得k(x+1)+b=2(kx+b)-x,即kx+k+b=(2k-1)x+2b,则得则f(x)=x+1,所以f(1)=2.故选B.
4.A [解析] 因为f(x)=所以f(-2)=(-2)2=4,f[f(-2)]=f(4)=.故选A.
5.B [解析] 设生产零件x件的成本为y元,当x≤10,x∈N*时,y=100x,当x>10,x∈N*时,y=10×100+150(x-10)=150x-500,因此y=当x=15时,y=1750.所以当x=15时,生产成本为1750元.故选B.
6.D [解析] 因为f(x)=所以当x<1时,f(x)=0;当1≤x<2时,f(x)=x+1∈[2,3);当x≥2时,f(x)=-x2+5∈(-∞,1].令t=f(a),则由f[f(a)]=1,得f(t)=1.由上述分析可得t≥2且-t2+5=1,解得t=2,即f(a)=2,所以1≤a<2且a+1=2,解得a=1.故选D.
7.19 [解析] 设y关于x的一次函数解析式为y=ax+b(a≠0),代入(30,330)与(40,630),得解得即y=30x-570,若要免费,则y≤0,得x≤19,即乘客可免费携带行李的最大重量为19 kg.
8.1 [解析] 令=t,t≥0,则x=t2+1,f(t)=t2+3(t≥0),故f(a)=a2+3=4(a≥0),得a=1.
9.解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4,
∴解得或
∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.
(2)令x+1=t,则x=t-1,t∈R,∴f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,即f(x)=x2-4x+3.
(3)因为定义在R上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x+1①,所以2f(-x)-f(x)=-x+1②,
由①×2+②,得3f(x)=x+3,所以f(x)=+1.
10.解:(1)根据f(x)=可知f(-2)=-2×2+1=-3,f=2×+1=,f=f=-3=-.
(2)若a≤1,则f(a)=2a+1=2,解得a=;若a>1,则f(a)=a2-3=2,解得a=或a=-(舍去).
综上,a=或a=.
(3)函数y=f(x)在区间[-2,2)内的图象如图所示.
11.B [解析] 因为函数y=f(x-a)的图象是由函数y=f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度得到的,所以函数y=f(x-a)的值域与函数y=f(x)的值域相同.故选B.
12.B [解析] 当a<0时,由2a+2=2可得a=0,不合题意;当0≤a≤4时,由=2可得a=4;当a>4时,由a2-8a+14=2可得a=2或a=6,故a=6.当a=4时,f(5-a)=f(1)==1;当a=6时,f(5-a)=f(-1)=2×(-1)+2=0.故选B.
13.BC [解析] 对于A,f(0)=02=0,A错误.对于B,当x≤-1时,f(x)=x+2≤-1+2=1;当-114.1 [解析] 当c=0时,f(x)=
所以f(1)=1.函数f(x)=的定义域为[-2,3],值域为,显然0 (c,3],且c≠0,当c=0时,f(x)在(c,3]上的取值范围是,与题设矛盾,因此015. [解析] 令x-1=t,则f(t)=+t,即f(x)=+x,则f(0)=0,f(8)=10,结合f(x)的图象可知f(x)=+x随x的增大而增大,所以0<2x+1<8,解得-16.解:(1)当0≤x≤8时,设y=kx+t,
依题意得解得k=2,t=68,所以y=2x+68.
当x=8时,y=16+68=84.
当8≤x≤40时,设y=a(x-20)2+100(a<0),
将(8,84)代入上式得84=a×122+100,解得a=-,所以y=-(x-20)2+100.
综上所述,y=
(2)由解得6≤x≤8,
由得
即所以8综上所述,6≤x≤33,在一节40分钟的课中,学生处于“理想听课状态”所持续的时间共33-6=27(分钟).5.2 函数的表示方法
【学习目标】
1.能够在实际情境中,根据不同的需要,选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.能够根据给出的实际问题,写出分段函数的表达式,并能简单应用.
◆ 知识点一 函数的三种表示方法
1.函数的三种表示方法
表示法 定 义
解析法 用 来表示两个变量之间函数关系的方法
列表法 用 来表示两个变量之间函数关系的方法
图象法 用 表示两个变量之间函数关系的方法
2.三种表示方法的优缺点比较
优 点 缺 点
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观,而且并不是所有的函数都可以用解析法表示
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系
图象法 直观形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=3x-2(x∈{1,2,3,4})的图象是一条线段. ( )
(2)函数f(x)=x2-2(x∈[-2,3])的图象是抛物线. ( )
(3)函数f(x)=x+1(x∈[0,3])可以用列表法表示. ( )
(4)函数f(x)=2x2+1(x∈{-2,-1,0,1})可以用列表法与图象法表示. ( )
2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗
◆ 知识点二 分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的 ,像这样的函数,通常叫作分段函数.
【诊断分析】 分段函数在定义域的不同部分上对应关系不同,那么分段函数是由几个不同的函数构成的吗
◆ 探究点一 函数的表示方法
例1 某问答游戏的规则是:共答5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系y=f(x).
变式 [2025·北京通州高一期中] 若函数f(x),g(x)用列表法表示如下:
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
g(x) 1 3 2
则满足f(x)A.1 B.3
C.1或2 D.2或3
◆ 探究点二 函数解析式的求法
例2 (1)已知二次函数g(x)满足g(x+2)-g(x)=4x且g(1)=-4.求g(x)的解析式.
(2)已知f(-1)=x-2,求f(x),f(x+2).
变式 (1)已知函数f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式及定义域.
(2)已知函数g(x)满足g(+2)=x+2,求函数g(x)的解析式及定义域.
[素养小结]
求函数解析式的几种常用方法
(1)待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法.
(2)代入法:已知y=f(x)的解析式,求函数y=f[g(x)]的解析式时,可直接用g(x)替换y=f(x)中的x.
(3)换元法:已知y=f[g(x)]的解析式,求y=f(x)的解析式,可用换元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入y=f[g(x)]中,求出f(t),即可得f(x).
(4)构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,通常构造方程组求解.
拓展 (1)已知g(x)-3g=x+2,求g(x)的解析式.
(2)已知函数f(x)满足f(2-x)+2f=x,求函数f(x)的解析式.
◆ 探究点三 分段函数
角度1 分段函数求值
例3 [2025·江苏苏州实验学校高一期中] 已知函数f(x)=
(1)求f(0),f[f(2)];
(2)若f(m)=-1,求m的值;
(3)作出函数f(x)的图象.
变式 [2025·河北保定高一期中] 已知函数f(x)=若f(a)=9,则a=( )
A.2或-2或-1 B.2或-1
C.2或-2 D.-2
[素养小结]
(1)求分段函数的函数值的方法:
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求某条件下自变量的值的方法:
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,最后检验求得的自变量的值是否在对应区间上,舍去增根.
角度2 分段函数在实际问题中的应用
例4 [2025·江苏靖江中学高一月考] 为减少空气污染,某市鼓励居民用电(以减少燃气或燃煤),采用分段计费计算电费,当每月用电量不超过100度时,按每度0.57元计算,当每月用电量超过100度时,其中的100度仍按原标准收费,超过的部分按每度0.5元计算.
(1)设月用电量为x度时,应交电费y元,写出y与x的函数解析式;
(2)小明家第一季度的电费情况如表所示:
月份 一月 二月 三月
交费金额 76元 63元 45.6元
则小明家第一季度共用电多少度
变式 某城市出租车计费标准:乘客上车后,行驶3 km内收费都是10元,超过3 km,每行驶1 km加收2元,超过15 km,每行驶1 km加收3元.假设途中一路顺利,没有停车等候.
(1)求乘客的付费金额y(单位:元)与行驶路程x(单位:km)之间的函数关系式.
(2)若乘客需要行驶20 km,当出租车行驶了15 km时,乘客中途换乘一辆出租车和继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5 km路程,哪一种方式更便宜
拓展 如图,在梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,∠D=45°,AB=BC=2 cm,现有一动点Q从B点出发沿B→C→D→A移动到A点,设Q点的路程为x cm,AQ,AB与点Q的移动路线,三者围成的封闭图形的面积为y cm2.
(1)试写出y与x之间的函数解析式;
(2)在给定的坐标系中画出函数图象.5.2 函数的表示方法
1.已知函数f(x)由下表给出,则f[f(3)]等于 ( )
x 1 2 3 4
f(x) 4 4 2 1
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2025·江苏淮阴中学高一月考] 已知函数f(x-2)=x2-4x+5,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x2+1
B.f(x)=x2+2
C.f(x)=x2-2x
D.f(x)=x2-2
3.[2025·河南新乡高一期中] 已知一次函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)-x,则f(1)= ( )
A.4 B.2
C.1 D.0
4.[2025·重庆巴蜀中学高一期中] 已知函数f(x)=则f[f(-2)]= ( )
A. B.
C.2 D.4
5.某工厂生产零件x件,当x≤10时,每生产1件的成本为100元,超过10件时,每生产1件的成本为150元,当x=15时,生产成本为 ( )
A.1000元 B.1750元
C.1500元 D.1300元
6.[2025·江西樟树中学高一月考] 已知函数f(x)=若f[f(a)]=1,则a= ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
7.某航空公司规定,乘客所携带行李的运费y(元)与其重量x(kg)之间的关系由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的最大重量为 kg.
8.[2025·江苏南京九中高一月考] 已知函数f()=x+2,若f(a)=4,则a= .
9.(13分)[2025·湖北仙桃田家炳实验高中高一期中] (1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+4,求f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x+1)=x2-2x,求f(x)的解析式;
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x+1,求f(x)的解析式.
10.(13分)已知函数f(x)=
(1)求f(-2),f;
(2)若f(a)=2,求实数a的值;
(3)作出函数y=f(x)在区间[-2,2)内的图象.
11.定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x-a)的值域为 ( )
A.[0,b-a] B.[a,b]
C.[2a,a+b] D.[-a,b-a]
12.已知函数f(x)=若f(a)=2,则f(5-a)的值为 ( )
A.-1 B.0或1
C.1 D.
13.(多选题)已知函数f(x)=则 ( )
A.f(0)=2
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1)
D.若f(x)=3,则x=或1
14.已知-215.[2025·江苏徐州三中高一月考] 已知函数f(x-1)=+x-1,则不等式016.(15分)[2025·重庆鲁能巴蜀中学高一期中] 注意力集中程度的研究,有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群,科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度,注意力集中指数的值越大,集中程度越高,越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中,高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高,随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析,得出学生的注意力集中指数y与时间x(分钟)的关系为:当0≤x≤8时,y是x的一次函数,其中1分钟时注意力集中指数为70,5分钟时注意力集中指数为78;当8≤x≤40时,y是x的二次函数,其中20分钟时注意力集中指数达到最大值,最大值为100.
(1)求y关于x的解析式;
(2)如果学生的注意力集中指数不低于80,称为“理想听课状态”,那么在一节40分钟的课中,学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长 (精确到1分钟.参考数据:≈2.236)
